SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

Mục tiêu của đề tài là tìm hiểu những dạng toán tích phân sao cho khi giải không dùng được ngay máy tính bỏ túi mà phải nắm được phương pháp giải các dạng toán tích phân thì mới giải quyết được bài toán.

               SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  MỤC LỤC Trang LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI PHẦN 1:  KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Bảng cơng thức tính ngun hàm cơ bản 1.2. Định nghĩa 1.3. Tính chất của tích phân 1.4. Một số phương pháp tính tích phân      1.4.1. Phương pháp đổi biến số      1.4.2. Phương pháp tích phân từng phần 1.5. Ứng dụng của tích phân      1.5.1. Tính diện tích hình phẳng      1.5.2. Thể tích vật thể  PHẦN 2: NỘI DUNG 2.1. Tính tích phân hàm ẩn dựa vào các tính chất cơ bản      2.1.1. Phương pháp giải      2.1.2 Bài tập áp dụng      2.1.3. Bài tập tự luyện 10 2.2. Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến 11      2.2.1. Phương pháp giải 11      2.2.2. Bài tập áp dụng 12      2.2.3. Bài tập tự luyện 15 2.3. Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tích phân từng phần 16      2.3.1. Phương pháp giải 16      2.3.2. Bài tập áp dụng 16      2.3.3. Bài tập tự luyện 20 2.4. Sử dụng một số tính chất đặc biệt để tính tích phân hàm ẩn 21      2.4.1. Tính chất 2.4.1 21                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải       2.4.2. Tính chất 2.4.2 22      2.4.3. Tính chất 2.4.3 23       2.4.4. Tính chất 2.4.4 24 2.5. Sử dụng các giả thiết có sẵn để xác định hàm ẩn  24 2.6. Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết quả học sinh 26                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  1. Lý do chọn đề tài Ngun hàm, tích phân là hai khái niệm cơ bản, rất quan trọng của giải tích, có   liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm. Phép tính tích phân cho chúng ta một phương   pháp tổng qt để tính diện tích của những hình phẳng và thể tích của những vật thể  có hình dạng phức tạp. Những năm gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đổi mới hình  thức thi tự luận sang trắc nghiệm, nên hầu hết các bài tốn tích phân có thể làm được  nhờ  máy tính bỏ  túi. Xuất phát từ  những lý do trên thơi thúc tơi tìm hiểu những dạng   tốn tích phân sao cho khi giải khơng dùng được ngay máy tính bỏ  túi mà phải nắm  được phương pháp giải các dạng tốn tích phân thì mới giải quyết được bài tốn.  Thống kê thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số  Bài hỏi có nội dung liên quan tới   tích phân  Năm 2017 2018 2019 Mã đề 101 102 103 101 102 103 101 102 103 Số Bài hỏi 3 5 5 5 Hệ thống câu hỏi trong đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần. Các câu liên quan tới  tích phân trong đề  thường hỏi dạng hàm số dưới dấu tích phân là hàm số  ẩn  và ứng  dụng của tích phân. Với tất cả  lý do trên tơi mạnh dạn viết sáng kiến với tiêu đề:  Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn 2. Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn 3. Tác giả sáng kiến: ­ Họ và tên: Trần Đức Hải ­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2 – Tam Đảo – Vĩnh Phúc                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  ­ Số điện thoại: 0982 358 268; E_mail: Tranduchai.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Là bản thân tác giả 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:  Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài tốn về hàm ẩn 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Ngày 10 tháng 2 năm 2020 7. Mơ tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến gồm 2 phần:  Phần 1: Kiến thức cơ sở; Phần 2: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn.  PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Bảng công thức nguyên hàm thường gặp 1) dx = x + C 2) xα + x dx = + C,   ( α α +1 3) dx = ln x + C x 4) e x dx = e x + C α       5)   a x dx = 6)  cos x.dx = sin x + C −1)       7)  sin x.dx = − cos x + C       8)  9)  x a + C ,   ( a > 0, a 1) ln a dx = tan x + C cos x dx = − cot x + C sin x 1.2. Định nghĩa:  Cho hàm số   f ( x )   liên tục trên đoạn   [a; b]   Giả  sử   F ( x )   là một  nguyên hàm của  f ( x ) trên  [a; b]  Hiệu số  F (b) − F (a )  được gọi là tích phân từ a đến b  b (hay tích phân xác định trên đoạn  [a; b]  của hàm số  f ( x),  kí hiệu là  f ( x)dx a 1.3. Tính chất của tích phân                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  a b a a b f ( x)dx = − � f ( x)dx 2.  � 1.  f ( x)dx = a b c c a b a f ( x)dx + � f ( x)dx = � f ( x)dx ( a < b < c  ) 3.  � b b a a k f ( x) dx = k � f ( x )dx  ( k 4.  � b b b b b b a a a a a a ﾡ) [ f ( x ) + g ( x )]dx = � f ( x) dx + � g ( x)dx  6.  � [ f ( x ) − g ( x)]dx = � f ( x )dx − � g ( x)dx 5.  � 1.4. Một số phương pháp tính tích phân 1.4.1. Phương pháp đổi biến số Định lý 1.1: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên đoạn  [a; b]  Giả sử hàm số  x = ϕ (t)  có đạo  hàm và liên tục trên đoạn   [α ; β ]   sao cho   ϕ (α ) = a,  ϕ ( β ) = b     a ϕ (t ) b   với mọi  t [α ; β ]   b β a α f ( x)dx = � f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt Khi đó:  � Định lý 1.2: Giả sử hàm số   u = u ( x )  có đạo hàm liên tục trên K, hàm số   y = f ( u ) liên  u ( x) � tục sao cho hàm hợp  f � � �xác định trên K; a, b là 2 số thuộc K. Khi đó b u( b) a u( a) f� u ( x) � � �u ( x ) dx = �f ( u ) du � 1.4.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí 1.3 : Nếu  u = u ( x)  và  v = v( x)  là hai hàm số  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  [a; b]  thì  b           a b b u ( x)v '( x)dx = ( u ( x)v( x) ) a − � u '( x)v( x)dx ,   hay   viết   gọn   là   � b a b udv = uv | − � vdu � b a a a 1.5. Ứng dụng của tích phân 1.5.1. Tính diện tích hình phẳng Bài tốn 1.1: Cho hàm số  y = f ( x )  liên tục trên đoạn  [ a; b ]  Gọi H là miền phẳng giới  hạn bởi đồ  thị  hàm số   y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng  x = a ,  x = b  thì diện                 SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  tích miền phẳng H được tính theo cơng thức  S = b f ( x) dx a y y = f (x ) O a c1 c2 y = f (x ) c3 b x S= y=0 (H ) x=a b f ( x ) dx a x=b Bài toán 1.2: Cho hàm số  y = f1 ( x)  và  y = f ( x)  liên tục trên đoạn  [ a; b ]  Gọi H là miền  phẳng giới hạn bởi hai đồ  thị  hàm số  đó hai đường thẳng   x = a ,   x = b   thì diện tích  miền phẳng H được tính theo cơng thức  S = b f1 ( x) − f ( x) dx a y (C1): y = f1(x ) (C1) (C2 ): y = f 2(x ) (H ) x=a (C2 ) O a c1 c2 b x=b x S= b f1 ( x ) − f ( x ) dx a 1.5.2. Thể tích vật thể  1.5.2.1. Thể tích của vật thể Bài tốn 1.3: Gọi  B  là phần vật thể  giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục   Ox tại các điểm a và b;  S ( x )  là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng   vng góc với trục Ox tại điểm  x   ( a x b )  Giả sử  S ( x)  là hàm số liên tục trên đoạn  b [a; b]  Khi đó, thể tích của vật thể B được tính theo cơng thức  V = S ( x)dx a                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  (V ) O x a b x V b = S ( x )dx a S(x) 1.5.2.2. Thể tích khối trịn xoay  Bài tốn 1.4: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số  y = f ( x) , trục Ox  và hai đường thẳng  x = a ,  x = b   ( a < b )  quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối  b trịn xoay. Khi đó thể tích của nó được tính theo cơng thức  V = π � �f ( x ) � �dx    a y y = f (x ) O a b x (C ): y = f (x ) b (Ox ): y = Vx = π [ f ( x )] dx x=a a x=b PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2.1. Tính tích phân hàm ẩn dựa vào các tính chất cơ bản 2.1.1. Phương pháp giải Sử dụng tính chất và cơng thức ngun hàm cơ bản trong phần 1.3 2.1.2. Bài tập áp dụng 3 5 f ( x)dx = −2, � f ( x)dx = −3  Tích phân  f ( x)dx  bằng Bài 2.1. Cho  � A. 1 B. 5 C. ­1 D. ­5                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  3 f ( x)dx = −� f ( x)dx = − ( −3) = Lời giải . Theo giả thiết ta có:  � 5 1 f ( x)dx = � f ( x)dx + � f ( x) dx = −2 + = Suy ra  � Vậy đáp án là A Nhận xét: Như vậy đối với các bài tốn cơ bản như này học sinh chỉ cần nắm chắc   kiến thức lý thuyết cơ bản là có thể giải quyết được 3 1 Bài 2.2: Cho  f ( x ) dx = −5,   � ́ I = g ( x ) dx   �f ( x ) − g ( x ) � �dx =  Tinh         A.  