SKKN PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT một số DẠNG TÍCH PHÂN hàm ẩn

SỞ SỞGIÁO GIÁODỤC DỤCVÀ VÀĐÀO ĐÀOTẠO TẠOTHANH THANHHOÁ HOÁ TRƯỜNG TRƯỜNGTHPT THPTMAI MAIANH ANHTUẤN TUẤN SÁNG SÁNGKIẾN KIẾNKINH KINHNGHIỆM NGHIỆM PHƯƠNG PHƯƠNGPHÁP PHÁPGIẢI GIẢIQUYẾT QUYẾTMỘT MỘTSỐ SỐDẠNG DẠNG TÍCH TÍCHPHÂN PHÂNHÀM HÀMẨN ẨN Người thực hiện: Đào Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên SKKNthực thuộc lĩnhĐào mựcAnh (môn): Người hiện: TuấnTốn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài .02 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………… 02 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… .02 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………… .02 1.5 Những điểm SKKN 02 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm : 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm .03 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiêm 03 2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực 03 2.3.1 TÍCH PHÂN THEO ĐỊNH NGHĨA………………………… 04 2.3.2 TẠO BÌNH PHƯƠNG CHO HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN…………………………………… ………… ……………….07 2.3.3 DẠNG DÙNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM…….…………… ….10 2.3.4 DẠNG DÙNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN……………… …11 2.3.5 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN………………………… …13 2.4 Những kết đạt .15 Kết luận 16 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 16 (*)Tài liệu tham khảo 17 1.Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài : Tích phân ngành tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, cơng nghệ, kinh tế… Chính lẽ tốn tích phân đưa vào chương trình tốn lớp 12, nhằm cung cấp cho học sinh THPT kiến thức ngành toán học quan trọng để áp dụng vào tốn thực tế, với nâng cao khả phát triển tư học sinh THPT Những năm gần đây, đề thi PTTH Quốc Gia ln xuất tốn tích phân hàm ẩn Qua thực tiễn giảng dạy tích phân cho học sinh lớp 12 chương trình mơn Tốn tơi nhận thấy: đa số em chưa hiểu thấu đáo khái niệm định nghĩa tích phân,các em biết giải tốn tích phân số kiểu tập tính tốn quen thuộc Đa số học sinh chưa thể giải toán liên quan đến hàm ẩn, mà dạng tập để củng cố kiến thức bản, cốt lõi tích phân, để học sinh hiểu sâu hồn tích phân Với mong muốn giúp em học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức “Tích phân hàm ẩn’’ đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác nhau, chọn đề tài: “ Phương pháp giải số dạng Tích phân hàm ẩn’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh phần giải số tốn “‘Tích phân hàm ẩn’’, đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn tình cụ thể 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng mà hướng đến học sinh lớp 12 trường THPT Mai Anh Tuấn học sinh luyện thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp chủ yếu mà tơi sử dụng thử nghiệm học