Nguyên hàm tích phân và ứng dụng (Cao Hồng Sơn)

Nhằm giúp các em học sinh nắm vững các phương pháp tính tích phân,trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày một số phương pháp tính tích phân cơ bản cho các dạnghàm số thường gặp.. Định l

NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Dùng cho học sinh lớp 12

Ôn thi tốt nghiệp và luyện thi đại học

QUY NHƠN, NĂM 2010

Mục lục

1.1 Nguyên hàm - Tích phân bất định 5

1.1.1 Định nghĩa 5

1.1.2 Tính chất của nguyên hàm 5

1.2 Các phương pháp tính nguyên hàm 6

1.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp 6

1.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số 6

1.2.2.1 Đổi biến số dạng 1: 6

1.2.2.2 Đổi biến số dạng 2: 7

1.2.2.2.0.1 Dạng 1 Tích phân R √1 − x2dxhoặc R √ dx 1 − x2 7

1.2.2.2.0.2 Dạng 2 Tích phân R dx x2+ 1 hoặc R √x2+ 1dx 7

1.2.2.2.0.3 Dạng 3 Tích phân I = R r a + x a− xdx hoặc I = R r a − x a+ xdx 7

1.2.2.2.0.4 Dạng 4 Tích phân I = R p(x − a)(b − x)dx 7

1.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần 8

1.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 8

1.3.1 Tính chất của tích phân xác định 8

1.3.2 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp 8

1.3.3 Phương pháp 2: Đổi biến số 8

1.3.3.1 Đổi biến số dạng 1: 9

1.3.3.2 Đổi biến số dạng 2: 9

1.3.4 Phương pháp 3: Tích phân từng phần 9

1.4 Các dạng tích phân thường gặp 9

1.4.1 Tích phân của hàm phân thức Pn(x) Qm(x) 9

1.4.2 Tích phân của hàm số lượng giác 10

1.4.2.1 Dạng 1: R sin nx cos mxdx, R sin nx sin mxdx, R cos nx cos mxdx 11 1.4.2.2 Dạng 2: R sinnx.cosmxdx 11

1.4.2.3 Dạng 3: R R(sin x, cos x)dx 11

1.4.2.4 Dạng 4: R dx asin x + b cos x + c, a2+ b2 >0 11

1.4.2.5 Dạng 5: R a1sin x + b1cos x + c1

asin cx + b cos x + c dx 12

1.4.3 Tích phân của hàm chứa căn thức 12

1.4.3.1 Dạng 1: I = R R  x,r ax + bn cx+ d  dx 12

1.4.3.2 Dạng 2: I = R R x,r ax + b cx+ d m n , ,r ax + b cx+ d r s ! dx 12

1.4.3.3 Dạng 3: I = R R[x,√a2− x2]dx 12

1.4.3.4 Dạng 4: I = R R[x,√a2+ x2]dx 12

1.4.3.5 Dạng 5: I = R R[x,√x2− a2]dx 13

1.4.3.6 Dạng 6: I = R R(x,√ax2+ bx + c)dx 13

1.4.3.7 Dạng 7: I = R √ dx ax2+ bx + c 13

1.4.3.8 Dạng 8: I = R Pn(x)dx √ ax2+ bx + c, (n ≥ 1) 14

2 Tích phân xác định 15 2.1 Tích phân 15

2.1.1 Định nghĩa 15

2.1.2 Tính chất 15

2.2 Các phương pháp tính tích phân 15

2.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp 15

2.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số 16

2.2.2.1 Đổi biến số dạng 1: 16

2.2.2.2 Đổi biến số dạng 2: 17

2.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần 17

2.3 Các dạng tích phân thường gặp 17

2.3.1 Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ Pn(x) Qm(x) 17

2.3.1.1 Dạng 1: I = R dx ax+ b = 1 aln |ax + b| + C 18

2.3.1.2 Dạng 2: I = R A (ax + b)kdxvới k 6= 1 18

2.3.1.3 Dạng 3: I = R dx ax2+ bx + c 18

2.3.1.4 Dạng 4: I = R Ax+ B ax2+ bx + cdx 18

2.3.1.5 Dạng 5: Tích phân tổng quát I = R Pn(x) Qm(x) 19

2.3.2 Tích phân của hàm số lượng giác 20

2.3.2.1 Dạng 1: I= R sin nx cos mxdx, R sin nx sin mxdx, R cos nx cos mxdx 20 2.3.2.2 Dạng 2: I = R sinnx.cosmxdx 20

2.3.2.3 Dạng 3: I = R sinnx.cosmx)dx 21

2.3.2.4 Dạng 4: I = R dx asin x + b cos x + c 21

2.3.2.5 Dạng 5: I=R a1sin x + b1cos x + c1 asin cx + b cos x + c dx 21

2.3.2.6 Dạng 6: I1 =R dx sin(x + a) sin(x + b) 22