I = 14        B.  I = −14                   C.  I =                  D.  I = −7   Lời giải 3 3 1 1 � f ( x ) dx − 2.� g ( x ) dx = � � g ( x ) dx = Ta co ́ � �f ( x ) − g ( x ) � �dx = � −5 − = −7  Chọn D f ( x ) + 3g ( x ) � Bài 2.3: Cho   các   hàm số  f ( x ) , g ( x )  liên tục trên  ﾡ  có  � � �dx = −5 ;  −1 −1 � f ( x ) − 5g ( x ) � � �dx = 21  Tính  � �f ( x ) + g ( x ) � �dx −1 A.  −5   B. 1  C. 5  D.  −1   Lời giải Ta có: �5 �5 �5 � f ( x ) + 3g ( x ) � f ( x ) dx + � g ( x ) dx = −5 �� f ( x ) dx = �� � �dx = −5 �2 � �−1 �−1 �−1 −1 � �5 � �5   �5 �� � � f ( x ) − 5g ( x ) � f x dx − � g ( x ) dx = 21 g x dx = −3 � �dx = 21 �� ��( ) ��( ) �−1 �−1 −1 �−1 5 −1 −1 −1 �� f ( x ) dx + � g ( x ) dx = −1 � � � �f ( x ) + g ( x ) � �dx = −1  Chọn D Bài 2.4. Tính tích phân  I = 2019π − cos x dx                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  A.  I =               B.  I = 2                  C.  I = 2019          D.  I = 4038 Lời giải π 2π 2019π π 2018π I = 2� sin x dx + � sin x dx + + �sin x dx π      = 2019 sin xdx = 4038  Chọn D Bài 2.5: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên đoạn  [ −6;5]  có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và  nửa đường trịn như hình vẽ.  Tính giá trị  I = � �f ( x ) + � �dx   −6         A.  3π − 12   B.  2π + 32         C.  2π +   D.  3π + 12   Lời giải Nhận xét:  Ở  bài tốn này có thể  dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả  nhanh gọn. Tuy nhiên để  rèn cho học sinh tư  duy phân tích, tổng hợp tơi hướng dẫn  học sinh giải bài tốn theo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân   để giải quyết bài tốn x+4            khi  − x −2 Ta có:  f ( x ) =   1+ − x    khi  − x   2x −1          khi 2 x I= 5 −2 5 −6 −6 −2 −6 � �f ( x ) + � �dx = � f ( x ) dx + � 2dx  . Chọn B �f ( x ) dx + �f ( x ) dx + �                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  Bài 2.6: Cho các hàm số  y = f ( x )  và  y = g ( x )  có đạo hàm liên tục trên  [ 0; 2]  và thỏa  2 0 mãn  f ' ( x ) g ( x ) dx = −1,   f ( x ) g ' ( x ) dx = 2020  Tính tích phân  I = � �f ( x ) g ( x ) � �dx /             A.  I = −1                      B.  I = 2020 C.  I = 2019 D.  I = 2018 Lời giải 2 � � Ta có  I = � �f ( x ) g ( x ) � �dx = � �f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) � �dx / 0 2 0 f ' ( x ) g ( x ) dx + � f ( x ) g ' ( x ) dx = 2019  Chọn C               = � Bài 2.7: Cho các hàm số   y = f ( x ) >  xác định và có đạo hàm liên tục trên  [ 0;1]  thỏa  x 0 mãn  g ( x ) = + 2018 f ( t ) dt , g ( x ) = f ( x )  Tính  g ( x ) dx A.  1011 B.  1009 C.  2019 D.  505 Lời giải x Ta có  g ( x ) = + 2018 f ( t ) dt � g ' ( x ) = 2018 f ( x ) = 2018 g ( x ) g '( x) t t g '( x) = 2018 � � dx = 2018� dx � g ( x) g x ( ) 0 � � g ( t ) = 1009t + � ( ) g ( t ) − = 2018t  (do  g ( ) = ) 1009 �1 1011 � g ( t ) dt = � t + t �|0 =  Chọn A �2 � Bài 2.8: Cho các hàm số   f ( x )  có đạo hàm và liên tục trên  [ 0;1]  đồng thời thỏa mãn  f ' ( 0) = ' và  f '' ( x ) + � �f ( x ) − x � � =  Tính  T = f ( 1) − f ( ) A.  T = + ln 2 C.  T = + ln B.  T = Lời giải 9f '' ( x) + � �f ( x ) − x � �= � − ' f '' ( x ) − 1 ' � �f ( x ) − x � � = 10 D.  T = − ln                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  �π� 0; ,   thỏa   mãn  Bài   2.32:  Cho   hàm   số   f ( x )   có   đạo   hàm   liên   tục     � � 2� � π π f ' ( x ) cos xdx = 10  và  f ( ) =  Tích phân  f ( x ) sin xdx  bằng 0 A.  I = −13 B.  I = −7 C.  I = D.  I = 13 Lời giải π u = cos x � Xét  f ' ( x ) cos xdx = 10 , đặt  � dv = f ' ( x ) cos xdx π Khi đó  10 = f ' ( x ) cos xdx = cos xf ( x ) � π π 0 π du = − sin xdx � � v = f ( x) π +� f ( x ) sin xdx � 10 = − f ( ) + � f ( x ) sin xdx � � f ( x ) sin xdx = 10 + f ( ) = 13  Chọn D f ( x) Bài   2.33:  Cho   hàm   số   f ( x )   thỏa   mãn   x f ( x ) e dx =     f ( 3) = ln   Tính  I = e f ( x ) dx A.  