(SKKN mới NHẤT) một số kỹ THUẬT GIẢI NHANH các bài TOÁN TÍCH PHÂN hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC MẬU   SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN Mơn: TỐN HỌC Lĩnh vực: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Nhóm tác giả: Phan Thị Ngọc Tú Hồ Đức Vượng Tổ: Toán – Tin Năm thực hiện: 2021 - 2022 Số điện thoại: 0977.733.739 0989.739.738 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Các tốn tích phân hàm ẩn có mặt cấu trúc đề thi THPT quốc gia từ Bộ giáo dục Đào tạo thay đổi hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm gần nằm cấu trúc thi tư Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, thi đánh giá lực Trường Đại học Quốc gia Hà Nội Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh với câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao nhằm mục đích phân loại mức độ hiểu biết trình độ thí sinh dự thi Trong năm nay, mà nhiều trường đại học xét tuyển dựa vào kết thi tư Trường Đại học Bách khoa Hà Nội thi đánh giá lực dạng toán mức độ vận dụng vận dụng cao mối quan tâm trăn trở giáo viên học sinh Trong thực tế giảng dạy, thấy với đa dạng tốn tích phân hàm ẩn nên phần lớn học sinh tiếp cận toán thường lúng túng khơng tự tin Theo chúng tơi, ngun nhân xuất phát lí sau: - Nhìn chung đa số học sinh nắm phương pháp tính tích phân với hàm số cho trước - Học sinh chưa hiểu rõ chất hàm số ẩn tốn tích phân - Học sinh chưa biết cách phối hợp phương pháp với tốn tích phân hàm ẩn - Trong hệ thống tốn tốn tích phân hàm ẩn có nhận dạng song có nhiều tốn mà bề ngồi khó nhận dạng khiến học sinh khơng thể lúc mà tìm thấy phương pháp áp dụng phù hợp - Học sinh chưa biết cách đặc biệt hóa, tổng quát hóa sử dụng cho tốn tích phân hàm ẩn Trong giai đoạn nay, với thay đổi hình thức tuyển sinh trường đại học, học sinh khơng có riêng hình thức thi trắc nghiệm mà cịn kết hợp hình thức thi tự luận, cần trang bị cho học sinh phương pháp có thuật toán rõ ràng, kĩ thuật giúp việc giải tốn tích phân hàm ẩn trở nên dễ dàng, đơn giản nhanh gọn - Thực trạng giảng dạy trường chúng tôi, đa phần học sinh thuộc mức trung bình trung bình nên việc tiếp cận toán mức độ vận dụng vận dụng cao cịn gặp nhiều khó khăn Vì chúng tơi ln băn khoăn trăn trở để tìm phương pháp kĩ thuật giải dạng toán tích phân hàm ẩn giúp cho đại đa số học sinh vận dụng mà khơng tập trung vào số đối tượng học sinh giỏi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Với mong muốn góp phần nhỏ việc đơn giản hóa giải tốn tích phân hàm ẩn làm phong phú thêm hệ thống phương pháp giải dạng toán Và trăn trở trước thực trạng nêu trên, mạnh dạn đúc rút thành sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kỹ thuật giải nhanh tốn tích phân hàm ẩn” để chia sẻ với đồng nghiệp, đồng thời mong nhận ý kiến xây dựng để sáng kiến hoàn thiện hơn, phát huy hiệu cơng việc giảng dạy Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Phát triển lực tư độc lập sáng tạo học sinh - Giúp học sinh phát huy tốt khả tự học, tự tìm tịi nghiên cứu - Hồn thiện thêm cách giải tốn tích phân hàm ẩn Phương pháp nghiên cứu 3.