(SKKN mới NHẤT) SKKN phân loại và phương pháp giải một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ GIẢI PHÁP Tên sáng kiến: Phân loại phương pháp giải số toán liên quan đến đồ thị hàm số (Đặng Thị Hạnh - trường THPT Chuyên Bến Tre) Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy học chương trình phổ thơng Mơ tả chất sáng kiến 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Trong trình học tập lớp tự ôn luyện nhằm đạt kết cao kì thi trung học phổ thông quốc gia, tốn quen thuộc mà học sinh thường gặp “Dựa vào đồ thị hàm số hàm số hàm số ” toán “Dựa vào đồ thị hàm số cho, cho biết hàm số có điểm cực trị ? cho, cho biết hàm số đồng biến khoảng nào?” toán “Dựa vào đồ thị hàm số cho, cho biết phương trình tốn đơn giản ta biết biểu thức biểu thức hàm số có nghiệm ?” Bài hàm số ta Chính tốn thường gây khó khăn cho học sinh kể học sinh giỏi, học sinh tìm lời giải lời giải chưa trọn vẹn Chẳng hạn, toán “Dựa vào đồ thị hàm số cho, cho biết hàm số đồng biến khoảng nào?” học sinh lúng túng tìm đạo hàm hàm số hàm số tìm đạo hàm bị mắc sai lầm lí luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số dựa vào đồ thị hàm số Do yêu cầu đặt cần tìm phương pháp giải số tốn Chính mà sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào tìm lời giải cho tốn qua rút nhận xét, kinh nghiệm nhằm giúp học sinh tìm đúng, đầy đủ nhanh để đáp ứng tốt cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia Đồng thời sau dạng tốn có đưa phương pháp để sáng tạo toán tương tự download by : skknchat@gmail.com Trong sáng kiến kinh nghiệm này, hàm số nhắc đến hàm đa thức bậc ba hàm đa thức bậc bốn Do tơi tập trung vào giải vấn đề sau: Phân toán thường gặp thành hai dạng: Dạng biết đồ thị hàm số dạng biết đồ thị hàm số Trong dạng tập trung vào giải toán sau: Bài toán 1: Dựa vào đồ thị cho, tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số tìm số điểm cực trị hàm số tìm số nghiệm phương trình cho trước Bài toán 2: Dựa vào đồ thị cho, tìm điều kiện tham số để đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) cho trước, tìm điều kiện tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị tìm điều kiện tham số để phương trình cho có bốn, năm nghiệm dạng hàm số có đưa phương pháp giải toán nêu số sai lầm mà học sinh thường mắc phải nhằm giúp em rút kinh nghiệm giải toán tương tự Trong sáng kiến kinh nghiệm này, chủ yếu dùng kiến thức đạo hàm hàm số hợp, biến thiên, cực trị đồ thị hàm số để giải toán dạng biết đồ thị hàm số đồng thời đòi hỏi học sinh kỹ tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số tìm điểm cực trị hàm biết đồ thị hàm số Phương pháp có thuận lợi sau: - Nội dung đạo hàm hàm số hợp, biến thiên, cực trị đồ thị hàm số học sinh học sách giáo khoa nên học sinh thấy quen thuộc dễ tiếp thu - Rèn luyện cho học sinh kỹ dựa vào đồ thị hàm số thiên, cực trị đồ thị hàm số suy biến Vì sáng kiến chủ yếu sử dụng kiến thức biến thiên, cực trị đồ thị hàm số nên đối tượng áp dụng kết sáng kiến học sinh lớp 12 Trong trình giải tốn ta có sử dụng cơng thức đạo hàm quen thuộc đạo hàm hàm số hợp Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: download by : skknchat@gmail.com 3.2.1 Mục đích giải pháp: Thực giải ba toán Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số hàm số hàm số Bài toán 2: Dựa vào đồ thị hàm số cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số với Bài toán 3: Dựa vào đồ thị cho, tìm điều kiện tham số để đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) cho trước, tìm điều kiện tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị tìm điều kiện tham số để phương trình cho trước có bốn, năm nghiệm 3.2.2 Nội dung giải pháp: Giải pháp thực dựa cở sở lí luận sau a Đạo hàm hàm số hợp Nếu hàm số điểm