skkn tìm nhiều cách giải cho 1 bài toán hình học lớp 8

Trong quá trình dạy học giáo viên phải biết hớng dẫn, tổ chức cho học sinh tự mình tìm tòi khám phá kiến thức mới, dạy cho học sinh không chỉ có kiến thức mà cả phơng pháp học tập, trong

Phần I: Mở ĐầU

1 lý do chọn đề tài

A Cơ sở lí luận:

Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách giáo dục là phải đổi mới

ph-ơng pháp dạy học theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dới

sự tổ chức hớng dẫn của giáo viên Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện, giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận đợc Trong đó có đổi mới phơng pháp dạy

và học môn toán

Là giáo viên toán tôi nhận thấy yêu cầu trên rất phù hợp Trong quá trình dạy học giáo viên phải biết hớng dẫn, tổ chức cho học sinh tự mình tìm tòi khám phá kiến thức mới, dạy cho học sinh không chỉ có kiến thức mà cả phơng pháp học tập, trong đó cốt lõi là phơng pháp tự học Chính trong quá trình tự lực tiềm năng sáng tạo của học sinh đợc bộc lộ và phát huy Giáo viên phải biết tạo cho các em có thói quen nhìn nhận một sự kiện dới những góc độ khác nhau, biết đặt

ra nhiều giả thiết khi phải lý giải một vấn đề, biết đề xuất nhiều giải pháp khi phải sử lý một tình huống

Đối với môn toán nếu ta biết khai thác kết quả, biết đặt tình huống theo nhiều góc độ khác nhau, biết tìm tòi nhiều phơng án giải quyết ta sẽ thấy những điều thú vị Trên cơ sở đó sẽ cho ta xây dựng và phát triển đợc nhiều bài toán hay và khó Nếu làm đợc nh vậy sẽ kích thích đợc trí tò mò, lòng say

mê học toán và hứng thú học tập của học sinh

B Cơ sở thực tiễn:

Trong quá trình công tác bản thân tôi luôn nêu cao ý thức tự học, tự rèn, bồi dỡng chuyên môn nhiệm vụ Tôi đã đọc rất nhiều sách, kết hợp với nhiệm

vụ bồi dỡng học sinh giỏi và sự hớng dẫn, chỉ đạo của các chuyên viên, sự giúp đỡ của đồng nghiệp, tôi đã tiến hành nghiên cứu và vận dụng quan điểm trên vào quá trình công tác của mình và thấy có hiệu quả Về khách quan thì hiện nay đại đa số các sách và tài liệu kham khảo đều không đủ thời lợng để chuyền tải hết các bài toán, dạng toán theo yêu cầu của giáo viên và học sinh Các sách thờng chỉ đa ra một số bài toán cơ bản hoặc nâng cao nên không tránh khỏi sự trùng lặp nhiều bài toán Bên cạnh đó nhiều giáo viên vẫn dạy theo quan điểm nhặt các bài tập trong các tài liệu rồi tổ chức cho học sinh giải Theo tôi nghĩ mỗi cuốn sách đều có chung một dụng ý đòi hỏi ngời học phải sáng tạo Đó chính là yêu cầu nhiệm vụ giành cho học sinh mà giáo viên phải là ngời định hớng.Trớc thực tế đó đã thôi thúc tôi chọn đề tài "Tìm

Hoàng Thị Thanh Thuỷ- Trờng THCS Thân Nhân Trung

1

nhiều cách giải cho 1 bài toán hình học lớp 8". để hớng dẫn cho học sinh

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Đề tài giúp học sinh rèn luyện các thao tác t duy: phân tích, tổng hợp,

đặc biệt hoá, khái quát hoá, tơng tự hoá tạo điều kiện cho học sinh có đợc phơng pháp tự đọc tài liệu Giúp học sinh nắm vững, hiểu sâu các kiến thức cơ bản, đồng thời phát huy đợc tiềm năng sáng tạo của bản thân Cung cấp cho các em phơng pháp tự học, từ đó các em thấy đợc niềm vui và tính chủ động,

tự tin trong học toán

Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình giảng dạy môn toán Đặc biệt là dạy học sinh giải bài tập, giáo viên không phải mất thời gian tìm bài tập trong các tài liệu mà xây dựng trên cơ sở bài tập cơ bản Giúp giáo viên củng cố khắc sâu, mở rộng đợc nhiều kiến thức cho học sinh, đồng thời trong quá trình đó học sinh dễ ràng tự mình giải quyết vấn

đề

Ngoài mục đích trên đề tài cũng góp phần giải quyết nhiệm vụ của yêu cầu đổi mới PPDH là phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập

Giúp giáo viên phân dạng toán và cách khai thác các bài toán cơ bản, tìm

ra phơng pháp chung để giải mỗi dạng đó

3.Ph ơng pháp nghiên cứu.