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu liên quan 3.2 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: - Qua thực tiễn giảng dạy góp ý đồng nghiệp - Khảo sát thực tiễn từ học sinh 3.3 Phương pháp quan sát, điều tra: - Qua điều tra, sát hạch cách vận dụng kiến thức học sinh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi qua năm Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, Quỳnh Lưu, Nghệ An trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Thời gian nghiên cứu Đề tài nghiên cứu thử nghiệm năm học: 2019 – 2020; 2020 – 2021 2021-2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ KHOA HỌC 1.1 Cơ sở lý luận Trong chương III giải tích 12, ngồi toán vận dụng vận dụng cao như: sử dụng phương pháp tính tích phân để tìm nguyên hàm, tích phân hàm số cho trước tốn ứng dụng tích phân hình học… tốn tích phân hàm ẩn thường xuất nhiều đề thi nhiều mức độ khác nhiều dạng Để giải tốn u cầu học sinh cần nắm vững kiến thức như: định nghĩa, tính chất nguyên hàm, tích phân phương pháp tìm ngun hàm, tích phân; quy tắc đạo hàm hàm số hợp; biết cách sử dụng phương pháp tư đặc biệt hóa, tổng qt hóa tốn Tuy nhiên nhiều trường hợp tốn tích phân hàm ẩn lại gặp khó khăn việc xác định hàm số nên học sinh gặp nhiều trở ngại trình định hướng cách giải dạng tốn Với mong muốn giúp học sinh có thêm kỹ thuật giải tốn tích phân hàm ẩn, giúp học sinh rèn luyện phương pháp tự học phát huy lực sáng tạo thân, đề xuất số kỹ thuật giải tốn tích phân hàm ẩn cở sở khai thác phát triển từ kiến thức sách giáo khoa: 1.1.1 Định nghĩa tích phân (SGK – Giải tích 12 Cơ bản) Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn  a; b  Giả sử F ( x) nguyên hàm f ( x) đoạn  a; b  Hiệu số F (b)  F (a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác b định đoạn  a; b  ) hàm số f ( x) kí hiệu  f ( x)dx a b Ta cịn dùng kí hiệu F ( x) a để hiệu số F (b)  F (a) b Vậy  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a ) a 1.1.2 Các tính chất tích phân Giả sử hàm số f ( x) , g ( x) liên tục đoạn  a; b  Khi ta có: a 1)  f ( x)dx  ; a TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com b 2) a  f ( x)dx    f ( x)dx ; a b b a 3)  kf ( x)dx k  f ( x)dx a b b 4) b b   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx ; a a b 5) ( k số);  a c a b ( a  c  b) f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx , a c 1.1.3 Các phương pháp tính tích phân 1.1.3.1 Phương pháp đổi biến số Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn  a; b  Giả sử hàm số x   (t ) có đạo hàm liên tục đoạn  ;   cho  ( )  a ,  (  )  b a   (t )  b với t   ;   Khi đó: b   f ( x)dx  f ( (t )). (t )dt a 1.1.3.2 Phương pháp tích phân phần Nếu u  u  x  v  v  x  hai hàm số có đạo hàm liên tục  a; b  b b  u  x .v  x  dx  u  x  v  x  a b hay  u.dv  uv b a   v  x  u  x  dx a b b a a   v.du a 1.1.4 Quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp 1.1.4.1 Các quy tắc Cho u  u  x  , v  v  x  hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định, C số Ta có: +)  u  v  '  u ' v ' ; +)  u.v  '  u '.v  v '.u   C.u   C.u ; C.v  u  u '.v  v '.u  C  , v  v ( x )     +)    ;     2 v v v v     TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com +) Nếu y  f  u  , u  u  x   yx  yu u x 1.1.4.2 Các công thức +)  C   0;  x   ; +)  x   n.x +)  x   x ,  x  0   u   2uu , u  0 ; n n 1    u n   n.u n1.u,  n   , n   ; +)  sin x   cos x   sin u   u. cos u ; +)  cos x    sin x   cos u   u.sin u ; +)  tan x   u   tan u   ; cos 2u cos x +)  cot x    u   cot u    sin x sin u 1.1.5 Công thức tìm nguyên hàm hàm số hợp Nguyên hàm hàm số hợp  u  u  x   Nguyên hàm hàm số sơ cấp  dx  x  C  du  u  C x 1 x dx   C   1   1 u 1 u du   C   1   1   Nguyên