có đạo hàm điểm hàm số hợp Nếu hàm số hàm số có đạo hàm điểm có đạo hàm điểm đạo hàm điểm thuộc K có đạo hàm thuộc K hàm số hàm số hợp có có đạo hàm điểm (trong K khoảng hợp nhiều khoảng) hay viết gọn b Từ đồ thị đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số hàm số Ta có Do đồ thị Phần 1: Phần đồ thị gồm hai phần nằm từ trục hoành trở lên Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía trục hồnh qua trục hồnh download by : skknchat@gmail.com Ta có Do đồ thị Phần 1: Phần đồ thị gồm hai phần nằm bên phải trục tung Phần 2: Lấy đối xứng phần qua trục tung c Cho hàm số liên tục có đồ thị hình vẽ Xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số Trên khoảng , ta thấy tiếp tuyến đồ thị đểm có hồnh độ xuống (tính từ trái qua phải) suy hay Tương tự, Tại tiếp tuyến đồ thị song song với trục hồnh nên Ta có bảng biến thiên Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng Hàm số nghịch biến khoảng và Hàm số đạt cực đại Hàm số đạt cực tiểu Hàm số có giá trị nhỏ , khơng có giá trị lớn download by : skknchat@gmail.com Tương tự, d Cho hàm số liên tục có đồ thị hình vẽ Xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số Trên khoảng khoảng , ta thấy đồ thị nằm phía trục hồnh nên Trên khoảng khoảng , ta thấy đồ thị nằm phía trục hoành nên Đồ thị cắt trục hoành nên Ta có bảng biến thiên Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng Hàm số nghịch biến khoảng và Hàm số đạt cực đại Hàm số đạt cực tiểu Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn Dựa vào sở lí luận trên, ta giải toán liên quan đến đồ thị sau: download by : skknchat@gmail.com Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số hàm số i Dựa vào đồ thị hàm số hàm số cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số Ta thực theo bước sau: Bước 1: Từ đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số dựa vào đồ thị hàm số Sau dựa vào bảng biến thiên mà kết luận biến thiến, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số Nhận xét: + Nếu kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ta cần dựa vào đồ thị hàm số mà khơng cần lập bảng biến thiên + Nếu muốn kết luận biến thiến, cực trị hàm số tốt nên lập bảng biến thiên Sau vào dấu đạo hàm mà ta kết luận biến thiên đồng thời dựa vào đổi dấu đạo hàm qua điểm mà kết luận điểm cực trị hàm số + Nếu hàm đa thức hàm hồnh độ giao điển đồ thị có đạo hàm điểm với trục hồnh áp dụng cơng thức đạo hàm , từ ta thấy rõ ràng nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị ln xác định không xác định điểm Thật vậy, ta xem hàm số hợp ta có nên khơng xác định hay điểm với trục hoành + Khi dựa vào bảng biến thiên để kết luận cực trị hàm số học sinh thường gặp phải sai lầm sau: Nếu đổi dấu qua điểm download by : skknchat@gmail.com không xác định kết luận hàm số khơng đạt cực trị điểm Đây kết luận chưa xác hàm số đạt cực trị điểm mà khơng có đạo hàm Do gặp trường hợp ta cần xét đến giá trị hàm số điểm Tức là, xác định khơng xác định Ví dụ 1: Cho hàm số điểm cực trị hàm số , không điểm cực trị hàm số liên tục có đồ thị hình vẽ Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu ? Từ đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số sau: Lập bảng biến thiên hàm số Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số ii Dựa vào đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số Ta thực theo bước sau: download by : skknchat@gmail.com Bước 1: Từ đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số Bước 2: Từ đồ thị hàm số , suy bảng biến thiên hàm số Sau dựa vào bảng biến thiên mà kết luận biến thiến, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số Nhận xét: + Nếu kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ta cần dựa vào phần đồ thị nằm bên phải truc Oy