Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI 4 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I> Mục tiêu:Qua bài học này học sinh cần đạt được tối thiểu sau đây: 1-về kiến thức : + giúp học sinh hiểu và nhớ công thức 1 và 2 trong sgk là [r]
(1)Giáo án Giải tích 12 NC trang - - Chương 3: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM I Mục tiêu:Qua bài học này học sinh cần đạt tối thiểu sau đây: 1/ Kiến thức : khái niệm nguyên hàm, các tính chất nguyên hàm, tồn nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp, 2/ Kỹ năng: biết cách tính nguyên hàm số hàm số đơn giản Về tư và thái độ: -Biết đưa KT-KN KT-KN quen thuộc - Biết Nhận xét và đánh giá bạn tự đánh giá kết học tập mình - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức Có tinh thần hợp tác học tập II : Chuẩn bị GV : Bảng phụ , Phiếu học tập HS : Kiến thức đạo hàm II Phương phaùp: - Thuyết giảng , kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp III Nội dung vaø tiến trình leân lớp: 1/ Ổn định lớp: 2/ Kieåm tra baøi cuõ : (10 phút) Câu hỏi : Hoàn thành bảng sau : (GV treo bảng phụ lên yêu cầu HS hoàn thành , GV nhắc nhở và chỉnh sửa ) f(x) f/(x) C x lnx ekx ax (a > 0, a 1) cos kx sin kx tanx cotx Câu hỏi : Nêu ý nghĩa học đạo hàm 3/ Nội dung bài mới: Hoạt động GV TG Hoạt động HS Noäi dung ghi baûng Khái niệm nguyên ham HĐI : Giới thiệu k/n nguyên / 10 * HS đọc sgk haøm Bài toán mở đầu (sgk) Bài toán mở đầu (sgk) Hỏi : 1) Nếu gọi s(t) là quãng Trò trả lời đường viên đạn bắn v(t) = s/(t) t giây , v(t) là vận tốc viên đạn thời điểm t thì quan hệ hai đại lượng đó nào ? 2) Theo bài toán ta cần phải Tính s(t) biết s/(t) tìm gì? Dẫn dắt đến khái niệm nguyên hàm * Cho haøm soá y = f(x) thì baèng Lop12.net (2) Giáo án Giải tích 12 NC trang - - các quy tắc ta luôn tìm đạo hàm hàm số đó Vấn đề đặt là :” Nếu biết f’(x) thì ta có thể tìm lại f(x) hay khoâng ? * Giới thiệu định nghĩa.Ghi lên bảng * Cho HS đọc chú ý (sgk Tr 136) / 10 Cho ví duï : Tìm nguyeân haøm cuûa : a/ f(x) = x2 b/ g(x) = với x ; cos x 2 c) h(x) = x trên 0; *Gọi HS đứng chỗ trả lời ,GV chỉnh sửa và ghi lên bảng a/ Đënh nghéa : * Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm f(x) trên K nếu: x K ta coï: F’(x) = f(x) Chú ý : Hàm F(x) gọi là nguyãn haìm cuía f(x) trãn [a,b] F '(x) f (x), x (a, b) Trò trả lời vaìF/(a) = f(a) ; vaìF/(b) = f(b) x3 b/G(x) = tanx c)H(x) = x x x3 a F(x) = laì mäüt nguyãn haìm cuía f(x) = x2 trãn R b G(x) = tgx laì mäüt nguyãn a/ F(x) = Vê duû: haìm cuía g(x) = trãn cos x khoảng ; 2 c) H(x) = x x laì mäüt nguyãn haìm cuía h(x) = x trên 0; 5/ 10/ Củng cố : Cho HS thực HĐ 2: (SGK) Gọi HS đứng chỗ trả lời * GV nhận xét và chỉnh sủa Hỏi : Neáu bieát F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) thì ta coøn bao nhiêu nguyên haøm cuûa f(x) Từ đó ta có định lý HĐ 3: Định lý * Ghi định lý lên bảng Hỏi : Em hãy dựa vào tính chất F’(x) = f (x) hoạt động trên để chứng minh phần a định lý vừa nêu Thực HĐ1 F1(x) = - 2cos2x là nguyên hàm hàm số f(x) = 4sin2x F2(x) = - 2cos2x + là nguyên hàm hàm số f(x) = 4sin2x HS trả lời Vô số, đó là : F(x) +C, C là số Đứng chỗ trả lời Lop12.net b/ Âënh lyï:1 Nếu F(x) là nguyên hàm (3) Giáo án Giải tích 12 NC trang - - Hỏi : Nếu f/(x) = , có nhận xét gì hàm số f(x) f(x) là hàm / Xét G ( x) F ( x) = G/(x) – F/(x) = f(x) – f(x) = , G(x) – F(x) =C (C là số ) Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 137, để Hs hiểu HS lên bảng trình bày rõ nội dung định lý vừa nêu Cho HS làm ví dụ ( Trang 138, sgk) * GV nhận xét và chỉnh sửa GV ghi bảng phần nhận xét (sgk) Vê duû:Tìm nguyên hàm hàm số f (x) 3x trên R thoả mãn điều kiện F(1) = - F(x) = 3x dx x C F(1) = - nên C = - Vậy F(x) = x2 – Tóm lại, ta có: Nếu F là nguyên hàm f trên K thì nguyên hàm f trên K có dạng F(x) + C , C R Vây F(x) + C là họ tất các nguyên hàm f trên K , kí hiệu * Giới thiệu cho HS : Sự tồn nguyên hàm: Ta thừa nhận định lý sau: (Gv ghi bảng ) T2 10/ Hoạt động : Hãy hoàn thành bảng sau: (Phiếu học tập 1) * Hoạtđộng nhóm * Gọi đại diện nhóm lên bảng trình bày , gọi đại diện nhóm khác nhận xét , GV chỉnh sửa Từ đó có bảng nguyên hàm * Giới tiệu bảng các nguyên haìm cå baín.