SKKN PHÂN LOẠI và PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số bài TOÁN về QUAN hệ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Người thực hiện: Lê Thị Lam Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HÓA NĂM 2019 MỤC LỤC Trang I Mở đầu………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài …………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………… 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm ………… II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………… 2.1 Cơ sở lí luận…………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề……………………………………… 2.3 Một số giải pháp ……………………………………… Đưa mô hình trực quan………………………………… Phân loại phương pháp giải số toán quan Hệ song song khơng gian……………………… Bài tốn 1.Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng… Bài tốn Tìm giao tuyến hai mặt phẳng……………… 11 Bài toán Xác định thiết diện cắt mặt phẳng…… 14 Bài tốn Bài tốn tỉ số khơng gian quy tốn Hình học phẳng…………………………………… 17 2.4 Kiểm nghiệm……………………………………………… III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT…………………………………… 20 3.1 Kết luận……………………………………………………… 20 3.2 Đề xuất kiến nghị………………………………………… 20 I Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài: Từ đầu lớp 11 trở trước học sinh làm việc với phần lớn hình phẳng Mỗi hình biểu diễn cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng kích thước mặt giấy Mọi quan hệ đối tượng biểu diễn cách trực quan Từ chương II hình học lớp 11 trở đi, hình vẽ hình phẳng khơng thể phản ánh trung thành quan hệ quan hệ vuông góc, quan hệ cắt nhau, đối tượng Đó khó khăn lớn học sinh Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học này, phần giáo viên củng gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình hoc khơng gian Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó,nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học sinh nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt dập khn máy móc dó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó Từ lí tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức tổng hợp thành chuyên đề: ‘Phân loại phương pháp giải số tốn quan hệ song song khơng gian’ Qua nội dung mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm số kĩ bản, phương pháp chứng minh số dạng toán liên quan đến quan hệ song song khơng gian Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, lơgic, khơng mắc sai lầm làm tập Hy vọng đề tài nhỏ giúp em học sinh có sở phương pháp giải số toán bắt buộc sách giáo khoa Chương II Hình học lớp 11 cách có hiệu 1.2 Mục đích nghiên cứu: Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh cịn chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài giao điểm đường thẳng mặt phẳng, giao tuyến hai mặt phẳng, thiết diện hình đa diện cắt mặt phẳng Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài “Chương II: Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp điều tra,khảo sát thực tế,thu thập thông tin 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tốn tỉ số khơng gian toán mặt phẳng II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề việc vơ quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp tốn tương tự Trong dạy học, giáo viên có vai trò thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học điều