hàm số mà không cần lập bảng biến thiên + Nếu muốn kết luận biến thiến, cực trị hàm số tốt nên lập bảng biến thiên Sau vào dấu đạo hàm mà ta kết luận biến thiên đồng thời dựa vào đổi dấu đạo hàm qua điểm mà kết luận điểm cực trị hàm số + Nếu hàm đa thức hàm có đạo hàm giao điển đồ thị khơng xác định điểm ln xác định hồnh độ với trục tung Thật vậy, ta xem áp dụng cơng thức đạo hàm hàm số hợp ta có định điểm nên , từ ta thấy rõ ràng hay điểm hoành độ giao điểm đồ thị iii Dựa vào đồ thị hàm số không xác với trục tung cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số (dựa vào công thức đạo hàm hàm số hợp), ta có Bước 2: Giải phương trình , tức giải phương trình Nghiệm phương trình hồnh độ điểm cực trị hoành độ download by : skknchat@gmail.com điểm giao độ thị với trục hoành Đồng thời mà không xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số Lưu ý: Dấu khoảng không xác định điểm phụ thuộc vào dấu Giả sử thuộc khoảng xác định hàm số ta có: Phần đồ thị trục hồnh tức nằm phía xét từ trái sang phải ta thấy đồ thị xuống tức Do Bước 4: Kết luận biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số Ví dụ Cho hàm số liên tục có đồ thị hình vẽ Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu ? Ta có Từ đồ thị ta thấy hoành độ điểm cực trị nên Từ đồ thị ta thấy đồ thị cắt trục Ox điểm có hồnh độ Xét khoảng ta có: Phần đồ thị nằm phía trục hồnh tức tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị Do nên download by : skknchat@gmail.com lên tức Xét khoảng ta có: Phần đồ thị nằm phía trục hồnh tức tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị lên tức Do Tương tự khoảng cịn lại Do ta có bảng biến thiên hàm số sau: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu Bài tốn iii) tổng qt sau: Dựa vào đồ thị hàm số cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) hàm số Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số (dựa vào cơng thức đạo hàm hàm số hợp), ta có Bước 2: Giải phương trình , tức giải phương trình Để tìm nghiệm phương trình ta dựa vào đồ thị hàm số cho Chẳng hạn, đồ thị hàm số ta suy sau từ phương trình Đồng thời không xác định điểm mà nên giải tiếp để tìm x Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số Lưu ý dấu không xác định phụ thuộc vào dấu Bước 4: Kết luận biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số 10 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ Cho hàm số liên tục biến thiên hàm số có đồ thị hàm hình vẽ Xét ? Hàm số liên tục Từ đồ thị hàm số có đạo hàm ta thấy Suy Hay Từ đồ thị hàm số ta thấy ta thấy Do Từ đồ thị hàm số Do Xét khoảng Xét khoảng ta có: ta có: Do Do Tương tự khoảng cịn lại Do ta có bảng biến thiên hàm số sau: 11 download by : skknchat@gmail.com Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng nghịch biến khoảng iv Dựa vào đồ thị hàm số trình và cho, xác định số nghiệm phương với m số cho trước Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt Khi phương trình Bước 2: Số nghiệm phương trình số nghiệm phương trình (2) với t nhận tất giá trị thỏa mãn phương trình (1) - Từ đồ thị ta tìm số nghiệm t phương trình (1) đồng thời biết nghiệm t thuộc khoảng - Với nghiệm t thuộc khoảng ta tìm số nghiệm phương trình (2) Ví dụ Cho hàm số liên tục Phương trình có nghiệm ? Đặt có đồ thị hình vẽ Khi phương trình Số nghiệm phương trình số nghiệm phương trình (2) với t nhận tất giá trị thỏa mãn phương trình (1) 12 download by : skknchat@gmail.com Xét phương trình (1), Từ đồ thị ta có đường thẳng cắt ba điểm Do phương trình đồ thị hàm có ba nghiệm t sau: với , với , với Với trường hợp t ta xét số nghiệm phương trình (2) Trường hợp 1: với Khi đó, (2) trở thành đồ thị hàm Trường hợp 2: với Từ đồ thị ta có đường thẳng cắt ba điểm suy (2) có ba nghiệm