sinh, tìm hiểu khó khăn em q trình học tập, nắm bắt điểm yếu học sinh Từ Tơi điều chỉnh q trình dạy học đưa phương pháp giúp em tiếp cận phương pháp hay khó Kiến thức phải hệ thống cách khoa học, tự nhiên; Đồng thời qua chuyên đề này, học sinh có nhìn chất định nghĩa tích phân 1.5 Những điểm SKKN: “Tích phân hàm ẩn’’ chủ đề học sinh phổ thông, đặc biệt học sinh khá, giỏi trường THPT Mai Anh Tuấn cịn điều mẻ Chính thế, Sáng kiến kinh nghiệm thân tơi giúp học sinh tiếp cận dễ dàng với tốn hàm ẩn tích phân Bên cạnh đó, qua tốn có kèm theo đánh giá, nhận xét, tính sáng kiến Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến: Trên quan điểm dạy học làm để phát huy lực trí tuệ, phẩm chất người học Để làm điều người thầy phải tạo hứng thú học tập em, đặc biệt em phải u thích mơn dạy từ tạo hứng thú tìm tịi em Đối với giáo viên toán qua nhiều năm công tác giảng dạy, thấy để tạo niềm đam mê học tốn em ngồi kỹ sư phạm, tâm người thầy người thầy phải ln vững chun mơn, ln tìm phương hướng để giải vấn đề, tìm cách giải toán phù hợp Từ ngây hứng thú, đam mê học tập em Do phương pháp“ Giải số dạng Tích phân hàm ẩn’’là cách để giúp học sinh tìm hiểu sâu dạng tốn tích phân, giúp em có mạch kiến thức liên thông nắm rõ chất vấn đề tích phân 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến: Năm học 2016 – 2017, GD – ĐT chuyển đổi hình thức thi THPTQG mơn Tốn từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Phép tính tích phân hàm ẩn bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 có mặt hầu hết kỳ thi thi THPT- QG Hiện với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân cịn u cầu rộng địi hỏi học sinh phải tư linh hoạt , từ tích phân số hàm ẩn đưa vào để yêu cầu học sinh Mặc dù học kỹ phương pháp tính tích phân , đứng trước yêu cầu tính tích phân hàm ẩn đa số em nhiều lúng túng chí khơng định hình lời giải đứng trước toán dạng Chính mà dạy học, giáo viên cần liên hệ nhiều đến kiến thức thực tế để tăng tính tập trung để em vận dụng kiến thức tốt Người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách thiết kế giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tiễn 2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện: 2.3.1 TÍNH TÍCH PHÂN THEO ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) liên tục [ a, b ] Giả sử F ( x ) nguyên hàm f ( x) [ a, b ] hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [ a, b ] ) , kí hiệu b ∫ f ( x)dx a b Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để hiệu số F (b) − F ( a) Như F nguyên hàm f ( x) [ a, b ] b ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) [ 1] a Nhận xét: - Như tính b b a a b ∫ f ( x)dx ta đưa ∫ F '( x)dx = F ( x) a - Nếu đề cho f ( x ) = g ( x ) ta biến đổi cách nhân, chia thêm bớt vế trái để tạo F ' ( x ) = G ( x ) ↔ F ( x ) + C = ∫ G ( x )dx Kiến thức sử dụng a, ị f ¢( x) dx = ò g ( x )dx Û h( f ( x) ) df ( x ) ò h( f ( x) ) = ò g ( x)dx b, ò f ¢( x ) h ( f ( x ) ) dx = ò g ( x ) dx Û òh ( f ( x ) ) df ( x ) = ò g ( x ) dx Như từ ta chuyển biến x biến f ( x) Chú ý: Ngoài việc nguyên hàm hai vế, ta tích phân hai (tùy cách hỏi) Nên để f ¢( x) tử, việc chuyển biến x biến f ( x ) thuận tiện Đối với dạng ta cần quan sát kĩ để phát đạo hàm f(x), nhân chia biểu thức hay số để tạo f '( x) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn ∫ f ( x)dx = 12 Tính I = ∫ f (3 x)dx [ ] Lời giải: 6 1 =uu 3uxr ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt Ta có I = ∫ f (3x )dx = f (3x )d (3x )tuu 30 30 12 = ∫ f ( x)dx = = 30 Ví dụ 2: Cho ∫ f ( x)dx = Tính ∫ f ( x) dx [ 4] x Lời giải: Đặt t = x → dt = Vậy : I = ∫ 1 x dx , đổi cận x = → t = 1, x = → t = 2 f ( x) dx = ∫ f (t )2dt = ∫ f (t )dt = 2.2 = x 1 Một số dạng tích phân vận dụng cao Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức sau: (1) u ( x) f '( x) + u '(x).f(x) = h(x) u '( x) f ( x) − u (x).f'(x) = h(x) (2) f ( x) Phương pháp giải: '  u  u ' v − v 'u Áp dụng công thức: (uv )' = u ' v + v ' u  ÷ = v2 v (1) Biến đổi: u ( x) f '( x ) + u '(x).f(x) = h(x) ⇔ [ u ( x ) f ( x ) ] ' = h( x) ⇒ u ( x ) f ( x) = ∫ h( x )dx '  u ( x)  u '( x) f ( x) − u (x).f'(x) u( x) = h(x) ⇔ = h ( x ) ⇒ = h( x )dx (2) Biến đổi:  f ( x)  f ( x) f ( x) ∫   Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;2] thỏa mãn f (0) = (2x + 3)f '(x) + 2f(x) = 4x − 3x Tính f (2) A f (2) = B f (2) = C f (2) = D f (2) = Lời giải: Ta có: (2x + 3)f '(x) + 2f(x) = 4x − 3x ⇔ [ (2x + 3)f (x) ] ′ = 4x − 3x 2 Lấy nguyên hàm vế ta được: (2x + 3)f (x) = ∫ (4x − 3x )dx = 2x − x + C Do f (0) = ⇒ 3f(0) = C ⇒ C = Thay x = ⇒ 7f (2) = − + ⇒ f (2) = Chọn B Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1;4] thỏa mãn f (1) = f(x) = x.f'(x) + 3x − 4x Tính giá trị f (4) A f (4) = −2 B f (4) = −196 C f (4) = −48 D f (4) = −193 [ 6] Lời giải: f (x) − x.f '(x) = 3x − x xf '(x) − f (x)  f( x) ′ x f '( x) − f ( x) ⇔ = − 3x + (*) Mặt khác  x  = x2 x2 Ta có f(x) = x.f'(x) + 3x − 4x ⇒ Lấy nguyên hàm vế (*) ta có: f( x) = − x3 + x + C x f (1) = −1 + + C ⇒ C = −1 ⇒ f (x) = − x + 4x − x Khi f (4) = −196 Chọn B Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức sau: (1) f '( x) + f ( x) = h( x) 2) f '( x) − f(x) = h(x) Do f (1) = ⇒ Phương pháp giải: (1) Biến đổi: f '( x) + f ( x) = h( x ) ⇒ e x f '( x) + e x f ( x) = e x h ( x ) ′ ⇔  e x f ( x )  = e x h( x ) ⇔ e x f ( x ) = ∫ e x h( x)dx (2) Biến đổi: f '( x) − f ( x) = h( x) ⇒ e − x f '( x) − e − x f ( x ) = e − x h( x) ′ ⇔  e− x f ( x )  = e− x h( x) ⇔ e − x f ( x) = ∫ e − x h( x)dx Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;2] thỏa mãn f '(x) + f(x) = x − Biết f (0) = Khẳng định sau đúng? A f (2) = 9e−2 B f (2) = 9e C f (2) = + 9e D f (2) = −1 + 9e [ 6] Lời giải: Ta có: f '(x) + f(x) = x − ⇔ e x f '(x) + e x f (x) = e x (x − 1) ′ ⇔ e x f (x)  = e x (x − 1) ⇒ e x f (x) = ∫ e x (x − 1)dx u = x − du = dx ⇒ ⇒ ∫ e x (x − 1)dx = (x − 1)e x − ∫ e x dx = (x − 2)e x + C Đặt   x x dv = e dx  v = e (x − 2)e x + C x x Do e f (x) = (x − 2)e + C ⇒ f (x) = ex (x − 2)e x + 9 Lại có f (0) = −2 + C = ⇒ C = ⇒ f (x) = ⇒ f (2) = Chọn A x e e 2.3.2 TẠO BÌNH PHƯƠNG CHO HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Kiến thức sử dụng Cho hàm số f ( x ) liên tục [ a, b ] Biết b ∫ f ( x)dx = 0, f ( x) ≥ với ∀x ∈ [ a; b ] a f ( x) = 0, ∀x ∈ [ a; b ] b Chứng minh: Với ∫ f ( x)dx = F ( x ) a b a = F (b) − F (a )( với ( F ( x ))' = f ( x )) , F '( x) = f ( x) ≥ nên hàm y = F ( x ) hàm đơn điệu hàm đoạn [ a; b] , lại có F (b) − F (a ) = nên hàm y = F ( x ) đơn điệu Do y = F ( x ) hàm hằng, nên f ( x) = 0, ∀x ∈ [ a; b ] Chú ý: Đối với dạng ta biến đổi đưa dạng: b ∫ ( g ( x)) dx = → g ( x) = a Ví dụ áp dụng Ví dụ 1[Đề minh họa 2018]: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = , ∫ [ f ′( x)] 1 dx = ∫ x f ( x)dx = Tích phân ∫ f ( x)dx 0 A B C D [ 3] Nhận xét: Do hàm số xuất ∫ [ f ′( x)] dx = có nghĩa ta xuất a 2 ,từ gợi ý, để ta tạo 2ab b Như ta coi f ′( x) a , vấn đề gợi ý cho ta tạo f ′( x).b Và ∫ x f ( x)dx = Lời giải: Ta có 1 1 11  x3  = ∫ x f ( x ) dx = ∫ f ( x ) d  ÷ = x f ( x ) |10 − ∫ x f ′ ( x ) dx ⇔ ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 30 0 3 1  ∫ [ f ' ( x) ] dx  +  ∫14 x f '( x)dx + ∫ 49 x dx = ⇔ ∫  f '( x) + x  dx = ⇔ f '( x) = −7 x 3 0 7x 7 x4 7 ⇔ f ( x) = − + C.Ta có f (1) = ⇔ C = ⇔ ∫ f ( x) dx = − ∫ ( − ) dx = 4 4 0 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đoạn [ 0;1] Biết 1 ∫ xf ( x)dx = ∫ [ f ( x)] 0 dx = Tính tích phân I = ∫ [ f ( x) ] 2018 dx [ 3] Nhận xét : giả thiết chứa [ f ( x) ] xf ( x) nên ta tạo bình phương dạng [ f ( x) − ax ] ∫ [ f ( x) − ax ] Ta chọn a cho ⇔ ∫[ dx = ⇔ ∫ ( [ f ( x )] ) − 2axf ( x) + a x dx = a2 f ( x) ] dx − 2a ∫ xf ( x)dx + a ∫ x dx = ⇔ − 2a + = ⇔ a = Từ ta 0 2 có lời giải Lời giải: Ta có ∫ [ f ( x) − 3x ] dx = ⇔ ∫ 1 0 ( [ f ( x) ] ) − xf ( x) + x dx = ∫ [ f ( x) ] dx − ∫ xf ( x)dx + ∫ x dx ⇔ − + = ⇒ f ( x) = x Khi I = ∫ [ f ( x) ] 2018 dx = 2018 ∫x 2018 32018 dx = 2019 Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] f ( ) + f ( 1) = Biết tích phân π f ( x ) dx = , ∫ f ′ ( x ) cos π xdx = 2 1 ∫ Tính tích phân ∫ f ( x ) dx ? A 3π B π Lời giải: Ta có D C π ∫ f ′ ( x ) cos π xdx = ∫ cos π xd ( f ( x ) ) = f ( x ) cos π x [ 3] π 1 − ∫ f ( x ) ( cos π x ) ′ dx π = −  f ( 1) + f ( )  + π ∫ f ( x ) sin π xdx = ⇒ ∫ f ( x ) sin π xdx = 2 0 1 Nhận xét: từ toán ta thấy xuất ∫ f ( x ) dx = , 2 ∫ f ( x ) sin π xdx = , gợi ý để ta tạo biểu thức bình phương tích phân, cho tích phân Xét 1 1 ∫  f ( x ) + k.sin π x  dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx + 2k.