Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn ppsx

Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I Lý thuyết Định nghĩa: 1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x Ta nói hàm số f(x) xác định K (có thể trừ điểm x ) có giới hạn L x dần tới x với dãy số (x n ) bất kì, x n Ỵ K \ {x } x n ® x , ta có: f(x n ) ® L Ta kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) ® L x ® x x ® x0 1.2.Giới hạn bên: * Cho hàm số y = f (x ) xác định (x ; b) Số L gọi giới hạn bên phải hàm số y = f (x ) x dần tới x với dãy (xn ) : x < xn < b mà xn ® x ta có: f (xn ) ® L Kí hiệu: lim f (x ) = L + x ®x * Cho hàm số y = f (x ) xác định (a; x ) Số L gọi giới hạn bên trái hàm số y = f (x ) x dần tới x với dãy (xn ) : a < xn < x mà xn ® x ta có: f (xn ) ® L Kí hiệu: lim f (x ) = L x ®x Chú ý: lim f (x ) = L Û lim f (x ) = lim f (x ) = L x ®x 1.3 Giới hạn vơ cực x ®x + x ®x * Ta nói hàm số y = f (x ) xác định (a; +¥) có giới hn l L x đ +Ơ nu vi mi dãy số (xn ) : xn > a xn ® +¥ f (xn ) ® L Kí hiu: lim f (x ) = L x đ+Ơ * Ta nói hàm số y = f (x ) xác định (-¥; b ) có giới hạn L x đ -Ơ nu vi mi dóy s (xn ) : xn < b v xn đ -Ơ f (xn ) ® L Kí hiệu: lim f (x ) = L x đ-Ơ 1.4.Gii hn vơ cực * Ta nói hàm số y = f (x ) có giới hạn dần tới dương vơ cực x dần tới x với dãy số (xn ) : xn ® x f (xn ) đ +Ơ Kớ hiu: lim f (x ) = +Ơ x đx * Tng t ta có định nghĩa giới hạn dần âm vơ cực * Ta có định nghĩa ta thay x -¥ +¥ Các định lí giới hạn Định lí 1: Gới hạn tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn v L ) x đ x (hay x đ +Ơ; x đ -Ơ ) bng tng, hiệu, tích, thương giới hạn x ® x (hay x ® +¥; x ® -¥ ) Chú ý: Định lí ta áp dụng cho hàm số có giới hạn hữu hạn Ta không áp dụng cho giới hạn dần vơ cực Định lí 2: (Ngun lí kẹp) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -1- Giới hạn hàm số Cho ba hàm số f (x ), g(x ), h(x ) xác định K chứa điểm x (có thể hàm khơng xác định x ) Nếu g (x ) £ f (x ) £ h (x ) "x Ỵ K lim g(x ) = lim h(x ) = L lim f (x ) = L x ®x Một số gới hạn đặc biệt * lim x đ+Ơ (x đ-Ơ) x 2k = +Ơ ; lim x đ+Ơ (x đ-Ơ) x đx x đx x 2k +1 = +¥ (-¥) k = (k 0) x đ x f (x ) * lim f (x ) = +¥ (-¥) Û lim x ®x sin x x tan x x = lim = , từ suy lim = lim = x ®0 x x ® sin x x ®0 x x ® tan x * lim x * lim (1 + x ) x ®0 = ln(1 + x ) ex - 1 lim (1 + )x = e Þ lim = lim =1 x x x đ0 x đ0 x x đƠ Chú ý : Ta thường sử dụng giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vô cực, giới hạn hàm số lượng giác giới hạn hàm lũy thừa, mũ logarít CÁC DẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Tìm lim f (x ) biết f (x ) xác định x x ®x Phương pháp: * Nếu f(x) hàm số cho cơng thức giá trị giới hạn f (x ) * Nếu f(x) cho nhiều cơng thức, ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái giới hạn phải) Ví dụ 1: Tìm giới hạn hàm số sau: x2 - x + x +1 x ®1 1)A1 = lim tan x + p sin x + 2) A2 = lim x® ln2 (x + 2) - x + 3x + x ®0 3)A3 = lim Giải: x2 - x + 1 - + = = x +1 1+1 x ®1 p tan + tan x + = = sin x + p sin + 1) Ta có: A1 = lim 2) A2 = lim +6 x® p ln2 (x + 2) - x + = ln2 + 3x + x ®0 3) A3 = lim Ví dụ 2: Xét xem hàm số sau có giới hạn điểm hay khơng? Nếu có hay tìm giới hạn đó? Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hịa -2- Giới hạn hàm số ì ïx + 12x + ï ï x < 1) f (x ) = ï x + x ® í ï ï3x + x ³ ï ï ỵ ì ï2x + 3x + x ³ ï 2) f (x ) = ï x ® í ï-x + 3x + x < ï ï ỵ Giải: 1) Ta có: lim f (x ) = lim (3x + 2) = x ®1+ x ®1+ lim f (x ) = lim x ®1- x + 12x + x2 + x ®1- Vậy lim f (x ) = x đ1 = ị lim f (x ) = lim f (x ) = x ®1+ x ®1- 2) Ta có: lim f (x ) = lim (2x + 3x + 1) = x ® 0+ x ® 0+ lim f (x ) = lim (-x + 3x + 2) = ị lim f (x ) lim f (x ) x ® 0- x ® 0- x ® 0+ x ® 0- Vậy hàm số f (x ) khơng có giới hạn x ® Ví dụ 3: Tìm a để hàm số sau có giới hạn x ® ì ïx + ax + ï f (x ) = ï í ï2x - x + ï ï ỵ Giải: x > x £ Ta có: lim f (x ) = lim (x + ax + 2) = 2a + x ® 2+ x ® 2+ x ® 2- x ® 2- lim f (x ) = lim (2x - x + 1) = Yêu cầu toán Û lim f (x ) = lim f (x ) Û 2a + = Û a = x ® 2+ Vậy a = giá trị cần tìm x ® 2- Bài tập: Bài 1: Tìm giới hạn sau 1) B1 = lim x ®-2 x x +1 +x +4 ln(2x - x + 1) - 22x + sin2 2x - cos x tan x p 2) B2 = lim x® 3x + - 4) B4 = lim x ®1 x ®1 3x + - e 3x -2 Bài 2: Xét xem hàm số sau có giới hạn điểm hay khơng ? Nếu có tìm giới hạn ? 3) B3 = lim Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -3- Giới hạn hàm số ì ï3x - 5x + x ³ ï 1) f (x ) = ï x ® í ï-3x + x < ï ï ỵ ì ïx - ï ï x > x ® 2) f (x ) = ï x - í ï ï2x + x £ ï ï ỵ Bài 3: Tìm a để hàm số sau có giới hạn x ® ì ï5ax + 3x + 2a + x ³ ï f (x ) = ï í ïe 3x -2x + ln(x + x + 2) ï x < ï ỵ f (x ) f (x ) = g(x ) = Dạng ta gọi dạng vơ định x ® x g (x ) Để khử dạng vô định ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức: Định lí: Nếu đa thức f (x ) có nghiệm x = x ta có : Dạng 2: Tìm A = lim f (x ) = (x - x )f1 (x ) *Nếu f (x ) g (x ) đa thức ta phân tích f (x ) = (x - x )f1 (x ) g(x ) = (x - x )g1 (x ) f (x ) Khi A = lim , giới hạn có dạng ta tiếp tục trình x ® x g1(x ) Chú ý :Nếu tam thức bậc hai f (x ) = ax + bx+c có hai nghiệm x1, x ta ln có phân tích ax + bx + c = a(x - x1 )(x - x ) * Nếu f (x ) g (x ) hàm chứa thức ta nhân lượng liên hợp để chuyển đa thức, phân tích đa thức Các lượng liên hợp: ( a - b )( a + b ) = a - b 3 (3 a ± b )( a m ab + b ) = a - b n n n (n a - n b )( a n -1 + a n -2b + + bn -1 ) = a - b * Nếu f (x ) g (x ) hàm chứa thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu n f (x ), m g(x ) ® c ta phân tích: n f (x ) - m g(x ) = (n f (x ) - c) - (m g (x ) - c) Trong nhiều trường hợp việc phân tích khơng đến kết ta phải phân tích sau: n f (x ) - m g(x ) = (n f (x ) - v(x )) - (m g(x ) - v(x )) , v(x ) ® c * Một đẳng thức cần lưu ý: a n - bn = (a - b )(a n -1 + a n -2b + + ab n -2 + bn -1 ) Ví dụ 1: Tìm gới hạn sau Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -4- Giới hạn hàm số (1 + 3x )3 - (1 - 4x )4 x x ®0 x - 3x + 1) A4 = lim 2) A5 = lim x - 4x + x ®1 x - 5x + 3) A6 = lim (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) - x x ®0 4) A7 = lim x3 - x ®2 Giải: 1) Ta có: (x - 1)(x - 2x - 2) x - 2x - A4 = lim = lim = lim = (x - 1)(x - 3) x -3 x ®1 x - 4x + x ®1 x ®1 x - 3x + (1 + 3x )3 - (1 - 4x )4 - - lim x x x ®0 x ®0 2) A6 = lim 3x [(1 + 3x )2 + (1 + 3x ) + 1] -4x (2 - 4x )[(1 - 4x )2 + 1] = lim - lim x x x ®0 x ®0 = lim 3[(1 + 3x )2 + (1 + 3x ) + 1] + lim 4(2 - 4x )[(1 - 4x )2 + 1] = -7 x ®0 x ®0 x - 5x + 3) A6 = lim x3 - x ®2 = lim = lim (x - 1)(x - 4) x ®2 (x - 1)(x - 2)(x + 2) x ® (x - 2)(x + 2x + 4) = lim x - 23 (x - 1)(x + 2) x ® x + 2x + = (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) - 6x + 11x + 6x = lim = x x x ®0 x ®0 4) A7 = lim Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: 1) A8 = lim xn - x ®0 x m - n (m, n ẻ Ơ*) + ax - (n ẻ Ơ*, a 0) x x đ0 2) A9 = lim Giải: 1) A8 = lim (x - 1)(x n -1 + x n -2 + + x + 1) x ® (x - 1)(x m -1 + x m -2 + + x + 1) = lim x n -1 + x n -2 + + x + x ® x m -1 + x m -2 + + x + = n m 2) Cách 1: Nhân liên hợp A9 = lim (n + ax - 1)(n (1 + ax )n -1 + n (1 + ax )n - + + n + ax + 1) x ®0 = lim x (n (1 + ax )n -1 + n (1 + ax )n - + + n + ax + 1) a x ®0 n (1 + ax )n -1 + n (1 + ax )n - + + n + ax + Cách 2: Đặt ẩn phụ Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa = a n -5- Giới hạn hàm số tn - x ® Û t đ a t -1 t -1 a ị A9 = a lim = a lim = t ®1 t n - t ®1 (t - 1)(t n -1 + t n + + t + 1) n Đặt t = n + ax Þ x = Ví dụ 3: Tình giới hạn sau 1) A10 = lim n + ax - 1 + ax + b x + g x - 2) A11 = lim x ® m + bx - x x ®0 Giải: 1) Áp dụng tốn ta có: n + ax - x a m am lim = = x bn x ®0 x ® m + bx - n b A10 = lim + ax + bx + g x - = 2) Ta có: = + a x + b x (4 + g x - 1) + + a x ((3 + b x - 1) + ( + a x - 1) A11 = lim ( + a x + b x ) 41 + gx x x ®0 A11 = -1 31+ bx - x x ®0 + ax - + lim x x ®0 + lim + ax g b a + + ( Áp dụng kết A9 ) Ví dụ 4: Tìm giới hạn sau: 1) A12 = lim 2x - - x 2) A13 = lim x2 - x ®1 3x + - x 3x - - x ®2 Giải: 2x - - x 1) A12 = lim x ®1 (x 2) A13 = lim x ®2 Þ A13 = -1 - 1)(x + 1)( 2x - + x ) = lim x ®1 (x (3x + - x )( 3x - + 2) 3 3(x - 2)( (3x + 2) + 3x + + 4) -(x - 1) + 1)( 2x - + x ) = lim x ®2 = -(x + 2x + 1)( 3x - + 2) 3 3( (3x + 2) + 3x + + 4) Ví dụ 5: Tìm giới hạn sau 7x + - 5x - x -1 x ®1 1) A14 = lim 2) A15 = lim x ®7 x + - x + 20 x +9 -2 Giải: 3 7x + - - ( 5x - - 2) 7x + - 5x - - 1) A14 = lim = lim + lim = I +J x -1 x -1 x -1 x ®1 x ®1 x ®1 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -6- Giới hạn hàm số I = lim x ®1 7(x - 1) (x - 1)(3 (7x - 1)2 + 7x - + 4) 5(x - 1) J = lim x ®1 (x - 1)( Vậy A14 = 5x - + 1) 2) Ta có: A15 = lim x ®7 = lim x ®1 x +9 -2 12 5x - + x + - x + 20 = = lim x ®7 = x + - 3 x + 20 - x -7 x -7 x +2 -3 1 = lim = x -7 x ®7 x ®7 x + + x +9 -2 x -7 mà: lim x + 20 - 1 = lim = x -7 27 x ®7 x ® (3 x + 20)2 + 3 x + 20 + lim x +9 -2 1 = lim = x -7 32 x ®7 x ® (4 x + 9)3 + 2(4 x + 9)2 + 4 x + + lim 1 27 = 112 Vậy A15 = 27 32 Bài tập: Tìm giới hạn sau: 1) B5 = lim 2x - 5x + 2) B6 = lim x ® x - 3x - x ®3 5) B9 = lim x +1 -1 4) B8 = lim x ® 2x + - x - 4x + 3 4x - - x + x ®7 x ®1 x ®0 6) B10 = lim + 2x - + 3x x ®0 2x + - (x + 1)(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) - 7) B11 = lim 8) B12 = lim x ®1 x + 2x - 3 2x + - x 3) B7 = lim x - 3x + x2 - x2 - 2x + x - + 2x + x 2+x - 2-x Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -7- Giới hạn hàm số f (x ) ¥ , ú f (x ), g(x ) đ Ơ , dng ta cịn gọi dạng vơ định ¥ x đƠ g (x ) Phng phỏp: Tng t nh cách khử dạng vô định dãy số Ta cần tìm cách đưa giới hạn: Dạng 3: Tìm B = lim * lim x 2k = +¥ x ®+¥ (x ®-¥) * lim k x ®+¥ x n (x đ-Ơ) lim x 2k + = +Ơ (-Ơ) ; x đ+Ơ (x đ-Ơ) = (n > 0; k ¹ 0) k = (k ¹ 0) x ® x f (x ) * lim f (x ) = +¥ (-¥) Û lim x ®x Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: 1) A16 = lim 3x + 5x + x đ+Ơ 2x + x + a x n + + an -1x + an 2) A17 = lim (a 0b0 0) x đ+Ơ b x m + + b m -1x + bm Giải: 5 + ) 3+ + x x2 x x2 1) Ta có: A16 = lim = lim = 1 1 x đ+Ơ x đ+Ơ x (2 + + ) 2+ + x x2 x x2 a a a x n (a + + + n -1 + n ) x x n -1 x n 2) Ta cú: A17 = lim b b b x đ+Ơ m x (b0 + + + m -1 + m ) x x m -1 x m a a a a0 + + + n -1 + n x x n -1 x n = a0 * Nếu m = n Þ A17 = lim b b b b0 x đ+Ơ b0 + + + m -1 + m x x m -1 x m a a a a0 + + + n -1 + n x x n -1 x n * Nếu m > n Þ A17 = lim =0 b1 bm -1 bm x đ+Ơ m - n x (b0 + + + + ) x x m -1 x m ( Vì tử ® a0 , mẫu ® ) * Nếu m < n x (3 + Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -8- Giới hạn hàm số a x n - m (a + + + x Þ A17 = lim a + n) x n -1 x n = b b b b0 + + + m -1 + m x x m -1 x m x đ+Ơ an -1 ỡ+Ơ a b0 > ï í ï-¥ a 0b0 < ỵ Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: 2x + - x + 2x + x đ+Ơ 2) A19 = lim 1) A18 = lim 3x - + x + x đ-Ơ x +1 -1 Giải: 1) Ta có: A18 = lim |x | + x2 -|x | 1+ x (2 + ) x x đ+Ơ x = lim 2+ x đ+Ơ x2 - 1+ 2+ x x2 = -1 1 1 + - 3+ x x2 x x2 x2 x2 2) A19 = lim = lim = x ®-¥ x ®-¥ 1 1 |x |( + ) -( + ) x2 | x | x2 | x | Ví dụ 3:Tìm giới hạn sau |x | - 1) A20 = lim + |x | 3x + - 2x + x + x đ-Ơ 2) A21 = lim 4x + x x + - 2x + x đ+Ơ 2x - + Giải: 1) Ta có: A20 = lim x3 + x đ-Ơ 2) A21 = lim x đ+Ơ x3 -x 4 + x4 1 + ) x( + - + ) x2 x x2 = x x x = +¥ 2 32x (3 + ) + x3 x x3 x x 2( + 1 + x x2 3+ = 2 +x 2+ - (do t đ +Ơ , mẫu ® ) Bài tập: Tìm gii hn sau 1) B13 = lim x đ+Ơ (2x + 1)3 (x + 2)4 (3 - 2x )7 2) B14 = lim 4x - 3x + - 2x x đ-Ơ Nguyn Tt Thu Trng Lờ Hng Phong – Biên Hòa x2 + x + - x -9- Giới hạn hàm số 3) B15 = lim 2x + 3x + x đ+Ơ ln(1 + x + x ) 4) B16 = lim x đ-Ơ ln(1 + x + x ) 5x - x + Dạng : Dạng vơ định: ¥ - ¥ 0.