Tích phân và ứng dụng

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 BÀI 1: TÍCH PHÂN A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Khái niệm tích phân 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi dồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong. 2. Định nghĩa tích phân Tích phân của hàm số f(x) từ a đến b là: Trong đó, F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) a: gọi là cận trên b : gọi là cận dưới. Chú ý : Trong trường hợp a = b hoặc a > b. 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ a b x y A B y = f(x) O TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 Nhận xét: a, Tích phân của hàm số f không phụ thuộc vào biến số mà chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b. Ta có thể kí hiệu tích phân của hàm số f là ( ) b a f x dx ∫ hay ( ) b a f t dt ∫ b, Ý nghĩa hình học của tích phân. Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân ( ) b a f x dx ∫ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy : ( ) b a S f x dx= ∫ II. Tính chất của tích phân Tính chất 2 Tính chất 3 III. Phương pháp tính tích phân. 1. Công thức đổi biến số 2 Tính chất 1 ( ( ) ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ∫ ∫ [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b= + < < ∫ ∫ ∫ ( ) 0 ( ) ( ) a a b a a b f x dx f x dx f x dx = = − ∫ ∫ ∫ TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 [ ( )] '( ) ( ) b a f u x u x dx f u du β α = ∫ ∫ Trong đó, ( ), ( )u a u b α β = = B. BÀI TẬP Ví dụ 1: Tính Giải: Đặt u = sinx cosdu xdx ⇒ = 0 0, 1 2 x u x u π = ⇒ = = ⇒ = Ta có: Ví dụ 2: Tính Giải: Đặt x = tant, Ta có: Khi x = 0 thì t = 0, x = 1 thì t = 4 π Vậy : 2. Công thức tích phân từng phần ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx= − ∫ ∫ 3 1 0 x I xe dx= ∫ 2 2 0 sin cosx xdx π ∫ 1 1 2 2 3 2 0 0 0 1 1 sin cos . 3 3 x xdx u du u π = = = ∫ ∫ 1 2 0 1 1 dx x+ ∫ 2 2 t π π − < < 2 1 '( ) os x t c t = 1 4 2 2 2 0 0 4 0 1 1 . 1 1 tan os 4 dt dx x t c t dt π π π = + + = = ∫ ∫ ∫ TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 Ví dụ 1: Tính Giải: Đặt: Ta có: Ví dụ 2: Tính Giải: Đặt: Ta có: 4 x x u x du dx dv e dx v e = =   ⇒   = =   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 x x x x x I xe dx xe e dx xe e e e = = − = − = − − = ∫ ∫ 2 0 cosI x xdx π = ∫ cos sin u x du dx dv xdx v x = =   ⇒   = =   ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 cos sin sin cos 1 2 2 I x xdx x x xdx x π π π π π π = = − = + = − ∫ ∫ TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 BÀI 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Tính diện tích hình phẳng. 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: ( ) b a S f x dx= ∫ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được xác định bởi đồ thị hàm số y = x 3 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x =2. Giải: Diện tích hình phẳng cần tìm: 2 2 2 4 3 3 1 1 1 15 4 4 x S x dx x dx   = = = =  ÷   ∫ ∫ 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. 5 a b x y y = f(x) O TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) , trục hoành và các đườn thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: ( ) ( ) (*) b a S f x g x dx= − ∫ Chú ý: Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a;b]. Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c<d). Khi đó: f(x) – g(x) không đổi dấu trên các đoạn [a;c], [c;d], [d;b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn đoạn [a;c], ta có: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) c c a a f x g x dx f x g x dx− = − ∫ ∫ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 7 – 2x 2 và y = x 2 + 4. Giải: Ta có: ( ) 2 2 2 7 2 4 0 3 3 0 1x x x x− − + = ⇔ − + = ⇔ = ± Vậy diện tích hình phẳng cần tính: ( ) 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 7 2 ( 4) 3 3 ( 3 3) 3 4 S x x dx x dx x dx x x − − − − = − − + = − + = − + = − + = ∫ ∫ ∫ II. Thể tích 1. Thể tích của một vật thể Cắt một vật thể ( S ) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x =b (a<b). Gọi S(x) là diện tích thiết diện của ( S ) khi cắt bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x ( a x b≤ ≤ ). