Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 45 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
45
Dung lượng
1,51 MB
Nội dung
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƢỜNG THPT CHUN LƢƠNG THẾ VINH Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƢƠNG PHÁP GIẢIMỘTSỐBÀI TỐN HÌNHHỌCPHẲNGTRONGCÁCKỲTHIHỌCSINHGIỎI Người thực hiện: Đậu Thế Tâm Lĩnh vực nghiên cứu: SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC - Quản lý giáo dục: - Phương pháp dạy học mơn: Tốn - Lĩnh vực khác: Có đính kèm: Các sản phẩm khơng thể in SKKN Mơ hình Phần mềm Phim ảnh Năm học0: 2015 - 2016 Hiện vật khác I THƠNG TIN CÁ NHÂN: Họ tên: Đậu Thế Tâm Ngày tháng năm sinh: 21 - – 1974 Chức vụ: P Hiệu trưởng Đơn vị cơng tác: Trường THPT Chun Lương Thế Vinh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO Trình độ: Thạc sĩ Tốt nghiệp: 2003 III KINH NGHIỆM KHOA HỌC Giảng dạy 21 năm Chun đề năm gần đây: Ứng dụng số phức – Năm 2010 Ứng dụng Định lý Ptoleme - Năm 2011 Định lý Viete ứng dụng - Năm 2012 Mộtsố định lý hìnhhọcphẳng 2013 Hàng điểm điều hòa ứng dụng 2014 PHƢƠNG PHÁP GIẢIMỘTSỐBÀI TỐN HÌNHHỌCPHẲNGTRONGCÁCKỲTHIHỌCSINHGIỎI I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hìnhhọcphẳng nội dung qu n trọngthihọcsinh gi i cấp Tỉnh, cấp quốc gi ài tập thường sử dụng đến định Mene eus, Cev , P sc , Ch nh đ mà ch ng tơi muốn sâu vào chun đề II.TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Hìnhhọcphẳng nội dung qu n trọng chương trình giảng dạy cho p 10 chun Trong giảng dạy, ồi dư ng họcsinh gi i HSG dự thi quốc gi đề thihìnhhọcphẳng hơng thiếu thi hàng năm ì nghiên cứu sâu hìnhhọcphẳng việc àm cần thiết việc chu n ị iến thức cho việc ồi dư ng HSGQG CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA HÌNHHỌCPHẲNG Định lí CêVa, (Nhà tốn học Ý 1648-1734) 1.1 Định lí: Cho t m giác ABC A’, B’, C’ điểm lần ượt nằm cạnh BC, CA, AB Ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy điểm A' B B 'C C' A 1 A'C B ' A C' B 1.2 Định lí Cêva mở rộng: Cho t m giác ABC A’, B’, C’ điểm lần ượt nằm đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB B đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy điểm A' B B 'C C' A 1 A'C B ' A C' B 1.3 Định lí tri - Cêva : Cho t m giác ABC A’, B’, C’ điểm lần ượt nằm cạnh BC, CA, AB Ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy điểm sin ABB ' sin BCC ' sin CAA ' 1 sin CBB ' sin ACC ' sin BAA ' Định lí Menelaus, (Nhà tốn học, thiên văn học Ai Cập 70-130) 2.1 Định lí: Cho t m giác ABC A’, B’, C’ điểm lần ượt nằm đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB s o cho hơng c điểm trùng v i đỉnh c hơng q h i điểm thuộc hai cạnh B điểm A’, B’, C’ thẳng hàng A' B B 'C C' A 1 A'C B ' A C' B 2.2 Định lí Cêva mở rộng: Cho t m giác ABC A’, B’, C’ điểm lần ượt nằm đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB B điểm A’, B’, C’ thẳng hàng A' B B 'C C' A 1 A'C B ' A C' B Định lí Ptoleme, (Nhà tốn học Ai Cập 85-165) 3.1 Định lí: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn AC.BD = AB.CD + AD.BC 3.2 Định lí Ptoleme mở rộng: Cho bốn điểm A, B, C, D bất k mặt phẳng hơng thẳng hàng Khi đ t n c AB.CD BC.AD AC.BD Đẳng thức xảy A, B, C, D nằm đường tròn Chú ý: +) Khi điểm A, B, C, D thẳng hàng định lí Ptoleme mở rộng đ ng +) Định lí Ptoleme mở rộng đ ng hi cho điểm A, B, C, D nằm khơng gian Định lí Simson, (Nhà tốn học Scotland sinh 14/10/1687 1/10/1768) Định lí: Từ điểm P đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta lần ượt hạ đường vng góc xuống BC, CA, AB, chúng cắt BC, CA, AB lần ượt A1, B1, C1 Khi đ điểm A1, B1, C1 thẳng hàng Đƣờng thẳng Euler, (Nhà tốn học Thụy Sĩ, sinh 1707-1783) Định lí: Gọi H, G, O lần ượt trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đ điểm G, G, O thẳng hàng (Đường thẳng qua ba điểm gọi đường thẳng Euler) Đƣờng tròn Euler, (Đường tròn điểm) Định lí: Trong t m giác chân đương c o, chân đường trung tuyến, trung điểm củ đoạn thẳng nối trực tâm v i đỉnh tam giác nằm đường tròn (Đường tròn gọi đường tròn Euler hay đường tròn chín điểm) Hệ Thức Euler Định lí: Gọi (O; R) (I; r) lần ượt đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC, hi đ t c IO2 = R2 – 2Rr Đƣờng thẳng Stainơ, (Nhà tốn học Thụy Sĩ, sinh 1796-1863) Định lí: Cho tam giác ABC nội tiếp đườnh tròn (O), M điểm th y đổi (O) Gọi A1, B1, C1 lần ượt điểm đối xứng M lần ượt qua cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng (Đường thẳng qua ba điểm gọi đường thẳng Stai-nơ) b) Chứng minh đường thẳng Stai-nơ n qu điểm cố định Định lí com Bƣớm, (Butterfly Theorem) Định lí: Cho đường tròn (O) v i dây cung AB Gọi I trung điểm AB, qua I dựng hai dây cung MN PQ cho MP NQ cắt AB lần ượt E F Chứng minh I trung điểm củ đoạn thẳng EF 10 Định lí Pascal, (Nhà tốn học Pháp, sinh 1623-1662) Định lí: Cho ABCDEF lục giác nội tiếp đường tròn