¥ Phương pháp: Những dạng vơ định ta tìm cách biến đổi đưa dạng ¥ ¥ Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: 1) A22 = lim ( x - x + - x ) x đ+Ơ 2) A23 = lim (2x + 4x - x + 1) x đ-Ơ Gii: 1) Ta cú: ( x - x + - x )( x - x + + x ) A22 = lim x ®+¥ x ®+¥ x2 - x + + x -x + 1 Þ A22 = lim =- x đ+Ơ x2 - x + + x 2) A23 = lim (2x - 4x - x + 1)(2x + 4x - x + 1) x ®-¥ x2 - x + - x2 = lim 2x - 4x - x + x2 - x + + x = lim x đ-Ơ x +1 2x - 4x - x + = Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: 1) A24 = lim ( x - 3x + x - 2x ) x đ-Ơ 2) A25 = lim x ( x + 2x - x + x + x ) x đ+Ơ Gii: 1) Ta cú: 3 = -3x x đ-Ơ = 2x (x - 3x )2 + x x - 3x + x Þ A24 = lim 2) Ta có: x - 3x + x - 2x = ( x - 3x - x ) + ( x - 2x + x ) -3 3 (1 - )2 + +1 x x x + 2x - x + x + x = x + 2x - x - x + 2x + x + x + x = + + lim x ®-¥ -2x x - 2x - x -2 - 1- -1 x = 2x + 2x + 2x x + 2x - 4x - 4x x + 2x + x + x + x -2x ( x + 2x + x + x + x )( x + 2x + x + 1) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 10 - Gii hn hm s ị A25 = lim x đ+Ơ A25 = lim -2x ( x + 2x + x + x + x )( x + 2x + x + 1) -2 x đ+Ơ ( 1+ 2 + + + 1)( + + + ) x x x x =- Ví dụ 3: Tìm giới hạn: A26 = lim [n (x + a1 )(x + a2 ) (x + an ) - x ] x đ+Ơ Gii: t y = n (x - a1 )(x - a2 ) (x - an ) Þ y n - x n = (y - x )(y n -1 + y n -1x + + x n -1 ) Þ y - x = Þ lim (y - x ) = lim x đ+Ơ y n -1 x đ+Ơ M lim yn - x n x ®+¥ lim x n -1 y k x n -1 - k y n -1 + y n -1x + + x n -1 yn - x n yn - x n + y n - 2x + + x n -1 ị A26 = lim x đ+Ơ x n -1 y n -1 + y n -1x + + x n -1 x n -1 b b b = lim (a1 + a2 + + an + + + + n ) = a1 + a2 + + an x x2 x đ+Ơ x n -1 = "k = 0, , n - Þ lim x n -1 a + a2 + + an Vậy A26 = n x đ+Ơ yn - x n y n -1 + y n - 2x + + x n -1 x n -1 x đ+Ơ =n Bi tập: Tìm giới hạn sau: 1) B17 = lim ( x2 - x + - x ) x ®+¥ 2) B18 = lim x ( 4x + - x ) 3) B19 = lim ( x - x + - x + x + 1) x đƠ 5) B21 = lim ( 16x + 3x + - 4x + 2) x đ+Ơ x đ-Ơ 4) B20 = lim ( 8x + 2x - 2x) x đ+Ơ 6) B22 = lim (x - - x ) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong Biờn Hũa x đ-Ơ - 11 - Gii hn hàm số Dạng vô định hàm lượng giác PP: Ta sử dụng công thức lượng giác biến đổi dạng sau: sin x x tan x x * lim = lim = , từ suy lim = lim = x ®0 x x ® sin x x ®0 x x ® tan x sin u(x ) tan u(x ) * Nếu lim u(x ) = Þ lim = lim = x ®x x ® x u(x ) x ® x u(x ) Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: A27 = lim x ®0 - cos ax x2 Giải: 2 ax ổ ax sin ỗ sin ữ = a lim ỗ ữ =a Ta cú: A27 = lim x đ ỗ ax ữ x đ0 x2 ỗ ữ ố ứ Chỳ ý: Kt thường hay sử dụng để giải số tốn khác Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau + sin mx - cos mx 1) A28 = lim x ® + sin nx - cos nx 2) A29 = lim - cos x cos 2x cos 3x x ®0 x Giải: 1) Ta có: mx mx mx mx nx mx mx + sin cos sin sin + cos + sin mx - cos mx 2 =m 2 = + sin nx - cos nx nx nx nx n mx nx nx nx sin2 + sin cos sin sin + cos 2 2 2 