Mục tiêu của đề tài là hướng dẫn học sinh kỹ năng nhận dạng, biến đổi, khả năng suy luận lôgic, tư duy thuật toán, kỹ năng quan sát, phân tích, tổng hợp,...đề từ đó giải được một số bài toán về tọa độ trong hình học phẳng. Qua đó giúp học sinh trở thành người yêu lao động, sáng tạo, có trình độ tay nghề cao, biết quy lạ về quen, quyết đoán trước các vấn đề mới mẻ, tình huống bất ngờ thường gặp trong cuộc sống.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG N LẠC BAO CÁO K ́ ẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên sáng kiến: KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY Người thực hiện: ĐÀO THỊ BÍCH LIÊN Mã: 52 Yên lac, thang 02 năm 2020 ̣ ́ MỤC LỤC Trang 1. Lời giới thiệu…………………………………………………………………… 1.1. Lí do chọn đề tài 1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………………… 1.3. Nhiêm vu nghiên c ̣ ̣ ưu………………………………………………………… ́ 1.4. Đôi t ́ ượng va pham vi nghiên c ̀ ̣ ưu…………………………………………… ́ 1.5. Phương phap nghiên c ́ ưu……………………………………………………… ́ 1.6.Thơi gian va đia điêm th ̀ ̀ ̣ ̉ ực hiên……………………………………………… ̣ 2. Tên sáng kiến……………………………………………………………………… 3. Tác giả sáng kiến………………………………………………………………… Chủ đầ u tư tạo kiến……………………………………………………… sáng 5 Lĩnh vực áp kiến……………………………………………………… dụng sáng áp Mô tả chất sáng kiến……………………………………………………… PhầnI. Tóm tắt lý thuyết…………………………………………………………… 6 Ngày sáng kiến dụng…………………………………………………… I. Lý thuyết về điểm và véc tơ: I.1. Tọa độ véc tơ…………………………………………………………………… I.2. Tọa độ điểm……………………………………………………………………… I.3 Liên hệ tọa độ véc tơ vuông góc , phương………………………… II Lý thuyết thẳng………………………………………………………… đường II.1. Phương trinh t ̀ ổng qt của đường thẳng……………………………………… II.2. Phương trinh tham s ̀ ố của đường thẳng……………………………………… II.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng……………………………………… II.4. Chuyển dạng phương trình đường thẳng……………………………………… II.5. Một số trường hợp riêng của phương trình đường thẳng…………………… 10 II.6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng……………………………… 11 II.7. Vị trí tương đối của 2 điểm đối với 1 đường thẳng…………………………… 12 II.8 . Góc giữa 2 đường thẳng và vị trí tương đối của 2 đường thẳng……………… 13 Phần II Một số dạng thể…………………………………………………… 14 toán cụ I MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG 14 I.1. Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng 14 I.2 Dạng Một số điểm 19 tốn tìm I.3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN .24 II. BÀI TOÁN TAM GIÁC II.1. LÝ THUYẾT BÀI TOÁN TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN II.1.1 Các đường giác .26 II.1.2 Các tính chất giác .28 tam tam II.1.3 Phương pháp chung để giải toán tam giác 29 III BÀI TOÁN VỀ GIÁC 48 TỨ III.