Khi đ gi o điểm cặp đường thẳng s u thẳng hàng: AB DE, BC EF, CD FA 11 Định lý Newton (Nhà vật , nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên, nhà tốn học vĩ đại người Anh) Định lý: Một đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD lần ượt tiếp xúc v i cạnh AB, BC, CD, DA E, F , G, H Khi đ đường thẳng AC, EG, BD, FH đồng quy 12 Mộtsố kiến thức tọa độ a) Công thức toạ độ điểm chia Cho hai điểm A, B phân biệt số thực k (k 1) Điểm M gọi chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k MA kMB Khi xM xA kxB y kyB ; yM A 1 k 1 k b) Tích vô hướng hai vectơ, góc hai vectơ Cho u ( x; y) v ( x '; y ') u.v u v cos(u , v ) xx ' yy ' ; u x y ; cos(u , v ) u.v u v xx ' yy ' x y x '2 y '2 c) Công thức tính diện tích tam giác S ABC 1 AB AC sin A AB AC AB AC 2 ( xB xA )( yC y A ) ( xC xA )( yB y A ) d) Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng () : Ax By C d ( M , ) Ngoài ra, đại lượng d ( M , ) Ax0 By0 C A2 B Ax0 By0 C A2 B gọi khoảng cách đại số từ M đến Khoảng cách đại số dùng để xác đònh hai điểm nằm phía hay khác phía đường thẳng CÁC DẠNG TỐN Dạng Các tốn tính tốn chứng minh Bài 1: (IMO Shortlist 1991) P thay đổi tam giác ABC cố định Gọi P’, P” hình chiếu vng góc P AC, BC, Q’, Q” hình chiếu vng góc C AP, BP, gọi X P 'Q" P"Q' Chứng minh rằng: X di chuyển đường cố định Giải: A Ta có: CP 'P CP"P CQ'P CQ"P 900 Q" P' Nên điểm C, P ',Q", P,Q', P" thuộc đường tròn Áp dụng định P sc cho sáu điểm C, P ',Q", P,Q', P" ta có: CP ' PQ' A, P 'Q" Q'P" Vậy A, X, B thẳng hàng X,Q"P P"C X P B B C P" Vậy X di chuyển đường thẳng AB cố định Q' Bài Cho ba điểm A1 , B1 , C1 theo thứ tự nằm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC cho AA1 , BB1 , CC1 đồng quy Đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 cắt BC, CA, AB A2 , B2 , C2 Chứng minh AA2 , BB2 , CC2 đồng quy Giải Áp dụng định Cev cho A1B B1C C1 A C1B B1 A C1B đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 , ta có (1) Theo tính chất phương t ch củ điểm đối v i đường tròn, ta có: BA2 BA1 BC2 BC1 CA1.CA2 CB1.CB2 AC1 AC2 AB2 AB1 BA1 BC1 BC2 BA2 CB1 CA1 CA2 CB2 (2) AC1 AB2 AB1 AC2 BC2 CA2 AB2 CA2 BC2 AB2 Thế (2) vào (1) t BA2 CB2 AC2 BA2 AC2 CB2 Vậy AA2 , BB2 , CC2 đồng quy (theo định lý Ceva) Bài 3: Cho tam giác ABC Dựng đường tròn cắt cạnh BC, CA, AB củ t m giác điểm D, D '; E, E '; F , F ' Gọi L, M , N ần ượt gi o điểm củ DE D ' F ' , EF E ' D ' , FD F ' D ' Chứng minh đường thẳng AL, BM , CN đồng quy Giải: Áp dụng định lý Ceva dạng ượng giác cho t m giác AF’E v i F’D’, ED, AL đồng quy L ta có: sin LAD sin LEA sin LF ' E sin LAE sin LEF' sin LF ' A A E' F Tương tự cho t m giác CDE’ BFD’ t c : M L sin NCA sin NDC sin NE ' D sin NCB sin NDE ' sin NE ' C sin MBC sin MFB sin MD ' F sin MBA sin MFD ' sin MD ' B E F' N C B Nhân đẳng thức lại ý: D D' LEF NE ' D, LF'E= MFD', MD' F NDE ', ta có sin LAD sin NCA sin MBC sin LEA sin LF ' E sin NDC ' sin NE ' D sin MFB sin MD' F sin LAE sin NCB sin MBA sin MD' B sin MFD' sin LF ' A sin F ' EL sin NB ' C sin NDE ' sin LAD sin NCA sin MBC Theo định lý Ceva dạng ượng giác AL, BM, CN đồng sin LAE sin NCB sin MBA quy Bài 4: Cho điểm D, E, F theo thứ tự nằm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC cho điểm D, E, F AD, BE, CF đồng quy Gọi M , N , P lần ượt gi o điểm củ đường tròn qu v i cạnh BC, CA, AB Chứng minh AM , BN , CP đồng quy Giải: A Gọi O EG FH, X EH FG X H Vì D gi o điểm tiếp tuyến v i đường tròn D E P sc cho điểm E,G,G, F, H, H , ta G, H, áp dụng định O G có: EG FH O,GG HH Suy O, D, X thẳng hàng Áp dụng định P sc D,GF HE X cho điểm E, E, H, F, F,G, ta có: C F B EE FF B, EH FG X, HF GE O Suy B, X, O thẳng hàng.Từ đ t B, O, D thẳng hàng Vậy EG,FH,BD đồng quy O Chứng minh tương tự đối v i đường thẳng AC t điều phải chứng minh Bài 5: (Australia 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao đỉnh A, B, C cắt (O) A’, B’, C’ D nằm (O), DA' BC A",DB' CA B",DC' AB C" Chứng minh rằng: A”, B”, C”, trực tâm H thẳng hàng A Giải: B' Áp dụng định P sc cho sáu điểm A, A ', D,C',C, B, ta có: C' AA' C'C H, A'D CB Vậy H,A",C" thẳng hàng A", DC' BA C" C" H B" Tương tự suy r A”, B”, C”, H thẳng hàng B C A" D A' Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A’, B’, C’ trung điểm BC, CA, AB Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOA’, BOB’, COC’ thẳng hàng Giải: Gọi A”, B”, C” trung điểm OA, OB, OC I, J, K J tâm đường tròn ngoại tiếp t m giác AOA’, BOB’, COC’ Khi đ I gi o điểm trung trực OA OA’, h y ch nh gi o điểm củ B”C” tiếp tuyến đường tròn (O;OA”) A” Tương tự v i J, K A K Áp dụng định P sc cho sáu điểm A", A", B", B",C",C" ta có: A"A" B"C" I, A"B" C"C" K, B"B" C"A" A" C' B J B" O A' B' C" C Vậy I, J, K thẳng hàng Bài 7: (China 2005) Một đường tròn cắt cạnh tam giác ABC theo thứ tự điểm D1 , D2 , E1 , E2 , F1 , F2 D1E1 D2 F2 L, E1F1 E2 D2 M, FD 1 F2 