kiện gợi động , hướng có đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành công Do trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong chương II ‘ Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song’ sách giáo khoa có giới thiệu số khái niệm, có khái niệm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, giao tuyến hai mặt phẳng, thiết diện cắt mặt phẳng với hình đa diện Do có hệ thống phương pháp giải tốn: Bài tốn 1: Tìm giao điểm đường d mặt phẳng( α ) Bài tốn 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Bài tốn 3: Tìm thiết diện cắt mặt phẳng với hình đa diện Bài tốn 4: Đưa tốn tỉ số khơng gian tốn mặt phẳng Thì học sinh nắm vững kiến thức để vận dụng làm tập, gây hứng thú học tập cho học sinh Mặt khác lại chương kiến thức tảng cho phần hình học khơng gian nên cần thiết Vì tơi thấy việc đưa : ‘Phân loại phương pháp giải số tốn quan hệ song song khơng gian’ việc bổ ích cho việc dạy giáo viên việc học hình học khơng gian học sinh 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Trong trình giảng dạy tơi nhận thấy phần lớn học sinh thường lơ mơ ngại học môn hình học khơng gian Khi gặp tốn khơng phân loại định hình cách giải, lúng túng làm tập Trong sách giáo khoa hình học 11 khơng nêu cách giải tổng qt cho dạng, thời lượng dành cho việc làm tập dạng Do học sinh thường bế tắc việc vẽ hình , xác định yếu tố trước làm nào, cụ thể: Khi dạy cho học sinh nhận thấy: - Khi xác định giao điểm A đường thẳng a mặt phẳng (P) đa số học sinh mức trung bình khơng biết làm Về mặt hình vẽ thể chới với khơng xác Giáo viên phải hướng cho học sinh quy giao điểm hai đường thẳng - Khi gặp toán xét mặt phẳng, chẳng hạn mặt phẳng (ABC) nhiều học sinh thường hiểu mặt phẳng (ABC) gồm điểm thuộc miền nằm cạnh tam giác ABC Do xác định giao điểm mặt phẳng đường thẳng nằm mặt với đối tượng khác khó khăn - Hình biểu diễn hình khơng gian khơng trực quan hình phẳng mà lâu em học, dựa vào hình vẽ nhiều học sinh nhầm lẫn đường thẳng thực tế không cắt hình biểu diễn em lại thấy chúng cắt Chẳng hạn gặp toán: Bài tốn Cho điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng Gọi E, F theo thứ tự điểm tam giác ABC BCD Gỉa sử đường thẳng EF cắt mặt phẳng (ACD) điểm J Hãy xác định điểm J • Với hình biểu diễn trên, nhiều học sinh ngộ nhận đường thẳng EF AC cắt giao điểm J Một số học sinh nhận điều sai song chưa xác định đường thẳng EF cắt đường mặt (ACD) Hình Bài tốn 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi O’ tâm hình bình hành A’B’C’D’; K trung điểm CD, E trung điểm BO’ a) Chứng minh E nằm mặt phẳng (ACB’) b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P) qua K song song với mặt phẳng (ACE) *Học sinh thường lúng túng cách chứng minh cho E thuộc đường thẳng khác nằm mặt phẳng (ACB’) Do đến câu b) học sinh không nhận mặt phẳng (ACE) mặt phẳng (ACB’) nên khó khăn việc xác định thiết diện Lúc vai trò giáo viên phải định hướng cho học sinh chứng minh E giao điểm BO’ với OB’ nằm mặt phẳng (ACB’) Hình Bài tốn 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD, M trung điểm cạnh SA a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M song song với SO BC b) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (Q) chứa O song song với BM SD Hình Hình Học sinh thường lúng