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TỨ GIÁC 48 III.2 CÁC DẠNG TOÁN GIÁC 48 VỀ TỨ Những thông tin mật…………………………………………….77 b ảo cần 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng 77 77 kiến 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng 77 sáng kiến lần đầu 78 12. Tài liệu tham khảo BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu 1.1. Ly do chon đê tai ́ ̣ ̀ ̀ Hình học phẳng trong hệ tọa độ Oxy la mơt l ̀ ̣ ơp bai toan co vi tri đăc biêt quan trong trong ́ ̀ ́ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ̣ chương trinh toan hoc trung hoc phô thông. No xuât hiên nhiêu trong cac ki thi hoc sinh gioi cung nh ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ̃ ư ki thi tuyên sinh vao đai hoc. Hoc sinh phai đôi măt v ̀ ̉ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ́ ̣ ơi rât nhiêu dang toan ma ph ́ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ương phap giai ́ ̉ chung lai ch ́ ̣ ưa được liêt kê trong sach giao khoa. ̣ ́ ́ Viêc tim ph ̣ ̀ ương phap giai cung nh ́ ̉ ̃ ư viêc xây d ̣ ựng các phương pháp giải mơi la niêm say mê ́ ̀ ̀ cua không it ng ̉ ́ ươi, đăc biêt la nh ̀ ̣ ̣ ̀ ưng ng ̃ ươi giao viên đang tr ̀ ́ ực tiêp day toan. Chinh vi vây, đê đap ́ ̣ ́ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ứng nhu câu giang day va hoc tâp, tôi đa chon đê tai “K ̀ ̉ ̣ ̀ ̣ ̣ ̃ ̣ ̀ ̀ Ỹ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXY” lam đê tai nghiên c ̀ ̀ ̀ ứu cua sang kiên kinh nghiêm. Đê tai ̉ ́ ́ ̣ ̀ ̀ nhăm môt phân nao đo đap ̀ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ứng mong muôn cua ban thân vê môt đê tai phu h ́ ̉ ̉ ̀ ̣ ̀ ̀ ̀ ợp đê co thê phuc vu ̉ ́ ̉ ̣ ̣ thiêt th ́ ực cho viêc giang day cua minh trong tr ̣ ̉ ̣ ̉ ̀ ương phô thông ̀ ̉ 1.2. Muc đich nghiên c ̣ ́ ưu ́ Vơi mong muôn tâp h ́ ́ ̣ ợp va phân loai môt sô dang toan vê đi ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ểm và đường thẳng trên hệ trục Oxy Hương dân hoc sinh ky năng nhân dang, biên đôi, kha năng suy luân lôgic, t ́ ̃ ̣ ̃ ̣ ̣ ́ ̉ ̉ ̣ duy thuât toan, ky ̣ ́ ̃ năng quan sat, phân tich, tông h ́ ́ ̉ ợp, đê t ̀ ừ đo giai đ ́ ̉ ược môt s ̣ ố bai toan vê t ̀ ́ ̀ ọa độ trong hình học phẳng. Qua đo giup hoc sinh tr ́ ́ ̣ ở thanh ng ̀ ươi yêu lao đông, sang tao, co trinh đô tay nghê cao, biêt ̀ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ́ quy la vê quen, quyêt đoan tr ̣ ̀ ́ ́ ước cac vân đê m ́ ́ ̀ ới me, tinh huông bât ng ̉ ̀ ́ ́ ờ thường găp trong cuôc sông ̣ ̣ ́ Hơn nưa cung giup chinh ban thân co cai nhin tông quat va ro net h ̃ ̃ ́ ́ ̉ ́ ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̃ ́ ơn vê bai toan t ̀ ̀ ́ ọa độ trong hình học phẳng đê nâng cao trinh đơ chun mơn trong giang day va cơng tac ̉ ̀ ̣ ̉ ̣ ̀ ́ 1.3. Nhiêm vu nghiên c ̣ ̣ ưu ́ Nghiên cưu mơt sơ ph ́ ̣ ́ ương phap giai bài tốn hình h ́ ̉ ọc phẳng trên hệ tọa độ Oxy 1.4. Đơi t ́ ượng va pham vi nghiên c ̀ ̣ ưu ́ Đơi t ́ ượng nghiên cưu: Bài tốn hình h ́ ọc phẳng trên hệ tọa độ Oxy Pham vi nghiên c ̣ ưu: Giai bài tốn hình h ́ ̉ ọc phẳng trên hệ tọa độ Oxy áp dung trong giang ̣ ̉ day thi hoc sinh gioi va ôn thi Đai hoc cho hoc sinh l ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ ̣ ̣ ơp 10A1.2, 11A1.1, 11A4 ́ trường Trung học phổ thông Yên Lạc 1.5. Phương phap nghiên c ́ ưu ́ Sử dung kiên th ̣ ́ ưc c ́ ơ ban cua ph ̉ ̉ ương phap đa nêu ́ ̃ ở trên va ky năng biên đơi đê giai ̀ ̃ ́ ̉ ̉ ̉ bài tốn hình học phẳng trên hệ tọa độ Oxy 1.6. Thơi gian va đia điêm th ̀ ̀ ̣ ̉ ực hiên ̣ Thơi gian th ̀ ực hiên: T ̣ ư thang 08 đên thang 02 năm hoc 20182019 ̀ ́ ́ ́ ̣ Đia điêm th ̣ ̉ ực hiên: Tr ̣ ương THPT n Lac ̀ ̣ 2.Tên sáng kiến: “KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY” 3.Tác giả sáng kiến: Họ và tên: ĐÀO THỊ BÍCH LIÊN Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT n Lạc Số ĐT: 0358893258. Email: ngocmai.lientuan@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Khơng có chủ đầu tư, người làm sáng kiến tự đầu tư các chi phí liên quan đến đề tài 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy học cho học sinh THPT 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 05 / 02 / 2019 7. Mơ tả bản chất của sáng kiến: Nội dung sáng kiến chia làm 4 phần: Phần I. Tóm tắt lý thuyết I. Lý thuyết về điểm và véc tơ: I.1. Tọa độ véc tơ I.2. Tọa độ điểm I.3. Liên hệ giữa tọa độ 2 véc tơ vng góc , cùng phương II. Lý thuyết về đường thẳng II.1. Phương trinh t ̀ ổng qt của đường thẳng II.2. Phương trinh tham s ̀ ố của đường thẳng II.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng II.4. Chuyển dạng phương trình đường thẳng II.5. Một số trường hợp riêng của phương trình đường thẳng II.6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng II.7. Vị trí tương đối của 2 điểm đối với 1 đường thẳng II.8 . Góc giữa 2 đường thẳng và vị trí tương đối của 2 đường thẳng Phần II. Một số dạng tốn cụ thể I. MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG I.1. Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng I.2. Dạng 2. Một số bài tốn về tìm điểm I.3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN II. BÀI TỐN TAM GIÁC II.1. LÝ THUYẾT BÀI TỐN TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN II.1.1. Các đường trong tam giác II.1.2. Các tính chất tam giác II.1.3. Phương pháp chung để giải một bài tốn tam giác III. BÀI TỐN VỀ TỨ GIÁC III.1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI BÀI TỐN TỨ GIÁC III.2. CÁC DẠNG TỐN VỀ TỨ GIÁC Phần III: Kết quả thực nghiệm Phần IV: Kết luận và kiến nghị KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY PHẦN 1. TĨM TẮT LÝ THUYẾT I. LÝ THUYẾT VỀ ĐIỂM VÀ VÉC TƠ I.1. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy 1) a = (a1; a2) a = a1 i +a2 j 2) Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2). Ta có: a b = (a1 b1; a2 b2) 3) Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2). Ta có: a b = a1b1 + a2b2 a = a12 a22 ; cos( a , b ) = a.b a b I.2. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy uuuur 1) M ( x M ; y M ) � OM = ( x M ; y M ) 2) Cho A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có: = (xBxA; yByA) và AB = x A ) ( yB ( xB 3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k thì xM yM xA yA y A )2 uuur uuur ) � MA = k MB kxB k ky B k xM Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì Nếu G là trọng tâm ABC thì xG yG xA yM xA yA xB yB x B xC y B yC yA I.3. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vng góc, cùng phương Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2). Ta có: 1) a b a b = 0 2) a cùng phương với b a1b1 + a2b2 = 0 a1b2 a2b1 = 0 3) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi II. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG THẲNG II.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng cùng phương a) Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa 1 Véc tơ n khác , có giá vng góc với đường thẳng của đường thẳng được gọi là véc tơ chỉ pháp tuyến (vtpt) Nhận xét 1 Nếu véc tơ n là một véc tơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng thì mọi véc tơ k n , với k 0 đều là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó Với mỗi điểm I và véc tơ n khác có duy nhất 1 đt đi qua I và nhận véc tơ n làm véc tơ pháp tuyến b) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M O ( xo ; y o ) và nhận n(a; b) làm véc tơ Trong mp tọa độ Oxy, mỗi đường thẳng pháp tuyến đều có phương trình tổng qt dạng: a(x x ) + b(y y ) = 0 ax + by a x o b y ) = 0 (với a Trong mp tọa độ Oxy, mỗi phương trình dạng ax + by + c = 0, với a b2 b2 ) đều là phương trình tổng quát của đường thẳng xác định, nhận n(a; b) là véc tơ pháp tuyến II.2. Phương trình tham số của đường thẳng a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa 2 Véc tơ u khác , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng của đường thẳng được gọi là véc tơ chỉ phương Nhận xét 2 Nếu véc tơ u là một véc tơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng thì mọi véc tơ k u , với k 0 đều là véc tơ chỉ phương của đường thẳng đó Với mỗi điểm I và véc tơ u khác có duy nhất 1 đt đi qua I và nhận véc tơ u làm véc tơ chỉ phương Nhận xét 3 Nếu véc tơ u là một véc tơ chỉ phương, n là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng thì u n = Nếu đường thẳng có véc tơ pháp tuyến n(a; b) có véc tơ chỉ phương u (b; a) và ngược lại b) Phương trình tham số của đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng phương u (a; b) cho trước có dạng: x y x0 y0 đi qua điểm M O ( xo ; y o ) cho trước và có véctơ chỉ at , ( a bt , t R) b2 II.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Trong phương trình tham số của đường thẳng, nếu a phương trình chính tắc là x x0 y a y0 b 0, b 0 thì đường thẳng nói trên có Chú ý: Khi a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng khơng có phương trình chính tắc II.4. Chuyển dạng phương trình đường thẳng Bài tốn: a. Cho đường thẳng (d) có phương trình dạng tham số. Hãy chuyển phương trình của (d) về dạng chính tắc, tổng qt b. Cho đường thẳng (d) có phương trình dạng tổng qt Ax+ By + C=0. Hãy chuyển phương trình của (d) về dạng tham số, chính tắc Phương pháp chung: a.Cho đường thẳng (d) có phương trình dạng tham số Ta có: +) Nếu ab Từ pt (Ia) x x0 at y y0 bt , ( a 0 thì khử t từ hệ (I), ta được pt chính tắc của d là x b2 , t R) (I) x0 y a y0 b (Ia) b(x x ) – a(y y ) = 0 , biến đổi tiếp pt này ta đc PTTQ của (d) +) Nếu a=0 thì phương trình tổng quát của (d) là x x = 0, (d) khơng có phương trình chính tắc +) Nếu b =0 thì phương trình tổng qt của (d) là y y = 0, (d) khơng có phương trình chính tắc b. Để chuyển phương trình của (d): Ax+ By + C=0 về dạng tham số, chính tắc, ta làm như sau: Bước 1: Gọi u là vtcp của (d), ta có u (B; A) Bước 2: Tìm một điểm M O ( xo ; y o ) (d) Bước 3: KL 10 Cơng thức tính diện tích hình thang: S = a b h (với a, b là độ dài hai đáy, h là chiều cao của III.2.2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho thang ABCD vng tại A và D, có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình 3x – y = 0, đường thẳng BD có phương trình x – 2y = 0, góc giữa đường thẳng BC và AB bằng 45 Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hồnh độ dương và diện tích hình thang bằng 24 Định hướng cách làm Vẽ hình Từ giả thiết ta tìm ngay được tọa độ điểm D và góc giữa hai đường thẳng AD và DB. Từ đó suy đặc điểm của hình thang. Kết hợp với giả thiết đỉnh B có hồnh độ dương và diện tích hình thang bằng 24, ta tìm được tọa độ đỉnh B x2y=0 B A 45 C D 3xy=0 Giải Tọa độ của D là nghiệm của hệ phương trình Góc giữa AD và BD được xác định bởi cos ABD vng cân tại A = x 2y 3x y 3.1 ( 1).( 2) 10 x y = D(0; 0) ADB = 45 AB = AD và ABD = 450 Do góc giữa hai đường thẳng BC và AB bằng 45 nên DCB = CDB = 45 , suy ra tam giác BCD vng cân tại B Đặt AB = a, ta có AD = a, BD = a S ABCD ( AB CD) AD 2 3a = 24 DC = BD. = 2a a = 4 BD = 4 71 Gọi điểm B(b; b ), b > 0 thuộc đường thẳng BD b2 Do BD = 4 b ( )2 Vậy điểm cần tìm là B( 2 b = 10 B( 10 10 ) ; 5 10 10 ) ; 5 Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đường cao bằng nửa tổng độ dài hai đáy. Giả sử A(1; 2), trung điểm cạnh BC là M( ; và đường thẳng 2 CD có phương trình x y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và D Định hướng cách giải Vẽ hình Giả thiết cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB vẽ các đường cao AH, BK tạo ra một hình chữ nhật và hai tam giác vng bằng nhau, kết hợp với giả thiết đường cao bằng nửa tổng độ dài hai đáy ta tìm được mối quan hệ giữa AH và HC. Tiếp tục kết hợp với dữ kiên biết phương trình đường thẳng CD ta tìm được tọa độ đỉnh C rồi tìm tọa độ các đỉnh B và D Lời giải tóm tắt A(1; 2) B I M C D H x y 1 = 0 K Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên cạnh CD, ta có DH = KC, AB = HK 1 (AB + HK+2KC) = (2HK+2KC) = HK+KC = HC 2 giữa đường thẳng CD và đường thẳng AC bằng 45 AH = Gọi n(a; b) (a b a.1 b.