E N Chứng minh AL, BM, CN đồng quy I Giải: P A E2 F1 M N E1 F2 C L Z Q B D1 D2 R Gọi D1F1 D2 E2 P, E1D1 E2 F2 Q, FE 1 F2 D2 R Áp dụng định P sc cho sáu điểm E2 , E1 , D1 , F1 , F2 , D2 ta có: E2 E1 FF A, E1D1 F2D2 L, D1F1 D2E2 P Suy A, L, P thẳng hàng Tương tự B, M, Q thẳng hàng, C, N, R thẳng hàng E2 E1 D1F2 CA D1F2 X, F2F1 E1D2 AB E1D2 Y, D2D1 FE BC FE Z Áp dụng định P sc cho sáu điểm F1, E1, D1, D , F2, E ta có: FE D2 F2 1 R, E1D1 F2E2 Q, D1D2 E2F1 Z Suy Q, R, Z thẳng hàng Tương tự P, Q, Y thẳng hàng, Z, P, X thẳng hàng Xét tam giác ABC, PQR có: X CA RP, Y AB PQ, Z BC QR Áp dụng định Des rgues suy r đường thẳng AP AL, BQ BM,CR CN đồng quy Bài 8: (Định lý Brianchon) Lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn Khi AD, BE, CF đồng quy Giải: Ta chứng minh định lý cực đối cực để thấy Pascal Brianchon hai kết liên hợp N M P Gọi tiếp điểm cạnh lần ượt G, H, I, J, K, I L Khi đ GH, HI, IJ, JK, KL, LG ần ượt đối cực C D H J B, C, D, E, F, A B E Gọi GH JK N, HI KL P, IJ LG=M G K Theo Pascal cho lục giác GHIJKL ta có M, N, P thẳng hàng Mà M, N, P lần ượt đối cực AD, BE, CF nên suy r AD, BE, CF đồng quy cực củ đường thẳng MNP F A L Bài 9: Cho tam giác ABC, phân giác đường cao đỉnh B, C BD, CE, BB’, CC’ Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC N, M Chứng minh MN, DE, B’C’ đồng quy Giải: Gọi hình chiếu C BD P, hình chiếu B CE Q Dễ chứng minh: NMI A ICP NMI PMI 1800 Nên M, N, P thẳng hàng Tương tự suy M, N, P, Q thẳng hàng Áp dụng định P sc cho sáu ta B',C', B, P,Q,C, A B' P M C' Q N S D E I điểm có: C B B'C' PQ S,C'B QC E, BP CB' D Vậy S,E,D thẳng hàng, h y MN, DE, B’C’ đồng quy S Vậy, theo định lý Carnot A , B , C đồng quy Bài 10: Cho tam giác ABC Dựng tam giác BCA ', CAB ', ABC ' cân A ', B ', C ' Gọi D, E, F lần ượt trung điểm củ đoạn BC, CA, AB Gọi x, y, z theo thứ tự đường thẳng qua D, E, F tương ứng vng góc v i B ' C ', C ' A ', A ' B ' Chứng minh đường thẳng x, y, z đồng quy Giải: Theo định C rnot x, y, z đồng quy ( DC '2 DB '2 ) ( FB '2 FA'2 ) ( EA'2 EC '2 ) (C ' D2 C ' E ) ( B ' F B ' D2 ) (A' E A ' F ) (1) Mặt hác theo định điểm ta có C ' D C ' E F ' D F ' E (Do t m giác C’AB cân nên C’F vng g c AB, ED đường trung bình tam giác ABC nên C’F vuong g c v i DE) Tương tự; B ' F B ' D2 EF2 ED2 , 2 B' A C' E F C B D A' A ' E A ' F DE DF Từ đ suy r (1) đ ng, t c điều phải chứng minh Bài 11: (HSG Đồng Nai 2011-2012 Vòng 2) Cho tam giác ABC bên ngồi tam giác ABC vẽ ba tam giác cân gồm tam giác A1BC cân A1, tam giác B1CA cân B1, tam giác C1AB cân C1 (biết hai điểm A A1 nằm khác phía đường thẳng BC, biết hai điểm B B1 nằm khác phía đường thẳng AC, biết hai điểm C C1 nằm khác phía đường thẳng AB ) Gọi a đường thẳng qua A vng góc với B1C1, gọi b đường thẳng qua B vng góc với A1C1, gọi c đường thẳng qua C vng góc với A1B1 Chứng minh a, b, c đồng quy Giải: B1 Các tam giác A1BC cân A1, tam giác B1CA cân B1, tam giác C1AB cân C1 nên ta có: a A1B = A1C, B1C = B1A, C1A = C1B A Suy ra: ( AB12 AC12 ) ( BC12 BA12 ) (CA12 CB12 ) C1 Theo định C rnot t c , , c đồng quy I C B A1 Bài 12: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) M,N,P,Q tiếp điểm AB, BC, CD, DA Đặt K AD BC , L AB DC , E QM PN , F QP MN Chứng minh điểm K, L, E, F nằm đường thẳng T K E' A M B N Q I L O C P D Giải: Gọi I gi o điểm BD v i AC, E’ gi o điểm DB v i KL, T gi o điểm CE’ v i DK, theo tốn (TAKD) 1 suy (CT , CA, CK , CD) 1 theo định chùm điều hòa suy ( E ' IBD) 1 Mặt hác t c ( EIBD) 1 Do E ' E suy E, K, L thẳng hàng (1) Lập luận tương tự có F, K, L thẳng hàng (2) Kết hợp (1) (2) suy đpcm Bài 13 (IMO 95/1) Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đ ) Đường tròn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY hác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ M, BP cắt đường tròn đường kính BD điểm thứ N Chứng minh AM, DN XY đồng qui Giải: Gọi Q, Q’ ần ượt gi o điểm DN AM v i XY Ta cần chứng minh Q Q Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy PM PC PQ.PZ P Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy PQ.PZ PN PB Mà P thuộc XY trục đẳng phương củ đường tròn X đường nh AC đường tròn đường kính BD nên N PN PB PX PY PM PC Suy PQ.PZ PQ.PZ Q Q M Q Vậy XY, AM DN đồng quy A B Z Y C D Bài 3: Cho t m giác ABC điểm M bất k nằm (O) ngoại tiếp ABC Chứng minh rằng: MA MB MC a b b c c a min{ ; ; } a b c b a c b a c A O C B M Giải: Hiển nhiên ta có vế phải Ta chứng minh vế trái phản chứng: MA MB MC a b b c c a min{ ; ; } a b c b a c b a c Giả sử: Khơng giảm tổng qt, giả sử M nằm cung BC khơng chứa A Do tứ giác ABMC nội tiếp, áp dụng đẳng thức Ptolemy có: MA.BC=MC.AB+MB.AC hay MA.a=MC.c+MB.b MA= MB.b MC.c a Khi đ : b c a a MB a b MC a c MB MC MB MC MA MB MC b a c a a a b c a b c a a a a b a c MB MC b a c a (1) MB MC Mặt khác: MA MB MC a b b c c a min{ ; ; } suy ra: a b c b a c b a c MA MB MC a b MA MB MC