Skkn một số dạng tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số

MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2 NỘI DUNG ……………………………………………………… 2.1 Một số toán thường gặp……………………………………… 2.2 Các ví dụ minh họa……………………………………………… 2.3 Hiệu đề tài………………………………………………… 21 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 21 3.1 Kết luận 21 3.2 Kiến nghị 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài skkn Đối với học sinh học toán trường trung học phổ thông, học sinh chuẩn bị thi TN THPT quốc gia thường gặp toán vận dụng, vận dụng cao liên quan đến tốn tính tích phân hàm ẩn Khi giảm tải chương trình dạng tốn chưa đề cập đầy đủ, học sinh khó rèn luyện tốt phần Với việc sử dụng phép đổi biến linh hoạt cho dạng cụ thể, học sinh phát triển cách phong phú giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu dạng tốn Đó lí để tơi chọn đề tài : “ Một số dạng tập tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thông ôn thi TN THPT quốc gia có nhìn tồn diện cách tiếp cận tốn tính tích phân hàm ẩn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng tốn tính tích phân hàm ẩn Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số, giải tích hình học chương trình trung học phổ thơng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lý thuyết tính tích phân phương pháp đổi biến số Thông qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng kiến thức từ rèn luyện tư kĩ để học sinh giải tốt tập vận dụng cao Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ tài liệu tham khảo đề thi THPT quốc gia năm gần 1.5 Những điểm Với đề tài giúp giáo viên định hướng xây dựng hệ thống tập vận dụng,vận dụng cao với số lượng lớn mà xuất phát từ các toán đơn giản NỘI DUNG 2.1 MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP skkn 2.1.1 ĐỔI BIẾN DẠNG Biết tích phân Tính tích phân Đối với dạng ta cần đổi biến cách đặt Ví dụ Cho A Khi B Chọn D Đặt Đổi cận: C Lời giải ; D Khi đó: Ví dụ Cho hàm số liên tục Tích phân bằng: A B C D Lời giải Chọn D đổi cận: Khi Ví dụ Đặt ; ; Vậy (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Giá trị A B C D Lời giải Chọn C Đặt Đổi cận: ; Cho Khi đó: skkn Ví dụ Cho hàm số liên tục có Tính A B C D Lời giải Chọn B Có Tính Đặt Tính Đổi cận: Đặt Vậy Đổi cận: Ví dụ Cho tích phân A B Tính tích phân C Lời giải: Đặt D Đổi cận: (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) Chọn C Ví dụ Cho hàm số A liên tục thỏa mãn Giá trị tích phân B bao nhiêu? C Lời giải skkn , Biết D Chọn A Xét tích phân Với , đặt , Ta có Mặt khác, ta có Ví dụ Cho hàm số liên tục có đạo hàm Tính tích phân B A thỏa mãn ; Lời giải C D ; Chọn A Đặt , ta có: Khi Đặt ta được: ; Khi đó: Ví dụ Cho hàm số liên tục Tính tích phân A thỏa mãn B C Chọn B , đặt ;  Lời giải Xét Đổi cận: , đặt skkn D Đổi cận: ; Vậy Ví dụ Cho hàm liên tục Tính A thỏa mãn B C Lời giải D Chọn A Đặt suy =3 Vậy Ví dụ 10 Cho hàm số liên tục A B thỏa Khi tích phân C D Lời giải Chọn B Xét Đặt Đổi cận: Suy ; skkn Ví dụ 11 Cho hàm số liên tục Tính A thỏa mãn Biết B C D Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số liên tục thỏa mãn điều kiện Khi Chứng minh: Đặt , với Đổi cận: ; Ta có Áp dụng tính chất với liên tục , thỏa mãn Khi Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt , với Ta có Ví dụ 12 Cho hàm