( 1) a2 b2 = AHC vng cân tại H 0) là vtpt của đường thẳng AC, ta có cos(AC, DC) = cos 450 a b 0 72 góc +) Với a=0, chọn n(0; 1) là vtpt của đường thẳng AC C(3, 2), B(0; 3). Khi đó BA.BC phương trình đường thẳng AC: y2=0 ( BA, BC ) 90 (thỏa mãn) +) Với b=0, chọn n(1; 0) là vtpt của đường thẳng AC C(1; 2), B(4; 7). Khi đó BA.BC Tương tự ta có BDC = 450 phương trình đường thẳng AC: x = 1 ( BA, BC ) 90 (khơng thỏa mãn) IDC vng cân tại I ( I là giao điểm của AC và BD) Lập pt đường thẳng BD đi qua điểm B, có vtpt n = AC , rồi tìm tọa độ điểm D ( D = BD DC) Đ/S: B(0; 3), D(0; 1) Nhận xét: Từ bài tốn trên ta có kết luận “ ABCD là hình thang cân có đáy nhỏ AB thì ba điều kiện sau là tương đương: a AC BD, b) CD = 3B, c) Chiều cao bằng nửa tổng hai đáy” Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho thang ABCD vng tại A và B thỏa mãn 6AD = 3AB = 2BC. Gọi hình chiếu vng góc của các trung điểm AB, CD xuống đường thẳng AC lần lượt là H và K. Giả sử C(2; 4), điểm B thuộc đường thẳng d: 8x5y11=0 và HK 13 = 6. Tìm tọa độ điểm A biết B có tọa độ ngun Định hướng cách giải A H D M N K B C(2; 4) E d: 8x 5y 11=0 Vẽ hình. 1 AB BC , kết hợp thêm giả thiết HK 13 = 6, ta tìm mối quan hệ giữa HK và BC. Nếu từ giữ kiện này ta tính được khoảng cách BC thì bài tốn trở nên đơn giản. Do B thuộc đường thẳng d: 8x5y11=0 nên B có tọa độ theo tham số, dùng khoảng cách BC vừa tìm được giải ra tham số. Có tọa độ điểm B thì tìm tọa độ điểm A Khai thác giả thiết 6AD = 3AB = 2BC, ta có AD = Lời giải 73 Gọi E là hình chiếu vng góc của D lên BC; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Đặt AD = a > 0, suy ra AB = DE = 2a, BC = 3a. Ta có AC = AB BC a 13 DC = DE EC 2a AHM ~ ABC nên AH = cos ACD = 13 AC HK Điểm B d nên B(t, BC = 3 2a AB AM = AC 13 CD AD 2 AC.CD AC AH 26 6a 13 KC KC = NC.cos ACD = 5a 13 a = 1 8t 11 ) Ta có t 8t 11 Do B có tọa độ nguyên nên ta chọn t = 2 9 t = 2 hoặc t = 418 89 B(2; 1) Đường thẳng AB đi qua điểm B(2; 1), có vtpt BC (0; 3) nên (AB): y – 1 = 0 Do A (AB) nên A(a; 1). Ta có AB = 2 a 2 a=0 hoặc a = 4 Vậy có hai điểm A thỏa mán u cầu bài tốn là A(0; 1) hoặc A(4; 1) Bài tốn cần phát hiện tính chất hình học Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho thang ABCD vng tại A và D, CD = 2AB, có Đỉnh B(1; 2). Hình chiếu vng góc hạ từ D lên AC là điểm H(1; 0). Gọi N là trung điểm của HC Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D biết đường thẳng DN có phương trình x – 2y – 2 = 0 Định hướng Vẽ chuẩn hình 74 A H(1;0) B(1; 2) x 2y 2 = 0 K N D C Dựa vào giả thiết có DH AC, N là trung điểm của HC tính chất trung điểm, trực tâm của tam giác ta nghĩ đến đường trung bình, Vì vậy, nếu gọi K là trung điểm của HD thì NK // DC NK AD K là trực tâm tam giác ADN. Khi chỉ ra được vấn đề mấu chốt: K là trực tâm tam giác ADN, thì việc cịn lại ta chỉ cần dựa vào tính vng góc, tính song song để giải quyết nốt bài tốn Lời giải: Gọi K là trung điểm của HD thì NK là đường trung bình của tam giác HDC NK = NK // DC // AB, CD. Do đó ABNK là hình bình hành Lại có AK DK AN AD( do KN// DC, DC AD) KN DN BN DN K là trực tâm tam giác ADN N là hình chiếu vng