a c a b c b a a b c c a Từ đ : MA MB MC MA MB MC a b a c MB MC MB MC MA MB MC b c b c a a b a c a a b c MB MC MB MC (2) (1),(2) mâu thuẫn, giả sử sai, t c điều phải chứng minh Bài (INMO1998): Cho tứ giác ABCD nằm (O) bán kính R = 1cm Chứng minh AB.CD AD.BC ABCD hình vng Giải: Hiển nhiên ta có phần đảo 30 Nếu AB.CD.AD.BC Ta có: AC.BD AB.CD AD.BC AB.CD.AD.BC ( ì AC,BD c độ dài hơng vượt q 2.) Dấu xảy tứ giác ABCD hình vng Vậy t c điều phải chứng minh Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) phân giác BAC cắt (O) D khác A K,L lần ượt hình chiếu B,C AD Chứng minh AD BK CL A K O B C L D Chứng minh: Do BKA,CLA tam giác vng nên ta có: BK CL ( AB AC ).sin A Mặt khác tứ giác ABDC nội tiếp nên theo đẳng thức Ptolemy ta có: A A AB AC Mà ta có cơng thức: sin A 2.sin cos A 2 2.cos BK CL sin A Vậy t c đpcm Từ đ suy r : AD AD Bài 6: Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O) (v i O nằm bên tứ giác) Gọi MNPQ tứ giác mà đỉnh lần ượt hình chiếu củ gi o điểm đường chéo tứ giác ABCD đến cạnh AB, BC, CD, DA CMR: SMNPQ S ABCD Giải: Gọi K gi o điểm đường chéo AC BD tứ giác ABCD Dễ thấy KMN t m giác àn đạp dựng từ điểm K tam giác ABC , đ áp dụng Định lý ta có: A M K R OK R OK S KMN ( K tứ giác) S ABC 4R2 4R2 31 B Q N O D P C S KMN R OK 4R2 S ABC Tương tự đối v i tam giác KNP, KPQ, KQM cộng kết lại: R OK S ABC S BCD SCDA S DAB 4R2 R OK R2 SMNPQ S S ABCD S ABCD ABCD 2 2R 2R 2 Đẳng thức xảy OK OK K O Bài 7: Gọi O, I , H lần ượt tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp trực tâm S KMN S KNP S KPQ S KQM tam giác ABC CMR: OI OH Giải: Đây ài tốn há quen thuộc có nhiều đường đư đến lời giảiTrong chứng minh này, để giải tốn, so sánh diện tích củ t m giác àn đạp xuất phát từ I t m giác àn đạp xuất phát từ H Thật vậy, gọi S I diện tích củ t m giác àn đạp xuất phát từ I , S H diện tích t m giác àn đạp xuất phát từ H tốn trở thành OI OH R OI R OH 2 2 R OI 4R2 S ABC R OH 4R2 Gọi A '1, B '1, C '1 lần ượt chân đường vng góc hạ từ H A '2, B '2, C '2 lần ượt chân đường vng góc hạ từ I đến cạnh BC, CA, AB tam giác ABC T c điểm A '1, B '1, C '1 nằm đường tròn Euler có bán kính nử án nh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , tức R Do đ , ta có: S ABC S I S H A B'1 B'2 C'2 I O C'1 H B A '1B '1.B '1C '1.C '1A '1 A '1B '1.B '1C '1.C '1A '1 S H R 2R Áp dụng định lý sin ta có: B '1C '1 BC.cos A , C '1A '1 CA.cos B , A '1B '1 AB.cos C AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C S H 2S ABC cos A.cos B.cos C 2R Để tính S I , ta có: A'1 A'2 1 a b c r a b c S I S A'2 IB '2 S B '2 IC '2 SC '2 IA'2 r sin A sin B sin C r 2 2R 4R Lại có: 32 C r A B C sin sin sin 4R 2 S I r a b c sin A B C A B C sin sin 2S ABC sin sin sin 2 2 2 Từ đ , t cần chứng minh: sin A B C sin sin cos A.cos B.cos C (bất đẳng thức dễ dàng tìm sách bất đẳng 2 thức ượng giác) Bài 8: Cho điểm M nằm tam giác ABC Gọi A’ gi o điểm củ đường thẳng qua M v i đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( A ' A ) CMR: MB.MC 2r (v i r bán MA ' ình đường tròn nội tiếp tam giác ABC ) Giải: Đặt p MA.MA ' R2 OM (phương t ch củ M đối v i đường tròn O ) Gọi X , Y , Z lần ượt hình chiếu vng góc M lên cạnh BC, CA, AB MB.MC MA.MB.MC 2r 2r MA.MB.MC 2rp MA ' MA.MA ' Dễ thấy: XY MC.sin C, YZ MA.sin A, ZX MB.sin B (định lý sin) Ta có: Thế vào bất đẳng thức ph t được: XY YZ ZX 2rp.sin A.sin B.sin C (1) Theo định lý ta có: R OM S XYZ p p S XYZ S ABC S ABC 4R 4R 4R AB.BC.CA R.sin A.2R.sin B.2 R.sin C 2R sin A.sin B.sin C 4R 4R XY YZ ZX ( R1 án nh đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ ) R1 Lại có: S ABC Và: S XYZ R sin A.sin B.sin C p.R1 p.R1.sin A.sin B.sin C (2) R2 Từ (1) (2) dẫn đến chứng minh bất đẳng thức R1 r Suy ra: XY YZ ZX Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ x, y, z lần ượt khoảng cách từ K đến cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Dễ thấy: a b c r r (đpcm) 2.S ABC ax by cz ax by cz a b c R1 R1 2 abc abc (Các dấu cộng trừ tùy thuộc vào vị tr điểm K so v i tam giác ABC ) S ABC Bài 9: Cho điểm M nằm tam giác ABC đặt d1 , d2 , d3 lần ượt khoảng cách từ M đến cạnh BC, CA, AB CMR: Nếu d1.d2 d3 r M nằm đường tròn O; OI ( r án nh đường tròn nội tiếp tam giác ABC ) Giải: Gọi A1 , B1 , C1 lần ượt hình chiếu M lên cạnh BC, CA, AB Ta có: 33 d2 d3.sin B1MC1 d1.d3.sin A1MC1 d1.d2 sin A1MB1 Mà B1MC1 BAC 180o , A1MC1 ABC 180o , A1MB1 ACB 180o (tứ giác nội S A1B1C1 tiếp) sin A a b c , sin B , sin C (định 2R 2R 2R sin) Do đ : d d d a b c d2 d3 a d1.d3 b d1.d2 c 4R R d1 d d3 Theo cơng thức diện tích: S ABC a.d1 b.d c.d3 S A1B1C1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schw rz t được: S A1B1C1 S ABC d1.d d3 a b c d1.d d3 a b c a.d1 b.d c.d3 8R d1 d d3 8R Thay S A B C 1 R OM S ABC vào bất đẳng thức Suy ra: 4R2 r 3. a b c d1.d d3 R OM 2 S ABC a b c 4R2 8R 8R R OM 2 R r a b c 8R S ABC 2 R.r S ABC 