(treo bảng phụ lên) Cho vê duû aïp duûng Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm số sau : (GV ghi lín bảng) Gọi HS lên bảng trình bày , GV nhận xét và chỉnh sửa Hoạt động : Tính chất nguyên hàm * Ghi tính chất nguyên hàm lên bảng cuía f(x) trãn K thç: a) Với hàng số C, F(x) + C cuîng laì nguyãn haìm cuía f(x) trãn K b)Ngược lại với moüi nguyãn haìm G(x) cuía f(x) trãn K thì tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K Chứng minh: (sgk) f(x)dx f ( x)dx F ( x) C Với f(x)dx là vi phân nguyên hàm F(x) f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx Thảo luận nhóm để hoàn thành bảng nguyên hàm đã cho và làm các ví dụ sau “Mọi hàm số liên tục trên K có nguyên hàm trên K” 2) Bảng các nguyên hàm số hàm số thường gặp * Treo bảng các nguyên hàm (trang 139) Ví dụ : Tçm nguyãn haìm cuía các hàm số sau 1) 4x4dx = x5 + C 2) x dx = x +C Lop12.net (4) Giáo án Giải tích 12 NC 10/ Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 140, để Hs hiểu rõ nội dung tính chất vừa nêu Củng cố : Cho vê duû aïp duûng Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm số sau : (GV ghi lân bảng) * Gọi HS lên bảng trình bay , GV hướng dẫn , chỉnh sửa trang - 3) cosx/2 dx =2sin x +C Các tính chất nguyên haìm Nếu f và g là hai hàm số liên tục trên K thì : a) HS trình bày [f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx b) Với số thực k ta có kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0) Ví dụ : ( 1) Tìm : 1 1 x dx x dx = 2 x 4 x +C * Hướng dẫn HS làm bài 10/ x )dx = x x 2 x dx x Hỏi : Để tìm nguyên hàm x 2 x hàm số f (x) ta laìm x nào ?(x > 0) 2) (x – 1) (x4 + 3x ) dx= 4 ( x 3x x 3x)dx x6 x5 x2 x3 C Chi a tử cho mãu x x 2 x dx x = 4sin2xdx = 2(1 cos x)dx 3) = 2x – sin2x + C x 2x dx x 12 HĐ ) : Củng cố bài học Phát phiếu học tập Treo bảng phụ ghi nội dung phiếu học tập Đại diện nhóm lên bảng trình bày , Gv nhận xét , chỉnh sửa = (x x )dx = x 4x + C = 33 x x + C Thảo luận nhóm * 3 x 2 x dx = x x 2x dx = ( x x )dx x = x 4x + C= 33 x x + C Củng cố : + Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc bài để Hs khắc sâu kiến thức V Hướng dẫn học bài nhà và bài tập nhà + Hoàn thành các bài tập SGK, trang 141 + Xem trước bài : Một số phương pháp tìm nguyên hàm CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM I/ Mục tiêu Lop12.net (5) Giáo án Giải tích 12 NC trang - - 1.Về kiến thức: - Hiểu phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm phần Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng phương pháp tìm nguyên hàm số hàm số không quá phức tạp Về tư thái độ: - Phát triển tư linh hoạt -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác II/Chuẩn bị giáo viên và học sinh Giáo viên: Lập các phiếu học tập, bảng phụ Học sinh: Các kiến thức nguyên hàm III Phương pháp: Gợi mở vấn đáp IV/ Tiến trình bài học TIẾT 1/ Ổn định lớp: 2/ Kiểm tra bài cũ: (5 phút) Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm (2 x 1) b/ Chứng minh hàm số F(x) = là nguyên hàm hàm số f(x) = 4x(2x2 +1)4 Cho học sinh khác nhận xét bài làm bạn 3/ Bài mới: Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số Tg Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ghi bảng - Thông qua câu hỏi b/ , hướng dẫn hsinh đến phương pháp đổi biến số 5’ x(2 x 1) dx = - Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì x(2 x 1) dx = (2 x 5’ 1) (2 x 1)' dx = u du = = (2 x 1) (2 x 1)' dx -Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu thức trên trở thành nào, kết sao? u5 +C= (2 x 1) +C -Định lí : (sgk) - Phát biểu định lí Hoạt động :Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm PPĐBS Tg Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên - HS suy nghĩ cách biến đổi dạng f [u ( x)]u ' ( x)dx - Đ1: 7’ (x 2x x2 1 dx = H1:Có thể biến đổi dạng 2x Ghi bảng dx x2 1 f [u ( x)]u ' ( x)dx không? Từ đó suy kquả? 1) ( x 1)' dx 2x x2 1 dx Bg: 2x x2 1 (x Vd1: Tìm dx = 1) ( x 1)' dx Đặt u = x2+1 , đó : Lop12.net (6) Giáo án Giải tích 12 NC trang - - Đặt u = x2+1 , đó : (x 1) ( x 1)' dx = u du 3 u + C = (x2+1) + C 2 2 ( x 1) ( x 1)' dx = = - Nhận xét và kết luận u du = 3 u + C = (x2+1) + 2 C 7’ - HS suy nghĩ cách biến đổi dạng f [u ( x)]u ' ( x)dx Đ2: x sin( x 1)dx = sin( x 1)( x 1)' dx Đặt u = (x2+1) , đó : 2 sin( x 1)( x 1)' dx = sin udu H2:Hãy biến đổi x sin( x 1)dx dạng f [u ( x)]u ' ( x)dx ? Từ đó suy kquả? Vd2:Tìm x sin( x 1)dx - Nhận xét và kết luận Bg: x sin( x 1)dx = = -cos u + C = - cos(x2+1) +C sin( x 1)( x 1)' dx Đặt u = (x2+1) , đó : 2 sin( x 1)( x 1)' dx = 6’ -HS suy nghĩ cách biến đổi dạng f [u ( x)]u ' ( x)dx sin udu H3:Hãy biến đổi e cos x sin xdx = -cos u + C = - cos(x2+1) +C f [u ( x)]u ' ( x)dx ? Từ Đ3: e cos x sin xdx = dạng = - e cos x (cos x)' dx đó suy kquả? Đặt u = cos x , đó : cos x cos x e sin xdx = - e (cos x)' dx - Nhận xét và kết luận = - e u du = -eu +C = - ecosx +C Vd3:Tìm e cos x sin xdx Bg: cos x e sin xdx = - e cos x (cos x)' dx Đặt u = cos x , đó : cos x e sin xdx = - e cos x (cos x)' dx = - e u du = -eu + c = - ecosx +c * chú ý: có thể trình bày cách khác: Lop12.net (7) Giáo án Giải tích 12 NC trang - - e e cos x sin xdx = - cos x d (cosx) = - ecosx + C Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) Hoạt động nhóm Tg Hoạt động học sinh - Các nhóm tập trung giải 10’ - Theo dõi phần trình bày nhóm bạn và rút nhận xét và bổ sung Hoạt động giáo viên Ghi bảng - Cho HS hđ nhóm thực phiếu HT1 - Gọi đại diện nhóm trình bày - Đại diện nhóm khác cho nhận xét - GV nhận xét và kết luận * Chú ý: Đổi biến số nào đó để đưa bài toán có dạng bảng nguyên hàm Bài tập nhà: 6, trang 145 Phụ lục: TIẾT Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm phần Tg 5’ Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Đ: (u.v)’= u’.v + u.v’ (uv)' dx = u 'vdx + uv' dx H: Hãy nhắc lại công thức đạo hàm tích ? Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy udv = ? udv = (uv)'dx + vdu Ghi bảng udv = uv - vdu - GV phát biểu định lí - Lưu ý cho HS: đặt u, dv cho vdu tính dễ udv Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx Khi đó du = dx, v = -cosx Ta có : x sinxdx =- x.cosx + cosxdx - H: Từ đlí hãy cho biết đặt u và dv nào? Từ đó dẫn đến kq? - yêu cầu HS khác giải cách đặt u = sinx, dv = xdx thử kq nào = - xcosx + sinx + C 8’ -Định lí 3: (sgk) udv = uv - vdu -Vd1: Tìm x sinxdx Bg: Đặt u = x,dv = sinxdx Khi đó du =dx,v =-cosx Ta có : x sinxdx =- x.cosx + cosxdx = - xcosx + sinx +C Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm pp lấy nguyên hàm phần Lop12.net (8) Giáo án Giải tích 12 NC Tg 5’ trang - - Hoạt động học sinh - Học sinh suy nghĩ và tìm hướng giải vấn đề Đ :Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex Suy : x Hoạt động giáo viên H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv nào ? Suy kết ? Ghi bảng - Vd2 :Tìm x 5’ Khi đó: x x x e dx =x2.ex- x e dx - Đ: Đặt u = lnx, dv= dx du = dx, v = x x Khi đó : ln xdx = xlnx - dx H : Hãy cho biết đặt u, dv nào ? Suy kquả ? - Lưu ý :Có thể dùng phần nhiều lần để tìm nguyên hàm - Đăt u = lnx, dv = x2dx x3 du = dx , v = x Đ :Không Trước hết : 7’ Đặt t = x dt = dx x Suy sin x dx =2 t sin tdt Vd3 : Tìm I= x e x dx Bg :Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: x x x e dx =x2.ex- x e dx = x2.ex-x.ex- ex+C - H : Cho biết đặt u và dv nào ? Vd4 :Tìm ln xdx Bg : Đặt u = lnx, dv= dx du = dx, v = x x Khi đó : ln xdx = xlnx - dx = xlnx – x + C 2’ x = x.ex – ex + C = x2.ex-x.ex- ex+C 5’ dx dx = x ex - e dx = x.ex – ex + C Đ: Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex x Bg : Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex Suy : xe x xe dx = x ex - e dx xe = xlnx – x + C - Thông qua vd3, GV yêu cầu HS cho biết x ln xdx thì ta đặt u, dv nào H : Có thể sử dụng pp phần không ? ta phải làm nào ? + Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước, đặt t= x Vd5: Tìm sin x dx Đặt t = x dt = x dx Suy sin x dx =2 Đặt u = t, dv = sint dt du = dt, v = - cost t sin tdt =-t.cost+ cos tdt t sin tdt Đặt u = t, dv = sint dt du = dt, v = - cost = -t.cost + sint + C Lop12.net (9) Giáo án Giải tích 12 NC Suy ra: sin x dx = = -2 x cos x +2sin x +C trang - * Lưu ý cho HS các dạng thường sử dụng pp phần f ( x) sin xdx , f ( x) cos xdx f ( x )e x dx đặt u = f(x), dv cònlại f ( x) ln xdx , đặt u = lnx,dv =f(x) dx * Hoạt động : Củng cố (Giáo viên dùng bảng phụ, lớp cùng chú ý phát hiện) Tg Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên 8’ - Cả lớp tập trung giải - Theo dõi phần trình bày bạn và rút nhận xét và bổ sung t sin tdt =-t.cost+ cos tdt C Suy ra: sin x dx = = -2 x cos x +2sin x +C Ghi bảng - Treo bảng phụ và yêu cầu lớp chú ý giải - Gọi HS trình bày ý kiến mình - GV nhận xét và kết luận V Bài tập nhà:7, 8, trang 145 và 146 LUYỆN TẬP CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM I/ Mục tiêu : Qua bài học này học sinh cần đạt tối thiểu sau đây: 1.Về kiến thức: - Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng phương pháp tìm nguyên hàm số hàm số Về tư thái độ: - Phát triển tư linh hoạt -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác II/ Chuẩn bị giáo viên và học sinh Giáo viên :- Bài tập sgk Lập các phiếu học tập Học sinh: Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, phần III Phương pháp: IV.Tiến trình bài học 1/ Ổn định lớp: 2/ Kiểm tra bài cũ: (10 phút) Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm? 1 Áp dụng: Tìm cos dx x x Câu hỏi 2:Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm phần để tìm nguyên hàm Áp dụng: Tìm (x+1)e x dx Lop12.net = -t.cost + sint + (10) Giáo án Giải tích 12 NC trang - 10 - Yêu cầu HS khác nhận xét, bổ sung Gv kết luận và cho điểm 3/ bài mới: Thời gian Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ghi bảng Thông qua nội dung kiểm tra bài cũ Giáo viên nhấn mạnh thêm khác việc vận dụng hai phương pháp 5’ - Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = sin2x - Hs2: Đặt u = sin2x du = 2cos2xdx Khi đó: sin 2x cos2xdx = = u du = u +C 12 sin62x + C 12 - Gọi môt học sinh cho biết Bài 1.Tìm cách giải, sau đó học sinh x x sin cos dx khác trình bày cách giải Bg: x Đặtu=sin x du= cos dx 3 x x Khi đó: sin cos dx = 3 u du 3 x 1 = u6 + C= sin6 + C 18 18 Hoặc x x cos dx 3 x x = sin d(sin ) 3 x = sin + C 18 -Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = 7-3x2 - Hs2:đặt u=7+3x2 du=6xdx Khi đó : 5’ 3x x dx = 1 2 = u du = u +C 2 = (7+3x2) x +C sin Bài 2.Tìm -Gọi môt học sinh cho biết cách giải, sau đó học sinh x x dx Bg: khác trình bày cách giải Đặt u=7+3x2 du=6xdx Khi đó : 3x = Lop12.net x dx = u du = 2 u +C (11) Giáo án Giải tích 12 NC trang - 11 - Đ: Dùng pp lấy nguyên hàm phần Đặt u = lnx, dv = x dx 6’ du = dx , v = x x Khi đó: x lnxdx = = (7+3x2) x +C H:Có thể dùng pp đổi biến số không? Hãy đề xuất cách Bài Tìm giải? x lnxdx Bg: Đặt u = lnx, dv = du = dx , v = x x Khi đó: x lnxdx = 2 x - x dx 3 x 3 2 2 = x2x + C= 3 3 = - x +C = 9’ Đ:Dùng pp đổi biến số, sau đó dùng pp phần Đặt t = x t =3x-9 2tdt=3dx Khi đó: e x 9 dx = te t dt Đặt u = t, dv = etdt du = dt, v = et Khi đó: te t dt=tet - e t dt = t et- et + c Suy ra: e x 9 dx= t t te - e + c 3 x dx 3 2 x - x dx 3 x 3 2 2 = x2x + C= 3 3 = - x +C = H:Hãy cho biết dùng pp nào để tìm nguyên hàm? - Nếu HS không trả lời Bài Tìm e x 9 dx thì GV gợi ý Đổi biến số trước, sau đó Bg:Đặt t = x t =3xphần 2tdt=3dx Khi đó: e x 9 dx = te t dt Đặt u = t, dv = etdt du = dt, v = et Khi đó: te t dt=tet - e t dt = t et- et + c Suy ra: e x 9 dx= t t te - e + c 3 Hoạt động 7: Củng cố.