Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Phần MỞ ĐẦU MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN Đại số tổ hợp ngành toán học rời rạc, nghiên cứu cấu hình kết hợp phần tử tập hữu hạn phần tử Các cấu hình các hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phần tử một tập hợp Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của tốn học, như đại số, lí thuyết xác suất, lí thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, đến ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lí thống kê Đại số tổ hợp liên quan đến khía cạnh giải vấn đề lẫn xây dựng sở lí thuyết, nhiều phương pháp lí thuyết vững mạnh xây dựng, tập trung vào cuối kỉ 20 Một mảng lâu đời của đại số tổ hợp là lí thuyết đồ thị Trong khoa học máy tính, đại số tổ hợp được dùng nhiều để ước lượng số phần tử hp Trong chơng trình Đại số Giải tích lớp 11, chủ đề Đại số tổ hợp nội dung quan träng, cã rÊt nhiỊu nh÷ng tht ng÷, kÝ hiệu, khái niệm, dạng toán khó Trong kì thi Tốt nghiệp THPT thi Tuyển sinh Đại học trớc đây, nh kì thi THPT Quốc gia này, nội dung liên quan tới Đại số tổ hợp đợc ý mức độ định Với kì thi học sinh giỏi, nội dung lại xuất dạng câu hỏi khó LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Thùc tÕ cho thấy không học sinh khó khăn việc nhận diện đợc khái niệm toán học, nhầm số khái niệm, nh chỉnh hợp với tổ hợp, nhầm lẫn việc áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân Các học sinh đội tuyển học sinh giỏi gặp vớng mắc giải toán thuộc chủ đề Nhằm giúp học sinh khắc phục đợc nhợc điểm nêu trên, từ đạt đợc kết cao giải toán Đại số tổ hợp nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung, chọn đề tài Hng dn hc sinh gii mt số tốn đại số tổ hợp” TÍNH MỚI VÀ ƯU ĐIỂM NỔI BẬT CỦA SÁNG KIẾN - Nêu rõ khái niệm, tính chất, cơng thức tính Đại số tổ hợp trình bày SGK hành, phân tích giúp học sinh tránh nhầm lẫn khái niệm, công thức - Phân loại dạng toán Đại số tổ hợp chương trình THPT (cơ bản) thành dạng, nêu bật phương pháp giải cho dạng, có ví dụ minh họa cụ thể, giúp học sinh nắm phương pháp biết cách vận dụng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số - Xây dựng hệ thống tập tổng hợp để học sinh ôn luyện nhằm củng cố kiến thức phương pháp ĐÓNG GÓP CA SNG KIN Đề tài nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nội dung Đại số tổ hợp đợc trình bày Chơng - Tổ hợp Xác suất, sỏch giỏo khoa (SGK) Đại số Giải tÝch 11, bậc Trung học Phổ thơng (THPT), nh»m n©ng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm trình giảng dạy, đồng thời nghiên cứu chủ đề để đề xuất vấn đề thuộc phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán tổ hợp Đề tài đà góp phần: - Trang bị cho học sinh kiến thức Đại số tổ hợp - Rèn luyện kỹ làm toán Đại số tổ hợp - Đóng góp tài liệu tham khảo cho giáo viên trình giảng dạy nội dung Đại số tổ hợp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Phần NỘI DUNG Chương 1: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Qua tìm hiểu, tơi nhận thấy việc dạy học nội dung Đại số tổ hợp có số điều đáng bàn sau 1) Giáo viên số hạn chế kiến thức toán cao cấp liên quan đại số đại cương, nhìn tổng quan cho chủ đề chưa thực đầy đủ, điều dẫn tới việc áp dụng kiến thức Đại số tổ hợp vào giải tốn có phần hạn chế, có lúc cịn thiếu linh hoạt, tinh tế 2) Đây chủ đề mà lượng kiến thức đưa vào bậc THPT dừng mức độ định (trong dạng tốn đơi lại địi hỏi số phân tích phức tạp), dễ gây tâm lí chủ quan giáo viên lẫn học sinh Chính tâm lí chủ quan dẫn tới sai lầm đáng tiếc Có nhiều nội dung dễ bị nhầm lẫn với nhau, hoán vị chỉnh hợp, tổ hợp chỉnh hợp, quy tắc cộng quy tắc nhân, điều gây khó khăn cho