Skkn phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải MỤC LỤC Trang LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Bảng cơng thức tính ngun hàm 1.2 Định nghĩa 1.3 Tính chất tích phân 1.4 Một số phương pháp tính tích phân 1.4.1 Phương pháp đổi biến số 1.4.2 Phương pháp tích phân phần 1.5 Ứng dụng tích phân 1.5.1 Tính diện tích hình phẳng 1.5.2 Thể tích vật thể PHẦN 2: NỘI DUNG 2.1 Tính tích phân hàm ẩn dựa vào tính chất 2.1.1 Phương pháp giải 2.1.2 Bài tập áp dụng 2.1.3 Bài tập tự luyện 10 2.2 Tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến 11 2.2.1 Phương pháp giải 11 2.2.2 Bài tập áp dụng 12 2.2.3 Bài tập tự luyện 15 2.3 Tính tích phân hàm ẩn phương pháp tích phân phần 16 2.3.1 Phương pháp giải 16 2.3.2 Bài tập áp dụng 16 2.3.3 Bài tập tự luyện 20 2.4 Sử dụng số tính chất đặc biệt để tính tích phân hàm ẩn 2.4.1 Tính chất 2.4.1 21 21 skkn SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 2.4.2 Tính chất 2.4.2 22 2.4.3 Tính chất 2.4.3 23 2.4.4 Tính chất 2.4.4 24 2.5 Sử dụng giả thiết có sẵn để xác định hàm ẩn 24 2.6 Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết học sinh 26 skkn SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Lý chọn đề tài Nguyên hàm, tích phân hai khái niệm bản, quan trọng giải tích, có liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm Phép tính tích phân cho phương pháp tổng quát để tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể có hình dạng phức tạp Những năm gần Bộ Giáo dục Đào tạo đổi hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm, nên hầu hết tốn tích phân làm nhờ máy tính bỏ túi Xuất phát từ lý thơi thúc tơi tìm hiểu dạng tốn tích phân cho giải khơng dùng máy tính bỏ túi mà phải nắm phương pháp giải dạng tốn tích phân giải toán Thống kê thi THPT Quốc gia năm gần Số Bài hỏi có nội dung liên quan tới tích phân Năm 2017 2018 2019 Mã đề 101 102 103 101 102 103 101 102 103 Số Bài hỏi 3 5 5 5 Hệ thống câu hỏi đề xếp theo thứ tự độ khó tăng dần Các câu liên quan tới tích phân đề thường hỏi dạng hàm số dấu tích phân hàm số ẩn ứng dụng tích phân Với tất lý mạnh dạn viết sáng kiến với tiêu đề: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn Tên sáng kiến: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Trần Đức Hải - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo – Tam Đảo – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0982 358 268; E_mail: Tranduchai.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn skkn SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Là thân tác giả Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Ứng dụng tích phân để giải số toán hàm ẩn Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Ngày 10 tháng năm 2020 Mô tả chất sáng kiến: Sáng kiến gồm phần: Phần 1: Kiến thức sở; Phần 2: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Bảng công thức nguyên hàm thường gặp 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 1.2 Định nghĩa: Cho hàm số hàm liên tục đoạn Hiệu số phân xác định đoạn Giả sử gọi tích phân từ a đến b (hay tích hàm số kí hiệu 1.3 Tính chất tích phân nguyên ( ) skkn SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 1.4 Một số phương pháp tính tích phân 1.4.1 Phương pháp đổi biến số Định lý 1.1: Cho hàm số hàm liên tục đoạn liên tục đoạn cho Giả sử hàm số có đạo với Khi đó: Định lý 1.2: Giả sử hàm số cho hàm hợp có đạo hàm liên tục K, hàm số liên tục xác định K; a, b số thuộc K Khi 1.4.2 Phương pháp tích phân phần Định lí 1.3 : Nếu hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , hay viết gọn 1.5 Ứng dụng tích phân 1.5.1 Tính diện