2 S ABC 2 2.R.r (1) Mà theo cơng thức Euler ta có: OI R2 2.R.r OI R2 2.R.r R2 R2 OM OM OI OM (2) (đpcm) CÁCBÀI TỐN RÈN LUYỆN Bài 1: (TST 2000) H i đường tròn (C1) (C2) cắt h i điểm P Q Tiếp tuyến chung củ h i đường tròn gần P Q tiếp xúc v i (C1) A tiếp xúc v i (C2) B Các tiếp tuyến (C1), (C2) kẻ từ P cắt đường tròn lần ượt E F, (E, F khác P) Gọi H, K lần ượt điểm nằm đường thẳng AF, BE cho AH = AP BK = BP Chứng minh năm điểm A, H, Q, K, B thuộc đường tròn Bài 2: (TST 2003) Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm M1, N1, P1 s o cho đoạn MM1, NN1, PP1 chi đơi chu vi t m giác, đ M, N, P ần ượt trung điểm củ đoạn BC, CA, AB Chứng minh rằng: Các đường thẳng MM1, NN1, PP1 đồng quy điểm Gọi điểm đ K KA KB KC , , Trong tỉ số BC CA AB có tỉ số khơng nh Bài 3: (TST 2006) Cho tam giác ABC có H trực tâm Đường phân giác ngồi góc BHC cắt cạnh AB, AC lần ượt D E Đường phân giác góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE điểm K Chứng minh đường thẳng HK qu trung điểm đoạn BC Bài 4: (TST 2006) Trong mặt phẳng cho góc xOy Gọi M, N lần ượt h i điểm lần ượt nằm tia Ox, Oy Gọi d đường phân giác góc ngồi củ g c xOy I gi o điểm 34 trung trực MN v i đường thẳng d Gọi P, Q h i điểm phân biệt nằm đường thẳng d cho IM = IN = IP = IQ, giả sử K gi o điểm MQ NP Chứng minh K nằm đường thẳng cố định Gọi d1 đường thẳng vng góc v i IM M d2 đường thẳng vng góc v i IN N Giả sử đường thẳng d1, d2 cắt đường thẳng d E, F Chứng minh đường thẳng EN, FM OK đồng quy Bài 5: (TST 2009) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi A1, B1, C1 A2, B2, C2 lần ượt chân đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A, B, C điểm đối xứng v i A1, B1, C1 qu trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi A3, B3, C3 lần ượt gi o điểm củ đường tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2, BC2A2, CA2B2 v i đường tròn (O) Chứng minh rằng: A1A3, B1B3, C1C3 đồng quy Bài 6: (TST 2001) Trong mặt phẳng cho h i đường tròn cắt h i điểm A, B Gọi PT hai tiếp tuyến chung củ h i đường tròn đ P, T tiếp điểm Tiếp tuyến P T củ đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt S Gọi H điểm đối xứng v i B qu đường thẳng PT Chứng minh điểm A, S, H thẳng hàng Bài 7: (TST 1999) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Một đường tròn tiếp xúc v i cạnh AB, AC tiếp xúc v i đường tròn lần ượt điểm M1, N1, P1 Các điểm M2, N2, P2 M3, N3, P3 xác định cách tương tự Chứng minh đoạn thẳng M1N1, M2N2, M3N3 cắt trung điểm đường Bài 8: (TST 1995) Cho t m giác ABC điểm M nằm tam giác Gọi A’, B’, C’ ần ượt ảnh củ điểm A, B, C qu phép đối xứng tâm M Chứng minh tồn điểm điểm P mặt phẳng cách h i đầu mút củ đoạn thẳng AB’, BC’, CA’ Gọi D trung điểm củ đoạn AB Chứng minh hi M th y đổi tam giác ABC khơng trùng v i D đường tròn ngoại tiếp t m giác MNP, đ N gi o điểm củ DM AP, n qu điểm cố định Bài 9: (TST 2004) Trong mặt phẳng cho h i đường tròn (O1), (O2) cắt nh u A B Các tiếp tuyến A, B củ đường tròn (O1) cắt nh u K Xét điểm M hơng trùng v i A, B nằm đường tròn (O1) Gọi P gi o điểm thứ h i củ đường thẳng MA v i đường tròn (O2) Gọi C gi o điểm thứ h i củ đường thẳng MK v i đường tròn (O1) Gọi Q gi o điểm thứ h i củ đường thẳng CA v i đường tròn (O2) Chứng minh rằng: Trung điểm củ đoạn thẳng PQ nằm đường thẳng MC Đường thẳng PQ n qu điểm cố định hi M di động (O1) Bài 10: (TST 2003) Cho t m giác ABC c O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi H, K, L lần ượt chân đường vng góc kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Gọi A0, B0, C0 lần ượt trung điểm củ đường c o AH, BK, CL Đường tròn nội tiếp tâm I tam giác ABC tiếp xúc v i đoạn BC, CA, AB lần ượt D, E, F Chứng minh A0D, B0E, C0F qu điểm điểm đ nằm đường thẳng OI Bài 11: (TST 2006) Cho tam giác ABC tam giác nhọn, khơng cân, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Một đường thẳng d th y đổi cho d ln vng góc v i OA ln cắt tia AB, AC Gọi M, N lần ượt gi o điểm củ đường thẳng d đoạn AB, AC Giả sử đường thẳng BN CN cắt K; giả sử đường thẳng AK cắt đường thẳng BC a) Gọi P giao củ đường thẳng AK đường thẳng BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp củ t m giác MNP n qu điểm cố định hi d th y đổi 35 b) Gọi H trực tâm t m giác AMN Đặt BC = a l khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng HK Chứng minh đường thẳng HK n qu trực tâm tam giác ABC Từ đ suy r : l 4R a Đẳng thức xảy nào? Bài 14: (TST 2009) Cho đường tròn (O) đường nh AB M điểm ất ì nằm (O), M hơng nằm đoạn thẳng AB Gọi N gi o điểm củ phân giác g c M củ t m giác AMB v i đường tròn (O) Đường phân giác ngồi g c AMB cắt đường thẳng NA, NB ần ượt P, Q Đường thẳng MA cắt đường tròn đường nh NQ R, đường thẳng MB cắt đường tròn đường nh NP S R, S hác M Chứng minh rằng: đường trung tuyến ứng v i đỉnh N củ t m giác NRS n qu điểm cố định hi M di động ph đường tròn