hàm hàm số hợp  u  mx  n; m  0  d  mx  n   mx  n  C  1  mx  n mx  n dx     m  1   C   1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  mx  n dx  m ln mx  n  C 1  x dx   x  C 1  u2 du   u  C   x dx  x  e dx  e x  a dx  x x C x C ax  C  a  0, a  1 ln a  u du  u  e du  e u  a du  u u C u C au  C  a  0, a  1 ln a 1 du   C m mx  n  mx  n  mx  n dx  e mx  n dx   mx  n mx  n  C m mxn e C m mx  n  a dx  a mx  n  C m ln a TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  sin  mx  n  dx   m cos  mx  n   C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  cos  mx  n  dx  m  sin  mx  n   C  tan x.dx   ln cos x  C  tan u.du   ln cos u  C  tan  mx  n  dx   m ln cos  mx  n   C  cot x.dx  ln sin x  C  cot u.du  ln sin u  C  cot  mx  n  dx  m ln sin  mx  n   C  sin x dx   cot x  C  sin  cos x dx  tan x  C u du   cot u  C  cos u du  tan u  C 1 1  sin  mx  n  dx   m cot  mx  n   C 1  cos  mx  n dx  m tan  mx  n   C 1.2 Cơ sở thực tiễn thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong trình giảng dạy ơn thi THPT quốc gia nhiều năm chúng tơi thấy phần ngun hàm, tích phân ứng dụng tích phân, học sinh tiếp cận năm lớp 12, toán tích phân hàm ẩn khơng phổ biến, dạng tốn thường khơng mẫu mực nên học sinh khó nhận dạng Vì mà đại đa số học sinh khơng định hướng cách giải, hay bắt tay vào giải làm cách máy móc, chưa biết giải giải Chúng tiến hành đề khảo sát kết học sinh kì thi THPT quốc gia kì thi đánh giá lực thấy em làm dạng tốn đó, cịn hầu hết em khoanh chừng đáp án làm trắc nghiệm để trống, làm vài bước tự luận đề thi đánh giá lực Cụ thể, tiến hành cho 35 học sinh lớp 12A1 44 học sinh lớp 12A2 Trường THPT Nguyễn Đức Mậu làm kiểm tra viết với nội dung đề gồm câu thời gian làm 60 phút Mục đích khảo sát kiểm tra khả giải tốn tích phân hàm ẩn 1.2.1 Đề kiểm tra Câu 1: Cho  f  x  dx   f  x  dx  2 Tính  f  x  dx TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục   f ( x)dx  Tính tích phân 5  ( f (1  3x)  9)dx Câu 3: Cho f  x  liên tục  f    ,  f  x  dx  Tích phân  xf   x  dx Câu Cho f  x  hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn  6;6 Biết  f ( x)dx  1  f (2 x )dx  Tính tích phân  f  x  dx 1 Câu 5: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục không âm [1;4] đồng thời thỏa mãn điều kiện f (1)  x  xf ( x)   f ( x) , x  [1;4] Tính  f  x  dx ln Câu Cho hàm số f  x  liên tục  Biết  f e x  1 dx    x  3 f  x  dx  Tính x 1 I   f  x  dx 1.2.2 Kết thu Lớp Sĩ số Làm Làm Làm Làm Làm Làm Câu Câu Câu Câu Câu Câu 12A1 35 35 35 18 12A2 44 44 42 15 Câu 1: Học sinh sử dụng tính chất tích phân để giải Câu 2: Học sinh sử dụng phương pháp đổi biến số Câu 3: Học sinh làm biết kết hợp phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phần Câu 4: Học sinh sử dụng tính chất hàm số chẵn kết hợp phương pháp đổi biến số để giải TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Câu 5: Học sinh biết biến đổi giả thiết x  xf ( x)   f ( x) dạng: f ( x)  x Sau lấy nguyên hàm hai vế sử dụng thêm giả thiết  f ( x) f (1)  để tìm hàm số f ( x ) , từ đến kết cuối Tuy nhiên, số học sinh lớp làm câu Câu 6: Chỉ có học sinh làm câu Cả hai học sinh biết sử dụng ln f ( x) x phương pháp đổi biến số biến đổi giả thiết  f  e  1 dx   dx  x 1 Sau sử dụng cách giải hàm phân thức biến đổi  làm xuất biểu thức  x  3 f  x  dx  x 1 f ( x)  x  dx  Từ suy kết tốn Qua việc phân tích đánh giá kết khảo sát nhóm đối tượng khác thấy đa số