số liên tục đoạn , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường trịn hình vẽ Tính giá trị skkn A B C Lời giải D Chọn D Ta có Tính Đặt Đổi cận: Khi ; Vậy Ví dụ 13 (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số , A B Tích phân C Lời giải liên tục thỏa mãn D Chọn C Đặt suy Đổi cận: Ta có: Suy skkn 2.1.2 ĐỔI BIẾN DẠNG Cho hàm số thỏa mãn : +) Với +) Với Trong đề thường bị khuyết hệ số Nếu liên tục Ví dụ Cho hàm số A liên tục B thỏa mãn C Tính D Lời giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) Biến đổi với , điều kiện Áp dụng cơng thức ta có: Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – không nhớ cơng thức) Từ Đặt ; Với Khi thay vào , ta được: Ví dụ Xét hàm số liên tục Tích phân skkn thỏa mãn A B C D Lời giải Chọn C Từ +) Đặt ; Với Khi +) Đặt ; Với Khi Thay vào ta được: Ví dụ Cho hàm số liên tục thỏa mãn điều kiện giá trị tích phân A Tính B C D Lời giải Chọn D Cách 1: (Dùng cơng thức) Với ta có ; , suy ra: Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Từ Đặt ; Với (*) Suy Thay vào (*), ta Ví dụ Xét hàm số phân A liên tục đoạn thỏa mãn Tích B C 10 skkn D Lời giải Chọn C Đặt Suy Suy Chú ý: Ta dùng cơng thức Từ Khi đó: suy ra: Ví dụ Xét hàm số liên tục thỏa Tính giá trị tích phân A B C D Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng cơng thức – Dạng 2) Với: Ta có: Khi áp dụng cơng thức có: thỏa mãn Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – khơng nhớ cơng thức) Từ +) Đặt Khi +) Đặt ; với ; Với Khi 11 skkn mãn Thay vào ta được: Ví dụ Cho hàm số A thỏa mãn với B Tích phân tối giản Tính C D Lời giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức) Biến đổi với Áp dụng cơng thức ta có: Đặt ; Với Khi đó: Suy Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Từ Đặt ; Với Khi thay vào (*), ta được: Đặt ; Với Khi đó: Suy 12 skkn Ví dụ Cho hàm số liên tục đoạn Biết A thõa mãn , với B Tính giá trị C D Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng cơng thức Với ta có , suy Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến không nhớ công thức Từ Đặt thay vào ta được: Đặt Với Khi đó: 2.1.3 ĐỔI BIẾN DẠNG Cách giải: Lần lượt đặt ẩn ) để suy hàm số Các kết đặc biệt: để giải hệ phương trình hai ẩn (trong có (nếu Cho cần đặt lần với (*) +)Hệ (*): 13 skkn ) ) +)Hệ (*): Ví dụ Cho hàm số A với liên tục B hàm số chẵn Tính C D Lời giải Chọn A Đặt, điều kiện trở thành Hay , kết hợp với điều kiện Suy ra : Chọn B Ví dụ (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số liên tục Giá trị tích phân A Lờigiải Chọn A B + Đặt C + Ta có Suy ra: Vậy + Đổi cận: 14 skkn thỏa mãn D Ví dụ Cho hàm số liên tục Tính giá trị A thỏa mãn B C D Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng cơng thức) Với ta có Suy Cách 2: Đáp án C Áp dụng Hệ 2: chẵn với hàm số Ta có Đáp án C Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục , thỏa Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ A B C D Lời giải Chọn C Áp dụng kết “Cho (với ” Ta có 15 skkn ) mãn Suy , phương trình tiếp tuyến cần lập là: Ví dụ Cho hàm số chẵn, liên tục hàm số liên tục thỏa mãn thỏa mãn , Tính tích phân A B C D Lời giải Chọn A Áp dụng Hệ với hàm số chẵn Ta có: Kết hợp với điều kiện hàm số chẵn, ta có: Chú ý: Nếu Ví dụ Cho hàm số chẵn, liên tục hàm số liên tục đoạn thỏa mãn Biết A Tính B C D Lời giải Chọn A Gọi Đặt Đổi cận: Với ; Với Ta Khi ta có: 16 skkn Xét Đặt Đổi cận: Với ; Ta Vậy ta có , Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Từ Đặt ; Với Suy thay vào , ta được: 2.1.4 ĐỔI BIẾN DẠNG Dùng tích chất đặc biệt hàm số chẵn, hàm số lẻ Ví dụ Cho hàm số hàm lẻ liên tục Tính A biết B C D Lời giải Chọn B Cách 1: Sử dụng cơng thức: tính chất với hàm số lẻ đoạn Áp dụng, ta có:   Suy ra: 17 skkn Cách 2: Xét tích phân Đặt Đổi cận: ; Do hàm số hàm số lẻ nên Do Xét Đặt Đổi cận: ; Do Ví dụ (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn Giá trị A bằng: B liên tục C D Lời giải Chọn D +) Ta có Xét Đặt (1) : Đổi cận: Khi Vì Do hàm chẵn nên , Thay vào (1) thu 18 skkn 2.1.4 ĐỔI BIẾN DẠNG “ Cho hàm số thỏa mãn biến nghịch biến) hàm đơn điệu ( ln đồng Hãy tính tích phân “ Cách giải: Đặt Đổi cận Suy Ví dụ Cho hàm số A liên tục B thỏa mãn C Tính D Lời giải Chọn D Đặt Đổi cận Khi đáp án D Ví dụ Cho hàm số liên tục Tính tích phân A thỏa mãn , B C D Lời giải Chọn B Đặt Đổi cận: với Khi 19 skkn 2.1.5 ĐỔI BIẾN DẠNG Bài toán: “ Cho Chứng minh: , Đặt ; Khi Ví dụ Cho hàm số liên tục nhận giá trị dương Biết với Tính giá trí A B C D Lời giải Chọn B Ta có: Xét Đặt Đổi cận: ; Khi Mặt khác hay Ví dụ Cho hàm số liên tục Tính tích phân A B Vậy thỏa mãn Biết C D Lời giải Chọn A Đặt ; Khi đó: 20 skkn Suy ra: Ví dụ Cho hàm số Biết A x  [0; a] ( có đạo hàm liên tục R , tính tích phân B ) C D Lời giải: (1) Đặt Đổi cận: (2) (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) (1) + (2) Chọn A Ví dụ Cho Khi hàm liên tục đoạn thỏa mãn , hai số nguyên dương có giá trị thuộc khoảng đây? A B C Lời giải Chọn B Cách Đặt Đổi cận Lúc Suy Do Cách Chọn hàm thỏa giả thiết 21 skkn phân số tối giản D Dễ dàng tính 2.2 Hiệu đề tài Sau toán thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt Khi sử dụng vào đề ơn tập cho học sinh hệ thống tập nâng cao kĩ ứng dụng đánh giá vào việc xử lý tốn tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua dạng toán vừa nêu ta thấy ưu điểm việc ứng dụng phép đổi biến vào hệ thống tập đa dạng sử dụng cho học sinh ôn thi TN THPT quốc gia 3.2 Kiến nghị Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực bổ ích nhà trường Giúp em học sinh có thêm hệ thống tập ôn luyện đạt kết cao kì thi TN THPT quốc gia Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 TRƯỞNG CAM KẾT KHÔNG COPY Giáo viên Nguyễn Văn Chinh 22 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi THPT quốc gia từ năm 2016 đến 2022 Báo Toán học tuổi trẻ Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn-Tích phân Tác giả: Trần Phương-Lê Hồng Đức SGK, sách Bài tập giải tích lớp 12 – CB, NC 23 skkn ... dụng cao với số lượng lớn mà xuất phát từ các toán đơn giản NỘI DUNG 2.1 MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP skkn 2.1.1 ĐỔI BIẾN DẠNG Biết tích phân Tính tích phân Đối với dạng ta cần đổi biến cách đặt... Thay vào (1) thu 18 skkn 2.1.4 ĐỔI BIẾN DẠNG “ Cho hàm số thỏa mãn biến nghịch biến) hàm đơn điệu ( đồng Hãy tính tích phân “ Cách giải: Đặt Đổi cận Suy Ví dụ Cho hàm số A liên tục B thỏa... Đổi cận: Với ; Ta Vậy ta có , Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Từ Đặt ; Với Suy thay vào , ta được: 2.1.4 ĐỔI BIẾN DẠNG Dùng tích chất đặc biệt hàm số chẵn, hàm số