Hàm số, giới hạn, liên tục

Hàm số, Giới hạn Liên tục (Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2) ThS Trần Bảo Ngọc Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học, Đại học Nơng Lâm TP HCM Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Khái niệm phân loại hàm sô Các hàm số sơ cấp (ở bậc THPT) Hàm lũy thừa Ví dụ: x , x −2 := √ , x2 x := , 2x 32x = (3x )2 = 9x , x , Hàm mũ logarit Ví dụ: 5x , 2−x := 3x = e x ln , Hàm lượng giác Ví dụ: sin x, cos x, tan x, cot x Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát) Hàm số sơ cấp tổng quát hàm thu cách lấy tổng, hiệu, tích, thương, hợp hàm sơ cấp ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Khái niệm phân loại hàm số ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Khái niệm phân loại hàm số Các hàm số lượng giác ngược y = arcsin x ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1, − x = sin y y = arccos x ⇐⇒ y = arctan x ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1, x = cos y x ∈ R, y = arccot x ⇐⇒ x ∈ R, x = cot y ThS Trần Bảo Ngọc 0≤y ≤π − x = tan y π π ≤y ≤ 2 π π 0) 10 10 ⇐⇒1 ≤ x ≤ 100 Tập xác định hàm số cho D = [1; 100] ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Khái niệm phân loại hàm số Ví dụ 1.2 Cho hàm số y = arcsin Tập xác định hàm số x A [−1; 1] B [−1; 0] D (−∞; −1] ∪ [1; +∞) C [0; 1] Điều kiện xác định hàm số: −1≤ ≤1 x 1+x 1−x ⇐⇒ ≥ ≤0 x x ⇐⇒x ∈ (−∞; −1] ∪ (0; +∞) x ∈ (−∞; 0) ∪ [1; +∞) ⇐⇒x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) Chọn đáp án D ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Khái niệm phân loại hàm số Ví dụ 1.3 Chọn phát biểu A lim arcsin x = x→0 C lim arctan x = x→∞ B lim arctan x→0 = +∞ x2 π D Nếu arcsin x = arccos y x + y = A lim arcsin x = arcsin = x→0 π B lim arctan = x→0 x π π C Vì lim arctan x = lim arctan x = − , nên suy x→+∞ x→−∞ 2 lim arctan x không tồn x→∞ D Đặt α = arcsin x = arccos y suy x = sin α y = cos α Ta có x + y = sin2 α + cos2 α = ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Giới hạn hàm số Các định nghĩa giới hạn tính chất xem giáo trình (đã học cấp THPT) Ở ta nhấn mạnh: Các q trình (được xét mơn Tốn B1) Ta xét trình: x → a, x → ∞ Ứng với q trình đó, giới hạn xét dạng: lim f (x), lim f (x) x→a x→∞ Các dạng vô định thường gặp ∞ , , ∞ − ∞, 0.∞, ∞0 , 0∞ , 00 1∞ ∞ ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.1 Dạng vô định 0 Phương pháp Sử dụng đẳng thức đáng nhớ phép chia Horner để đặt nhân tử chung khử (rút gọn) lượng vô định Trường hợp có thức, ta thực trục thức Ví dụ 2.1 x2 − x→1 x − 2x + 3x − Tính giới hạn L1 = lim (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x − x + 2) x +1 1+1 = lim = = x→1 x − x + −1+2 Ta có L1 = lim x→1 ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.1 Dạng vơ định 0 Ví dụ 2.2 √ x − 2−x Tính giới hạn L2 = lim x→1 x3 − √ √ (x − − x)(x + − x) √ L2 = lim x→1 (x − 1)(x + − x) x − (2 − x) √ = lim x→1 (x − 1)(x + − x) (x − 1)(x + 2) √ = lim x→1 (x − 1)(x + x + 1)(x + − x) x +2 √ = lim x→1 (x + x + 1)(x + − x) 1+2 √ = = (1 + + 1)(1 + − 1) ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.4 Dạng vô định ∞ − ∞ Phương pháp Quy đồng đưa giới hạn cho dạng ∞ , , 0 ∞ Ví dụ 2.6 Tính giới hạn L8 = lim x→2 x2 1 − − x − 3x − 1 − x→2 (x + 1)(x − 2) 3(x − 2) − (x + 1) = lim x→2 3(x + 1)(x − 2) 2−x −1 = lim = lim =− x→2 3(x + 1)(x − 2) x→2 3(x + 1) L8 = lim ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.4 Dạng vô định ∞ − ∞ Ví dụ 2.7 Tính giới hạn L9 = lim x→0 1 − x x −x Ta có (x − 1) − x −2 = lim x→0 x(x − 1) x→0 x(x − 1) L9 = lim Mặt khác x −2 = −∞, x(x − 1) x −2 lim+ = +∞, x→0 x(x − 1) lim x→0− nên giới hạn L9 không tồn ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.4 Dạng vô định ∞ − ∞ Nếu dạng ∞ − ∞ xuất thức, ta trục thức Ví dụ 2.9 Tính giới hạn L10 = lim x→+∞ L10 x + 3x − x √ √ ( x + 3x − x)( x + 3x + x) √ = lim x→+∞ ( x + 3x + x) 3x ∞ = lim √ x→+∞ ( x + 3x + x) ∞ Chia tử mẫu cho x (x > 0) ta 3 L10 = lim =√ = x→+∞ 1+1 + x3 + ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.5 Các giới hạn (dạng 0 1∞ ) Định lý 1 sin x = x→0 x ln (1 + x) lim = x→0 x ex − lim = x→0 x lim Ví dụ 2.10 Tính giới hạn tan ax a) lim x→0 x − cos ax x→0 x2 b) lim tan ax sin ax a = lim = a x→0 x→0 ax x cos ax a) lim ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.5 Các giới hạn sin2 − cos ax b) lim = lim x→0 x→0 x2 x2 ax = lim sin x→0 ax ax a2 a2 = 2 Ví dụ 2.11 Tính giới hạn ln(cos x) x→0 x2 a) lim b) lim+ x→0 3x − x x −1 x→1 lg x c) lim ln(cos x) ln(1 + (cos x − 1)) cos x − 1 = lim =− 2 x→0 x→0 x cos x − x a) lim b) lim+ x→0 e x ln − 3x − = lim+ ln = ln x x ln x→0 x −1 x −1 = lim ln 10 = lim x→1 lg x x→1 ln x x→1 c) lim ThS Trần Bảo Ngọc ln(1+(x−1)) x−1 ln 10 = ln 10 Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.5 Các giới hạn Định lý lim [u(x)]v (x) có dạng 1∞ = e lim[u(x)−1].v (x) Ví dụ 2.12 Tính giới hạn a) lim (1 + x) x b) lim x→∞ x→0 1− lim (1+x−1) x1 a) lim (1 + x) x = e x→0 x→0 b) lim x→∞ c) lim n→+∞ x n+1 n−1 1− x x x c) lim n→+∞ 1−2n = e −1 = n+1 lim ( n−1 −1).(1−2n) = e x→0 ThS Trần Bảo Ngọc 1−2n = e lim (1− x1 −1)x = e x→∞ n+1 n−1 e lim = e x→0 2(1−2n) n−1 Hàm số, Giới hạn Liên tục = e4 2.6 Khái niệm vô bé (VCB) a) Định nghĩa Hàm α(x) gọi VCB q trình lim α(x) = q trình Chú ý 1: x, sin x, arcsin x, tan x, arctan x, x α (α > 0) VCB xét trình x → Chú ý 2: , α (α > 0), q x (|q| < 1) VCB xét q x trình x → +∞ b) Tính chất lim α(x) = L ⇐⇒ {α(x) − L} VCB Nếu α(x) VCB |β(x)| ≤ M α(x).β(x) VCB ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.6 Khái niệm vô bé (VCB) c) So sánh hai VCB trình α(x) = α(x) gọi VCB bậc cao β(x) β(x) α(x) Nếu lim = k α(x) β(x) gọi hai VCB cấp β(x) Đặc biệt k = α(x) β(x) gọi hai VCB tương đương Kí hiệu α(x) ∼ β(x) Nếu lim d) Quá trình u → VCB tương đương thường gặp sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u u2 − cos u ∼ ln (1 + u) ∼ (e u − 1) ∼ u ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.6 Khái niệm vô bé (VCB) e) Dạng vô định VCB tương đương Nếu α(x) ∼ α(x) β(x) ∼ β(x) lim α(x) α(x) = lim β(x) β(x) Ví dụ 2.13 Tính giới hạn √ ln cos x a) lim x→0 x2 a) lim x→0 0 sin x − sin a b) lim