học sinh q trình học tập Bên cạnh tốn bản, xuất nhiều toán với lối tư kĩ thuật phức tạp (chẳng hạn kì thi học sinh giỏi), khiến giáo viên gặp khơng khó khăn giải toán giảng dạy, hướng dẫn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 3) Việc hình thành kĩ áp dụng cho học sinh công việc phải tiến hành thường xuyên, liên tục, tỉ mỉ, thận trọng Tuy nhiên số giáo viên chưa trọng việc bồi dưỡng kĩ trình bày, bồi dưỡng mảng kiến thức liên quan tới tập hợp số, liên quan tới mệnh đề, thống kê từ lớp 10, dẫn tới tạo độ ỳ lớn học sinh lên lớp 11 (và lớp 12) 4) Nhiều học sinh học tập cách thụ động, trông chờ thầy cô cung cấp kiến thức, làm theo mẫu sẵn, thiếu tính sáng tạo Chương 2: MỘT SỐ GIẢI PHÁP CHỦ YẾU Trong chương này, tơi trình bày sơ lược cở sở lí thuyết chuyên đề “Đại số tổ hợp” dựa theo chương trình SGK hành, phân chia dạng toán cụ thể để giúp học sinh hiểu vận dụng tốt kiến thức Trong chương này, đề cập tới số tốn liên quan tới đạo hàm, tích phân, số phức để giáo viên tham khảo Khi trình bày cho học sinh lớp 11, nội dung tạm lược bớt LÍ THUYẾT CƠ BẢN 1 Hai quy tắc đếm Với tập gồm hữu hạn phần tử, ta kí hiệu Cho hai tập hợp ( số phần tử Dễ thấy gồm hữu hạn phần tử) Ta định nghĩa tích tập xác định LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Nói chung, Nếu kí hiệu Chẳng hạn 1.1.1 Quy tắc cộng Cho hai tập hợp có hữu hạn phần tử a) Quy tắc cộng với b) Quy tắc cộng mở rộng c) Chú ý Quy tắc cộng phát biểu sau: “Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có cách thực hiện, hành động có cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có cách thực hiện.” Quy tắc cộng quy tắc cộng mở rộng phát biểu cho trường hợp có nhiều tập hợp hữu hạn phần tử Chẳng hạn, với tập có hữu hạn phần tử, ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 1.1.2 Quy tắc nhân Cho hai tập hợp có hữu hạn phần tử Ta có Quy tắc nhân cịn phát biểu sau: “Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu có cách thực hành động thứ ứng với cách có cách thực hành động thứ hai cơng việc có cách thực hiện.” Tương tự với quy tắc cơng, quy tắc nhân phát biểu cho nhiều tập hợp hữu hạn phần tử Tiếp theo, trình bày khái niệm hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp cơng thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp Giáo viên cần dành thời lượng phù hợp để phân tích kĩ, giúp học sinh hiểu rõ phân biệt ba khái niệm trên, tránh nhầm lẫn giải toán 1.2 Hoán vị LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 1.2.1 Hoán vị thẳng Cho tập hợp gồm phần tử ( gọi hoán vị Gọi ) Mỗi cách xếp thứ tự phần tử tập số hoán vị tập có (hoặc hốn vị tập người ( ), có cách xếp ) phần tử, ta có (quy ước Với phần tử ) người thành hàng ngang (hoặc hàng dọc) 1.2.2 Hốn vị vịng Cho phần tử ( ) Có cách xếp phần tử thành vòng tròn 1.3 Chỉnh hợp Cho tập hợp gồm ) xếp hợp chập phần tử ( phần tử từ ( phần tử theo thứ tự định gọi chỉnh phần tử tập Số chỉnh hợp chập ) Mỗi cách lấy (hoặc chỉnh hợp chập phần tử kí hiệu tập ) tính theo cơng thức (lưu ý ) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Như vậy, ta coi hốn vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử 1.4 Tổ hợp Cho tập hợp tập tập gồm phần tử ( gọi tổ hợp chập ) Mỗi tập gồm ( phần tử tập ) phần tử (hoặc tổ hợp chập ) Số tổ hợp chập phần tử kí hiệu tính theo cơng thức Ta nhận thấy rằng: 1) 2) 3) 4) 5) Các số số nguyên dương 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 1.5 Công thức nhị thức Niutơn Trong khai triển trên, số hạng tổng quát có dạng Các hệ số khai triển xác định theo tam giác Pascal sau 1.6 Phương pháp làm trội Để tính tổng có dạng Để tính tích có dạng ta phân tích