∫ f ( x ) sin π xdx + k ∫ sin ( π x ) dx = 2 0 1 ⇔ k + 2k + = ⇔ ( k + 1) = ⇔ k = −1 Suy 2 1 0 ∫  f ( x ) − sin π x  dx = Vậy f ( x ) = sin π x ⇒ ∫ f ( x ) dx =∫ sin π xdx = π Chọn B 2.3.3 DẠNG DÙNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM Kiến thức sử dụng Điều kiện hàm ẩn: A f (u ( x)) + B f (v( x )) = g ( x) 10 Phương pháp giải: Lần lượt đặt t = u ( x ) t = v ( x ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong có ẩn f ( x) ) để suy hàm số f ( x ) (nếu u ( x) = x cần đặt lần t = v ( x) ) Kết đặc biệt: Cho A f ( ax + b) + B f ( - ax + c ) = g ( x ) (với A2 ¹ B2 ) t −b Cách làm: Khi đặt: t = ax + b ↔ x = Ta được: a t −b t −b A f (u ( x)) + B f (v( x)) = A f (t ) + B f ( −a + c) = Af (t ) + Bf (b − t + c ) = g ( ) ( 1) a a Tương tự ta đặt t = − ax + c ↔ x = A f (u ( x)) + B f (v( x)) = A f ( a t −c Vậy −a t −c t −c + b) + B f (t ) = Af (c − t + b) + Bf (t ) = g ( ) ( 2) −a −a ỉx - b ỉx - c ữ ữ ỗ A.g ỗ B g ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ (*) ỗ ỗ- a ø Như từ (1) (2) è a ø è Þ f ( x) = A2 - B A.g ( x) - B.g ( - x ) +)Hệ (*): A f ( x) + B f ( - x ) = g ( x ) Þ f ( x ) = A2 - B g ( x) +)Hệ (*): A f ( x ) + B f ( - x ) = g ( x ) Þ f ( x ) = với g ( x ) A+B hàm số chẵn [ 4] Ví dụ áp dụng Ví dụ 1[Sở Kiên Giang – 2018]Xét hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( - x ) = x - x Tính tích phân I = ị f ( x) dx [ 4] Lời giải: Cho A f ( ax + b) + B f ( - ax + c ) = g ( x ) (Với A2 ¹ B ) ỉx - b ỉx - c ữ ữ ỗ A.g ỗ B g ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố a ø è- a ø f ( x) = A2 - B 11 Ta có: f ( x ) + f ( - x ) = x - x = g ( x ) Þ f ( x) = g ( x) - g ( - x ) x - x - 3( 1- x ) x = 22 - 32 - 1 Suy ra: I = ò f ( x ) dx = ò 0 Casio x - x - 3( - x ) x dx = 0,05( 3) = - 75 Ví dụ 2[Cụm HCM]: Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn, f ( x) + f (− x) = − 2cos x, ∀x ∈ ¡ Khi đó, giá trị tích phân I = π ∫ f ( x )dx π − bao nhiêu? [ 3] Lời giải: Áp dụng hệ 2, do3 − 2cos x hàm chẵn nên f ( x ) = I= Vậy: π ∫ − f ( x )dx = π π ∫ − π − 2cos x − 2cos x 3π dx = − 2 2.3.4 DẠNG DÙNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Kiến thức sử dụng b b Công thức ∫ u ( x)v′( x)dx = ( u ( x )v ( x ) ) a − ∫ v( x)u ′( x)dx (trong u, v có đạo hàm a b a liên tục K a, b hai số thuộc K ) Nếu toán cho f '( x) mà xuất tích phân ∫ f ( x ).g ( x) dx g(x).dx hàm cụ thể tìm nghun hàm ta nghĩ tới tích phân phần Hoặc tốn cho f '( x) mà xuất tích phấn ∫ f '( x).g ( x )dx g(x) hàm mà ta dễ dàng tìm vi phân Ví dụ áp dụng 12 π  Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) có f  ÷ = f ′ ( x ) = x sin x Giả sử 2 π ∫ cos x f ( x ) dx = a π (với a, b, c số nguyên dương, a tối giản) Khi − b b c a.b + c bao nhiêu? [ 5] π Nhận xét: Ở tốn ta thấy có f ′ ( x ) = x sin x cos x f ( x ) dx có cos x ∫ π π 0 biểu thức dễ dàng tìm vi phân, cos x f ( x ) dx = f ( x ) d(sinx ) ∫ ∫ Vậy ta dùng phương pháp tích phân phần để giải Lời giải: f ' ( x) = x sin x ↔ f ( x) = ∫ x sin xdx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C Vì π  f  ÷= ↔ 2 π π π π  f  ÷ = − cos(− ) + sin(− ) + C = ↔ C = Ta có: 2 2 π π 2 ∫0 cos x f ( x ) dx = ∫0 f ( x ) d(sinx) = sin x f ( x) π − ∫π sin x f '( x)dx − − 2 π π π π 2 2 = sin x f ( x ) − ∫ sin x.