SKKN Kỹ năng giải một số bài toán hình học phẳng trong hệ tọa độ Oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚCTRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN LẠC

BÁO CÁO KẾT QUẢSÁNG KIẾN KINH NGHIỆMTên sáng kiến:

KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNGTRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY

Người thực hiện: ĐÀO THỊ BÍCH LIÊN Mã: 52

1.3 Nhiệm vụ nghiên cứu……… 5

1.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 5

1.5 Phương pháp nghiên cứu……… 5

1.6.Thời gian và địa điểm thực hiện……… 5

6PhầnI Tóm tắt lý thuyết………

I Lý thuyết về điểm và véc tơ:7I.1 Tọa độ véc tơ……… 7

I.2 Tọa độ điểm……… 7

I.3 Liên hệ giữa tọa độ 2 véc tơ vuông góc , cùng phương……… 8

II Lý thuyết về đường thẳng……… 8

II.1 Phương trình tổng quát của đường thẳng……… 8

II.2 Phương trình tham số của đường thẳng……… 8

II.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng……… 9

II.4 Chuyển dạng phương trình đường thẳng……… 9

II.5 Một số trường hợp riêng của phương trình đường thẳng……… 10

II.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng……… 11

II.7 Vị trí tương đối của 2 điểm đối với 1 đường thẳng……… 12

II.8 Góc giữa 2 đường thẳng và vị trí tương đối của 2 đường thẳng……… 13

Phần II Một số dạng toán cụ thể………

I MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG 14

I.1 Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng 14

I.2 Dạng 2 Một số bài toán về tìmđiểm 19

I.3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 24

II BÀI TOÁN TAM GIÁCII.1 LÝ THUYẾT BÀI TOÁN TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN.II.1.1 Các đường trong tam giác 26

II.1.2 Các tính chất tamgiác 28

II.1.3 Phương pháp chung để giải một bài toán tam giác 29

III BÀI TOÁN VỀ TỨGIÁC 48

III.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TỨGIÁC 48

III.2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ TỨGIÁC 48

148 Những thông tin cần được bảo mật……….77

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 7710 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng

BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN1 Lời giới thiệu

1.1 Lý do chọn đề tài

Hình học phẳng trong hệ tọa độ Oxy là một lớp bài toán có vị trí đặc biệt quan trọng trongchương trình toán học trung học phổ thông Nó xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng nhưkì thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với rất nhiều dạng toán mà phương pháp giảichúng lại chưa được liệt kê trong sách giáo khoa

Việc tìm phương pháp giải cũng như việc xây dựng các phương pháp giải mới là niềm say mêcủa không ít người, đặc biệt là những người giáo viên đang trực tiếp dạy toán Chính vì vậy, để đápứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tôi đã chọn đề tài “KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNHHỌC PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXY” làm đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm Đề tàinhằm một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp để có thể phục vụ thiếtthực cho việc giảng dạy của mình trong trường phổ thông.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Với mong muốn tập hợp và phân loại một số dạng toán về điểm và đường thẳng trên hệ trục Oxy.

- Hướng dẫn học sinh kỹ năng nhận dạng, biến đổi, khả năng suy luận lôgic, tư duy thuật toán, kỹ năngquan sát, phân tích, tổng hợp, đề từ đó giải được một số bài toán về tọa độ trong hình học phẳng Quađó giúp học sinh trở thành người yêu lao động, sáng tạo, có trình độ tay nghề cao, biết quy lạ về quen,quyết đoán trước các vấn đề mới mẻ, tình huống bất ngờ thường gặp trong cuộc sống.

- Hơn nữa cũng giúp chính bản thân có cái nhìn tổng quát và rõ nét hơn về bài toán tọa độ trong hìnhhọc phẳng để nâng cao trình độ chuyên môn trong giảng dạy và công tác.

1.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số phương pháp giải bài toán hình học phẳng trên hệ tọa độ Oxy.

1.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Bài toán hình học phẳng trên hệ tọa độ Oxy.

- Phạm vi nghiên cứu: Giải bài toán hình học phẳng trên hệ tọa độ Oxy áp dụng trong giảng dạythi học sinh giỏi và ôn thi Đại học cho học sinh lớp 10A1.2, 11A1.1, 11A4 trường Trung họcphổ thông Yên Lạc.

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kiến thức cơ bản của phương pháp đã nêu ở trên và kỹ năng biến đổi để giải bài toánhình học phẳng trên hệ tọa độ Oxy

1.6 Thời gian và địa điểm thực hiện

- Thời gian thực hiện: Từ tháng 08 đến tháng 02 năm học 2018-2019- Địa điểm thực hiện: Trường THPT Yên Lạc

2.Tên sáng kiến:

“KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘOXY”

3.Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: ĐÀO THỊ BÍCH LIÊN

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc.

- Số ĐT: 0358893258 Email: ngocmai.lientuan@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Không có chủ đầu tư, người làm sáng kiến tự đầu tư các chi phí liên quan đến đề tài.

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Dạy học cho học sinh THPT.

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 05 / 02 / 2019.7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Nội dung sáng kiến chia làm 4 phần:

Phần I Tóm tắt lý thuyết.

I Lý thuyết về điểm và véc tơ:I.1 Tọa độ véc tơ.

I.2 Tọa độ điểm.

I.3 Liên hệ giữa tọa độ 2 véc tơ vuông góc , cùng phương.II Lý thuyết về đường thẳng.

II.1 Phương trình tổng quát của đường thẳng.II.2 Phương trình tham số của đường thẳng.

II.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng.II.4 Chuyển dạng phương trình đường thẳng.