góc của B trên đường thẳng d Đường thẳng BN đi qua điểm B(1; 2) và vng góc với d có pt là BN: 2x + y – 4 = 0 Tọa độ của N là nghiệm của hệ pt Vì N là trung điểm của HC x 2y 2x y x y N (2; 0) C(5; 0) Phương trình đường thẳng AC là y = 0 Lại có DH AC DH: x + 1 = 0 Tọa độ của D là nghiệm của hệ pt Đường thẳng AD CD x x 2y AD: 4x + y + Vậy tọa độ ba điểm cần tìm là A( 4x y 3 D( 1; ) A( y Tọa độ của A là nghiệm của hệ pt x y x y ; 0) , C(5; 0), D(1; ) 75 ; 0) DC(6; ) Nhận xét: Với bài tốn trên, việc chỉ ra và chứng minh được “K là trực tâm tam giác ADN” là mấu chốt chính của bài tốn. Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho thang ABCD vng tại A và D, có AD = AB = DC Gọi E(2; 4) là điểm thuộc đoạn AB thỏa mãn 3AE = AB. Điểm F thuộc BC sao cho tam giác DEF cân tại E. Phương trình đường thẳng EF là 2x+y8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang biết D thuộc đường thẳng d: x + y = 0 và A có hồnh độ ngun, A thuộc đường thẳng d’: 3x+y8 = 0 P A E(2; 4) B F 2x+y8=0 C D d': 3x+y8=0 d: x+y=0 Định hướng: Vẽ hình chuẩn Ta nhận thấy điểm E có nhiều giả thiết nhất nên ta sẽ khai thác từ điểm E Từ giả thiết có tam giác DEF cân tại E, biết pt EF, pt đt qua D DEF thì sẽ tìm được điểm D Từ hình vẽ, ta đốn nhận DEF = 90 , ta thử đi chứng minh điều này! Nếu xác định được góc Lời giải Gọi P là điểm đối xứng với điểm D qua A, ta có EA=ED=EF tâm E AED = PFD EBFD nội tiếp FED = FBD = 90 tam giác DPF nội tiếp đường tròn Vậy tam giác DEF vng cân tại E Đường thẳng DE đi qua E và vng góc với EF có phương trình là DE: x 2y + 6 = 0 76 Tọa độ D là nghiệm của hệ phương trình Xét tam giác vng EDA có AE = Vì A d’ Vì a Z AB x 2y x y AD , DE AD x y AE A(a; 83a), a Z, ta có pt: 20 = 10[(a2) + (43a) ] a=1 2 D(2; 2) 10 AE 5a 14a + 9 = 0 a a A(1; 5) G/s B(x; y), có AB AE G/S C( x; y), có DC B(4; 2) AB C(4; 4) Vậy tọa độ bốn điểm là A(1; 5), B(4; 2), C(4; 4), D(2; 2) BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Đỉnh B thuộc đường thẳng ∆ có phương trình x + y − = Các điểm E và F lần lượt là hình chiếu vng góc của D và B lên AC Tìm tọa độ các đỉnh B, D biết CE = và A ( 4;3) , C ( 0; −5 ) Định hướng A B F I H D E C *)Vẽ hình. *) Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố đã biết và các yếu tố cần tìm thơng qua giả thiết của bài tốn và các kiến thức đã học Bài tốn cần tìm tọa độ B, D? 77 +) Đỉnh B thuộc đường thẳng ∆ có phương trình x + y – 5 = 0, nên ta nghĩ tới hướng tìm B trước. Để giải quyết vấn đề này ta tìm thêm yếu tố liên quan tới B? +) Giả thiết cho tứ giác ABCD có A ( 4;3) , C(0; 5), suy ra tìm được pt AC +) Giả thiết cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Các điểm E và F lần lượt là hình chiếu vng góc của D và B lên AC suy ra E, F nằm trên đoạn AC +) Giả thiết cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD, suy ra BC có DE DC, AB AD, AC, từ đây nghĩ đến các đường vng góc với cạnh của tam giác ADC và nghĩ đến trực tâm tam giác ADC +) Nếu