3 chuỗi số và chuỗi hàm

1 Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số Chuỗi hàm (Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2) ThS Trần Bảo Ngọc Bộ môn Tốn, Khoa Khoa học, Đại học Nơng Lâm TP HCM Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm "Đừng xấu hổ không biết, xấu hổ không học." Khuyết danh ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Nội dung 1 Chuỗi số 2 CSD 3 CS ĐD 4 Chuỗi hàm ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số Định nghĩa chuỗi số Cho dãy số {un }, tổng vơ hạn ∞ un = u1 + u2 + + un + n=1 gọi chuỗi số Và Sn = u1 + u2 + + un gọi tổng n-riêng phần chuỗi cho Sự hội tụ, phân kỳ chuỗi số ∞ Nếu lim Sn = S (tồn hữu hạn) chuỗi n→+∞ un = S gọi n=1 hội tụ Ngược lại, chuỗi số gọi phân kỳ ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số ∞ qn Ví dụ : Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số n=1 Giải • Trường hợp : q = ta có ∞ ∞ qn = n=1 n=1 Tổng n-riêng phần chuỗi Sn = + + + = n, lim Sn = lim n = +∞ n→+∞ n→+∞ Suy chuỗi cho phân kỳ trường hợp q = ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số • Trường hợp : q = −1 ta có ∞ ∞ n (−1)n q = n=1 n=1 Tổng n-riêng phần chuỗi Sn = (−1) + (−1)2 + + (−1)n = Sn = lim n→+∞ n chẵn n chẵn −1 n lẻ lim Sn = −1 Suy n→+∞ n lẽ lim Sn không tồn n→+∞ Suy chuỗi cho phân kỳ trường hợp q = −1 ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số • Trường hợp : q = ±1 ta có tổng n-riêng phần − qn 1−q ✄ Nếu |q| > : ta có lim q n khơng tồn hữu hạn, từ Sn = q + q + + q n = q(1 + q + + q n−1 ) = q n→+∞ − lim q n lim Sn = q n→+∞ 1−q không tồn hữu hạn Chuỗi cho phân kỳ n→+∞ ✄ Nếu |q| < : ta có lim q n = 0, từ n→+∞ − lim q n lim Sn = q n→+∞ n→+∞ 1−q = q 1−q nên chuỗi cho hội tụ ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số Chú ý : Tổng quát lên ta  Phân kỳ |q| ≥   ∞  qn =  qk  n=k  (Hội tụ) |q| < 1−q ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số ∞ Ví dụ : Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số n=1 n(n + 1) Giải Tách số hạng tổng quát un chuỗi 1 un = = − n(n + 1) n n+1 với n = 1, 2, ta suy tổng n-riêng phần Sn = 1 − + 1 − + + 1 − n n+1 = 1 − n+1 Vì lim Sn = Vậy chuỗi cho hội tụ 1, hay tổng n→+∞ ∞ n=1 = n(n + 1) ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số Ví dụ : Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số ∞ ln + n=1 n (1) Đáp án (1) : phân kỳ Ví dụ : Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số ∞ √ n=1 n+ √ n+1 (2) Đáp án (2) : phân kỳ ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số dương −→ 2.5 Tiêu chuẩn Cauchy Ví dụ xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số sau ∞ n=1 Hướng dẫn L = 3n + 2n + 2n−1 > nên chuỗi phân kỳ ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Nội dung 1 Chuỗi số 2 CSD 3 CS ĐD 4 Chuỗi hàm ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi đan dâu −→ 3.1 Định nghĩa Định nghĩa Chuỗi số có hai dạng sau ∞ ∞ n (−1) un (−1)n+1 un n=1 n=1 un > với n = 1, 2, ∞ Ví dụ Các chuỗi số n=2 (−1)n , n ln(n) ∞ n=1 n sin 3n − chuỗi đan dấu Chú ý sin (2n + 1)π = (−1)n ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm (2n + 1)π Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi đan dâu −→ 3.2 Tiêu chuẩn Leibniz Tiêu chuẩn Leibniz cho chuỗi đan dấu ∞ (−1)n+1 un hội Nếu dãy số un giảm lim un = chuỗi n→+∞ n=1 tụ S Hơn < S < u1 ∞ Ví dụ Xét hội tụ phân kỳ chuỗi đan dấu n=2 Giải Chuỗi số cho chuỗi đan dấu có un = (−1)n n ln(n) > 0, với n ln(n) n = 1, 2, dãy giảm =0 n→+∞ n→+∞ n ln(n) nên chuỗi đan dấu cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz lim un = lim ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi đan dâu −→ 3.2 Tiêu chuẩn Leibniz Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số sau ∞ (−1)n n=2 n−1 n n Lưu ý Chuỗi chuỗi số dương, nên áp dụng Tiêu chuẩn So sánh, Tiêu chuẩn D’Alembert Tiêu chuẩn Cauchy Câu hỏi Vậy có cơng cụ dùng để xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số ? Trả lời Có thể dùng Tiêu chuẩn Leibniz cho chuỗi đan dấu Tính chất chung chuỗi số Hãy giải toán ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Nội dung 1 Chuỗi số 2 CSD 3 CS ĐD 4 Chuỗi hàm ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi hàm (số) −→ 4.1 Định nghĩa Định nghĩa chuỗi hàm Cho dãy hàm số {un (x)} (theo biến x) xác định miền D Khi tổng vơ hạn ∞ un (x) = u1 (x) + u2 (x) + + un (x) + n=1 gọi chuỗi hàm (số) Chú ý Ứng với giá trị cụ thể x chuỗi hàm trở thành ∞ x n trở chuỗi số Chẳng hạn, ứng với x = 1/2 chuỗi hàm ∞ thành chuỗi số n=1 n=1 n (là chuỗi số hội tụ) ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi hàm (số) −→ 4.1 Định nghĩa Miền hội tụ chuỗi hàm ∞ Tập hợp tất giá trị x cho chuỗi số un (x) hội tụ n=1 gọi miền hội tụ Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi số sau : ∞ n=1 (1), nx Đáp án (1) : D = (1; +∞) ∞ x n (2) n=1 (2) : D = (−1; 1) ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi hàm (số) −→ 4.2 Chuỗi luỹ thừa Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa ∞ an x n hội tụ (−R, R) Giá trị R > cho chuỗi lũy thừa n=1 phân kỳ (−∞, −R) ∪ (R, +∞) gọi bán kính hội tụ Ví dụ Chuỗi hàm ∞ xn n=1 chuỗi luỹ thừa với an = 1, n = 1, 2, Hơn nữa, chuỗi luỹ thừa có bán kính hội tụ R = chuỗi hàm hội tụ (−1, 1) phân kỳ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi hàm (số) −→ 4.3 Tìm MHT CLT Định lý (tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa) Nếu an+1 = L (C ) lim n→+∞ n→+∞ an bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa R = L (D) lim Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi số sau : ∞ (−1)n n=1 ThS Trần Bảo Ngọc nx n 3n − (∗) Chuỗi số Chuỗi hàm n |an | = L Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi hàm (số) −→ 4.3 Tìm MHT CLT Giải • Chuỗi (*) chuỗi luỹ thừa với an = (−1)n n 3n − Ta có an+1 (n + 1) n = lim : n→+∞ 3(n + 1) − 3n − an (n + 1)(3n − 2) = lim = n→+∞ n(3n − 1) L = lim n→+∞ = Suy chuỗi L (*) hội tụ với x ∈ (−1; 1), phân kỳ với x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) chưa khẳng định hội tụ hay phân kỳ x = x = −1 Do đó, bán kính hội tụ chuỗi (*) R = ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi hàm (số) −→ 4.3 Tìm MHT CLT ∞ • Xét x = −1 : chuỗi (*) trở thành chuỗi số n chuỗi phân kỳ lim = = n→+∞ 3n − n=1 n (1) 3n − ∞ (−1)n • Xét x = : chuỗi (*) trở thành chuỗi số n=1 n (2) 3n − Vì n = 3n − n→+∞ n chẵn n lim (−1)n =− 3n − n→+∞ n lẻ n nên lim (−1)n không tồn Suy (2) phân kỳ n→+∞ 3n − lim (−1)n • Vậy miền hội tụ chuỗi (*) D = (−1; 1) ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi hàm (số) −→ 4.3 Tìm MHT CLT Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi số sau : ∞ (x − 3)2n (−1)n (∗) (2n + 1)3n n=1 Giải • Đặt X = (x − 3)2 ≥ với x ∈ R Khi chuỗi (*) trở ∞ Xn (∗∗) chuỗi luỹ thừa với thành chuỗi (−1)n (2n + 1)3n n=1 an = (−1)n (2n + 1)3n Ta có an+1 1 : = lim (n+1) n→+∞ n→+∞ [2(n + 1) + 1]3 an (2n + 1)3n (2n + 1) = lim = n→+∞ 3(2n + 3) L = lim ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi hàm (số) −→ 4.3 Tìm MHT CLT = Suy chuỗi L (**) hội tụ với X ∈ [0; 3), phân kỳ với X ∈ (3; +∞) chưa khẳng định hội tụ hay phân kỳ X = Do đó, bán kính hội tụ chuỗi (**) R = ∞ (−1)n • Xét X = : chuỗi (**) trở thành chuỗi số n=1 2n + 1 chuỗi đan dấu hội tụ un = > với n = 1, 2, , un giảm 2n + lim un = n→+∞ • Vậy miền hội tụ chuỗi (**) [0;√ 3] Ta có √ ≤ X ≤ ⇐⇒ (x − 3)2 ≤ ⇐⇒ − ≤ x ≤ + Vậy miền hội tụ chuỗi (*) √ √ D = [3 − 3; + 3] ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số Chuỗi hàm "Một ngày ngồi trách móc làm việc Một làm lòng ta nhẹ túi ta nặng." Benjamin Franklin HẾT ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm ... 3n ∞ (3) , n=0 + (−1)n 3n Đáp án (3) : 3/ 4 (4) : 15/4 ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm (4) 1 Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Nội dung 1 Chuỗi số 2 CSD 3 CS ĐD 4 Chuỗi hàm ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi. .. CSD CS ĐD Chuỗi hàm Nội dung 1 Chuỗi số 2 CSD 3 CS ĐD 4 Chuỗi hàm ThS Trần Bảo Ngọc Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi đan dâu −→ 3. 1 Định nghĩa Định nghĩa Chuỗi số có hai... Chuỗi số Chuỗi hàm Chuỗi số CSD CS ĐD Chuỗi hàm Chuỗi số dương −→ 2.1 Định nghĩa Định nghĩa (chuỗi số dương) ∞ Chuỗi số un gọi chuỗi số dương n=1 un > với n = 1, 2, Từ định nghĩa chuỗi số dương,