II.5 Một số trường hợp riêng của phương trình đường thẳng.II.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

II.7 Vị trí tương đối của 2 điểm đối với 1 đường thẳng.

II.8 Góc giữa 2 đường thẳng và vị trí tương đối của 2 đường thẳng.

Phần II Một số dạng toán cụ thể

I MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNGI.1 Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng

I.2 Dạng 2 Một số bài toán về tìm điểmI.3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

II BÀI TOÁN TAM GIÁC

II.1 LÝ THUYẾT BÀI TOÁN TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN.II.1.1 Các đường trong tam giác

II.1.2 Các tính chất tam giác

II.1.3 Phương pháp chung để giải một bài toán tam giác III BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC

III.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TỨ GIÁCIII.2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ TỨ GIÁC

- Phần III: Kết quả thực nghiệm.- Phần IV: Kết luận và kiến nghị.

KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

HÌNH HỌC PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY

PHẦN 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾTI LÝ THUYẾT VỀ ĐIỂM VÀ VÉC TƠ

I.1 Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy

1) a= (a1; a2) <=> a= a1 i +a2 j

2) Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2) Ta có:

a b = (a1b1; a2b2)3) Cho a= (a1; a2), b= (b1; b2) Ta có:

a.b= a1b1 + a2b2

221 a

thì 

Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 

Nếu G là trọng tâm  ABC thì 

I.3 Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương

Cho a= (a1; a2), b = (b1; b2) Ta có:

1) a  b  a.b= 0  a1b1 + a2b2 = 02) a cùng phương với b  a1b2 - a2b1 = 0

3) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương

II LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG THẲNG

II.1 Phương trình tổng quát của đường thẳnga) Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa 1

Véc tơ n khác 0, có giá vuông góc với đường thẳng  được gọi là véc tơ chỉ pháp tuyến (vtpt)của đường thẳng 

Nhận xét 1

-Nếu véc tơ n là một véc tơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng  thì mọi véc tơ kn, với k 0

đều là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Với mỗi điểm I và véc tơ n khác 0 có duy nhất 1 đt đi qua I và nhận véc tơ n làm véc tơ pháptuyến.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

-Trong mp tọa độ Oxy, mỗi đường thẳng  đi qua điểm MO(xo;yo) và nhận n(a b)làm véc tơpháp tuyến đều có phương trình tổng quát dạng: a(x - x0) + b(y - y0) = 0

 ax + by - axo-b y0) = 0 (với 220b

Véc tơ u khác 0, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng  được gọi là véc tơ chỉ phươngcủa đường thẳng 

-Nếu véc tơ u là một véc tơ chỉ phương, n là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng  thì u.n=0.

-Nếu đường thẳng  có véc tơ pháp tuyến n(a b) thì  có véc tơ chỉ phương u(-b; a) vàngược lại.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm MO(xo;yo) cho trước và có véctơ chỉ

phương u(a b) cho trước có dạng:

, (a2b20, t R)

II.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong phương trình tham số của đường thẳng, nếu a 0, b0 thì đường thẳng  nói trên có

phương trình chính tắc là 00.

Chú ý: Khi a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.II.4 Chuyển dạng phương trình đường thẳng

Phương pháp chung:

a.Cho đường thẳng (d) có phương trình dạng tham số

, ( 220b

a , t R) (I) Ta có: +) Nếu ab 0 thì khử t từ hệ (I), ta được pt chính tắc của d là 00.

(Ia) Từ pt (Ia)  b(x-x0) – a(y- y0 ) = 0 , biến đổi tiếp pt này ta đc PTTQ của (d)

+) Nếu a=0 thì phương trình tổng quát của (d) là x-x0= 0, (d) không có phương trình chính tắc +) Nếu b =0 thì phương trình tổng quát của (d) là y- y0= 0, (d) không có phương trình chính tắc.b Để chuyển phương trình của (d): Ax+ By + C=0 về dạng tham số, chính tắc, ta làm như sau:Bước 1: Gọi u là vtcp của (d), ta có u(-B; A).

Bước 2: Tìm một điểm MO(xo;yo) (d).Bước 3: KL

- Phương trình tham số của (d) là xx0  Bt

, (t R).

-Phương trình chính tắc của (d) là

x 0  0

( trong trường hợp AB 0).

II.5 Một số trường hợp riêng của phương trình đường thẳng

Dựa trên cơ sở lập phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số của đường thẳng ta chứng minhđược các kết quả sau:

5.1 Phương trình trục hoành Ox: y = 0.5.2 Phương trình trục tung Oy: x = 0.

5.3 Phương trình đt đi qua điểm MO(xo;yo) và song song với trục hoành (vuông góc với trụctung): y - y0= 0

5.4 Phương trình đt đi qua điểm MO(xo;yo) và song song với trục tung ( vuông góc với trụchoành): x - x0= 0.

5.5 Phương trình đt đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và có véc tơ pháp tuyến n(a b)là: ax + by = 0.

5.6 Phương trình đt đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b), với ab 0 là 1

( phương trình đttheo đoạn chắn)

5.7 Phương trình đt đi qua hai điểm phân biệt M(x1;y1)và N(x2;y2)là

( Áp dụng khi x 1 x2và y 1 y2)

- Nếu x 1 x2 thì MN: x = x1

- Nếu y 1 y2 thì MN: y = y1.