học sinh nắm định nghĩa nguyên hàm, tích phân; phương pháp tính tích phân, biết áp dụng bảng nguyên hàm hàm số hợp, nhiên việc vận dụng vào tốn tích phân hàm ẩn học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, em chưa hiểu cách vận dụng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  ( x  1) f '( x)  (3 x  ) f ( x)  16 x  x  ( x3  x) f '( x)  (3x  1) f ( x)  16 x3  x '   ( x  x ) f ( x )   16 x  x Lấy tích phân hai vế đoạn [2;3] ta được: 3 3  [( x  x) f ( x)]' dx   (16 x  x)dx  ( x  x) f ( x)  240 2  24 f (3)  f (2)  240 Do f (2)  nên f (3)  12 2.2.4 Bài toán 4: Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức u  x  f   x   u  x  f  x   h  x  , (Biết trước hàm số u ( x), h( x) )  u  u.v  uv Kỹ thuật biến đổi: Dựa quy tắc đạo hàm    v2 v - Chia hai vế (2) cho u ( x)  ta u  x  f   x   u  x  f  x   h  x   f  x   h  x     u x u x       - Lấy nguyên hàm tích phân hai vế ta - Tính f  x h x   dx u  x u ( x) h x  u ( x) dx , từ suy f  x  Ví dụ áp dụng: Ví dụ 15: Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm đoạn  0;1 thỏa mãn xf   x   f  x   x , với x   0;1 f 1  Tính tích phân  xf  x  dx Phân tích: - Để áp dụng Bài tốn 4, ta phải chia vế giả thiết cho x - Với u cầu tốn ta cần phải tìm hàm số f  x  - Khi sử dụng máy tính Casio để tính  xf  x  dx Bài giải: Với x  , ta có 37 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com xf   x   f  x   f  x   xf   x   f  x   x  1   1 x x2   f  x   xC x  f  x   x  Cx Vì f 1  nên C  Do f  x   x x4 Vậy  xf  x  dx   x dx   0 4 1 Ví dụ 16: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1;2 thỏa mãn f 1  f  x   xf   x   x  x Tính f   Phân tích: - Để áp dụng Bài toán 4, ta phải chia vế giả thiết cho x - Với yêu cầu tốn ta lấy tích phân vế đoạn 1;2 - Sử dụng máy tính Casio định nghĩa tích phân để tính f   Bài giải: Do x  1;2 nên xf   x   f  x   f  x   f  x   xf   x   x  x   2x      2x  x x2   Lấy tích phân vế đoạn 1;2 : 2 f (2) f ( x)  f ( x )  1  x  dx  1 (2 x  3)dx   x    f (1)  Do f 1  nên f    20 Ví dụ 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai liên tục  0;2 , f    , f    e f  x   ,  f  x  2  f  x  f   x    f   x    0, x   0;2 Tính f 1 Phân tích: - Để áp dụng Bài toán 4, ta phải chia vế giả thiết cho ( f ( x)) - Với u cầu tốn ta lấy nguyên hàm vế để tìm f  x  - Khi đó, sử dụng máy tính Casio để tính f 1 38 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài giải: Từ giả thiết ta có: f  x  f   x    f   x    f  x 2  f   x   1   1 f x     x2 Cx  D x2  ln f  x     x  C  dx   Cx  D  f  x   e 2 D  C  Do f    , f    e      2C  D  D  Suy f  x   e x2 x  f 1  e 2.2.5 Bài toán 5: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức f   x   f  x   g  x  , (Biết trước g  x  ) Kỹ thuật biến đổi: - Từ đẳng thức f   x   f  x   g  x   ex f  x   ex f  x   ex g  x    e x f  x    e x g  x  - Lấy nguyên hàm tích phân vế: e x f  x    e x g  x  dx  f  x  Một số dạng mở rộng Bài toán 5:  1)  f  x  ekx   ekx f   x   kekx f  x   2)  f  x  e kx   e kx f   x   kekx f  x   e kx  f ( x)  kf ( x)   3)  f  x  e kx   e kx f ( x)  2kf ( x)  k f ( x)  4)  f  x  ekx   ekx f ( x)  2kf ( x)  k f ( x)     Ví dụ áp dụng: Ví dụ 18: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;2 thỏa mãn f  x   f   x   2, x   0;2 f    Tính  f  x  dx Phân tích: - Đề xuất dạng Bài toán 5, nên ta nhân vế giả thiết với e x 39 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com - Lấy nguyên hàm vế để tìm f ( x ) - Sử dụng máy tính Casio để tính  f  x  dx Bài giải: Ta có: f  x   f   x   2, x   0;2  e x f  x   e x f   x    2e x   e x f  x    2e x  e x f  x     2e x  dx  2e x  C Do f    nên C  Khi đó: e x f  x   2e x   f  x   2  Vậy  ex 4  f  x  d x      x  dx   e  e 0 Nhận xét: - Các toán sau xuất dạng Bài toán 5, nên ta làm tương tự ví dụ 18 Ví dụ 19: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  1;1 thỏa mãn f  x   f   x   x, x   1;1 f    1 Tính  f  x  dx 1 Bài giải: Ta có: f  x   f   x   x, x   1;1  e x f  x   e x f   x   xe x   e x f  x    xe x  e x f  x    xe xdx  xe x  e x  C Do f    1 nên C  Khi đó: e x f  x   xe x  e x  f  x   x  Vậy  f  x  dx    x  1 dx  2 1 1 40 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ 20: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x   f   x   3e x ln , x   0;1 f    Tính  f  x  dx Bài giải: Ta có: f  x   f   x   3e x , x   0;1  e x f  x   e x f   x   3e3 x   e x f  x    3e3 x  e x f  x    3e3 x dx  e3 x  C Do f    nên C  Khi đó: e x f  x   e3 x   f  x   e x  ln Vậy ln   f  x  dx    e 2x  ex 3  dx  ex  Nhận xét: Khi học sinh nắm dạng Bài toán em linh hoạt để áp dụng vào toán mở rộng hơn, chẳng hạn ví dụ sau đây: Ví dụ 21: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f   x   f  x   e x , x   Biết f    , tính f   A e2 B 3e2 C e D 2e2 Bài giải: Từ giả thiết ta có e f  x   f  x e x x   2x e   f  x  ex  ex  f  x  e2 x  f  x      x    e  Lấy tích phân vế đoạn [0;2] : 2 f ( x) f ( x) f (2) f (0) 0 ( e x )' dx  0 dx   e x   e2  e0  Do f    nên f    2e 41 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ 22: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục [0;1] , thỏa mãn f    ln 2 f   x   f  x   [f ( x)] , x  [0;1] Tính  f ( x)dx B ln A ln C ln12 D ln Bài giải: Sử dụng Bài toán 4, chia vế cho [f ( x)]2 ta có: f   x   f  x   [f ( x)]2  f ( x)  f '( x) 1 [f ( x)]2 Sử dụng kỹ thuật biến đổi Bài toán 5, nhân vế với e x : e x f ( x )  e x f '( x ) ex ex x x  e  ( )'  e    e x dx  e x  C [f ( x)] f ( x) f ( x) ex Lại có: f     C   f ( x)   ex ln Khi  ln f ( x)dx   ln ex dx  ln(2  e x )  ln x e 2 2.2.6 Bài tốn 6: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức: f '( x).u ( x)  h( x) f ( x)  , (Biết trước hàm số u ( x), h( x) f ( x)  ) Kỹ thuật biến đổi: Xuất phát từ công thức đạo hàm: với u  u ( x)  ( u )'  - Chia vế cho f ( x) ta có: u' u f '( x ) h( x ) h( x )   ( f ( x ))'   2u ( x ) 2u ( x ) f ( x) - Lấy nguyên hàm tích phân vế: f ( x)    h( x ) dx 2u ( x) Ví dụ áp dụng: Ví dụ 23: Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f '( x)  f ( x), x  [0;1] f (0)  Tính tích phân  f ( x)dx A B C D 42 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Phân tích: - Đây tốn dạng Bài tốn nên học sinh áp dụng Bài giải: Từ giả thiết ta có: f '( x )  f ( x )  f '( x ) 1 f ( x) f ( x)   dx  x  C Lại có: f (0)   C   f ( x)  ( x  1) Sử dụng máy tính Casio tính tích phân  f ( x)dx    x  1 dx  Ví dụ 24: Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 2 thỏa mãn [f '( x)]  16 x f ( x)  0, x  [0;1] f (0)  Tính tích phân  f ( x)dx A 28 15 B 15 C  D Phân tích: Bài tốn chưa có dạng Bài tốn 6, nhiên ta chia hai vế cho f  x  sau khai bậc hai vế xuất dạng Bài tốn Bài giải: Vì hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f (0)  nên f ( x)  0, x  [0;1] f '  x   0, x   0;1 Từ giả thiết ta có: [f ( x)]2  16 x f ( x)    f ( x )  