túng mặt phẳng cho trước song song với đường thẳng chéo nên không xác định mặt phẳng mặt phẳng Đến giáo viên phải định hướng cho học sinh mặt phẳng mà ta xác định song song với mặt phẳng ( ta thường song song với mặt phẳng chứa đường song song với đường lại ) 2.3 MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu ,trao đổi đúc rút kinh nghiệm ý kiến đồng nghiệp, mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh sau: Đưa mơ hình trực quan Ta biết triết học: “ Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng” để học sinh có hình ảnh trực quan tơi cho em chuẩn bị số mơ hình hình khơng gian hình tứ diện, hình hộp,…các hình làm khung que, mặt gắn bìa Ngồi cịn chuẩn bị số que làm mơ hình đường thẳng giấy bìa làm mơ hình mặt phẳng Khi dạy đến phần tơi cho học sinh thấy mơ hình trực quan đó, sau u cầu học sinh vẽ lại hình biểu diễn hình Ví dụ dạy tốn tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng tơi lấy ví dụ Bài tốn Cho điểm A,B,C,D không đồng phẳng Gọi E, F theo thứ tự điểm tam giác ABC BCD Gỉa sử đường thẳng EF cắt mặt phẳng (ACD) điểm J Hãy xác định điểm J Lúc mơ hình mà tơi sử dụng hình tứ diện với khung làm que mặt ngồi khơng gắn bìa, tơi cho em thấy đường thẳng EF đường Sau cho em nhận xét quan hệ đường thẳng EF với cạnh tứ diện Tiếp tơi gọi học sinh lên bảng vẽ hình biểu diễn Để tìm giao điểm J tơi định hướng cho học sinh đường thẳng EF nằm mặt phẳng (BEF) bìa cho em quan sát mặt phẳng (BEF) phần chứa tam giác BEF Khi dạy toán thiết diện trước hết cần cho học sinh nhìn thấy trực quan thiết diện hình đa diện cắt mặt phẳng Tơi sử dụng mơ hình khung chóp bìa, tùy vào vị trí bìa cho học sinh thấy thiết diện Phân loại phương pháp giải số toán quan hệ song song khơng gian Bài tốn 1: Tìm giao điểm đường d mặt phẳng( α ) Hình Hình * Phương pháp: Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng ( α ) ta tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng a nằm mp( α ) ( hình 5) A∈ d A = d I mp (α )  A ∈ a ⊂ mp (α ) Tóm tắt: Nếu  * Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có hình vẽ ta tìm a sau: - Tìm mp( β ) chứa d cho mp( β ) cắt mp( α ) - Tìm giao tuyến a hai mp( α ) mp( β ) (hình 6) * Nhận xét: Vấn đề toán xác định cho đường thẳng a Nhiệm vụ giao viên hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a chọn mp( β ) cho phù hợp với yêu cầu toán trường hợp đường thẳng a chưa có hình vẽ - Muốn làm điều học sinh cần nắm hệ thống tiên đề hình học khơng gian Tiên đề 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tiên đề 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tiên đề 3: Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Tiên đề 5: Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng * Ví dụ: Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I trung điểm AB, J điểm AD cho AJ= AD Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp(BCD) Nhận xét: Với tốn học sinh dễ dàng phát đường thẳng a cần tìm đường thẳng BD Nhiệm vụ giáo viên cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng không song song A A I J I J K B B D D C Hình C Hình Lời giải: Từ giả thiết ⇒ IJ BD không song song  K ∈ IJ K ∈ BD ⊂ (BCD) Kết luận: K = IJ ∩ (BCD) (hinh 7) Gọi K = IJ ∩ BD ⇒  Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp (SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) Nhận xét: Với giả thiết tốn dựa vào hình vẽ ( hình 8) học sinh khó mà tìm đường thẳng a nằm mp(SAC) đường thẳng để cắt đường thẳng BM, léo hướng dẫn có nhiều học sinh nhầm đường thẳng SC Vai trò giáo viên gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD) chứa BM tìm giao tuyến hai mp( SBD) (SAC) đường thẳng SO Từ kết luận giao điểm P hai đường thẳng BM SO giao điểm cần tìm (hình 10) S S I I J M J P M A A B D B O D C C Hình Hình 10 Với câu b) (hình 11) học sinh khó mà tìm đường thẳng a nằm mp(SBC) đường thẳng để cắt đường thẳng IM khơng có hướng dẫn giao viên Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng IM nằm mp ? tìm giao tuyến mp với mp(SBC) Từ tìm giao tuyến đường thẳng SE giao điểm cần tìm điểm F ( hình 12) S S I I J J P M A P M A B F B O D D C O C E Hình 11 Hình 12 Tượng tự câu a) để tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải chọn mặt phẳng phụ chứa SC tìm giao tuyến mặt phẳng phụ với mp(IJM) Với tốn có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC mp(SAC), mp(SCD) mp(SBC) Vấn đề chọn mặt phẳng cho việc tìm giao tuyến thuận lợi tùy thuộc vào khả học sinh, giáo viên không nên gị học sinh theo lời giải 10 S S I J I J P M A B F H B F O D P M A C O D C E E Hình 13 Hình 14 * Lời giải: a) Ta có BM ⊂ (SBD) Xét mp( SAC) (SBD) có S điểm chung thức nhất.(1) Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O điểm chung thứ hai (2) Từ (1) (2) ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD) Gọi P=BM ∩ SO Kết luận: P=BM ∩ (SAC) b) Ta có IM ⊂ (SAD) Xét hai mp(SAD) (SBC) có: S điểm chung thứ Gọi E = AD ∩ BC ⇒ E điểm chung thứ hai ⇒ SE = (SAD) ∩ ( SBC) Gọi F= IM ∩ SE ⇒ F =IM ∩ (SBC) ( Hình 13) c) Ta có SC ⊂ (SBC) Xét mp( IJM) (SBC) Ta có JF=(IJM) ∩ (SBC) Gọi H =JF ∩ SC ⇒ H=SC ∩ (IJM) (Hình 14.) Bài tập tự luyện Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, tâm đáy, M,N trung điểm SA, SC Gọi (P) mặt phẳng qua M, N B a) Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mp(P) giao điểm K đường thẳng SD với mp(P) b) Xác định giao điểm E,F đường thẳng DA, DC với mp(P) chứng minh ba điểm E, B, F thẳng hàng Bài tốn 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) * Phương pháp: Cách 1: Xác định hai điểm chung hai mp  A ∈ (α ) ∩ ( β ) AB=(α ) ∩ ( β ) ( Hình 15)  B ∈ (α ) ∩ (β ) Tóm tắt: Nếu  11 Hình 15 Cách 2: Xác định điểm chung song song với đường thẳng cho trước: Dựa vào định lý sau: (α ) ∩ (γ ) = a  * Đlý ( SGK trang 57) : Nếu ( β ) ∩ (γ )=b a // b // c a, b, c đồng quy (α ) ∩ (β )= c   a // b  * Hệ quả: Nếu a ⊂ (α ), b ⊂ (β ) d // a // b d trùng a d trùng với b (α ) ∩ (β )= d  Hình 16 Hình 17 Hình 18  a //(α )  * Đlý 2:(SGK trang 61) Nếu a ⊂ (β ) a//b ( hình 19) (α ) ∩ (β )= b  (α ) // d  * Hệ quả: Nếu (β ) // d a // d ( hình 20) (α ) ∩ (β )= a  Hình 19 Hình 20 Hình 21 (α ) // (β ) (γ ) ∩ (β ) = b  ( hình 21) (γ ) ∩ (α ) = a  a // b * Đlý (Sgk trang 67) Nếu  12 * Nhận xét: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách tìm hai điểm chung nằm hai mặt phẳng cách dựa vào hình vẽ Nếu hình vẽ có điểm chung ta chuyển sang cách hai ( dựa vào định lý hệ nêu trên) * Ví dụ: Bài 3: Trong mp( α ) cho tứ giác ABCD có AB CD cắt E, AC BD cắt F Gọi S điểm nằm mp( α ) Tìm giao tuyến mp sau: a) Mp (SAB) mp(SCD) b) Mp(SAC) mp(SBD) c) Mp(SEF) với hai mp(SAD) (SBC) * Nhận xét: Với hai mp(SAB) mp(SCD) học sinh dễ dàng tìm hai điểm chung S E dựa vào hình vẽ (hình 22) Tương tự hai mp(SAC) mp(SBD) học sinh phát giao tuyến đường thẳng SF (hình 23) S S B E A B A E F C C D D Hình 22 Hình 23 Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát điểm chung thứ hai M, N cách nối EF với BC EF với AD ( hình 24) S B A E M F C N D Hình 24 * Lời giải: a) Ta có S ∈ ( SAB) ∩ ( SCD) (1) E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ ( SAB) ∩ ( SCD) (2) Từ (1) (2) ⇒ SE = ( SAB) ∩ ( SCD) b) Ta có S ∈ (SAC ) ∩ (SBD ) (*) F = AC ∩ BD ⇒ F ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD) (**) Từ (*) (**) ⇒ SF = ( SAC ) ∩ ( SBD) 13 c) Gọi M = BC ∩ EF , N = AD ∩ EF Xét hai mp(SAD) (SEF) có: S ∈ ( SAD) ∩ ( SEF) N ∈ ( SAD ) ∩ ( SEF) Kết luận : SN = ( SAD) ∩ ( SEF) Tương tự: SM = ( SBC ) ∩ ( SEF) Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N trung điểm AA’ CC’, P điểm thuộc đoạn BB’ Tìm giao điểm Q đường thẳng DD’ với mp(MNP) Nhận xét: Để tìm giao điểm Q đường thẳng DD’ với mp(MNP) giáo viên phải gợi ý cho học sinh tìm giao tuyến mặt phẳng chứa đường thẳng DD’ với mp(MNP) Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng DD’ nắm mặt phẳng cho biết số điểm chung mặt phẳng với mp(MNP)? A B D x C C M Q Q A' P N B' C' B D M N D' A A' D' P B' C' Hình 25 Hình 26 Lời giải: Ta có DD’ ⊂ (CC’D’D) Xét mp(MNP) mp(CC’D’D) ta có: N điểm chung (1) MP //( mp(CC’D’D) (2) MP ⊂ mp(MNP) (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ (MNP) ∩ ( CC’D’D) = Nx // MP Gọi Q = DD’ ∩ Nx ⇒ Q = DD’ ∩ (MNP) ( hình 25) • Chú ý: Ta chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ tìm giao tuyến mp(MNP) mp(AA’D’D) My song song với đường thẳng NP ( hình 26) Bài tập tự luyện Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B, C, D Gọi M, N trung điểm AD BC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (NDA) b) Cho I, J điểm nằm hai đoạn thẳng AB AC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (IJD) Bài toán 3: Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (P) với hình đa diện a) Định nghĩa Thiết diện hình (H) cắt mặt phẳng (P) phần chung hình (H) mp(P) b) Phương pháp: Để tìm thiết diện cắt mặt phẳng (P) hình (H) ta tìm đoạn giao tuyến mp(P) với mặt hình (H) 14 c) Các ví dụ Ví dụ : Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AC, BC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với AB, NP khơng song song với CD Tìm thiết diện cắt mặ phẳng (MNP) với tứ diện Nhận xét Với tập học sinh dễ dàng xác định Giao tuyến mặp phẳng (MNE) với mặt tứ diện Do dễ dàng xác định thiết diện Lời giải Ta có ⇒ mp( MNP) ∩ mp( ABC ) = MN mp( MNP) ∩ mp ( BCD) = NI NI ∩ BD = P mp( MNP) ∩ mp ( ACD ) = MI Hình 27 MI ∩ AD = E mp ( MNP) ∩ mp( ABD) = PE Ta có đoạn giao tuyến NP, PE, EM, MN Do thiết diện tứ giác MNPE Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, E điểm lấy cạnh AD, CD, SO Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNE) Nhận xét : Đối với tập xác định giao tuyến mặt phẳng (MNE) với mặt đáy dễ dàng với mặt khác học sinh lúng túng Lúc vai trò giáo viên quan trọng Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh tìm giao điểm Q SB với mặt phẳng (MNE) Sau tìm Q học sinh dễ dàng tìm giao