5.8 Phương trình đt  theo hệ số góc

*) Xét đường thẳng  có phương trình tổng quát ax+by+c = 0.- Nếu b 0 thì pt trên được đưa về dạng y = kx + m, với k =

 , m =



Khi đó k là hệ số góc của đt  , pt y = kx + m gọi là pt của  theo hệ số góc

+) Nếu k 0, gọi M là giao điểm của  với trục Ox và tia Mt là tia nằm phía trên trục Ox Khi đónếu  là góc hợp bởi tia Mt với tia Mx thì k = tan

II.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Trong mp tọa độ Oxy, cho đường thẳng  có phương trình Ax + By + C = 0, với 220B

A và điểmM0(x0; y0)

Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng  được kí hiệu là d((M0; ) và được tính bằng côngthức: d(M0; ) = 0 2 0 2

*) Ứng dụng:

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳngTrong mp tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng 1 và 2cắt nhau:

(1): a1x + b1y + c1 = 0 (1) (a12b12 0)(2): a2x + b2y + c2 = 0 (2) (a22b22 0)

d(M; 1) = d(M; 2 ) Suy ra phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng 1 và2

II.7 Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng

Trong mp tọa độ Oxy, cho đường thẳng : ax + by + c = 0, với a2b20 và 2 điểm M(x1;y1)và

)y;(x2 2

Xét tích T = ( ax1+by1+c) ( ax2 +by2+c).

- Nếu T < 0 thì M, N nằm về hai phía so với .

- Nếu T > 0 thì M, N nằm về cùng một phía so với .

- Nếu T = 0 thì M hoặc N nằm trên .

II.8 Góc giữa hai đường thẳng1.Định nghĩa

Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là gócgiữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b.

Khi a song song hoặc trùng b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 00

- Góc giữa hai đường thẳng a và b được kí hiệu là (a, b) Góc này không vượt quá 900.*) Nhận xét

Nếu hai đường thẳng a và b lần lượt có các vectơ pháp tuyến là n1 và n2 thì (a,b) = (n1,n2), nếu (n1,n2) 900

(a,b) = 1800 - (n1,n2), nếu (n1,n2) > 900

2 Cách tính góc giữa hai đường thẳng

Trong mp tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng 1 và 2 cắt nhau: (1): a1x + b1y + c1 = 0 (1) (a12b12 0)(2): a2x + b2y + c2 = 0 (2) (a22b22 0)

Hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt có các vectơ pháp tuyến là n1 và n2, ta có: cos(1 , 2 ) = cos(n1,n2) =

. abb

*) Chú ý: Có thể dùng công thức cos(1 , 2 ) = cos(u1,u2) =

, với u1, u2 lần lượt là cácvectơ chỉ phương của hai đường thẳng 1 và 2

*) Nhận xét: +) 1  2  a1a2 + b1b2 = 0

+) Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng y = kx + b và y' = k'x + b ' vuông góc nhau là k.k ' =- 1.

II.9.Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mp tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng:

(1): a1x + b1y + c1 = 0 (1) (a12b12 0)(2): a2x + b2y + c2 = 0 (2) ( 2 0

 0 b) Hai đường thẳng 1, 2 song song nhau 

= 0 và

 0 hoặc

= 0 và

 0 c) Hai đường thẳng 1, 2 trùng nhau 

=

=

= 0.Trong trường hợp a2; b2; c2 đều khác 0, ta có:

-) 1 cắt 2 

 21

Khi đó tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ 2 ph trình (1) và(2)

-) 1 // 2 21

= 21

 21

-) 1  2

aa =

bb =

Đặc biệt: 1 2 <=> a1a2 + b1b2 = 0

PHẦN 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN

I MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNGI.1 Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng

Bài toán 1

Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng  cho trước và thỏa mãn điều kiện Knào đó.

Dạng 2 Một số bài toán tìm điểm

Bài toán 1 Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thằng(d).Bài toán 2 Xác định điểm N đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d).

Bài toán 3 Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) và thỏa mãn điều kiện K.

I.1 Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳngPhương pháp chung

*) Nếu biết một điểm thuộc đường thẳng thì cần xác định thêm một số các yếu tố sau của đường thẳng+) Véc tơ chỉ phương.

+) Véc tơ pháp tuyến.+) Hệ số góc.

+) Một điểm khác thuộc đường thẳng.

*) Có thể giả sử phương trình của đường thẳng cần tìm có dạng x = hoặc y = ax + b.Từ các giả thiết của bài toán, tìm được hoặc a, b.

*) Có thể giả sử phương trình của đường thẳng cần tìm có dạng ax + by + c = 0 ( Từ cáccác giả thiết của bài toán, tìm được a, b, c.

Bài toán 1

Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng  cho trước và thỏa mãn điều kiệnK nào đó.

Phương pháp:

*) Nếu phương trình đường thẳng  có dạng: Ax + By+ C = 0 thì ta làm như sau:

- Vì d song song với  : Ax + By+ C = 0 nên phương trình d có dạng: Ax + By + C’ = 0 (C’C)- Dựa vào điều kiện K, ta xác định C’.

- KL phương trình đường thẳng (d).

*) Nếu phương trình đường thẳng  có dạng tham số ( hoặc chính tắc) và  có vtcp u(a;b) thìđường thẳng  có vtpt n(-b;a)  (d) có pt dạng : -bx+ay+c = 0.

Dựa vào điêu kiện K tìm c, suy ra phương trình đường thẳng (d).

VD1 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(3; 4) và song song với  : 2x + 3y - 5= 0.LG: -Vì d song song với  : 2x + 3y - 5= 0 nên phương trình d có dạng 2x + 3y + C’= 0

- Vì M(3; 4) d nên 2.3+3.4+ C’ = 0  C’ = -18 Vậy phương trình đường thẳng d là 2x + 3y – 18 = 0

VD2 Viết phương trình đường thẳng song song với đt  : 8x -6y - 5= 0 và cách  một khoảng bằng

LG: - Gọi  ’ là đt cần tìm.