2x   f ( x)  [f ( x)]  x2 f ( x)  f ( x) dx   xdx   f ( x)  x  C 2 Lại có: f (0)   C   f ( x)  ( x  1)  I   ( x  1)2 dx  28 15 Nhận xét: Khi học sinh trang bị kỹ thuật giải cách có hệ thống học sinh vận dụng linh hoạt nhanh nhẹn trước tốn khác Ví dụ 25: Cho hàm số f  x  có đạo hàm đồng biến đoạn 1;4 , thỏa mãn x  xf  x    f   x   với x  1;4 Biết f 1  , tính I   f  x dx 2 43 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài giải: Do f  x  đồng biến 1;4 nên f  x   f 1    , 2 f   x   0, x  1;4 Khi ta có biến đổi sau: x  xf  x    f   x     f  x f  x 1 f  x f  x 1  x dx   x dx  f  x    x C 2 4 x   1  3  Mà f 1   C   f  x    x3  x  9 18 4 16  1186 1 Vậy I   f  x dx   x  x x  x   45 18  45  18 Trên số dạng tổng qt tốn tích phân hàm ẩn mà chúng tơi tích lũy xây dựng q trình giảng dạy Chúng tơi thấy rằng, đưa toán tổng quát để xây dựng cho học sinh kỹ thật biến đổi cách có hệ thống học sinh vận dụng tốt, biết nhận dạng phối hợp toán với để giải tốn khó hơn, học sinh khơng cịn lúng túng trước tốn tích phân hàm ẩn Bài tập áp dụng: Bài Cho hàm số f  x   với x   thỏa mãn f     25 , f   x   x  f  x   , x   Tìm f 1   HD: Biến đổi dạng: f   x   x3  f  x      4 x   f ( x)  Bài Cho hàm số f  x  xác định liên tục khoảng (0; ) thỏa mãn 2 x f  x    x  1 f  x   xf   x   , f 1  2 Tính  f  x  dx 44 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com   xf '( x )  f ( x )      1 ( xf ( x )  1) xf ( x )    HD: Biến đổi dạng: Bài Cho hàm số f  x  liên tục  0;  x  f   x     2x 1  f  x x Biết f 1  Tính f  e  HD: Biến đổi dạng: ( xf ( x))'  x  2x  x Bài Cho f  x  hàm số liên tục  thỏa mãn f  x   f   x   sin x với x   f    Tính e π f  π  Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;1 f  x   , 1 f  a, 2 x   0;1 Biết  3 f   b x  xf   x   f  x   ,    sin x.cos x  2sin x dx theo a b f sin x    x   0;1 Tính tích phân I   A I  3a  b 4ab B HD: Biến đổi dạng: 3a  b 4ab C 3b  a 4ab D 3b  a 4ab x2  x x2  ( )' ( f ( x )) f ( x) Bài Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 1;2 thỏa mãn f (1)   f ( x)  xf ( x)  x3  x f ( x), x [1;2] Giá trị tích phân    x f ( x)dx A ln B ln C ln D   HD: Biến đổi dạng    2 x   xf ( x )  Bài Cho hàm f  x  liên tục đoạn  0;1 f  x   f   x   x  x  , x   0;1 ; f    Tìm f  x  45 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com HD: Biến đổi dạng (e x f ( x))'  e x ( x  x  1) Bài Cho hàm f  x  liên tục đoạn  0;2 f  x   f   x   3x ln  3e  , x   0;2 , f    Tìm f  x  thỏa mãn HD: Biến đổi dạng (e x f ( x))'  (3e) x ln(3e) Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  2;2 , thỏa mãn f   x   f  x   xe  x , x   Biết f    Tính giá trị f  2  HD: Biến đổi dạng (e x f ( x))'  x Bài 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thoả mãn f (0)  xf   x   f  x   x 2020 , với x   0;1 Tính  f  x  dx HD: Biến đổi dạng: ( x3 f ( x))'  x 2022 Bài 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  ;    thỏa mãn đẳng thức f  x   ( x x  x  12) f   x    x2  x  x2  với x   ;    Giá trị f   A f    34  B f    34  10 C f    34  10 D f  5  34  HD: Biến đổi dạng: x4 f  x  f  x   x3  x  3 x4   f  x    x3  x2  x x x 9 Bài 12 Cho hàm số y  f  x  liên tục khoảng  0;  Biết f 1  f ( x )  xf ( x)  ln x ; x   0;   giá trị f  e  bằng: A B e C e D  f  x    ln x HD: Biến đổi dạng    x x   Bài 13 Cho hàm số y  f ( x) liên tục khoảng (0; ) Biết f (1)  2 xf ( x )  f ( x )  x x x  (0; ) , giá trị f (4) 46 