I = B.  I = 11 I = + ln C.  I = − ln D.  Lời giải u=x � Đặt  � dv = f ( x ) e f ( x) dx du = dx � x f  Khi đó  � � v = e f ( x) 3 0 ( x ) e f ( x ) dx = x.e f ( x) 3 −� e f ( x ) dx f ( 3) e f ( x ) dx � � e f ( x ) dx = − =  Chọn A Suy ra  = 3.e − � Bài   2.34:  Cho   hàm   số   y = f ( x )   có   đạo   hàm   liên   tục     [ 0;1] ,   thỏa   mãn  f ( x − 1) dx =  và  f ( 1) =  Tích phân  x3 f ' ( x ) dx  bằng A.  −1 2 B.  − C.  Lời giải 19 D. 1                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  f ( x − 1) dx = Ta có  � 1 x f ' ( x ) dx Xét  � 0 f ( x ) dx = 1 u=x 1 � tf ' t d t = xf ' x d x ( ) ( )  Đ ặ t  � 2� 2� dv = f ' ( x ) dx 0 � t = x2 f ( t ) dt =  hay  � t = x −1 x f ' ( x ) dx Khi     � du = dx � � v = f ( x) � 1 � 1 1� tf ' t d t = xf x −� f ( x ) dx �= [ − 3] =   Chọn ( ) ( ) � � 20 2� 0 � t = x2 C Bài 2.35: Cho  hàm  số  y = f ( x )  với  f ( ) = f ( 1) =  Biết  rằng:  2019 2019 ex � �f ( x ) + f ' ( x ) � �dx = ae + b  Tính  Q = a + b   B.  Q =   A.  Q = 22019 +   C.  Q =   D.  Q = 22019 −   Lời giải � � u = ex du = e x dx � � �� �� e x f ' ( x ) dx = e x f ( x ) Đặt  � dv = f ' x dx v = f x ( ) ( ) � � 1 −� e x f ( x ) dx   �� e f ' ( x ) dx + � e x f ( x ) dx = e f ( 1) − f ( ) � ae + b = e − � x 0 a =1  Vậy  Q =   b = −1 Bài 2.36: Cho hàm số   f ( x )  nhận giá trị  dương, có đạo hàm liên tục trên  [ 0; 2]  Biết  f ( 0) = 1  I= (x   f ( x ) f ( − x ) = e2 x − 3x ) f ' ( x ) −4 x   v i   m ọi  x [ 0; 2]   Tính   tích   phân  16 D.  I = − dx f ( x) A.  I = − 14 B.  I = − 32 C.  I = − Lời giải Ta có  I = (x − 3x ) f ' ( x ) dx  Đặt  f ( x) I = ( x − x ) ln f ( x ) 2 2 u = x3 − x f '( x) � dv = dx � f ( x) f ( ) =1 du = ( x − x ) dx � v = ln f ( x ) � −� ( 3x − x ) ln f ( x ) dx = − 3� ( x − x ) ln f ( x ) dx = −3J x = −t 0 � J =� ln f − t ) d ( − t ) ( −t ) − 2( −t ) � ( x − x ) ln f ( x ) dx   =   � � � ( 20 16                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  2 � ln f − x ) d ( − x ) = � ( − x) − 2( − x) � ( x − x ) ln f ( − x ) dx      = � � � ( 2 0 � 2J = � ( x2 − x ) ln f ( x ) dx + � ( x2 − x ) ln f ( − x ) dx = � ( x − x ) ln f ( x ) f ( − x ) dx ( x − x ) ln e2 x        = � −4 x dx = � ( x − x ) ( x − x ) dx = 32 16 16 � J = Vậy  I = −  Chọn D 15 15 Bài 2.37: Cho hàm số   f ( x )   có đạo hàm liên tục trên đoạn   [ 0;1]   thỏa mãn   f ( 1) = , 1 1 � �f ( x ) � �dx =  và  x f ( x ) dx =  Tính  f ( x ) dx 0 2 A.  B.  C.  D.  Lời giải 1 1 �� x f ( x ) dx = x f ( x ) − � x f 30 0 Ta lại có  ( x ) dx = − x3 f ( x ) dx   � x3 f ( x ) dx = − � �f ( x ) � �dx = ( x ) dx � du = f � � x3 v= � u = f ( x) � Xét  x f ( x ) dx =  Đặt  � dv = x dx 14 x3 f ( x ) dx = −14 1 49 x dx = x = 0 1 �� 14 x f � �f ( x ) � �dx + � f ( x ) + x3 = 0, ∀x �� [ 0;1] Ta có  f ( 1) = � C = 1 0 49 x dx = � ( x ) dx + � � �f ( x ) + x � �dx = f ( x ) = −7 x , ∀x �[ 0;1]   � f ( x ) = − 7 � f ( x ) = ( − x4 ) 4 1 7 � x5 � �� f ( x ) dx = � − x dx = ( ) �x − � = 40 � �0 7� 1� − �=  Chọn A � 4� 5� 21 x4 +C                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  Bài 2.38: Cho hàm số   y = f ( x )  có đạo hàm liên  tục     R     có   đồ   thị     hình   bên   Đặt  K = x f ( x ) f ( x ) dx,       K   thuộc   khoảng  nào sau đây? 3� � � A.  ( −3; − ) B.  �−2; − � � � 2� C.  �− ; − � �2 � � D.  �− ;0 � 3� � � Lời giải u=x � Đặt  � dv = f ( x ) f ( x ) dx du = dx � � f ( x) v= 1 x f ( x) 1 x f ( x ) f ( x ) dx = − � f ( x ) dx = − � f ( x ) dx Khi đó  K = � 20 20 0 Từ đồ thị, ta thấy: 1 f ( x) − x) f ( x) ( dx > � dx = � K = − � dx < −   � 2 2 0 •  f ( x ) > − x, ∀x �� [ 0;1] 1 f ( x) f ( x) d x > d x = � K = − dx > −  Chọn C.  � � � 2 2 0 [ 0;1] •  f ( x ) < 2, ∀x �� 2.3.3. Bài tập tự luyện Bài 2.39: Biết  F ( x )  là nguyên hàm của  f ( x )  trên  ﾡ  thỏa mãn  F ( e ) =  Tích phân  e A. 3 e F ( x ) d ( ln x ) =  và  ln x f ( x ) dx  bằng B. ­3 C. 2 D. ­2 Bài  2.40:  Cho hàm số   y = f ( x )   có đạo hàm liên tục trên   ﾡ   và thỏa mãn   f ( 3) = ,  f ( x ) dx =  Giá trị  xf ( 3x ) dx  bằng 0 A.  