tích hình phẳng Bài tốn 1.1: Cho hàm số hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn Gọi H miền phẳng giới , trục hoành hai đường thẳng miền phẳng H tính theo cơng thức skkn , diện tích SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải y y  f (x) O a c1 c2 c3 b x  y  f (x)  y  (H )  x  a  x  b Bài toán 1.2: Cho hàm số b S   f ( x ) dx a liên tục đoạn phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số hai đường thẳng , Gọi H miền diện tích miền phẳng H tính theo cơng thức y (C1): y  f1(x)  (C ): y  f2 (x) (H )  x  a x  b  (C1) (C2 ) b O c2 b a c1 S   f1 ( x )  f ( x ) dx x a 1.5.2 Thể tích vật thể 1.5.2.1 Thể tích vật thể Bài tốn 1.3: Gọi điểm a b; phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm Giả sử hàm số liên tục đoạn Khi đó, thể tích vật thể B tính theo cơng thức (V ) O x a b b x V   S ( x )dx a S(x) 1.5.2.2 Thể tích khối trịn xoay Bài tốn 1.4: Giả sử hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số skkn , trục Ox SKKN: Phương pháp giải số toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải hai đường thẳng , quay xung quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay Khi thể tích tính theo cơng thức y y  f (x) O a b (C ): y  f (x)  b (Ox): y  V    x a  f ( x ) dx x x  a  x  b PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2.1 Tính tích phân hàm ẩn dựa vào tính chất 2.1.1 Phương pháp giải Sử dụng tính chất cơng thức ngun hàm phần 1.3 2.1.2 Bài tập áp dụng Bài 2.1 Cho A Tích phân B C -1 D -5 Lời giải  Theo giả thiết ta có: Suy Vậy đáp án A Nhận xét: Như toán học sinh cần nắm kiến thức lý thuyết giải Bài 2.2: Cho A Tính B C Lời giải skkn D SKKN: Phương pháp giải số toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Ta có Chọn D Bài 2.3: Cho hàm số liên tục có ; Tính A B C D Lời giải Ta có: Chọn D Bài 2.4 Tính tích phân A B C D Lời giải Chọn D Bài 2.5: Cho hàm số liên tục đoạn đường trịn hình vẽ Tính giá trị skkn có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải A B C D Lời giải Nhận xét: Ở tốn dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết nhanh gọn Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư phân tích, tổng hợp tơi hướng dẫn học sinh giải toán theo hướng dài dùng định nghĩa tính chất tích phân để giải tốn Ta có: Chọn B Bài 2.6: Cho hàm số có đạo hàm liên tục mãn thỏa Tính tích phân A B C D Lời giải Ta có Chọn C Bài 2.7: Cho hàm số mãn xác định có đạo hàm liên tục Tính skkn thỏa SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải A B C D Lời giải Ta có (do ) Chọn A Bài 2.8: Cho hàm số có đạo hàm liên tục Tính A B C đồng thời thỏa mãn D Lời giải Lấy nguyên hàm hai vế Do Vậy Chọn C 2.1.3 Bài tập tự luyện Bài 2.9: Cho Khi A B Bài 2.10: Cho hàm số A B bằng: C thỏa mãn D Tính C D 10 skkn SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.32: Cho hàm số có đạo hàm liên tục Tích phân A thỏa mãn B C D Lời giải Xét , đặt Khi Chọn D Bài 2.33: Cho hàm số A thỏa mãn B C Tính D Lời giải Đặt Khi Suy Chọn A Bài 2.34: Cho hàm số A có đạo hàm liên tục Tích phân thỏa mãn B C Lời giải 18 skkn D SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Ta có hay Xét Đặt Khi ChọnC Bài 2.35: Cho hàm số với Biết rằng: Tính A B C D Lời giải Đặt Vậy Bài 2.36: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục A với B Tính C Lời giải Ta có Đặt 19 skkn Biết tích D phân SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Vậy Bài 2.37: Cho hàm số A có đạo hàm liên tục đoạn Tính B C Đặt Ta lại có Ta có Chọn A Bài 2.38: Cho hàm số tục có đạo hàm liên có đồ thị hình bên Đặt thỏa mãn , Lời giải Xét Chọn D thuộc khoảng sau