+Phơng pháp điều tra:

- Điều tra tìm hiểu việc dạy và học ở các lớp đại trà và các lớp bồi dỡng HSG

- Dự giờ rút kinh nghiệm giảng dạy

+Phơng pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Phân tích đánh giá quá trình tiếp thu bài học của học sinh thông qua kiểm tra, trắc nghiệm, phỏng vấn

- Thông qua thực tế giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8 tại nhà trờng +Phơng pháp nghiên cứu lí luận:

- Tham khảo các bài viết, các ý kiến trao đổi về việc dạy và học toán trong các cuộc thảo luận về đổi mới phơng pháp giảng dạy, trong các tài liệu và sách tham khảo về bộ môn toán

+Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm

4-

nội dung nghiên cứu của đề tài::

- Đề cập đến một số bài toán có nhiều cách giải trong chơng trình Hình học lớp 8

- Đa ra hớng khai thác phát triển bài toán có nhiều lời giải để bồi dỡng học sinh giỏi

Phần II: Nội dung

Qua khảo sát chất lợng bộ môn toán đầu năm của học sinh lớp 8 và đội tuyển học sinh giỏi lớp 8 trờng THCS Thân Nhân Trung thu đợc kết quả sau

+ Về hứng thú học tập bộ môn Hình học:

Số học sinh thích học:14% ; Bình thờng: 36% ; số học sinh sợ phải học môn Hình học: 50%

Vì vậy trong quá trình dạy học cần rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt , độc lập, sáng tạo đó là kỹ năng thay đổi phơng pháp giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các điều kiện, biết tìm ra phơng pháp mới để giải quyết vấn đề, kỹ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự

ng-ợc lại với các kiến thức đã học, kỹ năng nhìn một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau, kỹ năng tự mình nhìn thấy vấn đề để giải quyết Muốn làm đợc

điều đó cần thờng xuyên tập dợt cho học sinh suy luận có lý, dự đoán thông qua quan sát so sánh, khái quát, quy nạp Ngoài việc sử dụng thành thạo quy tắc đó, cần đa ra các bài tập có cách giải quyết riêng Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán gắn liền với việc nhìn vấn đề với nhiều khía cạnh khác nhau, mở đờng cho sự sáng tạo phong phú Không những vậy còn giúp cho học sinh có đợc hớng tự giải quyết các bài tập khó Sau đây tôi xin đợc đa ra một số bài toán có nhiều cách giải mà trên đó ta

có thể khai thác, phát triển thành các bài toán hay ở cấp độ cao hơn

Bài toán 1: Cho tam giác ABC;BC= 2AB;M là trung điểm của BC D

là trung điểm của BM Chứng minh rằng: AD = 1

2AC.

Tôi cho học sinh tìm hiểu bài toán, tìm mối liên quan giữa các yếu tố trong bài ra Phân tích đầu bài để tìm ra cách chứng minh.Từ đó học sinh tìm

ra cách làm nh sau:

Cách 1: Lấy F là trung điểm của AC Nối FM ABC có MF là đờng

trung bình Suy ra MF// AB, MF= 1

2AB Suy ra ABD = CMF( c.g.c) Suy

ra AD = FC; Mà FC =1

2AC nên AD =

1

2AC.

Hoàng Thị Thanh Thuỷ- Trờng THCS Thân Nhân Trung

3

Trên cơ sở cách vẽ hình nh trên, liệu ta có thể vẽ hình theo cách khác ? Học sinh đã phát hiện ra cách giải sau:

Cách 2: Lấy K là trung điểm của AB; KM là đờng trung bình của tam

giác ABC nên KM =1

2AC ( 1) ABD = MBK( c.g.c) nên KM = AD (2).

