Hàm số giới hạn của hàm số pps

1 PHẦN II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 2 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: )x(fyx Y X : f    ) x ( f x  • Đơn ánh: x 1 , x 2  X, x 1 ≠ x 2 => f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) • Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x) • Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh • Nếu f: XY là song ánh thì f -1 : YX là ánh xạ ngược của f 3 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X  R, ta gọi ánh xạ f:XY là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x  X}: miền giá trị của f Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x 2 - 4x + 6 4 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X: • f = g: f(x) = g(x),  x  X • (f  g)(x) = f(x)  g(x), xX • (fg)(x) = f(x)g(x), xX Hàm số f/g có miền xác định X 1 = X\{x: g(x) = 0} : 1 Xx, )x(g ) x ( f )x)( g f (  • (af)(x) = af(x), xX 5 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu f o g. Ví dụ: Tìm g o f, g o h, f o g, h o g Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: XY là một song ánh thì f -1 : YX được gọi là hàm số ngược của f. • Đồ thị của f, f -1 đối xứng nhau qua đường y = x. 2 xlogg  x sin f  x e h  6 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: • f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2  (a,b): x 1 < x 2 => f(x 1 )  f(x 2 ) (f(x 1 )  f(x 2 )) • f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2  (a,b): x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )) • Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu. Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D  X. 7 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x  X Số T 0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 = 2. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 =. 8 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x  X. • f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X • f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x 2 là Hàm số chẵn )1xxlg()x(g 2  Hàm số lẻ Ghi chú: • Hàm số chẵn đối xứng qua Oy • Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 9 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Hàm số luỹ thừa: y = x  , với   R •   N: mxđ R •  nguyên âm: mxđ x ≠ 0. •  có dạng 1/p, p  Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ •  là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x  tại mọi x  0 nếu  > 0 và tại mọi x > 0 nếu  < 0. 2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ Đồ thị của y = x  luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu  < 0. 10 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Hàm số mũ: y = a x (a > 0, a ≠ 1) • Hàm số mũ xác định với mọi x dương. • Hàm số mũ tăng khi a > 1. • Hàm số mũ giảm khi a < 1. • Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. [...]... tăng • Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0,] • Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (/2,/2) và là hàm số tăng • Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0,) là hàm số giảm 14 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp...C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3 Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1 • Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0 • Hàm số logax tăng khi a > 1 • Hàm số logax giảm khi a < 1 • Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị • Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = ax 11 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ  Một số tính chất của logax: Loga(x1x2) = Loga(x1) + Loga(x2) x1 Loga... cấp cơ bản • Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp  2 sin( x 2 )  3   f ( x )  log3    x2  2   15 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3 GIỚI HẠN HÀM SỐ 1 Giới hạn hữu hạn của hàm số: Định nghĩa lân cận: • x thuộc lân cận của x0   >... HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 4 Hàm số lượng giác: • y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2 • y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2 • y = tgx, mxđ  x ≠ (2k+1)/2, hàm lẻ, chu kỳ  • y = cotgx, mxđ  x ≠ k, k  Z, hàm lẻ, chu kỳ  13 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 5 Hàm số lượng giác ngược: • Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [-/2,/2] và là một hàm số tăng • Hàm. .. )   20 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3 Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 thì • Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2 • Lim [f(x)g(x)] = L1L2 • Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0) • Lim [f(x)]m = L1m (L1m  R) • Lim C = C • Lim [Cf(x)] = CL1 Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.,  - , 1 thì phải biến đổi để khử chúng 21 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Tìm... C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0 Nếu lim g( x )  lim h( x )  L  x  x0 x  x0 lim f ( x )  L x  x0 Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]  x 2  1   Ví dụ: Tìm lim sin  2x 2  x  x    23 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 4 Một số giới. .. liên tục bên phải (bên trái) tại x0 31 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0 Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu: - Hoặc f(x) không xác định tại x0 - Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x  x0 - Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x  x0 32 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 =... F(x)~G(x) 29 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) , G(x)~G1(x) thì lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x) Ví dụ: Tìm lim 7x3  x5  6 x x  12 x 3  x2  6 x 30 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa: Hàm số f được... lân cận của +  A: x > A • x thuộc lân cận của -  B: x < B Mở rộng thêm: • x thuộc lân cận của x0 và x ≠ x0   > 0: 0 0 cho trước,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) – L <  Ký hiệu: lim f ( x )  L x  x0 Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng lim (2x  1)  7 x 3 x2  1 lim 2 x 1 x  1 17 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa giới hạn một bên: • Giới hạn bên phải:  > 0,  > 0: x0 < x < x0 +   f(x) – L . cấp. 16 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số: Định nghĩa lân cận: • x thuộc lân cận của x 0   > 0: x-x 0  <  • x thuộc lân cận của +  A:. đồ thị của hàm số mũ. 11 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. Hàm số logarit: y = log a x, a > 0, a ≠ 1 • Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. • Hàm số log a x tăng khi a > 1 • Hàm số log a x. II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 2 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh