HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐ

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐ

Hướng dẫn giải bài tập Giải tích 1 Giới hạn của dãy số Ths. Phạm Hồng Phong Website: violet.vn/phphong84 Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng Ví dụ 1: lim 1 1 n n n    0    1 1 n n     1 1 n     1 1 n     Chọn số tự nhiên 0 1 1 n    Khi đó 0 :| 1| n n n u      lim 1 1 n n n     (theo định nghĩa) Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn Ví dụ 2:   1 1 1 n n n           a R   1 1 , 2 2 a a         Xét khoảng Chứng tỏ: 1 | | 1 n n u u    2 1 1 1 2 k u k    Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ. 2 1 1 1 0 2 1 k u k       1 | | 1 n n u u     Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng này. Vậy không tồn tại giới hạn. Ví dụ 3: Tìm giới hạn của dãy   2 1 n n k n u n k           2 2 2 1 1 1 1 n n n k n n u n n         2 1 1 1 n n n k n n n u n n           lim 1 n n u    Tìm Ví dụ 4. 5 lim n n n n  Ta có 5 5 0 , 6 6 n n n n n           0 5 lim 0 n n n n    Chứng tỏ Ví dụ 5. lim 1, 0. n n a a     0 n a n     0 lim 0 n n     Đặt 1 0 n n a       1 n n n a n       TH1. 1 a  lim 1 n n a    TH2. 0 1 a   1 1 lim , 1 lim n n n n a b a b      Sử dụng TH1, lim 1 n n b   lim 1. n n a    Chứng tỏ dãy truy hồi Ví dụ 6.   1 1 , 2; 2 n n n u u u u     1 2 2 2 2 k k u u       là dãy tăng và bị chặn trên. Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. Dùng qui nạp, chứng tỏ 2 n u  Giả sử : 2 n n k u    Khi đó với 1 n k   Vậy dãy bị chặn trên. 2 1 2 n n n n n n u u u u u u        Vậy dãy tăng. lim n u a    2 a a   2 2 0 a a     2. a   Chứng tỏ dãy Ví dụ 7.     ! , 2 1 !! n n n u u n   là dãy giảm và bị chặn dưới. Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. 1 1 1 2 3 2 n n u n u n      Vậy dãy bị chặn dưới. 0 n u  Vậy dãy giảm. lim n u a    1 1 1 lim 2 3 2 3 n n n n n u u a a n n            1 0 2 a a a     1 2 n n n u u u       ! lim 0 2 1 !! n n n     Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn Ví dụ 8:   1 2 1 1 3 2 n n n n            2 4 1 4 1 4 2 ( 1) 6 2 6 2 6 3 k k k k k u k k           Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau 2 1 2 1 4 3 4 3 4 2 ( 1) 6 5 6 5 6 3 k k k k k u k k                Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1 Vậy dãy đã cho không có giới hạn. Một số giới hạn cơ bản 1 1) lim 0, 0 n n      1 2) lim 0, 0 ln n n      1 3) lim 0, 1 n n a a    4) lim 1, n p n n p    5) lim 1, 0 n n a a    6) lim 0, 1 p n n n a a    7) lim 0,| | 1 n n q q    1 8) lim 1 n n e n          9) lim 1 , n a n a e a n           ln 10) lim 0, , 0 p n n p n       [...]... 10 Tìm giới hạn của dãy  lim n  n 2  1 n  HD Nhân lượng liên hợp Ví dụ 11 Tìm giới hạn của dãy  1  1 1 lim      n   1  2 2  3 n  (n  1)  1 1 1 HD Phân tích   n(n  1) n n  1 Ví dụ 12 Tìm giới hạn của dãy 2 3 sin n  cos n lim n  n HD Sử dụng định lý kẹp Ví dụ 13 Tìm giới hạn của dãy 4 8 lim 2  2  2  2n 2 n HD Phân tích, biến đổi số mũ Ví dụ 14 Tìm giới hạn của dãy 3... lim n  2 n  sin(n!) n 1 HD Dùng định lý kẹp Ví dụ 15 Tìm giới hạn của dãy  n2  3  lim  2  n 5  n    3n 2 1 HD Sử dụng giới hạn của dãy số e Ví dụ 16 Tìm giới hạn của dãy lim n  1  2  3   n 2 3n  n  5 n(n  1) HD Sử dụng đẳng thức 1  2   n  2 Ví dụ 17 Tìm giới hạn của dãy n 3  (1) n lim n  n 1 HD Tìm hai dãy con . 1 2 k u k    Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ. 2 1 1 1 0 2 1 k u k       1 | | 1 n n u u     Hai số hạng kế nhau không thể cùng. Hướng dẫn giải bài tập Giải tích 1 Giới hạn của dãy số Ths. Phạm Hồng Phong Website: violet.vn/phphong84 Dùng định nghĩa. Tìm giới hạn của dãy 2 3 sin cos lim n n n n   HD. Sử dụng định lý kẹp Ví dụ 13. Tìm giới hạn của dãy 8 4 2 lim 2 2 2 2 n n     HD. Phân tích, biến đổi số mũ. Ví dụ 14. Tìm giới hạn