-Vì  ’ song song với  : 8x -6y - 5= 0 nên phương trình  ’ có dạng 8x -6y + C’= 0.

- Điểm M(x; y)   ’ nên d(M;  )= d(  ’;  ) = 5 5

 xy

 8x -6y - 5= 50 Vậy có hai đường thẳng cần tìm là

'1

 : 8x -6y +45= 0 và '2

 : 8x -6y -55= 0.

Bài toán 2 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng  cho trước và thoả

mãn điều kiện K nào đó.Phương pháp chung

*) Nếu phương trình đường thẳng  có dạng: Ax + By+ C = 0 thì ta làm như sau:

- Vì d vuông góc với  : Ax + By + C = 0 nên vtcp u(-B; A) của  là vtpt của đường thẳng d 

phương trình d có dạng: – Bx + Ay + C’ = 0 - Dựa vào điều kiện K, ta xác định C’.- KL phương trình đường thẳng (d).

*) Nếu phương trình đường thẳng  có dạng tham số ( hoặc chính tắc) và  có vtcp u(a;b) thì vìđường thẳng  vuông góc với d nên d có vtpt n(a;b)  (d) có pt dạng : ax+by+c = 0.

VD: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-3; 2) và vuông góc với đường thẳng

 : x -2y + 10 = 0.

- Vì d vuông góc với  : x -2y + 10 = 0 nên phương trình d có dạng: 2x +y + C’ = 0- Vì điểm M(-3; 2) thuộc d nên 2.(-3)+2 + C’ = 0  C’= - 4.

Vậy phương trình đường thẳng d là : 2x +y - 4 = 0.

Bài toán 3 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M x y và tạo với đường thẳng d cho0 0; 0

trước một góc  cho trước.Phương pháp chung

Sử dụng kiến thức về điểm thuộc đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng.VD: Viết phương trình đường thẳng

a) Qua điểm M(-2; 0) và tạo với đường thẳng d: x + 3y – 3 = 0 một góc 450;

b) Qua điểm N(-1; 2) và tạo với đường thẳng d:

=

22 BA

 5(A2B2)A3B2  2A23AB2B20 

+) Với A=2B, chọn B=1, A=2, ta được pt đt  1: 2x+y+4=0+) Với A=-

B, chọn B=-2, A=1, ta được pt đt  2: x-2y+2=0.

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn bài toán là  1: 2x+y+4=0 và  2: x-2y+2=0.b) Gọi u(a; b) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng  cần tìm (a2b20).Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương v (3; -2).

 tạo với đường thẳng d một góc 600  cos600=



21 =

 13(a2b2)43a2b2  23248320

 abba

 a = b

24  hoặc a = b

2350724 

+) Với a = b

24  , chọn b=1, a =

24  , ta được pt đt  1:

2 2350724

+) Với a = b

24  , chọn b =1, a =

24  , ta được pt đt  1:

2 2350724

Hướng dẫn

Cách 1:

Đường thẳng 1 có VTPT n1 (1; 2), đường thẳng 2 có VTPT n2 (3;-1)

Đường thẳng  qua điểm M nên có pt A(x-1)+B(y+3) = 0 hay Ax+By-A+3B=0 (A2B20).

Đường thẳng tạo với hai đường thẳng 1, 2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1 và 2nên có cos( = cos( )

 2 2 2 2 21 2

Từ pt (*) , tìm A theo B rồi chọn cặp số (A; B) và viết pt đt .

Cách 2:

- Lập pt hai đường phân giác d1, d2 của góc tạo bởi 1 và 2.

- Viết pt hai đt  1,  2 đi qua điểm M và lần lượt vuông góc với hai đường phân giác d1, d2

- Hai đt  1,  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng  thỏa mãn kiều kiện nào đó về khoảng cách.

VD1: Cho hai điểm M(1; 1) và N(3; 6) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và cách Nmột khoảng bằng 2.

LG:

+) Đường thẳng  qua điểm M(1; 1) nên có pt:

A(x-1)+B(y-1) = 0 hay Ax+By-A-B=0 (A2B20).

+) Đường thẳng  cách B một khoảng bằng 2  d(N, ) = 2  3 62 2

=2  B(21B + 20A) = 0

 B = 0 hoặc 21B + 20A = 0.

- Với B=0, chọn A=1, ta được pt đt  1: x -1=0.

- Với 21B + 20A = 0, chọn B =-20, A=21, ta được pt đt 2 : 21x- 20y- 1=0.

VD2: Cho ba điểm A(1; 1) và B(2; 0), C(3; 4) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A vàcách đều hai điểm B, C.

HD: -Đường thẳng  đi qua điểm A có phương trình: xy=0 ( 220

 yx

 8x-6y-5= 50.Vậy có hai đương thẳng cần tìm là  1: 8x –6y + 45 =0 và 2 : 8x- 6y - 55=0.

Bài toán 6 Tìm pt đt d'đối xứng của đt d qua điểm I cho trước.

Phương pháp chung:

- Lấy một điểm cụ thể A thuộc d.

- Tìm điểm B đối xứng với A qua I thì B thuộc d'.

- Viết pt đt d'đi qua B và song song với d

I.2 Dạng 2 Một số bài toán về tìm điểm

Bài toán 1 Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thằng(d).

Phương pháp chung

Ta lựa chọn một trong ba cách sau:Cách 1: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Viết pt đt (Mx) thỏa mãn: (Mx):

Bước 2: Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thằng(d) thì H = (Mx) (d).Cách 2: Giả sử (d) cho dưới dạng tổng quát: Ax + By + C = 0 ( 220

Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Ta có

(I) Bước 2: Gỉải hệ (I) ta được tọa độ điểm H.