2.3.2.8 Dạng 8: I1 =R tan x tan(x + α)dx 22

2.3.2.9 Dạng 9: I = R a1sin2x+ b1sin x cos x + c1cos2x a2sin x + b2cos x dx 22

2.3.3 Tích phân của hàm chứa căn thức 22

2.3.3.1 Dạng 1: I = R R  x,r ax + bn cx+ d  dx 22

2.3.3.2 Dạng 2: I = R R[x,√a2− x2]dx 23

2.3.3.3 Dạng 3: I = R R[x,√a2+ x2]dx 23

2.3.3.4 Dạng 4: I = R R[x,√x2− a2]dx 23

2.3.3.5 Dạng 5: I = R R(x,√ax2+ bx + c)dx 23

2.3.3.6 Dạng 6: I = R √ dx ax2+ bx + c 23

2.3.3.7 Dạng 7: I = R Pn(x)dx √ ax2+ bx + c, (n ≥ 1) 24

2.3.4 Tích phân của hàm số đặc biệt 24

2.3.4.1 Dạng 1: I = Ra −a f(x)dx αx+ 1 24

2.3.4.2 Dạng 2: I = Ra −af(x)dx 25

2.3.4.3 Dạng 3: I = Rb −af(a + b − x)dx =Rb af(x)dx 25

2.3.4.4 Dạng 4: R π2 0 f(sin x)dx =Rπ 2 0 f(cos x)dx 25

2.3.4.5 Dạng 5: I = R2a 0 f(x)dx =Ra 0 f(x) + f (2a − x)
dx 26

2.3.4.6 Dạng 6: I = Rb axf(x)dx = a+ b 2 Rb af(x)dx 26

2.3.5 Tích phân truy hồi 26

2.3.6 Tích phân liên kết 26

3 Ứng dụng của tích phân 27 3.1 Một số ứng dung hình học 27

3.1.1 Tính diện tích hình phẳng 27

3.1.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và Ox, x = a, x = b 27

3.1.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C1) và (C2) 27

3.1.2 Tính thể tích của vật thể 27

3.1.2.1 Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng quay quanh trọc Ox 27

3.1.2.2 Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng quay quanh trọc Oy 28

3.2 Một số ứng dụng đại số 28

Lời nói đầu

Phép tính tích phân không chỉ là một phần quan trọng trong giải tích toán học mà còn đượcứng dụng nhiều trong vật lí, thiên văn học, cơ học, Chính vì tầm quan trọng này mà nó thườngđươc đề cập đến trong hầu hết các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, các kì thi tuyển vào cáctrường cao đẳng và đại học Tuy nhiên, các học sinh thường gặp không ít khó khăn trong việc học

và ứng dụng tích phân Nhằm giúp các em học sinh nắm vững các phương pháp tính tích phân,trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày một số phương pháp tính tích phân cơ bản cho các dạnghàm số thường gặp

Chuyên đề này gồm 3 chương:

Chương 1: Nguyên hàm

Chương 2: Tích phân

Chương 3: Các ứng dụng của tích phân

Trong mỗi chương, tác giả trình bày 2 phần:

Tác giả đã rất có gắng trong quá trình biên soạn, song chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót

vì sự hiểu biết có hạn và còn ít kinh nghiệm Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ phía cácđồng nghiệp cũng như từ các bậc phụ huynh và các em học sinh

Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ:

Email: caohongson@hotmail.comPhone: 0975472725

Quy Nhơn, 28 tháng 02 năm 2010

Cao Hồng Sơn

F0(b−) = f (b).

Định lí 1.1 Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì:

1) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) đều có thể viết dạng F (x)+C,với C là hằng số

Định lí 1.2 (Định lí về sự tồn tại của nguyên hàm ) Mọi hàm số f(x) liên tục trên đọan [a; b]đều có nguyên hàm trên khoảng đó

Người ta kí hiệu họ các nguyên hàm của hàm số f(x) là R f(x)dx đọc là tích phân bất địnhcủa f(x) hay họ nguyên hàm của f(x)

Định nghĩa 1.2 Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) gọi là tích phânbất định của hàm f(x) trên khoảng đó Kí hiệu tích phân bất định của hàm f(x) là R f(x)dx1.1.2 Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1.1 R f(x)dx
0 = f (x)