mx nx mx mx sin sin + cos m lim lim 2 =m A28 = lim n x ® mx x ® nx x ® nx nx n sin sin + cos 2 2 2) Ta có: - cos x cos 2x cos 3x - cos x + cos x cos 2x (1 - cos 3x ) + cos x (1 - cos 2x ) = x2 x2 - cos x - cos 3x - cos 2x = + cos x cos 2x + cos x x2 x2 x2 Sử dụng kết A27 ta có: sin2 A29 = lim x ®0 - cos x x2 + lim cos x cos 2x x ®0 - cos 3x x2 + lim cos x x ®0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - cos 2x x2 =3 - 12 - Giới hạn hàm số Ví dụ 3: Tìm giới hạn sau: cos 2x - cos 3x tan2 2x 3) A32 = lim x ® x (sin 3x - sin 4x ) x ® - cos 2x - cos 2x 3x x ®0 sin 1) A30 = lim 2) A31 = lim Giải: 3x = 3x sin sin x sin x = lim x ( ) lim 3x x ® x x ®0 x ®0 sin 5x x 5x sin sin sin 2 = - lim ( ) lim 2) A31 = lim = 7x x 5x 7x x ®0 x ®0 x ®0 -2x cos sin cos 2 2 1) Ta có: A30 = lim tan2 2x 3) A32 = lim x ® - cos 2x tan2 2x (1 + cos 2x + cos2 2x ) - cos 2x x ®0 = lim tan2 2x (1 + cos 2x + cos2 2x ) = lim sin2 x tan 2x x = lim ( ) ( ) (1 + cos 2x + cos2 2x ) sin x x đ 2x ị A32 = x ®0 Ví dụ 4: Tìm giới hạn sau 1) A33 = lim - n cos ax x2 x ®0 - cos x + cos 2x - cos 3x + cos 4x - + 2008 cos 2008x 2) A34 = lim x2 x ®0 Giải: 1) Ta có: - n cos ax = Þ A33 = lim + n cos ax + (n cos ax )2 + + (n cos ax )n -1 - cos ax x ®0 x2 - cos ax lim x ®0 + n cos ax + (n cos ax )2 + + (n cos ax )n -1 = a a = n 2n 2) Ta có: Mà lim x ®0 2008 å k =1 k (-1)k k cos kx = - cos kx x2 = 2008 å (-1)k +1(1 - k cos kx ) k =1 ("k = 1, 2, , 2008) Þ A34 = Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 13 - Giới hạn hàm số Ví dụ 5: Tìm giới hạn x2 1) A35 = lim x ® cos x - cos x + x sin 3x - cos 2x x ®0 Giải: sin2 2x 2) A36 = lim 1) Ta có: A35 = lim + x sin 3x - cos 2x x ®0 x2 Mà: lim + x sin 3x - cos 2x = lim + x sin 3x - x ®0 x2 x2 sin 3x = lim ( )+1 = x ® 3x + x sin 3x + Vậy: A35 = x ®0 2) Ta có: lim cos x - cos x x2 x ®0 + lim - cos 2x x2 x ®0 -(1 - cos x ) + - cos x = lim x2 x ®0 1 + =- 24 =- sin 2x x2 ) lim = 4.(-24) = -69 x ® 2x x ® cos x - cos x Þ A36 = lim ( Ví dụ 6: Tìm giới hạn sau 1) A37 = lim sin(p x m ) p - x ) tan x p 2) A38 = lim ( x ®1 sin(p x n ) x® Giải: 1) Ta có: A37 = lim sin p (1 - x m ) x ®1 sin p (1 - x n ) = lim - xn x ®1 - x m x ®1 sin p (1 - x m ) p (1 - x m ) lim p (1 - x n ) x ®1 (1 - x )(x m -1 + x m - + + 1) x® lim - xn x ®1 sin p (1 - x n ) x ®1 - x m (1 - x )(x n -1 + x n - + + 1) p sin x - x) = lim cos x p p 2) Ta có: A38 = lim ( x® = lim = lim = n m p -x lim sin x = p p sin( - x ) x ® 2 Ví dụ 7: Tìm giới hạn sau: 1) A39 = lim x a sin (a > 0) 2) A40 = lim (sin x + - sin x ) x x đ+Ơ x đ0 Gii: 1) Ta có: £| x a sin |< x a Mà lim x a = x x đ0 Nờn theo nguyờn lớ kp ị A39 = Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 14 - Giới hạn hàm số 2) Trước hết ta có: sin x < x Ta có: "x > x +1 - x x +1 + x cos |< 2 | sin x + - sin x |=| 2sin lim x +1 + x x đ+Ơ x +1 + x Mà = nên A40 = Bài tập: Tìm giới hạn sau - + 2sin2x sin 3x x ®0 cos 3x - cos 4x x ® cos 5x - cos 6x 2) B24 = lim 1) B23 = lim cos 3x + - sin 3x - sin x p x® x ® sin 3x p - sin( cos x ) 5) B27 = lim sin(tan x ) x ®0 7) B29 = lim m sin x + cos x 6) B28 = lim cos ax - m cos bx sin2 x x ®0 sin 2x 4) B26 = lim 3) B25 = lim x đ+Ơ x +1 + x 2x2 + - 3x2 + 8) B20 = lim - cos x x ®0 Giới hạn hàm số mũ Lơgarít ln(1 + x ) ex - = lim = x x ®0 x ®0 x Sử dụng giới hạn đặc biệt: lim Từ ta có hệ quả: ln(1 + u(x )) eu(x ) - = lim = u(x ) x ® x u(x ) x ®x Nếu lim u(x ) = lim x ®x Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau eax - ebx 1) A41 = lim x x ®0 e 2x + -1 - e - 3x 2) A42 = lim x x ®0 Giải: eax - ebx - 1) Ta có: A41 = a lim - b lim = a -b x ® ax x ® bx 2) Ta có: A42 = lim x ®0 Mà lim x ®0 3 2x + - e - 3x -1 - 1 - 3x - lim - lim lim x x x ® - 3x - x ® 2x + - x ® e 2x + -1 - e 2x + -1 - 2x + - = lim e - 3x -1 - x ® - 3x - 2x + - =1 x x ®0 = ; lim Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 15 - Giới hạn hàm số - 3x - = -1 Nên Þ A42 = + = x x ®0 lim Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau ax - x ®0 x 1) A44 = lim ln | x | - ln(3 3x + + 1) | x + - |] x x ®0 2) A43 = lim Giải: 1) Đặt t = a x - Þ x = ln(t + 1) t ln a Khi x ® Þ t ® Þ A44 = lim = ln a ln a t ® ln(1 + t ) Chú ý : Ta có dạng tổng quát A 44 sau: a u(x ) - = ln a x ® u(x ) Nếu lim u(x ) = ị lim x đ0 x (3 3x + + 1) 2) Ta có: (3 3x + + 1)( x + - 1) = x +1 +1 Þ ln(3 3x + + 1) | x + - |= ln | x | + ln(3 3x + + 1) - ln( x + + 1) ln(3 3x + + 1) - ln( x + + 1) = x x đ0 ị A45 = lim ln(1 + + 3x) - ln ln(1 + + x ) - ln = lim - lim x x x ®0 x ®0 1 ln(1 + (3 + 3x - 1)) ln(1 + ( + x - 1)) 2 = lim - lim = I -J x x x ®0 x ®0 ln(1 + (3 + 3x - 1)) 1 + 3x - 1 Mà I = lim = 1.1 = x ®0 x 2 ( + 3x - 1) ln(1 + ( + x - 1)) 1+x -1 1 J = lim = = x ®0 x 2 ( + x - 1) 1 Vậy A45 = - = 4 Ví dụ 3: Tìm giới hạn sau: (1 + x )a - 1) A46 = lim (a > 0) x x ®0 Giải: ( 1) Ta có: + x a ) ax - xa 2) A47 = lim x ®a x - a - = ea ln(1 + x ) - Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 16 - Giới hạn hàm số (1 + x )a - ea ln(1 + x ) - a ln(1 + x ) ea ln(1 + x ) - a ln(1 + x ) Þ = Þ A46 = lim =a x a ln(1 + x ) x x x ® a ln(1 + x ) (1 + u(x ))a - =a u(x ) x ®0 Chú ý : Tổng qt ta có: Nếu lim u(x ) = ị lim x đ0 ộ ù x -a a 2) Ta có: a x - x a = aa (a x -a - 1) - aa ê(1 + ) - 1ú a ë û x -a a (1 + ) -1 x a x -a a -x -1 a a a -1 a Þ =a -a x -a x -a x -a a x -a a (1 + ) -1 a x -a - a a -1 a Þ A47 = a lim -a lim x -a x ®a x - a x ®a a a = aa ln a - aa -1 a = aa ln e Ví dụ 4: Tìm giới hạn sau: 1) A48 = lim x ®0 e 2x - x - 3x + 2) A49 = lim ln( 3x + - 1) 3x+1 -1 - sin 3x x ®0 ln(x - x + 1) Giải: 1) Ta có: e 2x - x - 3x + = ln( 3x + - 1) é 2x - x ù x (2x - 1) e - 3x + - ú 3x + - =ê ê 2x - x x (2x - 1) ú ln(1 + ( 3x + - 2)) 3x + - ê ú ë û Mặt khác : lim x ®0 2x - x = lim x ®0 3x + - ln(1 + ( 3x + - 2)) =1 x (2x - 1) 3x + - 3x + - 1 = lim lim = - ; lim =x x ® 3x + - x ® x (2x - 1) x ®0 x ® 2x - Þ A48 = (1 + ).1.