(10’) Với bài toán f ( x)dx , hãy ghép ý cột trái với ý cột phải để mệnh đề đúng Hàm số 1/ f(x) = cos(3x+4) 2/ f(x) = cos (3 x 2) 3/ f(x) = xcos(x2) 4/ f(x) = x3ex Phương pháp a/ Đổi biến số b/ Từng phần c/ Đổi biến số Lop12.net (12) Giáo án Giải tích 12 NC 5/ f(x)= trang - 12 d/ Đổi biến số e/ Từng phần 1 sin cos x x x V Bài tập nhà: Tìm f ( x)dx các trường hợp trên §3 TÍCH PHÂN I Mục tiêu:Qua bài học này học sinh cần đạt tối thiểu sau đây: 1/ Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất tích phân, -Học sinh hiểu bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường vật - Phát biểu định nghĩa tích phân, định lí diện tích hình thang cong - Viết các biểu thứcbiểu diễncác tính chất tích phân 2/ Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện kĩ tính số tích phân đơn giản Vận dụng vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường vật 3/ Về tư và thái độ : -Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo quá trình tiếp cận tri thức - Tư duy: hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt quá trình suy nghĩ II Phương pháp : Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp III Chuẩn bị: + Chuẩn bị giáo viên :Phiếu học tập, + Chuẩn bị học sinh :Hoàn thành các nhiệm vụ nhà.Đọc qua nội dung bài nhà IV Tiến trình tiết dạy : 1.Ổn định lớp : 2.Kiểm tra bài cũ : 5’ Viết công thức tính nguyên hàm số hàm số hàm số thường gặp Tính : ( x 1)dx f ' x0 lim GV nhắc công thức : x x0 f x f x0 x x0 bài Tiết1: Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong T g Hoạt động giáo viên Hoạt động Hs I/Khái niệm hình thang cong y B H f(t)=t+1 -1 O A D G C x t Lop12.net Nội dung ghi bảng (13) Giáo án Giải tích 12 NC 10 ’ trang - 13 - ( Hình 1) -Dựng hình thang ABCD biết các đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = (trục hoành) -Tính diện tích S hình thang ABCD -Lấy t 2;6 Khi đó diện tích hình thang AHGDbằng bao nhiêu? -S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ nào ? -Tính S(6) , S(2) ? và S ABCD ? Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang cong và công thức tính d/t nó 73 20 t 1 t2 (t 2) t S(t) = 2 t 2;6 S’(t) = t+1= f(t) S(t) là nột nguyên hàm f(t) = t+1 S(6) = 20,S(2) = và S ABCD = S(6)-S(2) S= 1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân: a) Diện tích hình thang cong -Bài toán 1: (sgk) y y=f(x) y B y= f (x) S(x) A x O a b -Giáo viên đưa bài toán: Tính diện tích hình thang cong aABb Giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f(x) , f(x) 0, trục Ox và các 2o đương thẳng x = a , x = b (a<b) ’ -Cho học sinh đọc bài toán sgk -Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị (C) hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng qua a, x và song song Oy Hãy chứng minh S(x) là nguyên hàm f(x) trên [a; b] -Bài toán tích diện tích hình phẳng giới hạn đường cong có thể đưa bài toán tính diện tích số hình thang cong x o a x b Hình KH: S(x) (a x b ) y y=f(x) F E f(x) f(x ) -Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định thuộc (a ; b) *Xét điểm x (a ; b ] -Diện tích hình thang cong SMNEQ = S(x) – S(x0) Lop12.net Q xo a P x M N b Hình *Xét điểm x (a ; b ] SMNEQ là S(x) – S(x0) x (14) Giáo án Giải tích 12 NC trang - 14 - MNEQ? SMNPQ < SMNEQ < SMNEF -Dựa vào hình so sánh diện tích SMNPQ , SMNEQ và SMNEF lim f x f(x0) x x0 *f(x) liên tục trên [ a; b ] S ( x) S ( x0 ) lim f x ? lim f(x0) (2) x x0 x x0 x x0 S ( x) S ( x0 ) ? - Suy lim x x0 x x0 *Xét điểm x [a ; b ) S ( x) S ( x0 ) ? Tương tự lim x x0 x x0 Từ (2) và (3) suy gì? S(x) là nguyên hàm f(x) trên [ a; b ] ta biểu diễn S(x)? * SMNEQ = S(x) – S(x0) S =? 