B.  C.  D.  22                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  Bài   2.41:  Cho   hàm   số   f ( x)   liên   tục     ﾡ     f (2) = 16, f ( x)dx =   Tính  �x � I = xf ' � � dx �2 � A.  I = 12 B.  I = 112 Bài 2.42:  Cho   π f ( x ) dx =    và   C.  I = 28 π D.  I = 144 π f ( x ) + x sin x − g ( x ) � g ( x ) dx = −1  Tính    I = � � �dx   A.  I = + π B.  I = + 4π Bài  2.43:  Cho hàm  số   f ( x )   thỏa  mãn   C.  I = π − D.  I = + π   ( x + 3) f ' ( x ) dx = 15     f ( ) − f ( 1) =   Tính  I= f ( x ) dx   2 A.  I =   B.  I = − C.  I = D.  I = − Bài   2.44:  Cho   hàm   số   f ( x )   có   đạo   hàm   liên   tục     ﾡ   thỏa   mãn   f ( ) =   và  f ( x ) + f ( − x ) = x − x + ∀x ﾡ  Tích phân  xf ' ( x ) dx  bằng:   A.  −       B.  C.  D.  − 10 Bài 2.45: Cho hàm số  f ( x )  liên tục trên  [ 0;1]  và thỏa mãn  1 0 �2 � f ( x ) + ln � dx = � dx  Tích phân  I = f ( x ) dx �                � �f ( x ) ln ( x + 1) � � � e� � e A.  I = ln e e          B.  I = ln                C.  I = ln e                   D.  I = ln π π � � �� 0; �    f � �=   Bài 2.46:  Cho hàm số   y = f ( x )   có đạo hàm liên tục trên đoạn   � � 4� �4 � π π π Biết rằng  f ( x ) dx = π ; f ' ( x ) sin xdx = − π  Tính tích phân  I = f ( x ) dx � � 23                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  A.  I = B.  I = C.  I =           D.  I = Bài 2.47: Cho hàm số   y = f ( x )  có đạo hàm liên tục trên đoạn  [ 0;1]  và  f ( ) + f ( 1) =   1 1 π f ( x ) dx = , � f ' ( x ) cosπ xdx =  Tính  f ( x ) dx Biết  � 2 0 A.  3π   B.  π C.  π             D.  π 2.4. Sử dụng một số tính chất đặc biệt để tính tích phân hàm ẩn Tính   chất   2.4.1  Nếu   f ( x )   hàm   chẵn     liên   tục     [ −m; m] , m > 0, k ﾡ   thì  m f ( x) dx = f ( x ) dx, a > kx � � a + −m m Để chứng minh tính chất này bạn đọc có thể đặt  x = −t  và sử dụng tính chất của hàm  chẵn  f ( − x ) = f ( x )  Thật vậy m m f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) dx = dx + dx = I + dx kx kx kx � � � � a +1 a +1 a +1 a kx + −m −m 0 m m kt m kx f ( x) f ( −t ) a f (t) a f ( x) dt = � kx dx Xét  đặt  x = −t  ta được  I1 = �kx dx = − �− kt dt = � kt a +1 a +1 a +1 a +1 −m m 0 m f ( x) f ( x ) dx Từ đó suy ra  �kx dx = � a +1 −m m Bài 2.48. Cho hàm số chẵn  y = f ( x ) liên tục trên  ﾡ  và  −1 A B. 4 f ( 2x ) dx =  Tính  f ( x ) dx 2x + C.8 Lời giải : Áp dụng tính chất 2.4.1 ta có  = f ( 2x) dx = f ( x ) dx x � � + −1 Đặt  t = x  sau đó đổi cận ta được  f ( x ) dx = 16  Đáp án D Tương tự:  24 D.16                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  Tính chất 2.4.2. Nếu  f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn  [ − a; a ]  với  a > thì  a a −a � �f ( x ) + f ( − x ) � �dx �f ( x ) dx = � a f ( x ) dx = Chứng minh:  � −a a a −a 0 f ( x ) dx =� dx � �f ( x ) + f ( − x ) � � �f ( x ) dx + � Bài 2.49. Cho hàm số  f ( x ) là hàm số liêm tục trên  ﾡ  thỏa mãn  f ( x ) + f ( − x ) = cos x   Tính  I = A π −π f ( x ) dx B. 1 C.­1 Lời giải : Áp dụng tính chất 2.4.2 ta có  I = D.2 π π π −π 0 cos xdx = ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx = � �f ( x ) dx = � Đáp án là B Tương tự: Bài 2.50: Cho hàm số   f ( x )   liên tục trên   ﾡ   và thỏa   f ( x ) + f ( − x ) = + cos x   với  mọi  x ﾡ Tính  I = 3π 3π − f ( x) d x A.  I = −6 B.  I = C.  I = −2 D.  