Từ (1),(2) suy ra AD = 1

2AC.

Còn có thể tạo ra đoạn thẳng trung gian khác không? Học sinh đã phát hiện ra cách giải sau:

Cách 3: Lấy K sao cho A là trung điểm của KB; AD là đờng trung bình

của tam giác BKM nên AD =1

2KM ( 1) MKB = ACB ( c.g.c) nên AC =

MK(2) Từ (1),(2) suy ra AD = 1

2AC.

Còn có thể tạo ra đoạn thẳng trung gian ở vị trí khác không? Học sinh đã phát hiện ra cách giải sau:

F

B A

K

B A

K

B A

Cách 4: Lấy K sao cho A là trung điểm của MK; AD là đờng trung bình

của tam giác BKM nên AD =1

2KB ( 1) ABK = MCA( c.g.c) nên KB =

AC (2) Từ( 1),(2) suy ra AD = 1

2AC.

Liệu còn có thể tạo ra đoạn thẳng trung gian bằng nửa AC không? Học sinh đã phát hiện ra cách giải sau:

Cách 5: Lấy M là trung điểm của AB Từ M kẻ MN // BC MN là đờng

trung bình của tam giác ABC Suy ra MN = 1

2BC Nên MN = AB AMN =

DBA Suy ra AD = AN Mà AN = 1

2 AC Nên AD =

1

2AC

Cách 6: Từ M kẻ MI // AB Suy ra MI = 1

2AB

ADB = CIM ( c.g.c).Suy ra AD= IC Mà IC= 1

2AC Nên AD=

1

2AC.

Hoàng Thị Thanh Thuỷ- Trờng THCS Thân Nhân Trung

5

K

B A

N M

B A

I

M

B A

Đã hết các vị trí có thể kẻ đờng thẳng song song cha? Học sinh đã phát hiện ra cách giải sau:

Cách 7: Lấy điểm K sao cho D là trung điểm của AK

ADM= KDB( c.g.c) Suy ra AM= KB, góc A1 = K1 Suy ra AM//

KB Nên ABK= CMA( c.g.c) Suy ra AD = 1

2AC.

Sau khi giải xong bài toán 1 tôi cho học sinh rút ra nhận xét: Có thể tạo

ra đoạn thẳng trung gian ở nhiều vị trí khác nhau Mỗi cách tạo ra lại cho ta một bài toán mới, một cách giải mới làm phong phú thêm kiến thức của mình.

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC , trọng tâm G.Một đờng thẳng d quay quanh

điểm G cắt AB ở M, AC ở N.

Chứng minh rằng:

3

AB AC

AM  AN 

I B'

M

C B

A

K

M

B A

Tôi gợi ý cho học sinh muốn tính đợc 2 tỉ số của đầu bài ta phải xem mỗi

tỉ số có thể thay bằng tỉ số nào khác ? Muốn thế ta phải có điều gì? Dựng ờng// nh thế nào? Nh vậy ta đã “chiếu” đoạn AB, AM, AC, AN trên cùng 1 đ-ờng thẳng là AC Từ đó học sinh tìm ra lời giải

Lời giải:

Từ B,C dựng BB'và CC// MN Theo định lý Ta Lét ta có AB AB

AM AG



 (1)

AC AC

AN AG



 (2)

Mặt khác dễ dàng chứng minh đợc ΔBIB = CIC  Δ ( g.c.g) => IB = IC   (3)

Từ ( 1), (2) và (3) suy ra: AB AC AB AC

AM AN AG

  

AG= 2.

3

2=3

Có thể thay đổi kết luận để đợc bài toán mới nhng cách biến đổi hoàn toàn giống với bài toán ban đầu Nhng thay đổi đó kích thích học sinh hứng thú đi tìm hớng giải quyết

Bài toán 3 ( Phát triển từ bài toán 2)

Cho tam giác ABC , trọng tâm G.Một đờng thẳng d quay quanh

điểm G cắt AB ở M, AC ở N.