( x.sin x)dx = sin x f ( x) − ∫ x sin xdx π π π π − − − − 2 2 π π π π = sin x.( − x cos x + sin x + 3) − ∫ x sin xdx = 12 π π − − 2 13 f ( x) Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ∫ x f '( x)e dx = 8, f (3) = ln Tính [ 5] I = ∫ e f ( x ) dx Lời giải: u = x  du = dx ⇒ Đặt   f ( x) f ( x ) Khi dv = f '( x)e dx v = e ∫ x f '( x)e f ( x) dx = xe f (x) 3 − ∫e f (x) dx ⇒ = 3e f (3) − ∫e f ( x) dx →∫ e f ( x )dx = − = Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đoạn [ 0;1] thỏa mãn 1 f (1) = ∫ ( f ′( x) + x ) ln(1 + x )dx = 2ln − xf ( x) dx + x [ 4] Tính tích phân I = ∫ Lời giải: Xét ∫ ( f ′( x) + x ) ln(1 + x )dx = 2ln − , đặt: 2x  du = dx u = ln(1 + x )  + x2 ⇒  dv = ( f ′( x) + x ) dx v = f ( x ) + x +  2 1   x2 +   xf ( x)  + x ÷dx Khi 2ln − =  f ( x) + ÷ln(1 + x )  − ∫  2     0  1+ x 1 xf ( x) 1 = ( f (1) + 1) ln − ∫ dx − ∫ xdx ⇔ 2ln − = ln − I − ⇔ I = − ln 2 1+ x 2 4 0 2.3.5 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Kiến thức sử dụng Đối với số tập “‘Tích phân hàm ẩn’’ ta dụng bất đẳng thức Holder 14 1 b  b  1 p dx q dx với p, q > thỏa mãn + = f ( x ) g ( x ) dx ≤ f ( x ) g ( x ) ∫ ÷ ∫ ÷ ∫a p q a  a  Dấu “=” xảy tồn hai số thực m, n không đồng thời b p q cho m f ( x ) = n g ( x) Hệ quả: với p = q = BDT trở thành : b b  b 2  ∫ f ( x) g ( x)dx ÷ ≤ ∫ f ( x) dx ∫ g ( x) dx a a  a Dấu xảy : tf ( x) = g ( x) [ 6] Ví dụ áp dụng Ví dụ 1[Đề minh họa 2018]: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn 1 1 [ 0;1] thỏa mãn f (1) = , ∫ x f ( x)dx = ∫ [ f '( x)] dx = Tính ∫ f ( x)dx 0 [ 2] Lời giải: Xét :    I = ∫ x f ( x) dx = Đặt: du = f '( x) 1 11 u = f ( x) x3  → →I = f ( x) − ∫ x f '( x )dx = → ∫ x f '( x )dx = −1  x 30 3 dv = x dx v =  Áp dụng hệ bất đẳng thức tích phân, ta được: 2 1  1 =  ∫ x f '( x)dx ÷ ≤ ∫ x dx ∫ [ f ( x ) ] dx = = 0  Dấu “=” xảy khi: f '( x ) = kx 15 Mặt khác: ∫x f '( x )dx = −1 → k = −7 → f '( x ) = −7 x → f ( x) = ∫ −7 x 3dx = Mà f (1) = → C = −7 x +C 7 7 → ∫ f ( x )dx = ∫ (− x + )dx = 4 0 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn f (1) = , [ ] ∫[ 1 e2 − Tính ∫ f ( x)dx f '( x) ] = ∫ ( x + 1)e f ( x) dx = 0 x [ 6] Lời giải: u = f ( x)  x Xét ∫ ( x + 1)e f ( x)dx , đặt dv = ( x + 1)e x x → du = f '( x)dx  x  v = xe  1 e2 − e2 − x → I = xe f ( x ) − ∫ xe f '( x)dx = ⇒ ∫ xe f '( x )dx = − 0 4 x x Áp dụng hệ BDT Holder: 2 2  2x  e2 −   x  e2 −   ÷ =  ∫ xe f '( x )dx ÷ ≤ ∫ x e dx ∫ ( f '( x ) ) =  ÷   0    e2 − → k = −1 Dấu “=” xảy f ( x) = kxe Mà ∫ xe f '( x)dx = − x x x x Suy f ( x) = ∫ − xe dx = (1 − x)e + C Mà f (1) = ⇒ C = 1 0 x Vậy f ( x) = (1 − x )e → ∫ f ( x )dx = ∫ (1 − x )e dx = e − x 2.4 Những