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b]. 6 TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 Thể tích V của phận vật thể ( S ) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo công thức: ( ) b a V S x dx= ∫ Ví dụ 1 Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h . Giải: Chọn trục Ox song song đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h . Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox. Cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi bằng B(S(x) = B với 0 ≤ x ≤ h ). Áp dụng công thức (5) có : 7 x a bx P Q S(x ) O x h x S(x) = B ( ) 0 0 h h V S x dx Bdx= = ∫ ∫ 0 . h B x Bh= = TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt : a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B. Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I. Sao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và hướng xác định bởi véc tơ OI uur Lúc đó OI = h Một mặt phẳng (α) vuông góc với Ox tại x(0≤x≤h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(x) . . Ta có : Và thể tích V của khối chóp là : b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S, có diện tích đáy là B, B’ và đường cao h. Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn (P) tại điểm I. Mp đáy nhỏ (Q) tại I’ . Đặt đỉnh S trùng với O. OI = b; OI’ = a ( a < b) 8 ( ) 2 2 . x S x B h = 2 2 0 . h x V B dx h = ∫ 3 2 0 3 h B x h   =  ÷   3 Bh = B S ≡ O x I h Q I’ B’ P TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có : Nên: III. Thể tích của khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay do đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox được tính theo công thức: 2 ( ) b a V f x dx π = ∫ Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox. Giải: Ta có: ( ) 2 2 0 0 0 1 sin 1 os2 sin 2 2 2 2 2 V xdx c x dx x x π π π π π π π   = = − = − =  ÷   ∫ ∫ B. BÀI TẬP DẠNG 1: Sử dụng định nghĩa Bài 1: Tính các tích phân: a, 2 4 2 1 x dx x   +  ÷   ∫ 2 1 3 , 1 2 b dx x− ∫ 9 2 2 . b a x V B dx b = ∫ ( ) 3 3 2 3 B b a b = − Vì : 2 2 ' . a B B b = và h = b – a ( ) ' ' 3 h V B B BB= + + TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 c, 1 2 0 3 1 x e dx x   +  ÷ +   ∫ d, 2 0 ( )x x x dx− ∫ e, ( ) 1 0 1 x e dx+ ∫ f, 2 2 1 4 x dx e ∫ g, ( ) 2 2 4 1 3x x dx − − ∫ Hướng dẫn giải 4 2 3 4 4 2 2 2 2 2 1 1 1 275 , 2 2 3 12 x a x dx x dx x x x x       + = + + = + − =  ÷  ÷  ÷       ∫ ∫ 2 2 1 1 3 3 3ln 3 , ln 1 2 1 2 2 2 b dx x x − = − = − ∫ c, 1 2 2 1 2 0 0 3 1 3ln 1 3ln 2 1 2 2 2 x x e e e dx x x     + = + + = + −  ÷  ÷ +     ∫ d, 2 3 5 2 2 2 2 2 0 0 0 2 8 2 ( ) . 2 5 2 5 x x x x dx x x dx x     − = − = − = −  ÷  ÷     ∫ ∫ e, ( ) ( ) 1 1 0 0 1 x x e dx e x e+ = + = ∫ f, 2 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 4 4. 2 2( ) x x x dx e dx e e e e − − − − = = − = − ∫ ∫ g, ( ) 2 3 2 2 4 3 1 1 1 35 3 3 24 x x x dx x −   − = + =  ÷   ∫ Bài tập 2: Tính các tích phân sau 10 [...]... = cos x dx 1 + sin x 13 I = ∫ dx 2x + 3 2 1 π 2 0 ∫ ( t = 2x + 3 ) cos 3 sinxdx BÀI TẬP ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a, y = x2, y = x + 2 b, y = ln x , y = 1 c, y = (x – 6)2, y = 6x – x2 Giải:  x = −1 x2 − x − 2 = 0 ⇔  x = 2 a, Ta có : Vậy diện tích hình phẳng cần tính là : 2 S = ∫ x 2 − x − 2 dx = −1 ∫ 2 −1 ( x 2 − x − 2)dx x = e... giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và đường thẳng x =2 Giải : Ta có x3 = 0 ⇔ x = 0 2 x4 Diện tích hình phẳng cần tìm : S = ∫ x dx = 4 0 2 =4 3 0 Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 – x2 và trục hoành Giải : Ta có giao điểm của đồ thị hàm số y = 4 – x2 và trục hoành là : x = 2 4 − x2 = 0 ⇔   x = −2 