(- ) = - 2) Ta có: é ù 3x + -1 - cos 3x ê 3x +1 -1 - 1 - cos 3x ú x2 - x 3x + - = + ê 3x + - 3x + - ú ln(x - x + 1) x - x ln(x - x + 1) ë û lim Mà lim x ®0 e 2x - x - 3x + -1 - 3x + - = ln ; lim x ®0 3x + - x2 - x 3x + - 1 lim =x x ®0 x ®0 x - = lim Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 17 - Giới hạn hàm số 3x ) x2 - x - cos 3x x2 lim lim = lim = ; lim =1 x ® x ® 3x + - x ® ln(x - x + 1) x ® 3x + - ( x) Þ A49 = -3 ln sin2 ( ¥ Giới hạn Phương pháp: Dựa vào giới hạn đặc biệt sau: lim (1 + x )x = lim (1 + x đ0 x đ+Ơ x ) = lim (1 + )x = e x x x đ-Ơ * Nu lim u(x ) = v lim v(x ) = +Ơ(-Ơ) * x đx x ®x v (x ) lim éu(x )ù ë û x ®x = lim x ®x 0 =e (u(x ) -1)v(x ) é1 + (u(x ) - 1)ù u(x ) -1 ë û lim (u(x ) -1)v (x ) x ®x0 Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: ỉx + 2ư 1) A51 = lim ỗ ữ x đ+Ơ ố x + ứ 3x + 2 ỉ x -1 2) A52 = lim ỗ - e x - x ) ÷ x ®1 è ø Giải: (x + 1) ổ 1) Ta cú: A51 = lim ỗ + ữ x + 1ứ x đ+Ơ ố 3x + x +1 3x + = e x ® +¥ x + lim 2 -e x - x -e x - x lim -x ỉ x -1 x ) ÷1 -ex - x = e x ® x -1 ç + (1 - e 2) Ta có: A52 = lim = e3 x ®1 è ø 2 - ex -x - ex - x = lim x = -1 Vậy A52 = e -1 x ®1 x - x ®1 x - x Mà lim Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: 2x + x - x + 3x 2) A54 = lim ( ) x ®0 x + x + cot2 x 1) A53 = lim (1 + x ) x ®0 Giải: x2 lim x2 2 1) Ta có: A53 = lim (1 + x )x tan x = e x ® tan x = e x ®0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 18 - Giới hạn hàm số 2) Ta có x2 - x + x2 + x + Þ A54 = lim (1 x ®0 =1- 2x x2 + x + - 2x x +x +1 Ví dụ 3: Tìm giới hạn: ) 2x + x + x + -2(2x + 1) = () 3x 2x 3(x + x + 1) x + x + -2(2x + 1) 2x 3(x + x + 1) =e lim -2(2x + 1) x ® 3(x + x + 1) =e - A55 = lim (sin x )tan x x® p Giải: (sin x -1) sin x -1 cot x Ta có: A55 = lim [1 + (sin x - 1)] p x® Mà lim x® p sin x -1 p cot x lim =e x® p x p x p cos( + ) sin( - ) sin x - = lim 4 = lim cot x p p p p x® x® tan( - x ) tan( - x ) 2 2 x p p sin( - ) -x x p = lim [ - cos( + )] = x p p p x® tan( - x ) 2 sin x - sin Vậy A55 = e = Bài tập: Tìm giới hạn sau Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 19 - ... dụng giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vô cực, giới hạn hàm số lượng giác giới hạn hàm lũy thừa, mũ logarít CÁC DẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Tìm lim f (x ) biết f (x ) xác định. .. Nếu f(x) hàm số cho cơng thức giá trị giới hạn f (x ) * Nếu f(x) cho nhiều cơng thức, ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái giới hạn phải) Ví dụ 1: Tìm giới hạn hàm số sau:... 3) A3 = lim Ví dụ 2: Xét xem hàm số sau có giới hạn điểm hay khơng? Nếu có hay tìm giới hạn đó? Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hịa -2- Giới hạn hàm số ì ïx + 12x + ï ï x < 1) f