hàm số - giới hạn - liên tục

Chương 4 HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC $1. Các hàm số sơ cấp cơ bản $2. Giới hạn của hàm số $3. Hàm số liên tục $1. CC HM S S C P C B N : 1). Haứm soỏ luừy thửứa y = x , R 2). Haứm soỏ muừ y = a x , a > 0 vaứ a 1 ( a goùi laứ cụ soỏ ) $1. CÁC HÀM S S C P C B N :Ố Ơ Ấ Ơ Ả 3). Hàm số logarit y = log a x , a > 0 và a ≠ 1 : ( a gọi là cơ số )  Là hàm ngược của hàm số mũ y = a x .  y = log a x ⇔ x = a y , với x > 0 và y ∈ R.  , ∀x > 0. x a ax log = $1. CC HM S S C P C B N : 4). Caực haứm lửụùng giaực : a). Haứm soỏ y = sinx b). Haứm soỏ y = cosx c). Haứm soỏ y = tgx d). Haứm soỏ y = cotgx $1. CC HM S S C P C B N : 5). Caực haứm lửụùng giaực ngửụùc : a). Haứm soỏ y = arcsinx : Ta coự : b). Haứm soỏ y = arccosx : Ta coự : = 22 sin y yx = 11 arccos x xy = 11 arcsin x xy = y yx 0 cos $1. CÁC HÀM S S C P C B N :Ố Ơ Ấ Ơ Ả c). Haøm soá y = arctgx : Ta coù : d). Haøm soá y = arccotgx : Ta coù : gxarcy cot= arctgxy =      <<− = ⇔ 22 ππ y tgyx    << = ⇔ π y gyx 0 cot $1. CÁC HÀM S S C P C B N :Ố Ơ Ấ Ơ Ả * Ghi nhớ : Hàm số có được từ các hàm số sơ cấp cơ bản, bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp là hàm số sơ cấp. $2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố 2.1 Giới hạn của hàm số tại 1 điểm : 1). Đònh nghóa 1 : Cho hàm số f(x) xác đònh trong 1 lân cận của x 0 (có thể trừ điểm x 0 ). Số thực a được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → x 0 , nếu : ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < | x – x 0 | < δ ⇒ | f(x) – a | < ε Ký hiệu : axf xx = → )(lim 0 $2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố 2). Đònh nghóa 2 :  Nếu khi x → x 0 từ bên trái (tức x < x 0 ), ta có giới hạn trái : Ký hiệu :  Nếu khi x → x 0 từ bên phải (tức x > x 0 ), ta có giới hạn phải : Ký hiệu : axf xx = − → )(lim 0 axf xx = + → )(lim 0 $2. GI I H N C A HM S : 3). ẹũnh lyự : Vớ duù : Cho haứm soỏ : Tỡm < + = 0 x neỏu , 0 x neỏu , 3 12 )( x x xf )(lim 0 xf x axf xx = )(lim 0 )(lim 0 xf xx + axf xx == )(lim 0 [...]... : Cho hàm số :  x + 1 , nếu x ≤ 1 f ( x) =  2 3 − ax , nếu x > 1 Xét sự liên tục của hàm số tại điểm x = 1 ? $3 HÀM SỐ LIÊN TỤC : 3.2 Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn : 1) Đònh nghóa : Cho hàm số f(x) Ta nói : a) Hàm số f(x) liên tục trên (a ; b) nếu f(x) liên tục tại mọi x ∈ (a ; b) $3 HÀM SỐ LIÊN TỤC : b) Hàm số f(x) liên tục trên [a ; b] nếu f(x) liên tục trên (a ; b) và liên tục phải... $3 HÀM SỐ LIÊN TỤC : 2) Đònh nghóa 2 : Cho hàm số f(x) xác đònh trên một lân cận của điểm x0 a) Hàm số f(x) được gọi là liên tục bên trái tại x0, nếu : lim f ( x) = f ( x0 ) − x→ x0 $3 HÀM SỐ LIÊN TỤC : b) .Hàm số f(x) được gọi là liên tục bên phải tại x0, nếu : lim f ( x) = f ( x0 ) + x → x0 3) Đònh lý : Hàm số f(x) liên tục tại x0 ⇔ f(x) liên tục trái và liên tục phải tại x 0 $3 HÀM SỐ LIÊN TỤC :... $3 HÀM SỐ LIÊN TỤC : 3.1 Hàm số liên tục tại một điểm : 1) Đònh nghóa 1 : Cho hàm số f(x) xác đònh trên 1 lân cận của điểm x0 Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0, nếu : lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 $3 HÀM SỐ LIÊN TỤC : * Ghi nhớ : Một hàm không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó Ví dụ : Xét sự liên tục của hàm số tại x = 0 :  sin x , nếu x ≠ 0  f ( x) =  x 1 , nếu x = 0  $3 HÀM... (a ; b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b 2) Đònh lý : * Các hàm số sơ cấp cơ bản liên tục trên miền xác đònh của chúng * Các hàm số sơ cấp cũng liên tục trên miền xác đònh của chúng BÀI TẬP : Hàm số liên tục Bài 2.6 : Xét sự liên tục của các hàm số sau đây :  x2 − 4  , nếu x ≠ 2 1) f ( x) =  x − 2 a , nếu x = 2  tại điểm x = 2 ? BÀI TẬP : Hàm số liên tục  1 , nếu x ≠ 1  1  2) f (... x ) = e x →0 = α ; với α ∈ R $2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : * Ghi nhớ : Trong một số giới hạn trên, ta có thể thay x bởi α (x) sao cho α (x) → 0 khi x → x0 Chẳng hạn : sin (α ( x) ) lim =1 x → x 0 α ( x) với α (x) → 0 khi x → x0 $2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : e −1 Ví dụ 1 : Tìm lim x →0 ln(1 − 4 x ) 2x x2 e − cos x Ví dụ 2 : Tìm lim 2 x →0 x BÀI TẬP : Giới hạn của hàm số * Một số phương pháp khử dạng vô đònh :... của hàm số 3) Khi gặp biểu thức có chứa dấu căn, ta có thể nhân với lượng liên hợp để khử căn, đồng thời cũng khử được dạng vô đònh hoặc có thể sử dụng công thức (6) : 0 ( dạng hoặc ∞ − ∞ ) 0 BÀI TẬP : Giới hạn của hàm số Bài 2.3 : Tìm giới hạn : 1) lim x −1 x →1 x 2 3) lim x →0 −1 1 − cos x x 2 2) lim 3 x −1 x →1 x 2 −1 1+ 2x − 3 4) lim x→4 x −2 BÀI TẬP : Giới hạn của hàm số Bài 2.4 : Tìm giới hạn. ..$2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : 2.2 Các giới hạn cơ bản : sin x 1) lim =1 x →0 x 1 − cos x 1 lim = 2 2 x →0 x tgx lim =1 x →0 x arcsin x 2) lim =1 x →0 x arctgx lim =1 x x →0 $2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : ln(1 + x) 3) lim =1 x →0 x log a (1 + x) 1 lim = , với 0 < a ≠ 1 x ln a x →0 x e −1 4) lim =1 x →0 x x a −1 lim = ln a x →0 x $2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : x  1 5) lim 1 +  = e x →∞... BÀI TẬP : Hàm số liên tục  1 , nếu x ≠ 1  1  2) f ( x) =  1 + e1− x  a , nếu x = 1  tại điểm x = 1 ? BÀI TẬP : Hàm số liên tục Bài 2.7 : Xét sự liên tục của các hàm số sau đây :  πx cos 2 1) f ( x) =  x −1  trên toàn trục số ? , nếu x ≤ 1 , nếu x > 1 BÀI TẬP : Hàm số liên tục x2  2) f ( x) =  2 − x 2  , nếu 0 ≤ x ≤ 1 , nếu 1 < x ≤ 2 trên miền xác đònh của nó ? ... → +∞   4) lim  x + x + x − x  x → +∞  BÀI TẬP : Giới hạn của hàm số 4) Khi gặp giới hạn có dạng vô đònh 1∞ thì ta biến đổi để đưa về dạng công thức (5) hoặc sử dụng công thức sau : lim [ u ( x ) −1].v ( x ) v( x) x → x0 lim u ( x) =e (7) x → x0 trong đó, khi x → x0 thì u(x) → 1 và v(x) → ∞ BÀI TẬP : Giới hạn của hàm số Bài 2.5 : Tìm giới hạn : 1) lim (1 + sin πx ) cot gπx x →1 x 2 +1 x 2 − 1... TẬP : Giới hạn của hàm số P( x) 2) Tìm lim trong đó P(a) = Q(a) = x→a Q ( x ) 0 0 dạng ) (: 0 Ta phân tích P(x) và Q(x) thành nhân tử, trong đó có nhân tử chung là x – a BÀI TẬP : Giới hạn của hàm số Bài 2.2 : Tìm giới hạn : 2 1) lim 2 x −1 x →1 x 2 − 4 x + 3 3 3) lim x → −2 2) lim x →1 2 x 2 2 x + 3x + 2 x x2 − x − 6 x −1 2 4) lim − x −1 ( x − x − 2) 20 x → 2 ( x 3 − 12 x + 16)10 BÀI TẬP : Giới hạn . Chương 4 HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC $1. Các hàm số sơ cấp cơ bản $2. Giới hạn của hàm số $3. Hàm số liên tục $1. CC HM S S C P C B N : 1). Haứm soỏ. A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố 2.1 Giới hạn của hàm số tại 1 điểm : 1). Đònh nghóa 1 : Cho hàm số f(x) xác đònh trong 1 lân cận của x 0 (có thể trừ điểm x 0 ). Số thực a được gọi là giới hạn của hàm số. CÁC HÀM S S C P C B N :Ố Ơ Ấ Ơ Ả * Ghi nhớ : Hàm số có được từ các hàm số sơ cấp cơ bản, bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp là hàm số