3’ S ( x) S ( x0 ) lim f(x0) (3) x x0 x x0 lim x x0 S ( x) S ( x0 ) f(x0) x x0 S(x) = F(x) +C (C: là số) S = S(b) – S(a) -Giáo viên củng cố kiến thức BT1 + Giả sử y = f(x) la hàm số liên tục và f(x) trên [ a; b ] Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị (C) hàm số y = f(x), trục Ox và đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a) đó F(x) là nguyên hàm bất kì hàm số f(x) trên [ a; b ] Lop12.net Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF f(x0)(x-x0)<S(x)S(x0)<f(x)(x-x0) S(x) - S(x ) <f(x) (1) f(x0)< x - x0 Vì lim f x f(x0) x x0 (1) lim x x0 S ( x) S ( x0 ) x x0 f(x0)(2) *Xét điểm x [a ; b ) S ( x) S ( x0 ) Tương tự: lim x x0 x x0 f(x0)(3) Từ (2) và (3)ta có: S ( x) S ( x0 ) lim f(x0) x x0 x x0 Hay S’ (x) = f(x0) Suy S’ (x) = f(x) (vì x (a ; b ) nên suy S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b) Vậy S(x) là nguyên hàm f(x) trên [ a; b ] S(x)= F(x) +C (C: là số) S = S(b) – S(a) = (F(b) +C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a) (15) Giáo án Giải tích 12 NC 7’ trang - 15 - -Giáo viên định hướng học sinh giải nhiệm vụ phiếu học tập số -Tìm họ nguyên hàm f(x)? -Chọn nguyên hàm F(x) f(x) họ các nguyên hàm đã tìm ? -Tính F(1) và F(2) Diện tích cần tìm ? -Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên: x5 C ( C là GIẢI: I = x dx = x5 số) C I = x dx = x5 Chọn F(x) = x5 Chọn F(x) = ( C là số) 32 F(1) = , F(2) = 32 5 F(1) = , F(2) = 5 31 (dvdt ) S = F(2) –F(1) = 31 (đvdt ) S = F(2) –F(1) = Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong Hoạt động giáo viên Tg 8’ 5’ -Giáo viên định hướng học sinh giải bài toán (sgk) +Gọi s(t) là quãng đường vật thời điểm t Quãng đường khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là bao nhiêu? + v(t) và s(t) có liên hệ nào? +Suy f(t) và s(t) có liên hệ nào? +Suy s(t) và F(t) có liên hệ nào? +Từ (1) và (2) hãy tính L theo F(a) và F(b)? -Giáo viên định hướng học sinh giải nhiệm vụ phiếu học tập Hoạt động Hs Nội dung ghi bảng -Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên Quãng đường khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) b, Quãng đường đượccủa1 vật Bài toán 2: (sgk) CM: Quãng đường khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t) v(t) = s’(t) s’(t) = f(t) s’(t) = f(t) s(t) là nguyên hàm f(t) suy tồn C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) s(t) là nguyên hàm f(t) suy tồn C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) -Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên GIẢI: I = (3t 2)dt t 2t C F(t) = t2 2t F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy L = F(50)–F(20)=3210(m) Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân Tg Hoạt động giáo viên Hoạt động Hs Lop12.net I = (3t 2)dt t 2t C F(t) = t2 2t F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy L = F(50)–F(20)=3210(m) Nội dung ghi bảng (16) Giáo án Giải tích 12 NC 7’ -Giáo viên nêu định nghĩa tích phân (sgk) -Giáo viên nhấn mạnh Trong trường hợp a < b, ta gọi b f ( x)dx là tích phân f trên trang - 16 Học sinh tiếp thu và ghi nhớ Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên a đoạn [a ; b ] Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi (H2) Gợi ý: -Gọi F(x) = g(x) +C là họ các nguyên hàm f(x) 5’ -Chọn nguyên hàm F1(x) = g(x)+C1 bất kì họ các nguyên hàm đó -Tính F1(a), F1(b)? -Tính b Giả sử: F(x) = f ( x)dx = a g(x)+C Chọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì F1(a) = g(a)+C1 F1(b) = g(b)+C1 b f ( x)dx = [g(b)+C1]-[g(a)+C1] a b = g(b) – g(a) Không phụ thuộc vào cách chọn C1 đpcm a Học sinh tiếp thu , ghi nhớ f ( x)dx ? -Nhận xét kết thu 2/Khái niệm tích phân Định nghĩa: (sgk) Giả sử F(x) là nguyên hàm b -Giáo viên lưu ý học sinh: Người b 15’ ta còn dùng kí hiệu