Tính : BM CN

AM  AN

Hoàng Thị Thanh Thuỷ- Trờng THCS Thân Nhân Trung

7

C' I B'

M

C B

A

ở bài toán này kết luận đã ẩn mất phần hệ số, đòi hỏi học sinh phải t duy Vậy

có liên quan gì ở 2 bài toán này? Tôi cho học sinh dự đoán kết quả dựa trên kết quả của bài 1 Từ đó học sinh tìm ra cách giải sau:

Lời giải:

Từ B,C dựng BB'và CC // MN Theo định lý Ta Lét ta có:

BM B G

AM AG



 (1)

CN C G

AN AG



 (2)

Mặt khác dễ dàng chứng minh đợc BIB = CIC   ( g.c.g) => IB = IC   (3)

Từ ( 1), (2) và (3) suy ra:BM CN B G C G GI IB GI IC

AG 

Cách “ chiếu”nh trên không chỉ đúng khi biểu thức có dấu (+) mà còn

đúng trong trờng hợp biểu thức có dấu (-) Trên cơ sở nhận xét đó tôi đa ra bài toán sau:

Bài toán 4:

ChoABC Trung tuyến BM cắt phân giác CD tại P Chứng minh rằng:

1

PC AC

PD BC 

Cách 1:

Từ D kẻ đờng thẳng DI //BM Theo định lý Ta Lét ta có:

PC MC

PD IM (1)

Và AD AI

DB IM (2)

AC AD

BC DB (Tính chất tia phân giác) (3).

Từ (1),(2) và (3) suy ra:PC AC MC AI IM 1

PD BC IM IM



Cách 2:

I

P

M

D

C B

A

Từ C kẻ đờng thẳng// BM cắt AB ở I.Theo định lý Ta Lét ta có:

PC BI

PD BD (1)

Theo tính chất tia phân giác ta có:

AC AD

BC BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra:PC AC BI AD

PD BC BD



Mà BI=AB

( Theo tính chất đờng trung bình)

Suy ra:

PC AC BI AD

PD BC BD



BD  .

Cách 3:

Từ C kẻ đờng thẳng //AB cắt BM

kéo dài tại I.Theo định lý Ta Lét ta có:

PC CI

PD DB (1)

Theo tính chất tia phân giác ta có:

AC AD

BC BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

PC AC CI AD

PD BC BD



Mà CI= AB ( ABM = CIM ) Suy ra:

1

PC AC BD

PD BC BD

Cách 4:

Từ A kẻ đờng thẳng//BM cắt

CD ở E

Theo tính chất tia phân giác ta có:

Hoàng Thị Thanh Thuỷ- Trờng THCS Thân Nhân Trung

9

I

P

M

D

C

B

A

I

P

M

D

C

B

A

E

P

M

D

C B

A

AC AD

BC BD (1)

Theo định lý Ta Lét ta có:

AD ED

BD DP (2).

Từ (1) và (2) suy ra:

AC ED

BC DP 

PC AC

PC ED PD

PD PD



(Vì PC=PE theo tính chất đờng trung bình)

Cách 5:

Từ A kẻ đờng thẳng//DC cắt

BM ở I

Theo định lý Ta Lét ta có:

PC AI

PD DP

( Vì AI=PC do AIM = CPM ) (1)

AI AB

DP DB(2)

Theo tính chất tia phân giác ta có: AC AD

BC BD (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra: PC AC AB AD BD 1

PD BC BD BD BD 

Cách 6:

Từ D kẻ đờng thẳng// AC cắt

BM ở I

Theo tính chất tia phân giác ta có:

AC AD

BC BD (1)

Theo định lý Ta Lét ta có:

PC MC

PD DI

I P

M

D

C

B

A

I

D

M

P

C B

A

Mà MC= AM ( Theo giả thiết) Suy ra: PC AM

PD  DI (2)

Mà AM AB

DI BD ( Hệ quả của định lý Ta Lét) (3)

Từ(1),(2) và(3) suy ra:PC AC AB AD AB AD BD 1

PD BC BD BD BD BD



Cách 7: Từ A kẻ AK// BM Theo tính chất tia phân giác có: AC AD

=

(1)

PM là đờng trung bình của tam giác AKC nên PC = PK

Suy ra

PD

PC

=

PD

PK

=

BD

AB

(1)

Từ(1) và (2) suyra: PC AC AB AD AB AD BD 1

PD BC BD BD BD BD



Sau khi cho học sinh làm các bài tập ở dạng này tôi cho học sinh rút

ra phơng pháp giải chung của dạng toán a c

h

b d  là: Biến đổi các tỉ số của

đầu bài thành tỉ số của các đoạn thẳng trên cùng 1 đờng thẳng.