I = Lời giải Áp dụng tính chất  Suy ra  I = 3π 3π 3π cosx dx = 12 � I =  Chọn D �f ( x ) + f ( − x ) � �dx = � + cos xdx = � �� − 3π − 3π Tính chất 2.4.3. Nếu  f ( x )  là hàm số liên tục trên  [ a; b ]  thỏa mãn  f ( x ) = f ( a + b − x )   thì  b xf ( x ) dx = � a b a+b f ( x ) dx � a Tính chất này được chứng minh bằng cách đặt  t = a + b − x 25                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  Bài 2.51: Cho hàm số  f ( x ) liên tục trên đoạn  [ 1; 2]  thỏa mãn  f ( x ) = f ( − x )  và  2 f ( x ) dx =  Tính  xf ( x ) dx 1 A B. 2 C D.12 Lời giải: Áp dụng tính chất 2.4.3 ta có  2 1+ xf ( x ) dx = f ( x ) dx = = 12  Đáp án là D � � 2 Tương tự Bài 2.52: Cho các hàm số  f ( x ) ,   g ( x )  liên tục trên  [ 0;1]  thỏa mãn 1 0 f ( x ) dx = � g ( x ) dx =  Tính    m f ( x ) + n f ( − x ) = g ( x )  với  m, n  là số  thực khác   và  � m+n B.  m + n = A.  m + n = C.  m + n = D.  m + n = Lời giải b b a a f ( x ) dx = � f ( a + b − x ) dx Áp dụng tính chất  � Từ giả thiết  m f ( x ) + n f ( − x ) = g ( x ) , lấy tích phân hai vế ta được 1 0 m f ( x ) + n f ( − x ) � dx = � g ( x )dx � � � � 1 0 f ( x ) dx = � g ( x ) dx = ).  ( 1) Suy ra  m + n f ( − x ) dx =  (do  � Xét tích phân  f ( − x ) dx  Đặt  t = − x , suy ra  dt = − dx  Đổi cận:  1 1 0 x = � t =1 x =1� t = f ( − x ) dx = − � f ( t ) dt = � f ( t ) dt = � f ( x ) dx =   ( ) Khi đó  � Từ  ( 1)  và  ( ) ,  suy ra  m + n =  Chọn C Tính chất 2.4.4. Nếu  f ( x )  là hàm số liên tục trên đoạn  [ 0; a ] , a >  thì  a a 0 f ( x ) dx = � f ( a − x ) dx  Ta dễ dàng chứng minh được bằng cách đặt  t = a − x � 26                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  Bài 2.53. Cho hàm số  y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  ﾡ và thỏa mãn  π π � � f ( x ) + f � − x �= sin x.cos x, ∀x �ﾡ , f ( ) =  Tính  xf �2 � ( x ) dx − A π B.  C.  π D.  − Lời giải: Theo giả thiết ta có  f ( ) =  và  �π � f ( x ) + f � − x �= sin x.cos x, ∀x �� ﾡ �2 � u=x � dv = f � Đặt  � ( x ) dx �π � f � �= �2 � du = dx �  Lúc đó  � v = f ( x) � π π π π 2 π �π � I = xf ( x ) − � f ( x ) dx = f � �− f ( ) − � f ( x ) dx = − � f ( x ) dx �2 � 0 0 Mặt khác theo tính chất 2.4.4 ta có  π π π π 2� �π � f x dx = f − x dx � I = − ( ) � � �f ( x ) + � � � 2 � � 0 0� � 12 �π � f � − x� dx = − ( sin x cos x ) dx = − � � 20 �2 � � Vậy đáp án là D 2.5. Sử dụng các giả thiết có sẵn để xác định hàm ẩn Bài 2.54. Cho hàm số  y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  ( 0; + )  thỏa mãn f ( x)   f ( x) + = x + x; f ( 1) =  Tính  I = f ( x ) dx x A 20 B.  29 20 C.  12 D.  19 12 Lời giải : Từ giả thiết ta có   xf ( x ) + f ( x ) = x + 3x � ( xf ( x ) ) = x + 3x � xf ( x ) = Thay  f ( 1) = vào (1) ta được  c = � f ( x ) = x + x � I = ( 4x (x + 3x ) dx = x + x + c + x ) dx =  Đáp số C 12 Nhận xét: Qua ví dụ  trên ta có thể  khái qt cách giải cho bài tốn tổng qt sau : Khi  gặp bài tốn có giả thiết có dạng  a ( x ) f ( x ) + b ( x ) f ( x ) = c ( x )  thì ta tìm cách đưa vế trái  về dạng  ( u ( x ) + f ( x ) ) = c ( x )  sau đó sử dụng ngun hàm 2 vế để tìm hàm ẩn  f ( x ) 27                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  Bài 2.55:  Cho hàm số   f ( x )   có đạo hàm liên tục trên đoạn   [ 0;1] ,   f ( x )     f ' ( x )   đều    [ 0;1]   nhận   giá   trị   dương     đoạn 1 0 �f ' ( x ) �f ( x ) �+ 1� dx = 2�f ' ( x ) f ( x ) dx  Tính  � � � � � A.  15   B.  15   C.  f n +1 ( x ) Phương pháp:  f ( x ) f ' ( x ) dx = + C, ( n n +1 n   thỏa   mãn   f ( ) = 2,   � �f ( x ) � �dx   17   D.  19   −1)   Lời giải 1 2 �f ' ( x ) �f ( x ) � �f ' ( x ) �f ( x ) � + 1�dx = 2�f ' ( x ) f ( x ) dx � � − f ' ( x ) f ( x ) + 1� dx = � � � � � � � � � 0 f ' ( x ) f ( x ) − = � f ( x ) f ' ( x ) = 1, ∀x �[ 0;1]   � � f ' ( x ) f ( x ) − 1�dx = � � � f ( x) �� f ( x ) f ' ( x ) dx = � 1dx � 0 x x x f ( x ) f ( 0) = x� − = x  3 1 ( 3x + 8) � Mà  f ( ) = � f ( x ) = x + � � ( 3x + ) dx = �f ( x ) � �dx = � 0 = 19  . Chọn D Bài 2.56. Cho hàm số  y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  [ 0;1]  thỏa mãn 1 x f ( x ) dx =  Tính  f ( x ) dx �   f ( 1) = 0; � �f ' ( x ) � �dx = 7; � 0 A B C.  