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com A 14 B C 24 D 16 x 3x  ( x f ( x))  x HD: Biến đổi dạng: f ( x )  f ( x)  2 x x Bài 14 Cho hàm số y  f ( x) liên tục khoảng (1; ) Biết f ( e )  3e ( xf ( x)  f ( x))ln x  x3  f ( x) x  (1; ) , giá trị f (2) thuộc khoảng đây?  25   27   23   29  A 12;  B 13;  C  ;12  D 14;          HD: Biến đổi dạng: f ( x) f ( x)ln x f ( x) f ( x)  f ( x)    dx  x   dx   'ln x    x x x x  x  Bài 15 Cho hàm số f ( x ) đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn 1;4 thỏa mãn f (1)  ( xf ( x)  f ( x))  f ( x ), x  1;4 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  1, x  A S   2ln B S   2ln C S   ln D S   ln HD: Biến đổi dạng: ( f ( x)  xf '( x)) f ( x)  xf '( x) 1     ( xf ( x))'  xf ( x) x xf ( x) x x 2.3 Kết nghiên cứu Chúng chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng Lấy kết kiểm tra chung hai lớp làm kiểm tra trước tác động Kết kiểm tra cho thấy kết học tập hai lớp trước tác động tương đương (Đã phân tích mục 1.2) Sau tác động, cho học sinh lớp 12A1 12A2 làm kiểm tra chung Bài kiểm tra gồm bài, làm khoảng thời gian 45 phút 2.3.1 Nội dung kiểm tra: Bài Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f (2)  2 ,  f ( x)dx  Tính  f '( x )dx Bài Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  1;1 f ( x ) hàm số chẵn Biết  ( x  2) f '( x)dx  12 f (1)  Tính tích phân  f  x  dx 1 47 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài Cho hàm số f  x   với x   thỏa mãn f     25 , f   x   x  f  x   , x   Tìm f 1 Bài Cho hàm số f  x  xác định liên tục khoảng (0; ) thỏa mãn x f  x    x  1 f  x   xf   x   , f 1  2 Tính  f  x  dx 2 2.3.2 Kết thu được: Lớp Sĩ số Làm Làm Làm Làm Làm Bài Bài Bài Bài Không làm 12A1 35 35 32 35 28 28 12A2 44 27 33 1 Kết làm học sinh hai lớp, nhận thấy: - Tất học sinh lớp 12A1 sử dụng kỹ thuật mà đề tài đưa để giải các toán đề kiểm tra Ở 2, em sử dụng kỹ thuật chọn hàm; sử dụng Bài toán (mục 2.2.1), sử dụng Bài toán (mục 2.2.4) - Học sinh lớp 12A2 giải theo cách cũ, sử dụng kết hợp phương pháp đổi biến số tích phân phần, sử dụng tính chất hàm số chẵn phương pháp tính tích phân Bài em biết theo cách đề tài Qua đó, chúng tơi thấy rằng: điểm nhóm thực nghiệm cao nhóm đối chứng, chứng tỏ mức độ ảnh hưởng tác động lớn; điểm lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng ngẫu nhiên mà tác động mà có Tác động có ý nghĩa lớn tất đối tượng học sinh: yếu, trung bình, Số học sinh yếu giảm nhiều, số học sinh tăng đáng kể 48 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Đóng góp đề tài 3.1.1.Tính mới: Đề tài nghiên cứu, thực nghiệm thành công đúc rút từ kinh nghiệm có tính thực tiễn cao Đề tài đưa số kỹ thuật giải nhanh tốn tích phân hàm ẩn thơng qua dạng tốn thường gặp tổng qt hóa đặc biệt hóa với kỹ thuật giải rõ ràng nhanh gọn phù hợp với yêu cầu hình thức đánh giá kiểm tra Các kỹ áp dụng thể qua ví dụ minh họa tập tự luyện từ đến nâng cao Giúp giáo viên, học sinh có tài liệu học tập hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng toán khoa học với định hướng cụ thể để giải tốt số tốn Tích phân hàm ẩn Kết đạt làm nhiều học sinh hứng thú sử dụng kỹ thuật Bởi kỹ thuật khơng nhanh gọn, hiệu mà cịn có tính tổng hợp cao 3.1.2.Tính khoa học: Đề tài trình bày bản, cẩn thận Các phương pháp nghiên cứu vận dụng phù hợp phát huy hiệu nội dung đề tài Ngôn ngữ sáng, tường minh; cấu trúc gọn, rõ, chặt chẽ, dẫn chứng