Bài 12: (TST 2005) Cho tam giác ABC có (I) (O) lần ượt đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác Gọi D, E, F lần ượt tiếp điểm củ đường tròn (I) cạnh BC, CA, AB Gọi A , B , C lần ượt đường tròn tiếp xúc v i h i đường tròn (I) (O) lần ượt điểm D, K (v i đường tròn A ); E, M (v i đường tròn B ) F, N (v i đường tròn C ) Chứng minh rằng: Các đường thẳng DK, EM, FN đồng quy P Trực tâm tam giác DEF nằm đoạn OP Bài 13: (TST 2007) Cho tam giác nhọn ABC v i đường tròn tâm I nội tiếp Gọi (Ka) đường tròn qu A, AKa vng góc v i BC (Ka) tiếp xúc v i (I) A1 Các điểm B1, C1 xác định tương tự 1/ Chứng minh: AA1, BB1, CC1 đồng qui P 2/ Gọi (Ja), (Jb), (Jc) tương ứng đường tròn đối xứng v i đường tròn bàng tiếp góc A, B, C củ t m giác ABC qu trung điểm BC, AC, AB Chứng minh P tâm đẳng phương củ đường tròn (Ja), (Jb), (Jc) Bài 15: (TST 1995) Cho tam giác ABC có: AB c, BC a, CA b Lấy sáu điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 phân biệt khơng trùng v i A, B, C điểm A1 , A2 thuộc đường thẳng BC, B1 , B2 thuộc đường thẳng CA, điểm C1 , C2 thuộc đường thẳng AB Gọi , , số thực xác định : A1 A2 BC , B1B2 CA, C1C2 AB a b c Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C1 , AB2C2 , BC1 A1 , BC2 A2 , CA1B1 , CA2 B2 gọi d A , d B , dC lần ượt trục đẳng phương cặp đường tròn qu A, B, C Chứng minh rằng: d A , d B , dC đồng quy a b c Bài 16: (TST 2008) Cho k số thực Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân có O tâm đường tròn ngoại tiếp AD, BE, CF đường phân giác tam giác Trên AL BM CN k đường thẳng AD, BE, CF lần ượt lấy điểm L, M, N cho AD BE CF Gọi (O1), (O2), (O3) lần ượt đường tròn qu L, tiếp xúc v i OA A ; qu M tiếp xúc v i OB B qu N tiếp xúc v i OC C 36 k 2, Chứng minh v i đường tròn (O1), (O2), (O3) c đ ng h i điểm chung Tìm tất giá trị củ s o cho đường tròn (O1), (O2), (O3) c đ ng h i điểm chung Bài 17: (MOSP 2005)Cho tứ giác nội tiếp ABCD, phân giác góc A cắt phân giác góc B E Điểm P, Q lần ượt nằm AD, BC s o cho PQ qua E PQ song song v i CD Chứng minh AP BQ PQ Bài 18: Các điểm P, Q tam giác ABC cho BP CP, BQ CQ, ABP ACQ 1800 Chứng minh BAP CAQ Bài 19: (IMO Shortlist 2007) Cho tam giác ABC cố định, trung điểm A1 , B1 ,C1 BC, CA, AB tương ứng Điểm P th y đổi đường tròn ngoại tiếp t m giác Các đường thẳng PA1 , PB1 , PC1 cắt lại đường tròn A’, B’, C’ tương ứng Giả sử điểm A, B, C, A’, B’, C’ đơi phân biệt đường thẳng AA’, BB’, CC’ tạo tam giác Chứng minh diện tích củ t m giác đ hơng phụ thuộc vào vị trí P Bài 20: H i t m giác ABC, A’B’C’ c đường tròn ngoại tiếp Các cạnh hai tam giác cắt điểm tạo hình lục giác Chứng minh đường chéo hình lục giác đ đồng quy Bài 21: (IMO 2010) Điểm P nằm tam giác ABC v i CA CB Các đường AP, BP, CP cắt lại đường tròn ngoại tiếp K, L, M Tiếp tuyến củ đường tròn ngoại tiếp C cắt AB S Giả sử SC SP Chứng minh MK ML Bài 22: (MEMO 2010) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB D, E, F tương ứng K đối xứng củ D qu tâm đường tròn nội tiếp DE cắt FK S Chứng minh AS song song BC Bài 23 (IMO Shortlist 2003) Cho điểm phân biệt A, B,C theo thứ tự nằm đường thẳng Gọi (O) đường tròn n qu A,C (AC hơng đường nh), P gi o điểm hai tiếp tuyến (O) A C Giả sử P cắt đoạn PB Q CMR gi o điểm củ đường phân giác g c AQC đường thẳng AC cố định (O) th y đổi Bài 24: (Polan 2000) Cho tam giác ABC cân C, P điểm nằm tam giác cho APM PBC Gọi M trung điểm AB CM CPB APM 1800 Bài 25: (VN TST 2001) Trong mặt phẳng cho h i đường tròn cắt hai điểm A, B Gọi PT tiếp tuyến chung củ h i đường tròn (P, T tiếp điểm) Các tiếp tuyến P, T củ đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt S Gọi H điểm đối xứng B qua PT CM: A, S, H thẳng hàng Bài 26: (USA TST 2007) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) B, C cắt T Gọi S diểm thuộc đường thẳng BC cho AS AT , B1, C1 nằm ST (C1 nằm B1 S) cho B1T = BT = C1T CMR t m giác ABC đồng dạng v i tam giác AB1C1 Bài 27: (USA 2008) Cho tam giác ABC nhọn, hơng Gọi M, N, P lần ượt trung điểm củ BC, CA, AB Đường trung trực AB AC cắt AM D E BD cắt CE F nằm tam giác ABC CM: A, N, F, P nằm đường tròn 37 Bài 28: (USAMO 2009) Cho h i đường tròn (O1) (O2) cắt h i điểm A, B Đường thẳng d1 qu tâm O1 cắt (O2) P, Q, đường thẳng d2 qu tâm O2 cắt (O1) R, S CMR bốn điểm P, Q, R, S thuộc đường tròn tâm O O nằm AB Bài 29: (IMO-1985)Cho tam giác ABC Một đường tròn tâm O qu điểm A, C cắt đoạn AB, AC K, N Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC KB cắt B, M CMR góc OMB vng Bài 30: (IRANMO -1996) Cho h i điểm D, E tương ứng nằm cạnh AB, AC tam giác ABC s o cho DE//BC Goi P điểm nằm ên t m giác ABC, đường thẳng PB, PC lần ượt cắt DE F G Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PDG, PFE CMR AP O1O2 Bài 31: (BELARUT 2000, vòng 4) Cho M gi o điểm củ h i đường chéo AC, BD tứ giác lồi ABCD Đường phân giác góc ACD cắt tia BA K Giả sử