Tính chất 1.2 R af(x)dx = a R f(x)dx

Tính chất 1.3 R [f(x) + g(x)]dx=R f(x)dx + R g(x)dx

1.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp

Bằng việc sử dụng một số phép biến đổi sơ cấp, ta có thể đưa tích phân cần tính về tích phân

1.2.2.1 Đổi biến số dạng 1:

Đặt u = ϕ(x) ⇒ du = ϕ0(x)dx

Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ0(t)dt Khi đó I =R f(x)dx = R f[ϕ(t)]ϕ0(t)dt

1.2.2.2.0.1 Dạng 1 Tích phân R√1 − x2dx hoặc R √ dx

1 − x2 Đặt x = sin t, t ∈  − π2;π

Ví dụ 1.3 Tich tích phân bất định sau;

Công thức tích phân từng phần R u.dv = u.v − R v.du

Chú ý 1.2 1) Phải chọn dv sao cho có thể tính v dễ dàng

2) Nếu f(x) có dạng f(x) =

(P(x) sin(ax + b)P(x) cos(ax + b) thì đặt u = P (x)3) Nếu f(x) có dạng f(x) =

f(x)dx = F (x)|ba= F (b) − F (a)Tính chất 1.5 Rb

akf(x)dx = kRb

af(x)dxTính chất 1.6 Ra

b [f (x) ± g(x)]dx=Rb

af(x)dx ±Rb

ag(x)dxTính chất 1.7 Rb

af(x)dx =Rc

af(x)dx +Rb

c f(x)dx1.3.2 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp

1.3.3 Phương pháp 2: Đổi biến số

Giả sử ta cần tính tích phân Rb

a f(x)dx, trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

1.3.3.1 Đổi biến số dạng 1:

Bước 1: Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β], f(u(t))xác định trên đoạn [α; β] và u(α) = a, u(β) = b

Bước 2: Biến đổi f(x)dx = f[u(t)]u0(t)dt = g(t)dt

Bước 3: Tìm nguyên hàm G(t) của g(t)

Bước 4: Tính Rβ

α g(t)dt = G(t) βα

1.3.3.2 Đổi biến số dạng 2:

Bước 1: Đặt t = v(x) sao cho v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục

Bước 2: Biểu thị f(x)dx theo t, giả sử f(x)dx = g(t)dt

Bước 3: Tìm nguyên hàm G(t) của g(t)

2) Nếu f(x) có dạng f(x) =

(P(x) sin(ax + b)P(x) cos(ax + b) thì đặt u = P (x)3) Nếu f(x) có dạng f(x) =

k.lnn(ax + b) thì đặt u = lnn(ax + b)

1.4 Các dạng tích phân thường gặp

1.4.1 Tích phân của hàm phân thức Pn(x)

Qm(x)Trong đó Pn(x) và Qm(x) là các đa thức theo x có bậc lần lượt là n và m ta xét các dạng sau:Dạng 1: I = R dx

ax+ b =

1

aln |ax + b| + CDạng 2: I = R dx

ax2+ bx + cXét ∆ = b2− 4ac, ta có 3 khả năng xảy ra:

√

∆a

x− x1

x− x2

+CKhả năng 2:∆ = 0, ta có

I = 1a

Z dx

x+ b2a

2 = −1

a.

1

x+ b2a+ C

Khả năng 3:∆ < 0, ta có ax2+ bx + c = a(x + b

2a)

2+ α2

với 4ac − b24a2 = α2 >0Đặt t = x + b

ax2+ bx + cdxDạng 4: Tích phân tổng quát I = R Pn(x)

Qm(x)

Ta xét hai trường hợp sau:

 Trường hợp 1: Nếu n < m, ta phân tích các đa thức Pn(x), Qm(x) thành các nhân tử là cáctam thức bậc hai, hay các nhị thức bậc nhất

+ + Ejqx+ Fj q

 Trường hợp 2: Nếu n ≥ m, ta chia đa thức, ta được

Pn(x)

Qm(x) = H(x) +

Gk(x)

Qm(x)trong đó H(x), Gk(x) là các đa thức theo x và k < m

1.4.2 Tích phân của hàm số lượng giác

Trong mục này, chúng tôi trình bày 5 dạng cơ bản

1.4.2.1 Dạng 1: R sin nx cos mxdx, R sin nx sin mxdx, R cos nx cos mxdxPhương pháp: Ta biến đổi tích thành tổng

Phương pháp: Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu n lẻ Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx

Trường hợp 2: Nếu m lẻ Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx

Trường hợp 3: Nếu cả hai số n và m đều chẵn Ta sử dụng công thức hạ bậc

sin2x= 1 − 2 cos 2x

2

cos2x= 1 + 2 cos 2x

2sin x cos x = 1

2sin 2x1.4.2.3 Dạng 3: R R(sin x, cos x)dx

Phương pháp: Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu hàm số R lẻ theo sin x, R(sin x, cos x) = −R(− sin x, cos x)Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx

Trường hợp 2: Nếu hàm số R lẻ theo cos x, R(sin x, cos x) = −R(sin x, − cos x)Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx

Trường hợp 3: Nếu hàm số R không lẻ theo cả sin x và cos x

2 ⇒ dx = 1 + t2dt2, đưa về tích phân hàm số hữu tỉ

1.4.2.5 Dạng 5: R a1sin x + b1cos x + c1

asin cx + b cos x + c dxPhương pháp: Ta xác định các số A, B, C sao cho

a1sin x + b1cos x + c1= A(a sin cx + b cos x + c) + B(a sin cx + b cos x + c)0+ C

asin cx + b cos x + c ta trở lại Dạng 4

1.4.3 Tích phân của hàm chứa căn thức

Hầu hết phép tính tích phân của các hàm số chứa căn thức là bài toán phức tạp Trong mụcnày, chúng tôi trình bày 8 dạng tích phân của hàm số chứa dấu tích phân cơ bản

Bước 1: Đặt t = r ax + bn

cx+ d ⇒ x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ0(t)dtBước 2: Tính I = R R[ϕ(t), t]dt

1.4.3.2 Dạng 2: I = R R x,r ax + b

cx+ d

m n

, ,r ax + b

cx+ d

r s

!dx

1.4.3.4 Dạng 4: I = R R[x,√a2+ x2]dx

Bước 1: Đặt x = a tan t, (0 < t < π

2) ⇒ dx = −a(1 + tan2t)dtBước 2: Tính I = R R[a tan t, −a2tan t(1 + tan2t)]dt

cos t,

a2.sin2tcos3t ]dx1.4.3.6 Dạng 6: I = R R(x,√ax2+ bx + c)dx

Ta có√ax2+ bx + c =

ra(x2+ b

ax+ c

a) =

ra[(x + b

2a)

2−b

2− 4ac4a2 ]

ax+ c

a) =

ra[(x + b

2a)

2−b2−4ac 4a 2 ]

∗ Nếu a > 0, tích phân có dạng I = √1aR du

√

u2+ m (i)Giải tích phân (i) bằng cách đặt t = u +√u2+ m ⇒ dtt = √ du

u2+ mKhi đó (1) có dạng I = √1

2−b

2− 4ac4a2 ]

1.4.3.8 Dạng 8: I = R Pn(x)dx

√

ax2+ bx + c, (n ≥ 1)Với tích phân dạng này, ta xét hai trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Nếu n = 1 Khi đó tích phân có dạng I = R √ a1x+ b1

ax2+ bx + cdx

Ta tìm các số A, B sao cho

a1x+ b1= A(ax2+ bx + c)0+ BBằng phương pháp đồng nhất, ta xác định được A = a1

2a, B = 2ab1− bb1

2aKhi đó tích phân có dạng

I =AZd((ax2+ bx + c)0)

vi phân hai vế của (∗), sau đó đồng nhất các hệ số

2.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp

Với các tích phân dạng này, ta biến đổi về các hàm số sơ cấp mà ta đã có nguyên hàm trongbảng nguyên hàm

a Ta có

I =

Z 1 0

(2x2+ 3x)dx = 2

Z 1 0

x2dx+ 3

Z 1 0

1 0

+3x

2

2

2 1

+ 5x

2 1

+ ln |x|

2 1

= (4 − 1) + 5(2 − 1) + (ln 1 − ln 2) = 8 − ln 2

3 1

= 3√3x

3 1

x3 1 +√1x
dx =

Z 2 1



x3+ x3 1

x21

dx

=

Z 2 1

2 1

+2

7x

7 2

... Dạng

1.4.3 Tích phân hàm chứa thức

Hầu hết phép tính tích phân hàm số chứa thức tốn phức tạp Trong mụcnày, chúng tơi trình bày dạng tích phân hàm số chứa dấu tích phân

Bước... data-page="16">

2.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi hàm sơ cấp

Với tích phân dạng này, ta biến đổi hàm số sơ cấp mà ta có nguyên hàm trongbảng nguyên hàm

a Ta có

I =

Z 1...

k.lnn(ax + b) đặt u = lnn(ax + b)

1.4 Các dạng tích phân thường gặp

1.4.1 Tích phân hàm phân thức Pn(x)

Qm(x)Trong