gọi H là trực tâm tam giác ADC thì cm được ABCH là hình bình hành, từ đó cm được AF = CE = ( với A ( 4;3) , F thuộc đt AC đã có pt). Đây là một trong các nút quan trọng của bài tốn +) Có AF= , ta tìm đc F ( chọn F thuộc đoạn AC) +) Có có F, lập pt đt d qua F, vng góc AC, suy ra B = d +) Tìm tâm I của đtrịn ngoại tiếp tam giác ABC +) Tìm D đối xứng B qua I. Đ/S: B ( 5;0 ) , D ( −5;0 ) LG: A B F I H D E C Gọi H là trực tâm tam giác ACD, suy ra CH ⊥ AD nên CH || AB (1) 78 Mặt khác AH||BC ( cùng vng góc với CD ) (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCH là hình bình hành nên CH=AB (3) ﾷ ﾷ Ta có: HCE (so le trong) = BAF (4) Từ (3) và (4) suy ra: ∆HCE = ∆BAF (cạnh huyền và góc nhọn). Vậy CE = AF ﾷ ﾷ Vì DAB = DCB = 900 nên E , F nằm trong đoạn AC Phương trình đường thẳng AC: x − y − = Vì F AC nên F ( a; 2a − ) Vì AF = CE = a=5 a=3 Với a = F ( 5;5) (khơng thỏa mãn vì F nằm ngồi đoạn AC) Với a = uuur uuur F ( 3;1) (thỏa mãn). Vì AF = EC � E ( 1; −3) uuur BF qua F và nhận EF (2; 4) làm một véc tơ pháp tuyến, do đó BF có phương trình: x + y − = B là giao điểm của ∆ và BF nên tọa độ B là nghiệm của hệ phương �x + y − = trình: � �x + y − = �x = � �y = B ( 5;0 ) uuur Đường thẳng DE qua E và nhận EF (2; 4) làm một véc tơ pháp tuyến, DE có phương trình: x + y + = uuur Đường thẳng DA qua A và nhận AB (1; −3) làm một véc tơ pháp tuyến, DA có phương trình: x − y + = D là giao điểm của DA và DE nên tọa độ D là nghiệm của hệ phương trình: �x + y + = � �x − y + = �x = −5 � D ( −5;0 ) Kết luận: B ( 5;0 ) , D ( −5;0 ) � �y = 79 PHẦN III. KÊT QUA SAU KHI TH ́ ̉ ỰC HIÊN ĐÊ TAI ̣ ̀ ̀ Đê tai sang kiên kinh nghiêm “K ̀ ̀ ́ ́ ̣ Ỹ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG TRÊN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY” đa giai qut đ ̃ ̉ ́ ược nhưng vân đê sau ̃ ́ ̀ Hê thơng mơt sơ ph ̣ ́ ̣ ́ ương phap giai bài tốn hình h ́ ̉ ọc phẳng trên hệ trục tọa độ Oxy thường găp ̣ Trinh bay môt sô vi du điên hinh thông qua ph ̀ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ̀ ương phap nêu trên ́ Sưu tâm môt sô bai tâp thuôc nh ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̣ ững phương phap nên trên đê hoc sinh luyên tâp ́ ̉ ̣ ̣ ̣ Kêt qua cua đê tai sang kiên kinh nghiêm nay theo tôi gop phân nâng cao chât l ́ ̉ ̉ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ượng day va hoc môn ̣ ̀ ̣ Toan ́ ở trương THPT trong giai đoan hiên nay. Đăc biêt cho đôi t ̀ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ ́ ượng hoc sinh thi đai hoc va hoc ̣ ̣ ̣ ̀ ̣ sinh gioi ̉ Qua viêc ap dung đê tai nay đôi v ̣ ́ ̣ ̀ ̀ ̀ ́ ới hoc sinh l ̣ ơp 10A1.2, 11A1.1 va 11A4 năm hoc 20182019 ́ ̀ ̣ tôi đa thu đ ̃ ược kêt qua nh ́ ̉ ư sau: Trươc khi giang day (Điêm) ́ ̉ ̣ ̉ Sau khi giang day (Điêm) ̉ ̣ ̉ Lơp ́ Si sô ̃ ́ 10A1.2 42 5/42 10/42 14/42 13/42 11/42 17/42 11/42 3/42 11A1.1 41 10/41 15/41 11/41 5/41 14/41 21/41 6/41 0/41 11A4 37 5/37 9/37 14/37 9/37 9/37 19/37 8/37 1/37 6,5