x→a x −a 0 c) lim+ x→0 x −1 x ln cos x ln(1 + (cos x − 1)) cos x − = lim = lim x→0 x→0 x2 x2 x2 x2 −2 x2 = lim = − cos x − ∼ − x → x→0 x2 2 ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.6 Khái niệm vô bé (VCB) cos sin x − sin a = lim x→a x→a x −a b) lim = lim cos x→a = lim cos x→a √ x−a sin x −a x +a = cos a sin x −a x −a x−a ∼ x −a x → a √ e x ln − −1 c) lim+ = lim+ x x→0 x→0 √ x √ √ x ln = lim+ e x ln − ∼ x ln x → x x→0 ln = lim+ √ = +∞ x x→0 x x+a x+a ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục 2.6 Khái niệm vô bé (VCB) Ví dụ 2.14 Tính giới hạn a) lim (cos 2x) x x→0 b) lim (1 − cos x) cot2 x x→0 x→0 lim (cos 2x−1) a) lim (cos 2x) x = e x→0 x→0 Chú ý: ta sử dụng − cos 2x ∼ c) lim+ x 4+ln x x2 lim − = e x→0 (2x)2 (2x)2 2 x = e −2 = x → x2 (1 − cos x) b) lim (1 − cos x) cot x = lim = lim x→0 x→0 x→0 x tan2 x Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x x → lim c) lim+ x 4+ln x = e x→0+ ln x 4+ln x e2 lim = e x→0+ ln x 4+ln x lim = e x→0+ = +1 ln x = e x→0 Chú ý: ta sử dụng công thức ab = e b ln a cho giới hạn lim[u(x)]v (x) khơng có dạng 1∞ ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Hàm số liên tục a) Chú ý: Hàm số có cơng thức khác với x < a x > a Nếu lim f (x) = lim+ f (x) = L lim f (x) tồn L x→a− x→a x→a Ví dụ 3.1 Cho hàm số  sin x2     x f (x) = √     x +1−1 x2 với x < Tính lim f (x) x→0 với x > sin x2 1 lim = x x x→0− x→0− x→0− √ √ 2 x +1−1 x + − 12 lim f (x) = lim+ = lim+ √ x2 x→0+ x→0 x→0 x x2 + + lim f (x) = lim sin x = ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Hàm số liên tục = lim+ √ x→0 x2 1 = +1+1 Suy lim f (x) = lim f (x) = lim+ f (x) = x→0 x→0 x→0− b) Định nghĩa    i) f (a) xác định ii) lim f (x) tồn Hàm số y = f (x) liên tục x = a x→a   iii) lim f (x) = f (a) x→a Ví dụ 3.2 Xét tính liên tục hàm số   sin2 x + − cos x với − π2 < x < x = f (x) = sin x  arccos x với x ≥0 ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Hàm số liên tục π π lim+ f (x) = lim+ arccos x = arccos = x→0 x→0 Ta có f (0) = arccos = lim f (x) = lim x→0− x→0− = lim x→0− = lim x→0− sin2 x + − cos x sin2 x sin2 x + − cos2 x sin2 x sin2 x + + cos x sin2 x sin2 x sin2 x + + cos x =1 = lim x→0− sin2 x + + cos x Suy lim f (x) không tồn Vậy hàm số cho gián đoạn x→0 x = ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Mô-đun: Hàm số, Giới hạn Hàm số liên tục Hết ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục ... (x) không tồn Vậy hàm số cho gián đoạn x→0 x = ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Mô-đun: Hàm số, Giới hạn Hàm số liên tục Hết ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục ... ta sử dụng công thức ab = e b ln a cho giới hạn lim[u(x)]v (x) khơng có dạng 1∞ ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Hàm số liên tục a) Chú ý: Hàm số có cơng thức khác với x < a x > a... Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát) Hàm số sơ cấp tổng quát hàm thu cách lấy tổng, hiệu, tích, thương, hợp hàm sơ cấp ThS Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn Liên tục Khái niệm phân loại hàm số ThS