MA.MC+MA.CD=MB.BD CMR BKC CBD 38 HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Chun đề giảng dạy trường THPT chun Lương Thế inh đạt hiệu đơn vị; chun đề c áp dụng phạm vi rộng III ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề xuất: Cần nghiên cứu mảng đề tài thường đề cập đề thihọcsinh gi i cấp tỉnh, cấp quốc gi Từ đ sâu nghiên cứu đề tài chun iệt riêng ẻ, nh - Trên sở phân t ch đề thi HSG cấp, qu năm Qu đ giáo viên soạn đề tài ẻ, gi i thiệu cho họcsinh nghiên cứu giải vấn đề, cuối m i tổng ết đề tài - Phạm vi sử dụng đề tài: Dùng cho HSG trường THPT, họcsinh p chun Tốn, dùng àm tài iệu th m hảo cho giáo viên - Hàng năm u cầu giáo viên phụ trách cơng tác ồi dư ng HSG viết chun đề ẻ, nh , chun sâu, s u vài năm giáo viên đ c mảng đề tài ồi dư ng họcsinh gi i phong ph chất ượng - Đối v i p chun Tốn c thể gi o chun đề cho họcsinh theo đơn vị nh m, tổ Từ đ họcsinh tìm tòi tài iệu, viết chun đề qu đ họcsinh hiểu sâu vấn đề mà tổ nh m nghiên cứu, đồng thời gi p họcsinh c đầu àm quen v i việc nghiên cứu ho học 39 VI TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Qu nh (Chủ biên), Tài liệu giáo khoa chun Tốn Hìnhhọc 10, NXB Giáo dục 2007 [2] Trần ăn Tấn, Các chun đề hìnhhọc bồi dưỡng họcsinhgiỏi Trung họcsở [3] Viktor Prasolov, Problems in Plane and Solid Geometry, 2001 [4] Paul Yiu, Advanced Euclidean Geometry A Tour of Triangle Geometry, 1998 [5] Charles Salkind, Challenging Problems in Geometry, 1988 [6] Dr Kin-Yin Li, Famous Geometry Theorems [7] Viktor Prasolov, PROBLEMS IN PLANE AND SOLID GEOMETRY _ v.1 Plane Geometry [8] Mộtsố tài liệu internet http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=4986 http://diendantoanhoc.net/forum/index.php 40 BM01b-CĐCN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị Trƣờng THPT Chun Lƣơng Thế Vinh ––––––––––– CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Họ tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị: Họ tên giám khảo 1: Chức vụ: Đơn vị: Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: Tính Điểm: /6,0 Hiệu Điểm: /8,0 Khả áp dụng Điểm: /6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 Xếp loại: Phiếu giám khảo đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định Sở Giáo dục Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng thơng tin, có ký tên xác nhận giám khảo đóng kèm vào sáng kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu đánh giá, chấm điểm, xếp loại sáng kiến kinh nghiệm giám khảo GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) 41 BM01b-CĐCN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị Trƣờng THPT Chun Lƣơng Thế Vinh ––––––––––– CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Họ tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị: Họ tên giám khảo 2: Chức vụ: Đơn vị: Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: Tính Điểm: /6,0 Hiệu Điểm: /8,0 Khả áp dụng Điểm: /6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 Xếp loại: Phiếu giám khảo đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định Sở Giáo dục Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng thơng tin, có ký tên xác nhận giám khảo đóng kèm vào sáng kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến kinh nghiệm đơn vị GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) 42 BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị Trƣờng THPT Chun Lƣơng Thế Vinh ––––––––––– CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm 2016 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Họ tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị: Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào tương ứng, ghi rõ tên mơn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học mơn: - Phương pháp giáo dục - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành Tính (Đánh dấu X vào đây) - Đề giảipháp thay hồn tồn m i, bảo đảm tính khoa học, đ ng đắn - Đề giảipháp thay phần giảipháp c , ảo đảm tính khoa học, đ ng đắn - Giảipháp m i gần áp dụng đơn vị hác chư áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị Hiệu (Đánh dấu X vào đây) - Giảipháp thay hồn tồn m i, thực tồn ngành có hiệu cao - Giảipháp thay phần giảipháp c , thực tồn ngành có hiệu cao - Giảipháp thay hồn tồn m i, thực đơn vị có hiệu cao - Giảipháp thay phần giảipháp c , thực đơn vị có hiệu - Giảipháp m i gần áp dụng đơn vị hác chư áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị Khả áp dụng (Đánh dấu X vào dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Trong Tổ/Phòng/Ban Trong qu n, đơn vị, sở GD&ĐT Trong ngành - Đư r giảipháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Trong Tổ/Phòng/Ban Trong qu n, đơn vị, sở GD&ĐT Trong ngành - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban Trong qu n, đơn vị, sở GD&ĐT Trong ngành Xếp loại chung: Xuất sắc Khá Đạt Khơng xếp loại Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết khơng chép tài liệu củ người khác chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ Tổ trưởng Thủ trưởng đơn vị xác nhận sáng kiến kinh nghiệm tổ chức thực đơn vị, Hội đồng khoa học, sáng kiến đơn vị xem xét, đánh giá, cho điểm, xếp loại theo quy định Phiếu đánh dấu X đầy đủ tương ứng, có ký tên xác nhận tác giả người có thẩm quyền, đóng dấu đơn vị đóng kèm vào cuối sáng kiến kinh nghiệm NGƢỜI THỰC HIỆN SKKN (Ký tên ghi rõ họ tên) XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUN MƠN (Ký tên ghi rõ họ tên) 43 THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu đơn vị) 44 [...]