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm : 2 S= ∫ −2 23 2  x3 ... QUANG TRUNG TP ĐÀ NẴNG TOÁN 12 Bài 5 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex + 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 1 Giải Diện tích hình phẳng cần tính : 1 1 S = ∫ (e x + 1)dx = (e x + x) = e 0 0 Bài 6 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 Giải Diện tích hình phẳng cần tính : 2  e2 x  e4 − e2 S =... sint x=0 => t = π 2 π 2 0 sin t 1 − sin t cos t.dt = ∫ sin 2 t cos 2 t.dt 2 2 π sin 2 2t 1 π 1 π 1 π 2 (1 − cos 4t ) dt = dt = ∫ − sin 4t 2 = 4 8 0 8 2 32 16 0 Dạng 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần Bài tập1: Tính các tích phân sau: a, π 2 0 ∫ (2 x − 1) cos xdx π b, ∫ x 3 sin xdx 0 c, π 2 0 ∫ (2 x − 1) cos xdx Hướng dẫn giải: a, π 2 0 ∫ (2 x − 1) cos xdx Đặt: u = 2 x − 1 ⇒ du = 2dx dv = cos... Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3 Giải : Diện tích hình phẳng cần tìm : 3 1 2 3 S = ∫ x − 3 x + 2 x dx = ∫ ( x − 3 x + 2 x )dx − ∫ ( x − 3x + 2 x) dx + ∫ ( x 3 − 3x 2 + 2 x )dx 3 2 3 0 3 0 2 1 1 =( 2 2 2 3 x4 x4 x4 11 − x3 + x 2 ) − ( − x3 + x 2 ) + ( − x3 + x 2 ) = 4 4 4 4 0 1 2 Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng... dx Thể tích khối tròn xoay cần tìm V = π ∫0 cos xdx = π ∫0  : ÷  π 2  1 π 1  = π  x + sin 2 x ÷ = 4 2 2 0 2 Bài 9 :Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = tanx, y = 0, x = 0, x = π 4 Giải : Thể tích khối tròn xoay cần tìm : π 4 0 π 4 0  1  V = π ∫ tan xdx = π ∫  − 1÷dx 2  cos x  π  π = π ( t anx − x ) 04 = π  1 − ÷ 4  2 Bài 10 :Tính thể tích khối... thị các hàm số y = x(4 - x) và trục hoành Giải : x = 0 x = 4 Ta có : x(4 − x) = 0 ⇔  Thể tích khối tròn xoay cần tìm : 4 4 V = π ∫ [ x (4 − x) ] dx = π ∫ ( 4 x − x 0 2 0 ) 2 2 4 dx = π ∫ (16 x 2 − 8 x 3 + x 4 )dx 0 4 1  512π  16 = π  x3 − 2 x 4 + x 5 ÷ = 5 0 15  3 Bài 11 :Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y= 25 1 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x...TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP ĐÀ NẴNG TOÁN 12 11 TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP ĐÀ NẴNG TOÁN 12 12 TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG TP ĐÀ NẴNG TOÁN 12 Dạng 2: Sử dụng công thức đổi biến số: Bài tập 1:Tính các tích phân sau: a, ∫ 5 b, ∫ 2 2 1 (3 x − 4) 4 dx x x 2 + 3dx Hướng dẫn giải a, ∫ 5 2 (3 x − 4) 4 dx Đặt u = 3x – 4 ⇒ du = 3dx ⇒ dx = du 3 x = 2 ⇒ u = 2, x = 5 ⇒ u = 11 1 11 4 1 u5 ⇒... =  − x÷ = −1 2  2 1 1 2 2x Bài 7 : Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 1- x2 , y = 0 khi quay quanh trục hoành Giải : Ta có : 1 − x 2 ⇔ x = ±1 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm : V = π ∫ (1 − x 2 ) 2 dx = π ∫ ( 1 − 2 x 2 + x 4 ) dx 1 1 −1 −1 1 2 1  16π  = π  x − x3 + x5 ÷ = 3 5  −1 15  Bài 8 :Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi... Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a) ( 4 − i ) + ( 2 + 3i ) − ( 5 + i ); Giải : a) Ta có b) (1 + i ) 2 − (1 − i ) 2 z = ( 4 − i ) + ( 2 + 3i ) − ( 5 + i ) = ( 4 + 2 − 5) + (−1 + 3 − 1)i = 1 + 1i; nên z có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 1 b) Ta có z = (1 + i ) − (1 − i ) = (1 + 2i + i 2 ) − (1 − 2i + i 2 ) = (1 − 1 − 1 + 1) + (2 + 2)i = 0 + 4i 2 2 nên z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng . TRUNG TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 Nhận xét: a, Tích phân của hàm số f không phụ thuộc vào biến số mà chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b. Ta có thể kí hiệu tích phân của hàm số f là ( ) b a f x dx ∫ . học của tích phân. Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân ( ) b a f x dx ∫ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường. TP. ĐÀ NẴNG TOÁN 12 BÀI 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Tính diện tích hình phẳng. 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Diện tích S của hình phẳng giới hạn