tuyến với mặt hình chóp, từ tìm thiết diện Lời giải Gọi K giao MN BD Trong mặt phẳng (SBD) ta có KE cắt SB Q KE ∩ SB = Q Trong mặt phẳng (ABCD) có MN ∩ AB = J MN ∩ CB = I ⇒ mp( MNE ) ∩ mp( ABCD) = IJ mp( MNE ) ∩ mp( SAB ) = JQ mp( MNE ) ∩ mp( SBC ) = IQ Có JQ cắt SA H, IQ cắt SC P Hình 28 Mặt phẳng (MNE) cắt mặt hình chóp theo đoạn giao tuyến MN,NP, PQ, QH, HM Thiết diện cắt mp(MNE) với hình chóp MNPQH 15 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD với M,N điểm lấy cạnh AB CD Gọi (α ) mặt phẳng qua MN song song với SA Tìm thiết diện cắt mặt phẳng (α ) với hình chóp Lời giải Ta có M∈ (α ) , (α ) // SA ⇒ mp (α ) ∩ ( SAB ) = MQ ( MQ // SA) ⇒ mp (α ) ≡ mp ( MNQ ) // SA mp( SAC ) ∩ mp ( MNE ) = OP // SA (O = AC ∩ MN ) Do thiết diện tứ giác MNEF Nhận xét: Với đoạn giao tuyến MN ME học sinh dễ dàng xác định Nhưng để xác định giao tuyến với mặt phẳng (SBC) (SDC) học sinh bị bế tắc Lúc nhiệm vụ giáo viên hướng dẫn học sinh tìm điểm F giao SC với mặt phẳng (α ) Ví dụ Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có AA’//BB’//CC’ Gọi H trung điểm A’B’ Gọi (α ) mặt phẳng qua trung điểm CC’ song song với AH CB’ Hãy xác định thiết diện cắt (α ) với lăng trụ Nhận xét: Ta thấy đường thẳng AH CB’ chéo nhau, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tạo mặt phẳng ( β ) chứa đường thẳng mà song song với đường thẳng Khi mp (α ) //mp ( β ) Lời giải Gọi D điểm mà A’C’B’D hình bình hành Khi ta có CB’//AD Vì E ∈ (α ) //CB’, Do qua E kẻ đường thẳng song song với CB’ cắt C’B’ F ⇒ (α ) ∩ (CC ' B ' B ) = EF Vì (α ) //(AHD) , qua F kẻ đường thẳng song song với DC’ cắt A’B’ M, Qua M kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB N , qua N kẻ đường thẳng song song với MF cắt AC K Vậy mặt phẳng (α ) cắt lăng trụ theo thiết diện ngũ giác MNKEF 16 Bài toán 4: Đưa toán tỉ số khơng gian tốn mặt phẳng Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC điểm M nằm ∆ABC Các đường thẳng qua M song song với đường thẳng SA, SB, SC cắt mặt phẳng ( SBC ) , ( SCA) , ( SAB ) A' , B' , C ' a) Gọi N giao điểm SA’ với BC Chứng minh điểm A,M, N thẳng hàng từ suy cách dựng điểm A’ S MBC b) Chứng minh S ABC = MA' SA c) Chứng minh Hướng dẫn - Để chứng minh điểm A, M , N thẳng hàng học sinh cần điểm chung mặt phẳng phân biệt ( ABC ) , ( SA, MA') Từ suy N = AM ∩ BC - Nếu xét mặt phẳng (SAN) kết Lời giải: a) Vì A' M // SA nên có mp ( MA' , SA) Mặt phẳng mp(ABC) có điểm chung A, M , N Do phải nằm giao tuyến mp nói Vậy điểm phải thẳng hàng Kéo dài AM cắt BC N Trong mp(SAN) kẻ MA' song song với SA cắt SN A' S MBC MN = S ABC AN MN MA' = Trong mp ( SAN ) có AN SA S MBC MA' = Vậy S SA ABC b) Dễ thấy c)Chứng minh tương tự câu b) ta có 17 S MCA MB' S MAB MC ' = = S ABC SB S ABC SC MA' MB' MC ' S MBC + S MCA + S MAB S ABC = = Vậy SA + SB + SC = S ABC S ABC Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng ( P ) cắt cạnh SA, SB, SC A' , B' , C ' Gọi O giao điểm AC DB , I giao điểm A'C ' SO a) Tìm giao điểm D' mp ( P ) với cạnh SD SA SC 2SO + = SA' SC ' SI SA SC SB SD + = + c) Chứng minh SA' SC ' SB ' SD' b) Chứng minh Nhận xét : Với câu a) học sinh dễ ràng làm loại tập học sinh học làm Với câu b) giáo viên cần hướng dẫn học sinh đưa hình khơng gian xét mặt phẳng, mặt phẳng (SAC ) Khi học sinh vẽ tam giác SAC mặt