F(x)| a để hiệu số F(b) -F(a) -Hãy dùng kí hiệu này để viết b f(x) thì: f ( x)dx = F(x)| b a a Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| b a để hiệu số F(b) -F(a).Như F là nguyên hàm b f trên k thì : f ( x)dx = F(x)| a Học sinh giải định hướng giáo viên: b a f ( x)dx a Giải: a) 2xdx -Tìm nguyên hàm 2x? -Thay các cận vào nguyên hàm trên a) 2xdx = x2| = 25 – = 24 a) 2xdx = x2| 15 = 25 – = 24 /2 b) sin xdx /2 -Tìm nguyên hàm sinx? -Thay các cận vào nguyên hàm trên /3 dx c) / cos x b) /2 sin xdx = - cosx | =- (0 1) =1 /2 b) sin xdx = - cosx | 1) =1 Lop12.net /2 =- (0 - (17) Giáo án Giải tích 12 NC trang - 17 - ? cos x -Thay các cận vào nguyên hàm trên /3 -Tìm nguyên hàm c) d) dx x /3 1 dx = ln|x|| 42 = ln4 – ln2 =ln x ? x -Thay các cận vào nguyên hàm trên -Tìm nguyên hàm 5’ dx = tanx| // 34 = / cos x +Với định nghĩa tích phân trên, kết thu bài toán phát biểu lại nào? -Giáo viên thể chế hóa tri thức, đưa nội dung định lý 1:Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b) Khi đó diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và đường thẳng x = a, x =b là: S = b f ( x)dx a -Giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời H3 -Theo kết bài toán quãng đường vật từ điểm a đến thời điểm b tính nào? dx = tanx| // 34 = / cos x 1 dx = ln|x|| 42 = ln4 – ln2 =ln x d) d) 4 = ln2 Học sinh thảo luận theo nhóm trả lời = ln2 ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b) Khi đó diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và đường thẳng x = a, x =b là: b S= Học sinh giải định hướng giáo viên: Theo kết bài toán Quãng đường vật từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm f(x) Theo định nghĩa tích phân b f ( x)dx = F(b) –F(a) a -Dựa vào định nghĩa tích phân hãy viết lại kết thu được? c) f ( x)dx a Theo kết bài toán Quãng đường vật từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm f(x) Theo định nghĩa tích phân b f ( x)dx = F(b) –F(a) a b L= f ( x)dx (đpcm) a b L= f ( x)dx (đpcm) a Tiết3: Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất tích phân; Tg Hoạt động giáo viên -Giáo viên phát biểu định lí 2(sgk) -Giáo viên định hướng học sinh chứng minh các tính chất trên: Giả sử F là nguyên hàm f, G là 15’ nguyên hàm g Hoạt động Hs Học sinh tiếp thu và ghi nhớ Học sinh thực định hướng giáo viên Nội dung ghi bảng Tính chất tích phân ĐỊNH LÍ2: (sgk) CM:(Giáo viên HD chứng minh tính chất 3,4,5) Lop12.net (18) Giáo án Giải tích 12 NC trang - 18 - a a f ( x)dx = -Nguyên hàm f(x) ? -Thay các cận vào nguyên hàmtrên? 1) a a b 2) a f ( x)dx = F(x)| aa = F(a) – F(a) = a f ( x)dx = - a a b f ( x)dx b 1) f ( x)dx = F(x)| aa =F(a) – F(a)= b f ( x)dx = F(x)| ba = F(b) – F(a) a 2) f ( x)dx = F(x)| ba = F(b) – F(a) a b f ( x)dx = ? a a a a f ( x)dx = F(x)| ba = F(a) – F(b) b f ( x)dx = ? b c f ( x)dx + f ( x)dx = 3) a b c f ( x)dx a b = F(a) – F(b) b b a a b b f ( x)dx = - f ( x)dx b b f ( x)dx = F(x)| a f ( x)dx = - f ( x)dx a c f ( x)dx + f ( x)dx =F(x)| a b b b a b c b +F(x)| =F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a) 3) f ( x)dx + a c f ( x)dx =F(x)| b a b c b +F(x)| =F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a) a b f ( x)dx = ? a c f ( x)dx = F(x)| c a b f ( x)dx = ? b a 4) F(x) là nguyên hàm f(x), G(x) là nguyên hàm g(x) nguyên hàm f(x) + g(x) =? = F(c) – F(a) b f ( x)dx = a F ( x) G ( x) = F (b) G (b) F (a) G (a) b a b b g ( x)dx = F(x)| a a b a +G(x)| = F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm) a b k f ( x)dx =? a f ( x)dx = b a f ( x) g ( x)dx a kf ( x)dx =? a b c f ( x)dx + f ( x)dx a f ( x)dx + = F(c) – F(a) c = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) b b f ( x)dx 4) c a a c b 5) F(x) là nguyên hàm f(x) nguyên hàm kf(x)? f ( x)dx = F(x)| c f ( x)dx + a c f ( x)dx = ? c c a b b 4) f ( x) g ( x)dx a F ( x) G ( x) ba = F (b) G (b) F (a) G (a) = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) b b f ( x)dx + a g ( x)dx = F(x)| b a a b a +G(x)| = F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm) b 5) kf ( x)dx = kF ( x) ba 5) kf ( x)dx = kF ( x) ba =kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)] =kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)] a b a b k f ( x)dx = kF(x) ba =k[F(b) – k f ( x)dx = kF(x) ba =k[F(b) – F(a)] F(a)] a Lop12.net a (19) Giáo án Giải tích 12 NC 25’ Giáo viên định hướng học sinh giải nhiệm vụ phiếu học tập số Biểu thức tính chất 4? Áp dụng tính chất này tính tích phân trên? trang - 19 b b a a kf ( x)dx = k f ( x)dx Học sinh thực định hướng giáo viên /2 (sin x cos x)dx I= = sin xdx cos xdx Xét dấu x – trên [1: 3]? Áp dụng tính chất tính tích phân trên? = - cos2x | 0 / - sinx | 0 / 2 = - (cos - cos0 ) - sin 2 sin0 =0 J= x dx = ( x 2)dx + ( x 2)dx x2 x2 = [- x ] +[ x ] 32 2 =1 b a a /2 (sin x cos x)dx I= /2 b kf ( x)dx = k f ( x)dx = /2 0 sin xdx cos xdx cos2x | 0 / - sinx | 0 / 2 = - (cos - cos0 ) - sin 2 sin0 =0 =- J= x dx = ( x 2)dx + ( x 2)dx x2 x2 = [- x ] 12 +[ x ] 32 2 =1 IV CỦNG CỐ:5’ - Phát biểu lại kết cuă bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường vật - Phát biểu định nghĩa tích phân, định lý diện tích hình thang cong - Viết các biểu thức biểu diễn các tính chất tích phân - Trả lời câu hỏi H5 V.NHIỆM VỤ VỀ NHÀ: -Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường vật -Học thuộc các tính chất tích phân - Giải bài tập sách giáo khoa - Bài tập làm thêm: 1) Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = -2x2 +3x +6 ,trục hoành , trục tung và đường thẳng x =2 2) Tính : I = x x dx 2 BÀI : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I> Mục tiêu:Qua bài học này học sinh cần đạt tối thiểu sau đây: 1-về kiến thức : + giúp học sinh hiểu và nhớ công thức (1) và (2) sgk là sở phương pháp tích phân + biết phương pháp để tính tích phân: phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân phần 2- kĩ : vận dụng phương pháp trên để giải bài toán tích phân 3- tư ,thái độ : tư logic,sáng tạo ,có thái độ học tập tích cực,làm việc tập thể II> Chuẩn bị : Lop12.net (20) Giáo án Giải tích 12 NC trang - 20 - GV: phiếu học tập, bài tập nhà HS : xem lại bài và pp tính nguyên hàm và tính TP Đọc trước bài III> Phương pháp : kết hợp các pp dạy học nêu vấn đề, thuyết trình và hoạt động nhóm IV> Tiến trình bài học : TIẾT ổn định (1’) kiểm tra bài cũ :(10’) câu 1:nêu định nghĩa tích phân và tính (2 x 4)dx câu 2: nêu pp tính nguyên hàm đổi biến số và tính x2 xe dx bài : HĐ1: tiếp cận công thức pp đổi biến số t/g Hoạt động gv -qua bài cũ nêu lại ĐL1 bài ta có b f u ( x) u '( x)dx F u ( x) b a Hoạt động hs -Hs tiếp thu hướng dẫn và phát công thức -ghi nhớ cthức a F u (b) F u (a ) u (b ) mặt 7’ f (u )du F u (b) F u (a ) u (a) HĐ2: cụ thể hoá pp đổi biến số t/g Hoạt động gv Áp dụng cthức từ trái sang phải b loại : giả sử cần tính g ( x)dx ,nếu ta viết g(x) dạng f u ( x) u '( x) thì đặt t=u(x) -cho hs thực H1 sgk Hoạt động hs -theo dõi và nhận dạng loại -giải H1: đặt t=2x+3 dt=2dx dt I t đưa u (b ) f (u )du u (a) Ghi bảng 2.loại 1: b b a a g ( x)dx f u ( x) u '( x)dx thì Đặt t=u(x) dt=u’(x)dx x a t t1 với x b t t2 Lúc đó loại 2: Áp dụng cthức từ phải sang trái nghĩa là ta phải đặt ngược: đặt x=u(t) b f u ( x) u '( x)dx -nhận PHT 1,thảo luận và trả lời (tất cả) a 5’ b a cho hs phát công thức -kl: đổi biến TP tương tự đổi biến nguyên hàm cần bổ sung cận -phát PHT 1: em cho biết TP nào có thể sử dung pp đổi biến ? -thông thường ta gặp hai loại TP đổi biến giống nguyên hàm 5’ Ghi bảng I> PP đổi biến số: công thức: b t2 a t1 g ( x)dx f (t )dt loại 2: b f ( x)dx f u (t ) u '(t )dt và TP giả sử tính f ( x)dx a a đặt x=u(t) dx=u’(t)dt x a t với xbt này ta tính - xem ví dụ sgk Lop12.net (21)