đây? 20 skkn D SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải A B C D Lời giải Đặt Khi Từ đồ thị, ta thấy: • • Chọn C 2.3.3 Bài tập tự luyện Bài 2.39: Biết nguyên hàm Tích phân B -3 Bài 2.40: Cho hàm số C có đạo hàm liên tục Giá trị D -2 thỏa mãn , B C Bài 2.41: Cho hàm số A thỏa mãn A A D liên tục B C 21 skkn Tính D SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.42: Cho Tính A B Bài 2.43: Cho hàm số C D thỏa mãn A B Bài 2.44: Cho hàm số C D có đạo hàm liên tục Tích phân A thỏa mãn C liên tục bằng: B Bài 2.45: Cho hàm số Tính D thỏa mãn Tích phân A B Bài 2.46: Cho hàm số Tính tích phân B Bài 2.47: Cho hàm số C D Biết D C 22 skkn Tính B có đạo hàm liên tục đoạn Biết A có đạo hàm liên tục đoạn A C D SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 2.4 Sử dụng số tính chất đặc biệt để tính tích phân hàm ẩn Tính chất 2.4.1 Nếu hàm chẵn liên tục Để chứng minh tính chất bạn đọc đặt chẵn sử dụng tính chất hàm Thật Xét đặt ta Từ suy Bài 2.48 Cho hàm số chẵn A liên tục B Tính C.8 D.16 Lời giải : Áp dụng tính chất 2.4.1 ta có Đặt sau đổi cận ta Đáp án D Tương tự: Tính chất 2.4.2 Nếu hàm số liên tục đoạn Chứng minh: 23 skkn với SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.49 Cho hàm số Tính A hàm số liêm tục thỏa mãn B C.-1 D.2 Lời giải : Áp dụng tính chất 2.4.2 ta có Đáp án B Tương tự: Bài 2.50: Cho hàm số Tính A liên tục thỏa với B C D Lời giải Áp dụng tính chất Suy Chọn D Tính chất 2.4.3 Nếu hàm số liên tục thỏa mãn Tính chất chứng minh cách đặt Bài 2.51: Cho hàm số Tính A liên tục đoạn thỏa mãn C D.12 B Lời giải: Áp dụng tính chất 2.4.3 ta có Đáp án D 24 skkn SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Tương tự Bài 2.52: Cho hàm số liên tục với A thỏa mãn số thực khác B Tính C D Lời giải Áp dụng tính chất Từ giả thiết , lấy tích phân hai vế ta Suy (do Xét tích phân Đặt ) , suy Đổi cận: Khi Từ suy Tính chất 2.4.4 Nếu Chọn C hàm số liên tục đoạn Ta dễ dàng chứng minh cách đặt Bài 2.53 Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính A B Lời giải: Theo giả thiết ta có C 25 skkn D SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Đặt Lúc Mặt khác theo tính chất 2.4.4 ta có Vậy đáp án D 2.5 Sử dụng giả thiết có sẵn để xác định hàm ẩn Bài 2.54 Cho hàm số có đạo hàm liên tục Tính A B thỏa mãn C D Lời giải : Từ giả thiết ta có Thay vào (1) ta Đáp số C Nhận xét: Qua ví dụ ta khái quát cách giải cho toán tổng quát sau : Khi gặp tốn có giả thiết có dạng ta tìm cách đưa vế trái dạng sau sử dụng nguyên hàm vế để tìm hàm ẩn Bài 2.55: Cho hàm số giá trị có đạo hàm liên tục đoạn dương đoạn và thỏa mãn Tính A B C Phương pháp: Lời giải 26 skkn D nhận SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Mà Chọn D Bài 2.56 Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính A B C Lời giải : Xét D.4 Đặt Lúc Kết hợp với Ta lại có ta suy Từ (1), (2) theo giả thiết (1) ta suy Lại Vậy Nhận Đáp số B xét : Qua 2.56 ta thấy 27 skkn gặp tốn có giả thiết SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Và cách sử dụng cơng thức tích phân phần ta đưa tích phân dạng Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết học sinh Bài 2.57: Xét hàm số liên tục đoạn thỏa mãn Tính A B C Bài 2.58: Cho hàm số D xác định liên tục thỏa Tính tích phân A B Bài 2.59: Cho số thực Giả sử hàm số thỏa mãn C Bài 2.62 Cho hàm số D liên tục R B Tính C D 16 có đạo hàm liên tục Giá trị tích phân A liên tục ln dương đoạn B Bài 2.60: Cho hàm số chẵn Bài 2.61 Cho hàm số D Tính tích phân A A C thỏa B C có đạo hàm liên tục Tính 28 skkn D thỏa mãn Biết SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải A B Bài 2.63 Cho hàm số C D có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính tích phân A B Bài 2.64 Cho Tính tích phân A B Bài 2.65 Cho hàm số liên tục C D C D Tính tích phân A B Bài 2.66 Cho hàm số C liên tục D thỏa mãn Tính tích phân A B Bài 2.67 Cho hàm số C D xác định liên tục thỏa Tính tích phân A B C D Bài 2.68 Cho hàm số xác định liên tục Tích phân A B Bài 2.69 Cho hàm số với C D xác định liên tục Biết thỏa thỏa mãn với Tính tích phân A B Bài 2.70 Cho hàm số thỏa mãn A B C D C 29 skkn Tính D SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.71 Cho hàm số có đạo hàm liên tục Tích phân thỏa mãn A B Bài 2.72 Cho hàm số C D có đạo hàm liên tục Tích phân thỏa mãn A B Bài 2.73 Cho hàm số C nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục với A C Bài 2.74 Biết Biết Tính tích phân B với A D D Tính B C D Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Sách giáo khoa, ghi, máy tính cầm tay tài liệu tham khảo 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử Để thấy kết sát thực sáng kiến Tôi chọn lớp 12A3, 12A6 để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Đầu tiên nhà cho học sinh tập: Từ ví dụ 2.1 đến 2.8 Yêu cầu học sinh làm tập giấy thu kết sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB 3-4 0-2 12A3 38 15 10 0% 13.2% 39.5% 21.1 26.2% 17 10 12A6 38 30 skkn SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 0% 5.3 % 44.7% 26.3% 23.7% Với kết tổng hợp bảng thực tế làm học sinh, tơi thấy hầu hết học sinh khơng làm lúng túng việc giải tốn tìm tích phân hàm ẩn bế tắc hồn tồn Đứng trước thực trạng định đưa sáng kiến dạy cho đối tượng học sinh kể học sinh có lực học trung bình Sáng kiến giúp học sinh biết cách đưa hướng giải tốn cho tối ưu Tơi tập trung học sinh lớp 12A3, 12A6 học ngoại khoá vào tiết buổi chiều Trong tiết truyền thụ học sinh lĩnh hội kiến thức, kết sau cho học sinh làm 20 câu kiểm tra trắc nghiệm Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB 3-4 0-2 12A3 38 18 10 21.1% 47.37% 26.3% 5.3% 0% 20 15.8% 52.6 % 21.1% 10.5% 12A6 38 0% Với kết thực tế làm học sinh nhận thấy phương pháp mà đưa có kết tốt, giúp học sinh cảm thấy tự tin gặp tốn tích phân hàm ẩn, đồng thời giải tốt số tập đề thi minh họa THPT QG đề thi THPT Quốc Gia Mặc dù cố gắng qúa trình tìm tịi nghiên cứu, hạn chế mặt mặt lực thời gian nên trình bày sáng kiến khơng tránh khỏi thiếu sót, việc khai thác đề tài chắn chưa hồn thiện triệt để Ở tơi cố gắng đưa tình thực tế để học sinh giải quyết, việc đưa phương pháp giúp học sinh vận dụng kiến thức toán học vào giải tình tốn học thực tế vấn đề có điều kiện tơi nghiên cứu thêm Kính mong nhận xét, bổ sung góp ý q thầy bạn 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 31 skkn SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực Lớp 12A3 Trường THPT Tam Đảo 2 Lớp 12A6 Trường THPT Tam Đảo áp dụng sáng kiến Tam Đảo, ngày tháng Thủ trưởng đơn vị năm Tam Đảo, ngày 13 tháng năm 2019 Tác giả sáng kiến Trần Đức Hải 32 skkn ... C 16 skkn D SKKN: Phương pháp giải số toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 2.3 Tính tích phân hàm ẩn nhờ phương pháp tích phân phần 2.3.1 Phương pháp giải Định lí : Nếu hai hàm số có đạo hàm. .. gọi tích phân từ a đến b (hay tích hàm số kí hiệu 1.3 Tính chất tích phân nguyên ( ) skkn SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 1.4 Một số phương pháp tính tích phân. .. nguyên hàm liên tục R, Biết Giá trị A 336 B 334 C 332 2.2 Tính tích phân hàm ẩn nhờ phương pháp đổi biến số 2.2.1 Phương pháp giải 11 skkn D 338 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn –