Chứng minh rằng phương trình.
Trang 1Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim= 0 > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1
*Các phép toán giới hạn :
lim(un vn) = limun limvn ; lim(un.vn) = limun ;
limvnlim =
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn)
Nếu n ta có un # vn # wn và limun = limwn = A thì limvn = A
Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim =
Nếu limun = thì lim = 0
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S =
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim
2.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim
d) lim e) lim
1 n 2 n
3 n
3 3
f)lim() g) lim
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim() c) lim)
d) lim) e) lim
f) lim g) lim
1 3 n
1 n 3 n n
h) lim i) lim()
j) lim n() k) lim(3 n3 2n2 n
l) lim m) lim(1 + n2 – )
n) lim
4.Tính các giới hạn
a) lim b) lim c) lim
d) lim e) lim f) lim(11)n(3)2n n
g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1
4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
6.Tìm các số hữu tỉ sau :
a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515
7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )
8 Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) # Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn
9 Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 n N a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n n # 3
b) Tính limxn
10.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= a) Chứng minh rằng: un < 1 n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= a) Chứng minh rằng un < 3 n
b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun
Giới hạn hàm số
*Các phép toán về giới hạn hàm số
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x)
x a
x a
x a
lim f (x)
f (x) lim g(x) lim g(x)
lim f (x)x a lim f (x)x a
*Các định lý về giới hạn hàm số :
Trang 2Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K
chứa a và g(x) # f(x) # h(x) Nếu lim g(x) lim h(x) Lx a x a thì lim f (x) Lxa
Định lý 3: Nếu lim f (x) 0 thì limx a x a 1
f (x)
Nếu lim f (x)x a thì limx a 1 0
f (x)
Định lý 4: limx 0sinx 1
x
limx 0 x 1
sinx
limx 0sin kx 1
kx
sin kx
*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0. ; –
1.Tính các giới hạn sau:
a)
2 x
2 x x
lim
2
2
1 x
3 x x x
1
c)
4 x 4 x
x 2 x
2
2
2 x x
1 x x x
2 3 1
e)
9 x x
9 x x x
2 3
3
3 x 2 x
1 x
4 1
g)
1 x x
3 x x
2
1
2
2 x x lim
i)
1 x
x x x
5 6
1
1 x
1 x lim n
m 1
2.Tính các giới hạn sau:
a)
x 4
3 5 x
lim
4
x
x 1 x 1 lim
0 x
49 x
3 x 2
7
d)
4 x
3 1
x
lim 2
2
3 1 x
x 2 x lim
2
x 5 1
x 5 3 lim
4
g)
3 x
2 x 3 x
2
lim
1
3 x x
4 x 7 x 2
1
i)
1 x
x x
lim
2
1
2 3 x
1 x lim
1
k)
3 1 x 4
x 2 x lim
2
l)
3 x 2
3 7 x
2
lim
1
1 x
1 x 1 x lim 2
1
1 x
2 x x
3 1
o)
1 x
x 3 x 3 x lim
3 2
1
3.Tính các giới hạn sau:
x 8 x 8
x lim
1 x
2 x x lim
3
3 5 1
c)
1 x 1
x lim3
0
0
1 x 1
4 x x
x 4 x lim3 2
4
f)
9 x
5 x 10 x 2
3 3
2 x
2 x x 10 lim3
2
h)
4 x
2 x 6 x
2
x 2
lim
x 1
lim
(1 x)
n
2
x 1
lim
(x 1)
4.Tính các giới hạn sau:
a) limsinxx
0 x b) limsinxx
0 x c) limsinsin xx
0 x d) x 0 x 2
x cos 1 lim
e)lim11 coscosxx
0
x cos x cos lim
0
x cos 1 lim
h)lim 3sinsinx xcosx
6 x
i)limsinsinx cosx x
4 x
1 1 x
1 x sin x cos lim
2
4 4
0
k)
x cos x sin 1
x cos x sin 1 lim
0
x cos
1 x sin
1 ( lim
0
2 ( lim
0
x
n)
x sin
x cos 1 2
0 x
0
x cos x cos 1 lim
x tg
x cos x
sin 1
0 x
4
x 1 1
1 x 2 cos lim
4.Tính các giới hạn sau:
sinx sin 3x x
b) limx 0tgx sinx3
x
x 0
lim
tg x
d) x
2
cosx lim x- /2
e) x
2
lim(1 cos2x)tgx
f) x
4
1 tgx lim
1 cot gx
Trang 3g) x
4
sinx - cosx
lim
1 - tgx
3
x 3
tg x 3tgx lim
cos(x + )
6
i) xlim x.sin
x
j) limx 0 2 1 cosx2
tg x
k)
x 0
lim
x
l) xlim(sin x 1 sin x )
5.Tính các giới hạn sau:
1 x
3 1
x
1
(
1
4 x
4 2 x
1 (
2
lim
c)
x x
) x x )(
1
x
(
2
1 x
x x x lim
2
e)lim ( x 2 x 3 x )
g)limx( x2 5 x)
x
lim
x
lim
x 1
x
lim
j)
1 x x
1 x x 1 x
x
lim
2
2 2
x
1 x x 16 x 14 1
x lim
2 x
6.Tính giới hạn các hàm số sau
a)
2 x
x x
lim
2
b)lim ( x 2 x x 2 1 )
c) lim x 2 sinx1
0
x d)limsinxx2 3xcos3x
e)
1 x
x x cos 5
2
x
x
x
x
7.Tìm 2 số a,b để
a)lim ( x 2 x 1 ax b ) 0
1 x
1 x ( lim 2
8 Tính các giới hạn sau:
Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại xo xlim f (x) f (x )xo o
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
xo (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b]
và xlim f (x) f (a) và lim f (x) f (b)a xb
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
1 x khi 3 2x
1
x khi 4 x
x2
tại xo = 1
b) f(x) =
2 x khi 3 11
2 x khi 2 x x
6 x x
2 3
tại xo = 2
Trang 4c) f(x) =
sin x
khi x 1
x 1 khi x 1
tại xo = 1
d) f(x) =
2 2
khi x 1
x khi x 1 2
tại xo = 1
e) f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
tại xo = 2
f) f(x) =
3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
tại xo = 0
g) f(x) =
3 2
khi x 0 sin x
1
khi x 0 6
tại xo = 0
h) f(x) =
khi x 2
2 x
1 khi x 2
tại xo = 2
3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) =
1 x khi a 2x
1
x khi 1 x
x2
tại x0 = 1
b) f(x) =
1 x khi
a
1
x khi 1 x
3 x x
2
3
tại x0 = 1
c) f(x) =
khi x 0 x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1
tại xo = 0
d) f(x) =
khi x 0 x
4 x
x 2
tại xo = 0
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
2 x khi
x 1
2
x khi 7 x
x2
b) f(x) =
5
x khi 4 3x
5 x 2 khi 2
x
3 2x
2 x khi 4 x
10 x 3 x
2 2
5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
khi x 2
x 2 1
4
b) f(x) =
3 khi x
3
5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
2
x khi x cos
2
x 2 khi b asinx
2
x khi x sin 2
b) f(x) =
3 x khi
x 4
3 x 1 khi b ax
1
x khi
x2
6 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7 Chứng minh rằng phương trình
Trang 5a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8 Cho 3 số a,b,c khác nhau Chứng minh rằng phương trình
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0
a)Chứng minh rằng af() < 0 với a 0
b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) [a;b] x [a;b] Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x [a;b]
12 Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và , là hai số dương bất kỳ
Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b]
14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0 Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo (1;2) và xo >