Cách 3: Giả sử (d) cho dưới dạng tham số: 

atxx 0

, t R.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thằng(d) thì H (d), suy ra: H(x0 at ;y0 bt)  tọa độ MH

Bước 2: Vì MH  u(a b)  MH u = 0 (*) Từ pt (*) tìm t rồi suy ra tọa độ H.

Lưu ý:

1.Nếu điểm M(x0;y0 ) thì hình chiếu H của điểm M trên +) Trục Ox là H(x0; 0).

+) Trục Oy là H(0; y0).

2 Nếu điểm M không thuộc (d) thì d(M; (d)) nhỏ nhất là bằng MH.

Bài toán 2 Xác định điểm N đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d).

Cách 2: Giả sử (d) cho dưới dạng tổng quát: Ax + By + C = 0 Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi H là trung điểm của MN, Ta có

 

 

(I) Bước 2: Gỉải hệ (I) ta được tọa độ điểm N.

Ta lựa chọn một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Tận dụng pt đường thẳng (d) cho trước.Cách 1: Nếu (d) cho dưới dạng tham số:

, t R.

Bước 1: Lấy điểm M thuộc đường thằng(d), suy ra M(x0 at ;y0 bt)

Bước 2: Dựa vào điều kiện K xác định t.

Cách 2: Nếu (d) cho dưới dạng tổng quát: Ax + By + C = 0 ( 220B

Bước 1: Lấy điểm M(xM;yM) thuộc đường thằng(d), suy ra AxM + ByM + C = 0 Bước 2: Dựa vào điều kiện K thiết lập thêm một pt cho xM , yM Từ đó tìm ra M.Lưu y: Cũng có thể chuyển pt của (d) về dạng tham số để thực hiện theo cách 1.

Hướng 2: Sử dụng điều kiện K để khẳng định M thuộc đường (L), khi đó (d) (L) = M VD1 Cho đường thẳng (d) có phương trình: (d):

, t R Tìm điểm M thuộc (d) và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5.HD: - Vì M thuộc (d) nên M(2+2t; 3+t) Khi đó:

5 = AM  5= 22t2(22t)2  5t 2 +12t-17=0  t1 1, t2

.+) Với t1 1, có M1(4; 4)

+) Với t2

, có M2( ).52-524

x  )Min = 45 đạt được khi yM =6  M(-3; 6).

Cách 2: Chuyển phương trình: (d) về dạng tham số, làm theo cách 1 trong lí thuyết.

VD3 Cho hai điểm A(1;6), B(-3; -4) và đường thẳng (d) có phương trình: (d): 2x – y -1 = 0.Tìm trên đường thẳng (d) điểm M sao cho (MA+MB) nhỏ nhất.

HD:Tacó A, B ở cùng phía đối với đường thẳng (d) (hình vẽ).

Đ/S: M(0; 1).

Lưu ý: Trường hợp A, B ở khác phía đối với đường thẳng (d), ta làm như sau:

Gọi P = (d)  AB, khi đó MA+MB  AB, dấu đẳng thức xảy ra khi M P  (MA+MB) nhỏ nhất khi M = (d)  AB

VD4 Cho hai điểm A(4;1), B(0; 4) và đường thẳng (d) có phương trình: (d): 3x – y -1 = 0.Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho MA MB lớn nhất.

HD:Tacó A, B ở khác phía đối với đường thẳng (d) và AB không cùng phương với đường thẳng (d)(hình vẽ).

Gọi C là điểm đối xứng với A qua (d), H là hình chiếu của A lên (d) Với mọi điểm M trên (d), ta có:

MBMA 

+) Xác định được C(-2; 3).

+) Lập đc pt (BC): x-2y+8 = 0.+) Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm hệ pt

Đ/S: M(2; 5).

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài1 Trong mp Oxy, cho điểm M(-1;2) và đường thẳng d: x-2y+1=0 Viết pt đt  đi qua M thỏa

mãn 1 trong các điều kiện sau:

a)  vuông góc với d b)  tạo với d một góc 600.c) Khoảng cách từ điểm A(2;1) đến  bằng 1.

Bài 2 Trong mp Oxy, cho điểm M(

 ) Viết pt đt  qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần

lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

trong đó O là gốc tọa độ.

Bài 3 Trong mp Oxy, cho điểm M(4;1) Một đt  qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A(a;0) và B(0;b) với a,b>0 Viết pt đt  sao cho:

a) SOAB nhỏ nhất b) OA+OB nhỏ nhất c) 12 12

OA  nhỏ nhất.

Bài 4 Trong mp Oxy, cho đường thẳng d: 2x-y-2=0 và điểm I(1;1) Viết pt đt  tạo với d một góc

45 và cách I một khoảng bằng 10

Bài 5 Trong mp Oxy, cho 2 điểm A(-2; 2), M(3;1) Viết pt đt  qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy

lần lượt tại các điểm B, C sao cho:

a) Tam giác ABC vuông tại A b) Tam giác ABC cân tại A.

Bài 6 Trong mp Oxy, viết pt đt d đối xứng với đt q: x+ y – 1= 0 qua đt p: x-3y + 3= 0.Bài 7 Cho đt d:

tx 23

, t R và điểm B(2; 1)

a)Tìm giao điểm của d với hai trục Ox, Oy b) Tìm trên d điểm M sao cho đoạn BM ngắn nhất.

Bài 8 Cho hai đt d: (m+1)x -2y-m-1 = 0 và d' : x+(m-1)y - m2 =0.a) Tìm giao điểm I của d và d'

b) Tìm điều kiện của m để I nằm trên trục Oy.

Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng :x7y17 0 ;

5 0 

x y Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với một tam giác cântại giao điểm của

Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1: 2x y 5 0.d2: 3x + 6y – 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt

hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.

Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y + 1 = 0, d2 : 2x – y –1 = 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1;–1) cắt d1 và d2 tương ứng tại A và B saocho 2  0

MA MB

Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình 2x –

y + 3 = 0 Lập phương trình đường thẳng  qua A và tạo với d một góc α có cosα  110.

Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua

M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất.

Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), d(3;5) Tìm toạ độ

điểm M thuộc đường thẳng ( ) :3x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằngnhau.

Bài 15( CĐ- 2014) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(-2; 5) và đường thẳng d:

3x-4y+1 = 0 Viết ph.trình đường thẳng qua A và vuông góc với d Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao choAM = 5.

II BÀI TOÁN TAM GIÁC

II.1 LÝ THUYẾT BÀI TOÁN TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN.II.1.1 Các đường trong tam giác

1 Đường trung tuyến, đường trung bình:

Xét tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB, ta có:- Các đường trung tuyến trong tam giác ABC là AM, BN, CP.

- Các đường trung tuyến trong tam giác ABC đồng quy tại điểm G, G là trọng tâm của tam giác ABC.

- Tọa độ trọng tâm G: 

- Độ dài trung tuyến: AG =

- Diện tích tam giác: SABC 3SGBC 3SGCA 3SGAB

- Nếu D là điểm đối xứng của G qua M, ta có BGCD là hình bình hành.- Các đường trung bình trong tam giác ABC là MN, PN, MP.

- Có MN// AB, MN = AB

, MNBA

 ,

2 Đường cao: a) Định nghĩa:

Đường cao là đường nối đỉnh và chân đường vuông góc hạ từ đỉnh đó đến cạnh đối diện.

thì BHCK là hình bình hành Khi đó HK cắt BC tại trung điểm I của mỗi đường và OI12AH

+) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, ta có ba điểm H, G, O thẳng hàng và OH 3OG +) Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AH, BH, CH và đường tròn (O), ta có M, N, P lần lượt đốixứng với H qua BC, AC, AB.

+) Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của AH, BH, CH với các cạnh BC, AC, AB, ta cm được H là tâmđường tròn nội tiếp tam giác DEF.

+)

S AD.BC =

BE.AC =

3 Đường phân giáca) Định nghĩa:

*) Đường phân giác trong của tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và chia góc ở đỉnh của

tam giác thành hai góc bằng nhau.

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác.

- Khi tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ta chỉ cần tìm giao điểm của 2 đường phân giáctrong của tam giác.

*) Đường phân giác ngoài của tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và chia góc bù với

góc ở đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau.

- Tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC là giao điểm của đường phân giác trong của gócA và hai đường phân giác ngoài xuất phát từ hai đỉnh còn lại trong tam giác.

Nhận xét: Đường phân giác trong và đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác luôn vuông gócvới nhau.

+) Ba đường phân giác trong xuất phát từ 3 đỉnh của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này là tâmđường tròn nội tiếp tam giác.

+) Nếu AD là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC thì có DCACAB

BD. (hình vẽ)

+) Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J, bán kính r, ta có:

-) r = d(J; BC) = d(J; AC) = d(J; AB)

-) Công thức liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích tam giác: r =

4 Đường trung trực

- Đường trung trực đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của đoạn AB.- Giao điểm của hai đường trung trực của 2 cạnh của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiác đó.

II.1.2 Các tính chất tam giác1 Tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:+) AB  AC.

Bước 2(Chỉ làm trong tư duy, không cần viết vào lời giả của bài toán):

- Phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố đã biết và các yếu tố cần tìm thông qua giả thiết của bàitoán và các kiến thức đã học

- Sắp xếp các điểm (các đường) theo thứ tự từ nhiều giả thiết đến ít giả thiết.Bước 3: Tiến hành làm cụ thể bước 2:

-Tìm tọa độ các điểm, phương trình các đường (nếu cần) theo thứ tự từ nhiều giả thiết đến ít giảthiết

- Trả lời câu hỏi.

*) Gợi ý một số hướng tư duy để thực hiện phương pháp giải trong mỗi bài toán tam giác:

-Nếu bài toán liên quan đường cao hay trực tâm trong tam giác thì nghĩ đến tính vuông góc, tứ giác nộitiếp

-Nếu bài toán liên quan đến đường trung tuyến thì nghĩ đến tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, -Nếu bài toán liên quan tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì nghĩ đến đường trung trực trong tam giác và khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đến các đỉnh của tam giác bằng nhau -Nếu bài toán liên quan đường phân giác trong trong tam giác thì nghĩ đến tính đối xứng từ điểm đã biết qua đường phân giác của góc đó

-Nếu bài toán liên quan tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác thì cần sử dụng đến định nghĩa và tính chất tâm đường tròn bàng tiếp của góc trong tam giác ( liên quan đến khoảng cách).

- Nếu bài toán cho điểm thuộc đường thẳng đã có pt thì có thể tham số hoá toạ độ điểm đó theo pt đt, ………

*) Để thực hiện phương pháp giải bài toán tam giác, học sinh phải nắm chắc hai kĩ thuật sau:+) Kĩ thuật tìm tọa độ các điểm trong bài toán tam giác, thực hiện theo thứ tự sau:

- Thứ 1: Tìm tọa độ các điểm có từ 2 giả thiết trở lên.- Thứ 2: Tìm tọa độ các điểm có 1 giả thiết:

+) Cách 1: Nếu điểm này thuộc d đã biết pt thì làm như sau:

Chuyển d về dạng tham số  biểu diễn tọa độ điểm cần tìm theo t, lập pt ẩn t, giải pt theo t, suy ra tọađộ điểm cần tìm.