D.4 � u = f ( x ) � du = f Lời giải :  Xét  x f ( x ) dx =  Đặt  x3 dv = x dx � v = x3 f ( x ) 1 x f ( x ) dx = − x f � 3� 0 1 ( )  Từ (1), (2) và theo giả thiết  ( f ( x ) ) dx =  ta suy ra 1 x3 f ( f ( x ) ) dx + 14� ( f ( x ) + x3 ) dx = � �  Lúc đó ( x ) dx =  Kết hợp với  f ( 1) =  ta suy ra  x3 f 1 Ta lại có  x dx = ( x ) dx x dx = + 14 ( −1) + 49 ( x ) dx + � 28 =0 ( x ) dx = −1   (1)                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  −7 7 x4 x + � f ( x ) + x = � f ( x ) = −7 x � f ( x ) = + c  Lại do  f ( 1) = � f ( x ) = 4 3 2 �−7 � f ( x ) dx = � dx =  Đáp số B Vậy  � � x + � 4� 1� Nhận   xét :   Qua     2.56   ta   thấy       gặp     toán   có   giả   thiết   b b u ( x ) f ( x ) dx = q � �f ' ( x ) � �dx = p; � � a a Và     cách   sử   dụng   cơng   thức   tích   phân     phần   ta   đưa   tích   phân     dạng   b ( mf ( x ) + nu ( x ) ) dx = � mf ( x ) + nu ( x ) = a Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết quả học sinh Bài 2.57: Xét hàm số  f ( x ) liên tục trên đoạn  [ 0;1]  và thỏa mãn  f ( x ) + f ( − x ) = − x  Tính  I = π f ( x ) dx   π A.    B.    C.  π   20 D.  π   16 � � Bài   2.58:  Cho   hàm   số   y = f ( x )   xác   định     liên   tục     � ; �,   thỏa  � � f ( x) �1 � f ( x ) + f � �= x + +  Tính tích phân  I = x + dx x �x � A.  I = C.  I = B.  I = D.  I =  Bài 2.59: Cho số thực  a >  Giả   sử  hàm số   f ( x ) liên tục và luôn dương trên đoạn  [ 0; a ] thỏa mãn  f ( x ) f ( a − x ) = 1, ∀x [ 0; a ]  Tính tích phân  I = A.  I = a   C.  I = B.  I = a 2a Bài 2.60: Cho hàm số chẵn  y = f ( x )  liên tục trên R và  29 a dx   + f x ( ) D.  I = a f ( x ) dx =  Tính  x + 2019 −1 f ( x ) dx                  SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 Bài 2.61. Cho hàm số   f ( x )  có đạo hàm liên tục trên  [ 0;1] ,  thỏa  f ( x ) + f ( - x ) = 1- x   Giá trị của tích phân  ﾡ f '( x ) dx  bằng A.  B.  C.  Bài 2.62. Cho hàm số   f ( x )  có đạo hàm liên tục trên  [ 0;1] ,  thỏa mãn  rằng  ﾡ f ( ) = f ( 1) =  Biêt́  D.  ex � f ( x ) + f ﾡ( x ) � dx = ae + b  Tính  Q = a 2018 + b2018 � � A.  Q = 2017 + B.  Q = C.  Q = D.  Q = 2017 - Bài 2.63. Cho các hàm số   y = f ( x ) ,   y = g ( x )  có đạo hàm liên tục trên  [ 0;2 ]  và thỏa mãn  ﾡ f ' ( x ) g ( x ) d x = 2,   ﾡ A.  I = - B.  I = C.  I = 2017 Bài 2.64. Cho  ﾡ / f ( x ) g ' ( x ) d x =  Tính tích phân  I = ﾡ � f ( x ) g( x ) � � �d x f ( x ) d x =  Tính tích phân  I = e 2017 -1 ﾡ A.  I = B.  I = x f x +1 D.  I = � ln ( x +1) � dx � � C.  I = D.  I = p 0 Bài 2.65. Cho hàm số   f ( x )  liên tục trên  ?  và  �f ( tan x ) d x = 4,   �x 2f ( x ) d x =  Tính tích  x +1 phân  I = ﾡ f ( x ) dx A.  I = B.  I = Bài   2.66  Cho   hàm   số   f ( x) C.  I = D.  I = p   liên   tục     ?     thỏa   mãn   ﾡ tan x f ( cos x ) d x = 1,   e ﾡ e f ( ln x ) x ln x d x =  Tính tích phân  I = ﾡ A.  I = f ( 2x ) x dx B.  I = C.  I = D.  I = � � ;2 � ,  thỏa  Bài 2.67. Cho hàm số  y = f ( x )  xác định và liên tục trên  � � � � � f ( x) � 1� f ( x ) + f ﾡﾡ ﾡﾡﾡ = x + +  Tính tích phân  I = ﾡ x + d x ﾡ�x � x D.  I = Bài 2.68. Cho hàm số  y = f ( x )  xác định và liên tục trên  ? ,  thỏa  f ( x + x + 3) = x +1  với  A.  I = B.  I = C.  I = mọi  x ﾡ ?  Tích phân  ﾡ f ( x ) dx  bằng -2 30                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  32 D.  72 f ( x )  xác định và liên tục trên  [ 0;1] ,  thỏa mãn  f ' ( x ) = f ' ( - x ) A.  B.  10 Bài 2.69. Cho hàm số   C.   với  mọi  x ﾡ [ 0;1]  Biết rằng  f ( 0) = 1,  f ( 1) = 41  Tính tích phân  I = ﾡ f ( x ) dx A.  I = B.  I = 21 41 C.  I = 41 D.  I = 42 Bài 2.70. Cho hàm số  f ( x )  thỏa mãn  ﾡ A.  I = x f ﾡ( x ) e f ( x ) d x =  và  f ( 3) = ln  Tính  I = ﾡ e f ( x ) d x B.  I = 11 C.  I = - D.  I = + ln ln p � p� f ( x )  có đạo hàm liên tục trên  � 0; � ,  thỏa mãn  f ' ( x ) cos2 xd x = 10   � ﾡ �2� � Bài 2.71. Cho hàm số   p và  f ( 0) =  Tích phân  ﾡ f ( x ) sin xd x  bằng A.  I = - 13 B.  I = - C.  I = D.  I = 13 Bài 2.72. Cho hàm số   y = f ( x )  có đạo hàm liên tục trên  [ 0;1] ,  thỏa mãn  ﾡ f ( x - 1) d x =   1 và  f ( 1) =  Tích phân  ﾡ x f '( x ) dx  bằng A.  - B.  - C.  D.  Bài 2.73  Cho hàm số   f ( x )   nhận giá trị  dương, có đạo hàm liên tục trên   [ 0;2 ]   Biết  f ( ) =  và  f ( x ) f ( - x ) = e2 x 2 - 4x  với mọi  x ﾡ [ 0;2 ]  Tính tích phân  I = ﾡ A.  I = - 14 B.  I = - 32 C.  I = - 16 (x - 3x ) f ' ( x ) f ( x) dx D.  I = - 16 Bài 2.74. Biết  ﾡ ln ( - x ) d x = a ln + b ln + c  với  a,  b,  c ﾡ ?  