PHầN III- Kết quả nghiên cứu và ứng dụng của đề tài

Trên đây là nội dung đề tài “Tìm nhiều cách giải cho 1 bài toán hình học lớp 8" mà tôi đã thực tiễn giảng dạy.Qua đó tôi muốn giúp ngời đọc, học sinh

có một hớng suy nghĩ rõ ràng và rành mạch, có một cái đích cần hớng tới khi giải bài toán có sử dụng kiến thức này Trong nội dung đề tài có sử dụng một số

ví dụ minh hoạ qua đó nhận thấy rằng không phải tất cả, nhng trong nhiều trờng

Hoàng Thị Thanh Thuỷ- Trờng THCS Thân Nhân Trung

11

K

P D

B

A

hợp rõ ràng ta có thể khai thác từ một bài toán thành nhiều bài toán từ dễ đến khó

Trong quá trình dạy toán giáo viên cần giúp cho học sinh có một thói quen phân tích, tự mình tìm ra kiến thức và phơng pháp Hơn thế, với đối tợng HSG cần tạo cho các em có thói quen tìm tòi, sáng tạo Với việc áp dụng phơng pháp giảng dạy nh trên, tôi nhận thấy học sinh bớc đầu đã có những chuyển biến tích cực, học sinh đã có hứng thú hơn trong học tập Đứng trớc mỗi bài toán các em

đã biết cách phân tích, tự mình tìm ra hớng đi thích hợp Một số em không những giải đợc các bài toán khó thuộc chuyên đề mà còn có những sáng tạo trong cách giải và đề xuất ra những bài toán mới Đây thực sự là những phẩm chất hết sức cần thiết cho việc phát triển những tài năng toán học sau này

Sau nhiều năm thể nghiệm phơng pháp giảng dạy trên Tôi thấy đa số các giờ trên lớp các em đã tự giác chủ động tiếp cận kiến thức Các giờ luyện tập

đợc tiến hành hết sức nhẹ nhàng, giáo viên thật sự chỉ là ngời tổ chức; học sinh đợc phát huy hết khả năng sáng tạo của mình Từ chỗ còn nhiều em ngại học toán đến nay 80% học sinh đã tự tin, hào hứng trong học tập Kết quả cuối năm về bộ môn cũng tăng lên rõ rệt Cụ thể đối với môn toán của lớp 8 mà tôi trực tiếp giảng dạy

Có 57% Giỏi; 23% Khá; còn lại trung bình, không có yếu Có10 học sinh

đạt giải cấp huyện( trong đó có 2 Nhất, 3 Nhì, 3 Ba, 2 KK).8 HS đạt giải cấp Tỉnh( trong đó có 2 Nhất, 2 Nhì, 1 Ba, 3 KK) Đây thực sự là nguồn cổ vũ

động viên rất lớn thầy và trò trong quá trình học tập

Qua thời gian thể nghiệm phơng pháp tôi rút ra một số bài học kinh

nghiệm sau đây:

Trong giảng dạy về chuyên đề này giáo viên phải sắp xếp bài tập từ dễ đến khó Tìm mối liên quan giữa các bài toán

Cần lựa chọn các dạng bài tập phổ biến, trong mỗi dạng lại lựa chọn những bài tập điển hình bao trùm các bài tập khác

Luôn tạo cho học sinh thói quen phân tích kỹ bài toán trớc khi trình bày lời giải Sau khi tìm ra một cách giải cần khích lệ học sinh tìm ra nhiều cách giải khác, trên cơ sở đó chọn cách giải phù hợp tránh dài dòng khó hiểu

Không nên coi thờng bài tập đơn giản vì chính các bài tập trong SGK là cơ

sở ban đầu để khai thác phát triển thành các bài tập khó

Cần tạo không khí thoải mái trong giờ học, khuyến khích các em học tập lẫn nhau, thờng xuyên có sự giao tiếp giữa trò với trò, thày với trò