phân biệt với Khi đó, (2) trở thành với Từ đồ thị ta có đường thẳng đồ thị hàm cắt ba điểm suy (2) có ba nghiệm phân biệt Trường hợp 2: với Khi đó, (2) trở thành đồ thị hàm với Từ đồ thị ta có đường thẳng cắt điểm suy (2) có nghiệm Ta thấy nghiệm đơi khác nên phương trình có bảy nghiệm phân biệt Nhận xét: Do đồ thị hàm số rõ ràng tọa độ điểm cực trị, tọa độ giao điểm đồ thị với trục tung nên tốn ta giải cách sau: Từ đồ thị suy hàm số hàm đa thức bậc ba Dựa vào điểm cực trị giao điểm đồ thị với trục tung ta tìm phương trình hàm số Khi phương trình Đặt (*) Khi (*) trở thành (1) Phương trình (1) có ba nghiệm 13 download by : skknchat@gmail.com Với nghiệm t tìm trên, vào phương trình ta tìm nghiệm x Tuy nhiên cách làm dài đòi hỏi học sinh phải tìm biểu thức hàm số Trong trường hợp đồ thị hàm số không rõ ràng tọa độ điểm cực trị hình Khi việc tìm biểu thức hàm số khó khăn gần khơng thể Do việc rèn luyện kỹ dựa vào đồ thị hàm số trình để suy số nghiệm phương (a số ) cần thiết, điều kiện thi theo hình thức trắc nghiệm Ta xét thêm ví dụ để thấy hay phương pháp giải toán dựa đồ thị hàm số biểu thức Ví dụ Cho hàm số Đặt liên tục Phương trình hàm số có đồ thị hình vẽ có nghiệm ? Giải Đặt Khi Áp dụng cơng thức đạo hàm hàm hợp ta có Khi 14 download by : skknchat@gmail.com Từ đồ thị ta có Với Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm với cắt đường thẳng ba điểm phân biệt phương trình có ba nghiệm phân biệt Với Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm với điểm phương trình Vậy phương trình cắt đường thẳng có nghiệm có nghiệm phân biệt Bài toán 2: Dựa vào đồ thị cho, tìm điều kiện tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị tìm điều kiện tham số để phương trình cho trước có bốn, năm nghiệm i Dựa vào đồ thị cho, tìm điều kiện tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị Bài toán : Cho hàm số (trong hàm đa thức bậc ba đa thức bậc bốn) có đồ thị hình vẽ Tìm giá trị tham số m để hàm số có ba bốn điểm cực trị Hướng giải Đặt Khi Trường hợp: hàm đa thức bậc ba Ta thấy ta có điểm mà suy nhiều điểm ( hàm đa thức bậc ba) không xác định điểm mà suy không xác định nhiều điểm Do số điểm cực trị hàm số nhiều điểm (vì hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm không xác định) Ta xét số trường hợp cụ thể sau: a) Phương trình + Nếu phương trình có nghiệm khơng có nghiệm chung có nghiệm phân biệt (tức điểm cực trị ) ta có đồ thị sau 15 download by : skknchat@gmail.com có (Hình vẽ cho biết , nghiệm đôi khác nhau) Suy đồ thị sau Ta thấy khoảng đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên Tương tự khoảng cịn lại nên ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị + Nếu có nghiệm có nghiệm phân biệt (tức có điểm cực trị ) ta có đồ thị sau (Hình vẽ cho biết , đơi khác nhau) 16 download by : skknchat@gmail.com nghiệm Suy đồ thị Ta thấy khoảng đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên Tương tự khoảng lại nên ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị + Nếu có nghiệm kép (tức vơ nghiệm có nghiệm khơng có điểm cực trị ) ta có đồ thị sau ( , vơ nghiệm) ( , Suy đồ thị Ta có bảng biến thiên 17 download by : skknchat@gmail.com có nghiệm kép ) Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị b) Phương trình + Nếu phương trình có nghiệm chung có nghiệm chung ta có đồ thị sau (Hình vẽ cho biết nghiệm chung phương trình Khi ta có đồ thị , và phương trình ) sau Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số n với n tính sau: tromg m số nghiệm phương trình , h số nghiệm chung phương trình 18 , k số điểm cực trị phương trình download by : skknchat@gmail.com Trường hợp: Ta thấy hàm đa thức bậc bốn điểm mà suy nhiều điểm ( hàm đa thức bậc bốn) không xác định điểm mà suy không