phẳng hình phẳng bình thường, từ tìm lời giải Từ câu b) học sinh làm câu c) Lời giải: a) Trong mp (SAC ) nối A' với C ' cắt SO I Trong mp (SBD) nối B' với I cắt SD D' Khi D' giao điểm mp (P ) với SD b) Trong mp (SAC ) , kẻ AE // A' C ' cắt SO E ; Kẻ CF // A' C ' cắt SO F Ta có: SA SE SO − OE = = SA' SI SI SC SF SO + OF = = SC ' SI SI (1) (2) Do O trung điểm AC AE // CF , 18 Nên OE=OF Vậy từ (1) (2), suy SA SC 2SO + = (3) SA' SC ' SI c) Chứng minh tương tự câu b), ta có SB SD SO + = (4) SB ' SD' SI SA SC SB SD + = + Từ (3) (4) suy SA' SC ' SB' SD' Bài tập tự luyện Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ Trên đường thẳng BA lấy điểm M cho A nằm B M , MA= AB a) Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua M, B’ trung điểm E AC b) Tính tỉ số BD CD ( D = BC ∩ mp( MB' E )) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SA J,K điểm SB, SC cho JS = JB , KS = KC Đường thẳng SD cắt mặt phẳng (IJK ) M, E giao điểm hai đường thẳng IJ KM Tính tỉ số EI EJ 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài kiểm nghiệm năm giảng dạy lớp 11 học sinh đồng tình đạt kết Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ, em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ dệt Cụ thể lớp khối 11 sau áp dụng kiến thức vào giảng dạy kết qua kiểm tra thử sau Năm học 2018-2019 2016-2017 2016-2017 Lớp 11I 11D 11K Sĩ số 43 41 40 Điểm trở lên Điểm từ đến Số Tỷ lệ lượng Số Tỷ lệ lượng 10 11 28 24 25 23,3% 26,8% 22,5% 65,1% 58,5% 62,5% Điểm Số Tỷ lệ lượng 6 11,6% 14,7% 15% 19 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy Trong trình kiểm nghiệm tơi thấy phương pháp đưa có hiệu tương đối tốt Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm nối bật phương pháp giảng dạy phương pháp đặt vấn đề phân tích hướng dẫn học sinh giải vấn đề Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu, song chắn cịn nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn 3.2 NHỮNG KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập 20 TƠI XIN CAM ĐOAN ĐÂY HỒN TỒN LÀ SẢN PHẨM CỦA MÌNH Xác nhận BGH nhà trường Thiệu Hóa ngày 25 tháng năm 2019 Giáo viên LÊ THỊ LAM DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học 11 Nhà xuất giáo dục Sách hướng dẫn giảng dạy Nhà xuất giáo dục Sách tập hình học 11 Nhà xuất giáo dục Nguyễn Cam- Nguyễn Văn Phước- Nguyễn Hoàng Nguyên- Tuyển chọn 400 tập tự luận trắc nghiệm- Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2007 Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải tốn hình khơng gian 11- Nhà xuất Đà Nẵng, năm 1997 Chuyên đề luyện thi vào đại học Hình học khơng gian – Trần Văn Hạo (Chủ biên) 21 22 ... đề: ? ?Phân loại phương pháp giải số toán quan hệ song song không gian? ?? Qua nội dung mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm số kĩ bản, phương pháp chứng minh số dạng toán liên quan đến quan. .. 2.3 Một số giải pháp ……………………………………… Đưa mơ hình trực quan? ??……………………………… Phân loại phương pháp giải số tốn quan Hệ song song khơng gian? ??…………………… Bài tốn 1.Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng… Bài. .. hình học khơng gian nên cần thiết Vì tơi thấy việc đưa : ? ?Phân loại phương pháp giải số toán quan hệ song song không gian? ?? việc bổ ích cho việc dạy giáo viên việc học hình học khơng gian học sinh