Hướng dẫn học sinh giải các bài toán tích phân hàm ẩn 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một[.]
Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn 1- MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tốn học có vai trị vị trí đặc biệt quan trọng khoa học kĩ thuật đời sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng mơn khoa học khác Thơng qua việc học Tốn, học sinh nắm vững nội dung toán học phương pháp giải tốn từ vận dụng vào môn học khác môn khoa học tự nhiên Chính tốn học có vai trị quan trọng trường phổ thơng, địi hỏi người thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương pháp dạy học giúp học sinh học giải toán, đồng thời vận dụng vào thực tế Các tốn Tích phân đặc biệt tốn tích phân hàm ẩn – dạng tốn mà hàm dấu tích phân chưa xác định cụ thể nên học sinh cấp THPT tốn khó, vấn đề nan giải học sinh THPT, đặc biệt học sinh dự thi THPT Quốc Gia năm gần Năm học 20162017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Khi làm toán yêu cầu học sinh phải có kỹ năng, có suy luận tư toán học nhanh nhạy đồng thời phải nắm kiến thức Trong chương trình THPT vấn đề giải toán hàm ẩn gây nhiều khó khăn học sinh đặc biệt tốn tích phân Thơng thường tốn tích phân xác định hàm dấu tích phân việc tìm kết học sinh chương trình thi trắc nghiệm khơng có khó nhiên tốn tích phân hàm ẩn khác ln gây nhiều khó khăn cho học sinh trình tìm kết Trong trình dạy đọc tài liêu tham khảo, tơi rút kỹ nhỏ giúp học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Xây dựng chương trình giải bước quan trọng, để có chương trình giải tối ưu trước hết phải nghiên cứu thật kĩ cấu trúc toán, xem xét nhiều góc độ, nắm kiến thức từ định hướng giải phù hợp Các tốn tích phân hàm ẩn ln tốn khó có nhiều tư logic tổng hợp nhiều kiến thức chương trình THPT, giáo viên cần LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn trang bị cho học sinh để giúp em giải tốt tốn chương trình thi THPT Quốc Gia góp phần nâng cao tư tốn học, tạo điều kiện cho việc học tốn nói riêng q trình học tập nói chung Trong q trình dạy học, ơn thi THPT Quốc Gia tơi nhận thấy phần tốn tích phân hàm ẩn học sinh cịn lúng túng làm tốn Với đề tài hy vọng giúp học sinh khơng bỡ ngỡ gặp tốn tích phân hàm ẩn đồng thời hình thành học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát hiên giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn 1.2 Mục đích nghiên cứu Để cho học sinh thấy mối liên hệ tích phân hàm ẩn với định nghĩa, tính chất phương pháp tính tích phân như: đổi biến, phần Từ làm tốt dạng tốn này, mang lại kết cao kì thi, đặc biệt kì thi THPTQG 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài vận dụng số lý thuyết chương trình SGK 12 để giải dạng tốn tích phân liên quan đến hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận Định nghĩa tích phân : “Cho hàm số liên tục đoạn đoạn Hiệu số tích phân xác định đoạn Giả sử nguyên hàm gọi tích phân từ đến (hay ) hàm số , ký hiệu: b a Ta ký hiệu: F ( x ) b a F (b ) F ( a) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Vậy: b f ( x ) dx F(x) b a F (b )F ( a) a *Nhận xét: a) Tích phân hàm số từ đến ký hiệu b f ( x) dx hay a b) Tích phân phụ thuộc vào hàm , cận , mà không phụ thuộc vào biến số hay Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số liên tục khơng âm đoạn b f ( x) dx diện tích S hình thang giới hạn đồ thị , trục Ox hai a đường thẳng x = a; x = b ( hình vẽ) y y S f ( x) ( x) Oa Vậy S x b b x f ( x) dx a Tính chất b Tính chất 1: kf ( x) dx k b f ( x) dx a a b Tính chất 2: [f ( x) g( x)] dx b f ( x) dx a b Tính chất 3: a a f ( x) dx c f ( x) dx a b a b f ( x) dx ( c Giả sử hàm số có đạo hàm liên với t thuộc f ( x) dxf ( (t)) ' ( t) dt g( x) dx a Phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến số: “Cho hàm số f(x) liên tục đoạn tục đoạn cho Khi đó:” b LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng dẫn học sinh giải toán tích phân hàm ẩn Chú ý: Để tính b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn f ( x) dx ta chọn hàm số a = u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục [a; b] u(x) thuộc [ ; ] Ta biến đổi