xác định nhiều điểm Do số điểm cực trị hàm số nhiều điểm (vì hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm không xác định) Ta xét số trường hợp cụ thể sau: a) Phương trình + Nếu phương trình có bốn nghiệm (tức khơng có nghiệm chung không xác định điểm ) có ba điểm cực trị Ta có (Hình vẽ cho biết Khi ta có đồ thị , sau Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị b) Phương trình + Nếu và phương trình có nghiệm chung có nghiệm chung ta có đồ thị sau 19 download by : skknchat@gmail.com ) (Hình vẽ cho biết , nghiệm chung phương trình Khi ta có đồ thị và phương trình ) sau Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số n với n tính sau: tromg m số nghiệm phương trình , h số nghiệm chung phương trình , k số điểm cực trị phương trình Ví dụ Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cực trị Giải Ta đặt 20 download by : skknchat@gmail.com có điểm Bảng biến thiên Do hàm số có điểm cực trị nên hàm số cho có điểm cực trị đồ thị phải cắt trục hoành điểm phân biệt ba điểm cực trị khơng nằm phía với trục hồnh Vậy thỏa tốn Ví dụ Cho hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có ba điểm cực trị Giải Ta đặt Ta thấy f(x) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh nên g(x) có hai điểm cực trị Do có ba điểm cực trị phương trình phương trình có nghiệm chung tức đồ thị g(x) tiếp xúc với trục hồnh Ta có trường hợp + Điểm thuộc đồ thị g(x) nằm trục hoành phía trục hồnh + Điểm thuộc đồ thị g(x) nằm trục hoành phía trục hồnh Vậy 21 download by : skknchat@gmail.com 3 Khả áp dụng giải pháp: Giải pháp áp dụng làm toán liên quan đến đồ thị, đặc biệt cho đồ thị mà không cho biểu thức Trong toán sáng kiến kinh nghiệm này, trình bày đầy đủ bước giải tốn, học sinh áp dụng để tìm nhanh lời giải nhằm đáp ứng tốt yêu cầu thời gian thi theo hình thức trắc nghiệm Hiệu thu áp dụng sáng kiến Đối với toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số cho, xét biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có ) hàm số hàm số hàm số + Nếu kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ta cần dựa vào phần đồ thị nằm bên phải truc Oy hàm số mà không cần lập bảng biến thiên + Nếu muốn kết luận biến thiến, cực trị hàm số tốt nên lập bảng biến thiên Sau vào dấu đạo hàm mà ta kết luận biến thiên đồng thời dựa vào đổi dấu đạo hàm qua điểm mà kết luận điểm cực trị hàm số + Nếu hàm đa thức hàm có đạo hàm giao điển đồ thị khơng xác định điểm ln xác định hồnh độ với trục tung Thật vậy, ta xem áp dụng công thức đạo hàm hàm số hợp ta có định điểm nên , từ ta thấy rõ ràng hay điểm hoành độ giao điểm đồ thị không xác với trục tung Đối với tốn 2: Dựa vào đồ thị cho, tìm điều kiện tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị tìm điều kiện tham số để phương trình cho trước có bốn, năm nghiệm Học sinh cần biết mô đồ thị hàm số phân tích trường hợp để có lời giả 22 download by : skknchat@gmail.com - Qua phân tích để hạn chế sai sót q trình giải tốn nhằm giúp học sinh tự tin làm tốn Tài liệu kèm theo: Khơng có Bến Tre, ngày 15 tháng năm 2018 23 download by : skknchat@gmail.com ... trung vào giải toán sau: Bài toán 1: Dựa vào đồ thị cho, tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số tìm số điểm cực trị hàm số tìm số nghiệm phương trình cho trước Bài toán 2: Dựa vào đồ thị cho,... thiên, cực trị đồ thị hàm số để giải toán dạng biết đồ thị hàm số đồng thời đòi hỏi học sinh kỹ tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số tìm điểm cực trị hàm biết đồ thị hàm số Phương pháp có thuận... hàm thuộc K hàm số hàm số hợp có có đạo hàm điểm (trong K khoảng hợp nhiều khoảng) hay viết gọn b Từ đồ thị đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số hàm số Ta có Do đồ thị Phần 1: Phần đồ thị gồm hai