kết đạt được, kinh nghiệm rút ra, sản phẩm đề tài: - Qua thời gian thực nghiệm, học sinh nắm kĩ việc nhìn nhận tốn “tích phân hàm ẩn” 16 - Kinh nghiệm cho thấy, kiến thức phải trang bị, bồi dưỡng cho em từ năm lớp 10 Không để đến gần thi cuối cấp dạy, lúc em tiếp cận hạn chế - Qua sáng kiến kinh nghiệm này, sản phẩm tơi thu niềm đam mê học tốn thầy trò, kĩ trang bị làm cho tư người học ngày phát triển Sáng kiến kinh nghiệm triển khai ứng dụng rộng rãi toàn học sinh khối 12 Đặc biệt, dùng để ơn thi học sinh giỏi luyện thi THPT Quốc gia Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Qua thời gian giảng dạy, nghiên cứu tổ hợp, vướng mắt học sinh thiếu kĩ phép biến đổi, đánh giá, nhìn nhận Có thể nói sáng kiến kinh nghiệm tơi thật cần thiết hữu ích cho giáo viên học sinh Đặc biệt giáo viên trẻ trường, non kinh nghiệm Một lần nữa, tơi khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm kết mà Tôi thu sau thời gian học tập, rèn luyện nghiên cứu tích phân Đồng thời, tích lũy kinh nghiệm qua trình dạy học với đối tượng học sinh Đó kết tinh kiến thức qua nhiều hệ giúp đỡ, học hỏi từ đồng nghiệp Một số toán có nêu lời giải đầy đủ, cịn có số vạch hướng giải.Hầu hết qua tập có nhận xét để học sinh người đọc cảm nhận sâu sắc toán Do yếu tố thời gian, kiến thức cách trình bày cịn nhiều hạn chế Rất mong nhận xét, góp ý quý đồng nghiệp em học sinh, để sáng kiến hồn thiện Hy vọng rằng, tài liệu giúp ích cho quý đồng nghiệp em học sinh trình giảng dạy học tập Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện hơn, nhằm bước hoàn thiện kĩ cho thân tạo mũi nhọn cho nhà trường 3.2.Kiến nghị: 17 Có thể dùng sáng kiến tơi cho em học sinh giỏi,các giáo viên có niềm đam mê toán học cách rộng rãi.Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng 06 năm ĐƠN VỊ 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Đào Anh Tuấn (*) DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12- Ban bản; Bộ đề thi đại học, cao đẳng, đề minh họa Bộ GD ĐT từ năm 2016 đến nay; 90 đề thi thử Đại học, cao đẳng nhà sách Lovebook – GSTT Group; Một số kiến thức tích phân hàm ẩn mạng Internet, hệ thống tập facebook nhóm Tốn Vận Dụng Cao; Tạp chí tốn học tuổi trẻ; Website :toanmath.com ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN 18 19 ... nắm vững kiến thức ? ?Tích phân hàm ẩn? ??’ đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác nhau, chọn đề tài: “ Phương pháp giải số dạng Tích phân hàm ẩn? ??’ 1.2 Mục đích nghiên... tìm phương hướng để giải vấn đề, tìm cách giải toán phù hợp Từ ngây hứng thú, đam mê học tập em Do phương pháp? ?? Giải số dạng Tích phân hàm ẩn? ??’là cách để giúp học sinh tìm hiểu sâu dạng tốn tích. .. tích phân cịn u cầu rộng địi hỏi học sinh phải tư linh hoạt , từ tích phân số hàm ẩn đưa vào để yêu cầu học sinh Mặc dù học kỹ phương pháp tính tích phân , đứng trước yêu cầu tính tích phân hàm ẩn