... K, B cùng thuộc một đường tròn Bài 2: (TST 2003) Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M1, N1, P1 s o cho các đoạn MM1, NN1, PP1 chi đơi chu vi t m giác, trong đ M, N, P ần ượt à trung điểm củ các đoạn BC, CA, AB Chứng minh rằng: 1 Các đường thẳng MM1, NN1, PP1 đồng quy tại một điểm Gọi điểm đ à K 1 KA KB KC , , 2 Trongcác tỉ số BC CA AB có ít nhất một tỉ số khơng nh hơn 3 Bài 3: (TST 2006)... rằng các điểm A, S, H thẳng hàng Bài 7: (TST 1999) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn Một đường tròn tiếp xúc v i các cạnh AB, AC và tiếp xúc trong v i đường tròn lần ượt tại các điểm M1, N1, P1 Các điểm M2, N2, P2 và M3, N3, P3 xác định một cách tương tự Chứng minh rằng các đoạn thẳng M1N1, M2N2, M3N3 cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Bài 8: (TST 1995) Cho t m giác ABC và điểm M nằm trong. .. ảnh củ các điểm A, B, C qu phép đối xứng tâm M 1 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm điểm P trong mặt phẳng cách đều h i đầu mút củ các đoạn thẳng AB’, BC’, CA’ 2 Gọi D à trung điểm củ đoạn AB Chứng minh rằng hi M th y đổi trong tam giác ABC và khơng trùng v i D thì đường tròn ngoại tiếp t m giác MNP, trong đ N à gi o điểm củ DM và AP, n đi qu một điểm cố định Bài 9: (TST 2004) Trong mặt phẳng. .. 2b d Bài 26(IMO 1977) Về phía tronghình vuông ABCD, ta dựng các tam giác đều ABK , BCL, CDM , DAN Chứng minh các trung điểm của KL, LM , MN , NK và các trung điểm của AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN lập thành một đa giác đều 12 cạnh Giải Gọi O là tâm của hình vuông, lập hệ trục toạ độ Oxy sao cho A(1;1), B(1;1), C (1; 1), D(1; 1) A B Khi đó K (0; 2k ), L(2k;0), M (0;2k ), N (2k;0) trong đó... v i A1, B1, C1 qu trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Gọi A3, B3, C3 lần ượt là các gi o điểm củ đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB2C2, BC2A2, CA2B2 v i đường tròn (O) Chứng minh rằng: A1A3, B1B3, C1C3 đồng quy Bài 6: (TST 2001) Trong mặt phẳng cho h i đường tròn cắt nhau tại h i điểm A, B Gọi PT là mộttrong hai tiếp tuyến chung củ h i đường tròn trong đ P, T à các tiếp điểm Tiếp tuyến tại P và... là Q 0; c 1 c Từ đó suy ra hệ số góc của đường thẳng QO là , còn hệ số góc của BC là c Vì vậy QO BC 17 Bài 28 (Thi chọn đội tuyển Quốc gia Singapo 1999 – 2000) Cho tam giác ABC với góc C bằng 600 D, E, F là các điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, AB, CA Gọi M là giao điểm của AD và BF Giả sứ CDEF là hình thoi Chứng minh y rằng DF 2 DM DA B GiảiThi t lập hệ trục toạ độ vuông góc sao... 3 1 m2 n 2 1 ( H ) b đi hai điểm B, C 3 1 Dạng 3: Cácbài tốn bất đẳng thức hình họcBài 1 [IOM 1995] Cho ABCDEF là lục giác lồi có AB BC CD, DE EF FA và BCD EFA 600 Giả sử G và H à h i điểm bên trong lục giácsao cho AGB DHE 1200 Chứng minh rằng AG GB GH DH HE CF Giải Gọi X , Y à các điểm nằm ngồi lục giác sao cho các tam giác ABX , DEY đều Khi đ lục giác ABCDEF đồng... hàng X P B B C P" Vậy X di chuyển trên đường thẳng AB cố định Q' Bài 4: Cho tam giác ABC vng cân tại A M là một điểm di động trên đường thẳng BC (M khác B và C) hình chiếu của M ên các đường thẳng AB và AC là H và K tương ứng Gọi I là gi o điểm củ các đường thẳng CH và BK Chứng minh rằng các đường thẳng MI n đi qu một điểm cố định y Giải Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho A O, B(1;0), C(0;1) D T c đường... cố đònh K ;0 với mọi (0;2 ) \ 2 (K là trung điểm của đoạn OA) Bài 6 Tam giác ABC vng ở A, là một t m giác iên thi n nhưng đường cao AH là một đoạn thẳng cố định cho trư c Gọi E, F là hình chiếu của H lên AB, AC Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác EBCF n đi qu một điểm cố định Giải Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AEF AHF mà AHF HCA (góc có cạnh tương ứng vng góc) AEF... 2 4R2 a 2 4 Nên AL l 4R2 a 2 Bài 3: (IMO Shortlist 1991) P thay đổi trong tam giác ABC cố định Gọi P’, P” là hình chiếu vng góc của P trên AC, BC, Q’, Q” là hình chiếu vng góc của C trên AP, BP, gọi X P 'Q" P"Q' Chứng minh rằng: X di chuyển trên một đường cố định Giải: Ta có: A CP 'P CP"P CQ'P CQ"P 900 Q" Nên các điểm C, P ',Q", P,Q', P" cùng thuộc một đường tròn Áp dụng định P' P sc cho