CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN pot

GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1.3... Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn.. Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để t

CHƯƠNG 3 GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1.3 Giới hạn tại vô cực

* Ta nói hàm số y f x= ( ) xác định trên ( ; )a +¥ có giới hạn là L khi

x ® +¥ nếu với mọi dãy số ( ) :x n x n > và a x ® +¥ thì n

( )n

f x ® Kí hiệu: L lim ( )

®+¥ =

* Ta nói hàm số y f x= ( ) xác định trên ( ; )-¥b có giới hạn là L khi

x ® -¥ nếu với mọi dãy số ( ) : x n x n < và b x ® -¥ n

0

lim ( )

x x f x

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực

* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x bởi 0 -¥ hoặc+¥

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là

hữu hạn Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực

Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn

tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít

a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lý 2 : Các hàm số y f x= ( ),y g x= ( ) liên tục tại x Khi đó 0

tổng,hiệu,tích liên tục tai x0,thương ( )

( )

f x y

Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạnéëa b; ùû

Nếu f a f b <( ) ( ) 0 thì tồn tại ít nhất một sốcÎ( )a b; sao cho

( ) 0

f c =

III Đạo hàm

1 Đạo hàm tại một điểm

Hàm số y f x= ( ) liên tục trên ( ; )a b , được gọi là có đạo hàm tại

0 ( ; )

x Î a b nếu giới hạn sau tồn tại (hữu hạn):

0

0 0

( ) ( )lim

x Ta kí hiệu f x '( )0

Vậy

0

0 0

0

( ) ( )'( ) lim

3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

* Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( ; )a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b

* Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [ ; ]a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b đồng thời tồn tại đạo hàm trái f b'( )-

và đạo hàm phải f a'( )+

4 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm tại x thì 0 f x( ) liên tục tại 0

x

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên

tục tại điểm x nhưng hàm đó không có đạo hàm tại 0 x 0

Chẳng hạn: Xét hàm f x( ) | |= x liên tục tại x = nhưng không liên 0tục tại điểm đó

-®

IV Nguyên hàm

1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi

là nguyên hàm của f trên K nếu F x'( )= f x( ) " Îx K

2 Các tính chất

Định lí 1 Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F x C C( )+ , Ρ Do vậy ( )

F x C+ gọi là họ nguyên hàm của hàm f trên K và được kí hiệu

f x dx F x C= +

Định lí 2 Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Định lí 3 Nếu ,fg là hai hàm liên tục trên K thì:

B2: Thay vào công thức (1) và tính òvdu

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân òvdu dễ tính hơn òudv Ta thường gặp các dạng sau

để tính òvdu ta đặt

sincos

Phương pháp đổi biến số

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = òf x dx( ) , trong đó ta có thể phân tích

1.Định nghĩa: Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên K; a b, là hai phần

tử bất kì thuộc K, F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K Hiệu

số F b F a( )- ( ) gọi là tích phân của của f x( ) từ a đến b và được kí hiệu:

b

b a a

f x dx F x= =F b F a

2 Các tính chất của tích phân:

I = òf x dx ta thực hiện các bước sau

B1: Đặt x u t= ( ) (với u t( ) là hàm có đạo hàm liên tục trên

[ ; ]a b , f u t( ( )) xác định trên [ ; ]a b và u( )a =a u, ( )b =b) và xác định a b ,

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa a2 -b x2 2 ta thường đặt

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa b x2 2 -a2 ta thường đặt

Phương pháp đổi biến số loại 2

Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp

đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau

Để tính tích phân b ( )

a

I = òf x dx, nếu f x( )=g u x u x[ ( )] '( ), ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau

B1: Đặt t u x= ( )Þdt u x dx= '( )

Đổi cận x a= Þ =t u a( ), x b= Þ =t u b( )

B2: Thay vào ta có

( ) ( )

( ) ( )

u b

b a

u a

I = ò g t dt G t=

Phương pháp từng phần : Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b]

và có đạo hàm liên tục trên [a;b] Khi đó : b b a b

Định lí 1 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục, không âm trên éëa b; ùû

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị hàm số y f x= ( ), trục hoành và hai đường thẳng

a

( )

y f x=

Bài toán 1: Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trênéëa b; ùû Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y f x= ( ); trục Ox : (y = ) và hai đường thẳng 0 x a x b= ; = là:

có công thức tính như sau:

Định lí 2 Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

với trục Ox lần lượt tại x a x b a b= , = ( < ) Một mặt phẳng bất kì

vuông góc với Ox tại điểm x a x b ( £ £ ) cắt C theo một thiết diện

có diện tích S x( ) Giả sử S x( ) là hàm liên tục trên [ ; ]a b Khi đó thể

tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp(P) và (Q) được tính theo công

thức: b ( )

a

V = òS x dx

b.Tính thể tích vậy tròn xoay

Bài toán 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được

giới hạn bởi các đường

( ); 0; ;

y f x y= = x a x b= = quanh trục Ox

Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt

phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành

Bài toán 2 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng

D giới hạn bởi các đường x g y y a y b Oy= ( ), = , = , quanh trục

Oy được tính theo công thức: b 2( )

4 2

= -3cosx -2sinx -cotx +tanx x C- +

2) Ta có: cos 24 1(1 cos 4 )2 1(1 2cos 4 cos 42 )

I = ò x -x dx 3)

2 2 0

cossin 2cosx

3 2 2

12)

2) Đặt 2sin , 2 0; 4 sin cos

dx I

0 4

0 4

2 3

f x dx f x dx a

-=+

5) Đặt x =p -t ta có

2)

4

dx I

sin4)

xdx I

3

2 1 3cos

t x

4) Khi gặp tích phân dạng b (tan )

2 0

=2ln2 1-

Ví dụ 8.3 Tính các tích phân sau

2

2 1 0

1) I = ò(x -2)e x+ dx

0 2 1

3) I cos x e dx x

p

= ò

2 0

6)I = òln(x + 1+x dx) Lời giải

2

12

-+

ò0

1 1

12

0 0

p p

Tính

2

2 0

x

x x

0 0

1

11)

2 0

46(1 tan )

u du I

u

p

p+

2 1

S = ò x + - x - x + dx

y

4) Hình phẳng D được giới hạn bởi hai đồ thị y x= 2 và y = - x

Hai đồ thị này cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ là

5 3 O

y

1 1

-x

cần tính là:

4

2 0

_ y

Gọi t t1 2, (0 <t1 <t2) là hai nghiệm của (2)

Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là:

Do tính đối xứng của (C) nên yêu cầu bài toán

= ±

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm

Ví dụ 13.3 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình

D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường:

V = òx e dx Đặt

2

2 2

21

Ví dụ 14.3 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay D

quanh trục Oy, với D là hình giới hạn bởi các đường:

( 1)( (7 1) 2 7 1 4)

x

x I

3 3

(do tử® +¥ , mẫu® 32)

x E

1 cos

lim

x

ax A

1 cos cos2 cos 3

tan 2lim

x

x C

1 cos2

x

x x

-

3 3

2 0

3 3

1 cos2

lim

x

x x

x x

x x

lim

x x

x D

x x

ln(1 ( 3 4 2))2

3sin ( )

5) Ta có: 2

sin 1 lim

(sin 1)

sin 1 cot 2

pp

x x

=

( )H quay quanh trục Ox một lần (A2 – 2007 )

5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và 0

-4)

2 2

-3 0

sinlim

x

x N

®

=

11)

-0

1lim sin ( 0)

1lim

1

x x x

ln(1 )lim

1

x K

= í

î