Tính  P = a + b + c A.  P = 13 B.  P = 18 C.  P = 26 D.  P = 34 8. Những thơng tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng có 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Sách giáo khoa, vở ghi, máy tính cầm tay và tài liệu tham khảo 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự  kiến có thể  thu được do áp dụng sáng   kiến theo ý kiến của tác giả  và theo ý kiến của tổ  chức, cá nhân đã tham gia áp  dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử  31                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  Để  thấy được kết quả  sát thực của sáng kiến. Tơi đã chọn lớp 12A3, 12A6 để  tiến  hành làm đối chứng cụ thể như sau: Đầu tiên tơi đã ra bài về nhà cho học sinh các bài tập: Từ ví dụ 2.1 đến 2.8. u cầu  học sinh làm bài tập này ra giấy và tơi đã thu được kết quả như sau: Lớp 12A3 Sĩ số  38 12A6 38 Giỏi 0% 0% Khá 13.2% 5.3 % TB 15 39.5% 17 44.7% 3­4 21.1 10 26.3% 0­2 10 26.2% 23.7% Với kết quả tổng hợp bảng trên và thực tế bài làm của học sinh, tơi thấy hầu hết học   sinh khơng làm được vì lúng túng trong việc giải quyết các bài tốn tìm tích phân hàm   ẩn hoặc bế  tắc hồn tồn. Đứng trước thực trạng như  vậy tơi quyết định đưa sáng   kiến dạy cho mọi đối tượng học sinh kể cả học sinh có lực học trung bình. Sáng kiến   giúp học sinh biết cách đưa ra hướng giải quyết bài tốn sao cho đúng và tối ưu nhất Tơi đã tập trung  học sinh mỗi lớp 12A3, 12A6 học ngoại khố vào 6 tiết buổi chiều   Trong 6 tiết này tơi đã truyền thụ và học sinh đã lĩnh hội được kiến thức, kết quả sau   khi cho học sinh làm 20 câu kiểm tra trắc nghiệm Lớp 12A3 Sĩ số  38 12A6 38 Giỏi 21.1% 15.8% Khá 18 47.37% 20 52.6 % TB 10 26.3% 21.1% 3­4 5.3% 10.5% 0­2 0% 0 % Với kết quả như trên và thực tế  bài làm của học sinh tơi nhận thấy phương pháp mà  tơi đưa ra có kết quả tốt, nó giúp học sinh cảm thấy tự tin khi gặp về các bài tốn tích   phân hàm ẩn, đồng thời giải quyết tốt một số bài tập trong đề thi minh họa THPT QG   và đề thi THPT Quốc Gia Mặc dù đã rất cố gắng trong qúa trình tìm tịi và nghiên cứu, nhưng do hạn chế  về mặt về mặt năng lực và thời gian nên những trình bày trong sáng kiến khơng tránh   khỏi những thiếu sót, việc khai thác đề tài chắc chắn chưa hồn thiện triệt để. Ở đây  32                SKKN: Phương pháp giải một số bài tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức  Hải  tơi chỉ cố  gắng đưa ra những tình huống thực tế  để  học sinh giải quyết, việc đưa ra  những phương pháp giúp học sinh vận dụng kiến thức tốn học vào giải quyết các  tình huống tốn học thực tế  như  thế nào vấn đề  này nếu có điều kiện tơi sẽ  nghiên   cứu thêm. Kính mong được sự nhận xét, bổ sung góp ý của q thầy cơ và các bạn.  11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng   kiến lần đầu (nếu có): Số  Tên tổ chức/cá  TT nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lớp 12A3 Trường THPT Tam Đảo 2 Lớp 12A6 Trường THPT Tam Đảo 2 Tam Đảo, ngày      tháng        năm                   Thủ trưởng đơn vị            Tam Đảo, ngày 13 tháng 2 năm 2019     Tác giả sáng kiến      Trần Đức Hải 33 ...  sau đó sử dụng ngun? ?hàm? ?2 vế để tìm? ?hàm? ?ẩn? ? f ( x ) 27               ? ?SKKN:? ?Phương? ?pháp? ?giải? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?tích? ?phân? ?hàm? ?ẩn? ?– Trần Đức  Hải  Bài? ?2.55:  Cho? ?hàm? ?số   f ( x )   có đạo? ?hàm? ?liên tục trên đoạn...  lý do trên tơi mạnh dạn viết sáng kiến với tiêu đề:  Phương? ?pháp? ?giải? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?tích? ?phân? ?hàm? ?ẩn 2. Tên sáng kiến: Phương? ?pháp? ?giải? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?tích? ?phân? ?hàm? ?ẩn 3. Tác giả sáng kiến: ­ Họ và tên: Trần Đức Hải...               ? ?SKKN:? ?Phương? ?pháp? ?giải? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?tích? ?phân? ?hàm? ?ẩn? ?– Trần Đức  Hải  Bài? ?2.25: Cho? ?hàm? ?số   y = f ( x )  xác định và liên tục trên  ﾡ ,  thỏa  f ( x + x + 3) = x +   với mọi  x ﾡ ? ?Tích? ?phân? ?