+) Cách 2: Gọi điểm cần tìm có tọa độ (x ;oyo), dựa vào quan hệ của điểm này với giả thiết, tínhchất các đường đã biết thiết lập hệ pt ẩn (x ;oyo) Giả hệ tìm (x ;oyo).

+) Kĩ thuật viết phương trình đ ư ờng thẳng trong bài toán tam giác.

Cách 1: - Tìm tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng cần viết.

Cách 2: - Tìm tọa độ một điểm thuộc đường thẳng cần viết.

- Tìm vtpt hoặc vtcp của đường thẳng cần viết ( dựa vào quan hệ giữa đường thẳng cần tìm vàđường thẳng đã biết phương trình, công thức tính khoẳng cách, công thức tính cos của góc góc tạo bởiđường thẳng cần viết với một đường thẳng đã biết phương trình, )

- Viết phương trình đường thẳng cấn tìm.

Chú ý: Có những bài toán, việc vẽ chính xác hình theo giả thiết và bằng mắt quan sát ta nhận biết được

các tính chất hình học đặc biệt của bài toán như vuông góc, song song, là then chốt của bài toán Đểgiải quyết kiểu bài toán này, trong quá trình giải toán ta cần thực hiện 3 bước:

+) Vẽ chuẩn hình phát hiện tính chất hình học ( nếu có) +) Chứng minh tính chất hình học đã dự đoán.

+) Sử dụng công cụ giải tích để kết thúc bài toán.

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1( ĐH-D2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm

của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0và 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC.

Bước 2: Phân tích (không cần làm vào bài giải)

- Từ giả thiết của bài toán, ta tìm được ngay tọa độ điểm A( A là diểm chung của đường trungtuyến AD và đường cao AH của tam giác ABC).

- Biết tọa độ điểm A, biết M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB tìm được tọa độ điểm B.

- Biết tọa độ điểm B, biết pt đt AH ( AH  BC)  viết pt cạnh BC  tìm được  D = ADBC  tìm được C đối xứng với B qua D

 viết được phương trình đường thẳng AC.Bước 3 (làm vào bài giải)

- Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0- A = AH  AD  A (1;2)

- D là trung điểm BC  C (- 3; - 1)

- AC qua A (1; 2) có VTCP AC ( 4; 3) 

nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0  3x – 4y + 5 = 0

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d:

x-4y-2=0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x+y+3=0, điểm M(1;1) là trungđiểm của đoạn AC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C?

Đinh hướng cách giải: - Vẽ hình

- Vì C là điểm đối xứng với A qua M nên

 C )38;38(

- Vì đt BC đi qua điểm C )38;38

( và song song với đt d nên pt của BC là

+4

 x-4y+8=0.

- Có B là giao điểm của BC và BH nên tọa độ của B là nghiệm của hệ pt

 B(-4;1).

Vậy A )32;32

( , B(-4;1), C )38;38(

Bài 3(DH-2011) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1), trọng tâmG(1;1)và đường thẳng chứa đường phân giác trong của góc A có phương trình là x – y – 1 = 0 Tìm tọađộ các đỉnh A và C

-Gọi M là trung điểm của đoạn AC, AD là đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC Từ giả thiết có BMBG

 , với B(-4;1), G(1;1)  tìm được M( 1)27

-Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua đường thẳng AD  M’ thuộc đường thẳng AB.( Tìm M’ theo bài toán số 7)

- Lập phương trình đường thẳng BM’.- Tìm được  A(43) = BM’AD- Tìm được C(3; -1) đối xứng với M qua A.Đ/S A(4; 3), C(3;-1).

Bài 4( Thi thử ĐH 2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0)

và trung điểm của BC là I(6; 1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y-3 = 0 Gọi D, E lần lượt làchân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đườngthẳng DE có phương trình x - 2 = 0 và điểm D có tung độ dương.

x+2y-3=0H(3; 0)

I(6; 1)B

Định hướng:

- Gỉả thiết cho chân đường cao  nghĩ đến tính vuông góc, nghĩ đến tứ giác nội tiếp.

- Gỉả thiết cho pt đường thẳng DE  tham số hóa tọa độ của điểm D hoặc E LG tóm tắt

Gọi K là trung điểm của AH Tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn tâm Kvà tứ giác BCDE nội tiếpđường tròn tâm I Suy ra KE= KD và IE = ID  KI  ED  phương trình IK: y-1 = 0.

Tọa độ K là nghiệm của hệ pt

 K(1; 1)  A(-1; 2).D(2; a)  DE, ta có KA = KD  5 = 1 + (a-1)2  

 D(2; 3).Phương trình cạnh AC: x-3y+7=0 Phương trình cạnh AC: x-3y+7=0.

Tọa độ C( 8; 5)  B(4; -3).

Vậy A(-1; 2), B(4; -3), C( 8; 5) S

Bài 5 Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường phân giác trong góc

A có phương trình d x: y20, đường cao hạ từ B có phương trình d' : 4x3y1 0 Biết

hình chiếu của C lên AB là điểm H(-1;-1) Tìm tọa độ các điểm A, B, C

Định hướng cách giải

- Giả thiết cho d là phương trình đường phân giác trong góc A và điểm H(-1; -1)  AB,nên ta tìm được điểm K đối xứng với H qua d, K thuộc đt AC.

- Lập được pt đt AC qua K và vuông góc với đt d' : 4x3y1 0

- Tìm được A = d  AC.