f(x) g(u(x)).u’(x) Khi ta có: b f ( x) dx = a u ( b) g(u) du u ( a) Phương pháp tính tích phân phần: “Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] Hay b u dv uv a 2.2 Thực trạng vấn đề Do giảm tải kiến thức bậc THPT mà số lượng tập SGK dùng phương pháp để giải cịn ít, Phương pháp khơng mang tính chất phổ biến bắt buộc Chính lẽ mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp cách máy móc chưa biết sử dụng Đối với học sinh giỏi việc tiếp cận phương pháp để giải toán vấn đề cần thiết giúp cho em có kỉ năng, kỉ xảo việc giải tập vận dụng cao đồng thời chuẩn bị cho em kiến thức vững vàng đạt kết cao kì thi THPTQG Hịa chung vào phấn đấu tổ chuyên môn nhà trường đội ngũ giáo viên tổ Tốn khơng ngừng phấn đấu đóng góp đáng kể vào thành tích chung nhà trường Tuy nhiên thực trạng dạy học toán trường THPT nói chung trường THPT Tĩnh gia nói riêng điều trăn trở Về phiá học sinh: + Mặc dù học sinh ý thức tầm quan trọng toán học, nhiên chất lượng học tập mơn Tốn chưa thật cao chưa đồng Chất lượng tương đối ổn định số lớp khối + Vẫn học sinh chưa xác định động mục đích học tập, học ý thức phấn đấu, vươn lên Mơn tốn học sinh thường mắc phải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn sai lầm từ phép biến đổi đơn giản, cách giải tốn hàm ẩn, có q nhiều lỗ hổng kiến thức Khả tiếp thu học sinh cịn hạn chế Về phía giáo viên: Trong năm gần thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm nên lượng kiến thức rộng Bên cạnh hệ thống tập chưa đáp ứng nhu cầu thực tiễn, chưa có chiều sâu, dừng lại việc cải tiến phương pháp Trong trình giảng dạy ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức mà chưa trọng đến cách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá lĩnh hội kiến thức từ chưa khơi dậy niềm đam mê hứng thú học tập, chưa gợi động học tập cho hoạc sinh 2.3 Một số biện pháp Dạng 1: Sử dụng định nghĩa tính chất Phương pháp chung: Định nghĩa tích phân : “Cho hàm số liên tục đoạn đoạn Hiệu số tích phân xác định đoạn Giả sử nguyên hàm gọi tích phân từ đến (hay ) hàm số , ký hiệu: b f ( x) dx a b a Ta ký hiệu: F ( x ) F (b ) F ( a) b Vậy: f ( x ) dx F ( x ) b a F (b ) F ( a) a *Nhận xét: a) Tích phân hàm số từ đến ký hiệu b f ( x) dx a b) Tích phân phụ thuộc vào hàm , cận , mà không phụ thuộc vào biến số hay Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số liên tục khơng âm đoạn b f ( x) dx diện tích S hình thang giới hạn đồ thị , trục Ox hai a đường thẳng x = a; x = b ( hình vẽ) hay LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn y y f ( x) S ( x) O Vậy S a x b b x f ( x) dx a Tính chất b Tính chất 1: kf ( x) dx k b a b Tính chất 2: f ( x) dx a [f ( x) g( x)] dx b a b Tính chất 3: f ( x) dx a f ( x) dx a c f ( x) dx a b g( x) dx a b f ( x) dx ( a c b) c Ví dụ (Câu 16, Mã đề 108-THPTQG năm 2019) Cho hàm số Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đường (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? A C Phân tích tốn: B D Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Trên đoạn đồ thị nằm trục hồnh nên Trên đoạn đồ thị nằm phía trục hồnh nên Lời giải Ta có ; Vậy Nhận xét Đa số học sinh chọn C suy nghĩ diện tích dương nên cộng lại Ví dụ ( Câu 10, Mã đề 108-THPTQG năm 2019) Biết , A B C D Phương pháp: sử dụng tính chất b b [f ( x) g( x)] dx f ( x) dx a b a g( x) dx a Lời giải Theo đề nên: Ví dụ 3.( Câu 48 mã đề 101- THPTQG năm 2018) Cho hàm số f f x f A 35 x 2x f với x x B 36 Ta có f x C f x 2x f x f f x x f Giá trị Lời giải 19 36 D x f x 2x f x ... luanvanchat@agmail.com Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Vậy: b f ( x ) dx F(x) b a F (b )F ( a) a *Nhận xét: a) Tích phân hàm số từ đến ký hiệu b f ( x) dx hay a b) Tích phân phụ thuộc vào hàm , cận... luanvanchat@agmail.com Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn sai lầm từ phép biến đổi đơn giản, cách giải tốn hàm ẩn, có q nhiều lỗ hổng kiến thức Khả tiếp thu học sinh cịn hạn chế Về phía.. .Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn trang bị cho học sinh để giúp em giải tốt tốn chương trình thi THPT Quốc Gia góp phần nâng cao tư tốn học, tạo điều kiện cho việc học tốn