khách quan, xác thực 3.1.3.Tính hiệu quả: Đề tài thực nghiệm trường THPT Nguyễn Đức Mậu năm học 2019 – 2020, 2020 – 2021 2021 – 2022 đem lại hiệu thiết thực cho việc đổi phương pháp dạy học theo hướng phát triển lực cho học sinh THPT Đề tài giúp cho học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn cách ngắn gọn, nhẹ nhàng; đặc biệt tác dụng với toán trắc nghiệm Đề tài áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, kể học sinh trung bình, trung bình giải tốt tốn tích phân hàm ẩn đề thi THPT quốc gia Đồng thời giúp cho em học sinh có thêm số kỹ thuật để giải tốn tích phân hàm ẩn kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, kỳ thi THPT Quốc gia, thi đánh giá lực thi tư trường Đại học 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Với giáo viên 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Từ toán cụ thể, giáo viên cần đưa dấu hiệu chất tốn; Phân tích khó khăn thường gặp giải tốn Từ nêu cách khắc phục khó khăn tốn đề xuất nhiều cách giải khác nhau, từ giúp học sinh tìm lời giải tối ưu cho toán, dạng toán Đồng thời, từ tốn ban đầu, định hướng để phát triển thêm tốn khác giúp học sinh dựa vào toán phát triển để giải tốn khác nhanh gọn hiệu Trong q trình giảng dạy, giáo viên cần khuyến khích, nâng cao tính tích cực, chủ động, khơng “gị ép” học sinh thụ động tiếp thu kiến thức mà giáo viên áp đặt lên 3.2.2 Với học sinh Học sinh phải người chủ động, tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu sáng tạo Đứng trước tốn, ngồi việc tìm lời giải, học sinh cần phải rèn luyện kĩ nhận dạng, phân tích để tìm lời giải khác đưa toán tương tự, tổng quát 3.2.3 Với cấp quản lý Tăng cường tiết học có tính chất phát triển tư lực, phát huy khả tự học, tự sáng tạo học sinh, làm sở quan trọng cho việc nghiên cứu học riêng rẽ Với dạng tốn khó hay dạy khó, đặt trước đơn vị học cụ thể để giáo viên học sinh tiện cho việc nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn cụ thể Trên kinh nghiệm nhỏ mà chúng tơi rút q trình giảng dạy Thiết nghĩ, việc tìm phương pháp dạy học phù hợp với đơn vị học, giai đoạn thực tiễn công việc riêng Do thời gian nghiên cứu cịn nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế Rất mong đóng góp chân thành đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn để đề tài hồn thiện Chúng tơi xin trân trọng cảm ơn! Các tác giả Phan Thị Ngọc Tú - Hồ Đức Vượng 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 - Nhà xuất giáo dục năm 2008 Bài tập Giải tích 12 - Nhà xuất giáo dục năm 2008 Chuyên đề Kỹ thuật chọn hàm toán Tích phân- Dương Đình Tuấn Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Tuyển tập đề thi Học sinh giỏi năm Đề thi thử THPT quốc gia trường THPT nước Các Website tốn học có,… 51 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... đưa giải pháp phù hợp với việc đổi trình dạy học, phù hợp với đổi đánh giá kiểm tra nay, ? ?Một số kỹ thuật giải nhanh tốn tích phân hàm ẩn? ?? II MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN. .. chương III giải tích 12, ngồi tốn vận dụng vận dụng cao như: sử dụng phương pháp tính tích phân để tìm ngun hàm, tích phân hàm số cho trước tốn ứng dụng tích phân hình học… tốn tích phân hàm ẩn thường... với hàm số cho trước - Học sinh chưa hiểu rõ chất hàm số ẩn tốn tích phân - Học sinh chưa biết cách phối hợp phương pháp với tốn tích phân hàm ẩn - Trong hệ thống tốn tốn tích phân hàm ẩn có nhận