- Tìm được pt cạnh AB ( qua A, H), tìm được B = AB  d.

- Tìm được pt đt HC ( qua H, vuông góc với AB), tìm được C = AC  HC LG.

Gọi K là điểm đối xứng với H qua đường phân giác trong góc A Khi đó K thuộc đường thẳngAC Đường thẳng HK có phương trình

I là trung điểm HK nên suy ra K  3;1.

Khi đó AC là đường thẳng qua K và vuông góc với d’

  

  

Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết SABC=18

d: x - y - 4 = 0A

Định hướng cách giải:

- Dựa vào giả thiết cho tam giác ABC cân tại đỉnh A(-1;4)  đường cao AH vuông góc với d tại trungđiểm H của cạnh BC  tìm được H.

- Dựa vào giả thiết cho SABC =18 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng d có phương trình là x – y – 4 = 0  tìm BH  tìm B, C.

Giải: - Có AH qua A(-1; 4), uAH nBC (1;-1)  nAH (1;1)  pt AH: x+y -3=0.- Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:

 H( )21-;27

- Do B thuộc d: x – y – 4 = 0 nên B(t; t-4).

- Có SABC= 2 SABH = AH.BH =18 (trong đó: AH=

Suy ra:

t = 18 

t =2  t =

hoặc t =

+) Với t =

 B(

) , C(

; )2

+) Với t =

 B(

; )2

23

(AD): x+y-5=0l

Lời gỉải hướng dẫn:

+) Gọi đường phân giác trong của góc A là AD, theo giả thiết AD có pt: x+y-5=0.+) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua (AD), I là giao điểm của (CC’) và (AD) - Tính được I(5; 0)  tính được C’(4; 9)

+) Có A thuộc (AD): x+y-5=0  A(t, 5-t).

+) Có CAC'A  CA.C'A = 0 ( với CA( t 44-t), C'A(t4;-t-4))

 t2160  t=4 hoặc t = -4.-) Với t=4  A(4; 1) ( thỏa mãn).-) Với t = -4  A(-4; 9) (loại)+) Viết được pt đường thẳng AC’ là:

+) Do B thuộc đường thẳng AC’  B(4; 1+t)

+) Với t= 6  B(4; 7) (thỏa mãn vì B và C nằm khác phia đối với đường thẳng AD).

+) Với t= -6  B(4; -5) ( không thỏa mãn vì B và C nằm cùng phia đối với đường thẳng AD).+) Có B(4; 7), C(-4;1)  Lập được pt đường thẳng BC là 3x-4y+16=0.

Bài 7.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết các đỉnh A, B, Clần lượt nằm trên các đường thẳng d: x y 5 0  , d1: x 1 0, d2 : y 2 0 Tìm toạ độ các đỉnhA, B, C, biết BC = 5 2.

050

 

 bcb 5,1,c 06    

Một số bài toán phức tạp.

Để giải quyết các bài toán phức tạp này, ngoài 1 số các kiến thức, kĩ năng nêu trên hs cần:

+) Nắm chắc các kiến thức của chương trình HH lớp 9, chẳng hạn: góc nội tiếp, góc ở tâm, góc tạobởi tiếp tuyến và dây cung,

+) Vẽ chuẩn hình, phát hiện các tính chất hình học là then chốt của bài toán Chứng minh các tính chấthình học đó

+) Sử dụng công cụ giải tích để tiếp tục giải quyết bài toán.

Bài tập 8

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có A(3; -7) Gọi H, K, M lần lượt là chân

đường cao kẻ từ B, C, trung điểm của cạnh BC Gỉa sử M(-2; 3) và phương trình đường tròn ngoại tiếptam giác AKH là (C): Tìm toạ độ các điểm B, C.

*) Biết trực tâm E, trung điểm M của BC nghĩ đến điểm D thuộc đường tròn tâm I ngoại tiếp tam

giác ABC, D đối xứng E qua M cm được tính chất = 2 ( I là tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC), từ đó tìm I, tìm pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

+) Có BC: Lập được pt BC.+) (I) BC = tìm B, C.

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm J(3; -4), bán kính R = 3.

Gọi E là trực tâm tam giác ABC thì E đối xứng A qua J nên E(3; -1).Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và D đối xứng A qua I.Ta có  CD // BH.

Tương tự ta có BD// CK.

Suy ra tứ giác EBDC là hình bình hành Do đó ED cắt BC tại trung điểm M của BC.Xét tam giác AED có IM là đường trung bình suy ra

Phương trình tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (T) : 74.

Tọa độ B, C =(I) BC là nghiệm của hệ pt

hoăc Vậy tọa độ hai điểm cần tìm là

hoăc

Bài tập 9 Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I là trung điểm

của AH Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt BI tại D Viêt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCbiêt phương trình cạnh BC là x – y – 2 =0 và D(-1; -1)và đỉnh A nằm trên đường thẳng d: 3x-2y+6=0.Phân tích

*) ABC vuông tại A nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính BC nghĩ đến việc tìm B,C Để giải quyêt vấn đề này, ta tư duy theo hướng sau:+) Từ gt có DC vuông góc BC, biết pt BC là x – y – 2 =0 và D(-1; -1) tìm C.+) Đỉnh A nằm trên đường thẳng d: 3x-2y+6=0 tham số hóa tọa độ điểm A.

+)Vẽ hình thật chuẩn, phát hiện tính chất DA = DC, chứng minh tính chât này.

Từ đó tìm tọa độ A.

+) Đường thẳng AB qua A, vuông góc BC Viết pt AB Tìm B = AB BC.

*) Biết B,C, ta đi tìm tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và viết pt đường tròn đó