ta phân tích 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Từ thành phố A thành phố B có đường Từ thành phố B thành phố C có đường Từ thành phố C thành phố D có đường Hỏi có cách từ A tới D qua B, qua C lần ? Bài Có số nguyên dương ước Bài Từ chữ số đồng thời bội 2015 ? lập số nguyên dương nhỏ 1000 có chữ số phân biệt ? Bài Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số nguyên dương a) Có chữ số, mà chữ số hàng trăm lớn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị ? b) Có chữ số, có chữ số giống ? c) Chia hết cho có chữ số đơi phân biệt ? d) Có chữ số phân biệt, thiết phải có mặt chữ số ? Bài Có số nguyên dương có chữ số mà chữ số cách chữ số giống ? 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Bài Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Cô giáo cần chọn nhóm gồm học sinh từ tổ Hỏi có cách chọn cho học sinh chọn a) Có nam nữ ? b) Có học sinh nữ ? c) Có nhiều học sinh nữ ? d) Có học sinh nữ ? e) Số học sinh nữ số học sinh nam ? Bài Có số tự nhiên lớn 4000 có chữ số lập từ a) Các chữ số đôi phân biệt ? b) Các chữ số không thiết phân biệt ? c) Các chữ số đôi phân biệt ln có mặt chữ số ? Xét câu hỏi tương tự thay Bài Thầy giáo cần phát sách khác cho học sinh, cho học sinh sách (lưu ý sách phát hết) Hỏi thầy giáo có cách thực ? 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Bài Từ chữ số 1, 2, lập số nguyên dương có chữ số cho ba chữ số có mặt ? Bài 10 Có cách cắm hết hoa khác vào lọ hoa khác nhau, trường hợp sau a) Một lọ cắm bông, lọ cắm lọ cịn lại cắm bơng ? b) Mỗi lọ cắm bơng ? Bài 11 Có m cơng việc khác giao hết cho n người, người giao cơng việc công việc giao cho người Hỏi có cách phân cơng, biết ? Bài 12 Một giải đấu thể thao có 45 vận động viên tham gia Ban tổ chức có phương án để trao huy chương vàng cho vận động viên có thành tích tốt nhất, trao huy chương bạc cho vận động viên có thành tích thứ nhì, trao huy chương đồng cho vận động viên có thành tích thứ ba, biết khơng có vận động viên nhận nhiều huy chương ? Bài 13 Chứng minh a) b) c) 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số d) e) f) g) h) i) j) Bài 14 Chứng minh đẳng thức a) b) c) với d) e) Bài 15 Chứng minh bất đẳng thức 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số a) b) Bài 16 Giải phương trình tập số nguyên dương a) b) c) Bài 17 Tính giá trị biểu thức Bài 18 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1) 2) 3) 4) 5) 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Bài 19 Tìm biết khai triển viết theo lũy thừa giảm dần biểu thức bậc hai hệ số thứ 21, hệ số thứ 2, 3, số hạng thứ 1, 3, cấp số cộng Bài 20 a) Tìm số hạng chứa khai triển b) Tìm số hạng có hệ số lớn nhỏ khai triển c) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển d) Tìm hệ số số hạng chứa biết biết e) Tìm hệ số số hạng chứa f) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển khai triển , biết 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số g) Tìm hệ số khai khai triển thành đa thức Tính tổng tất hệ số tương ứng với bậc lẻ h) Tìm số hạng có hệ số lớn số hạng có hệ số nhỏ khai triển , biết tổng tất hệ số số hạng bậc chẵn (gồm số hạng tự do) 4882813 Chương 3: KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG Trong chơng Tổ hợp Xác suất Đại số tổ hợp lâu đợc xem dạng toán khó, khái niệm khó nhớ, khó phân biệt Với quy tắc cộng thực tế học sinh đà làm quen từ lớp dới Bản chất toán học quy tắc cộng công thức tính số phần tử hai tập hợp hữu hạn không giao Nếu A B hai tập hợp hữu hạn phần tử chung Tuy nhiên quy tắc cộng SGK đợc trình 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yờn Phong s bày dới dạng mô tả: Giả sử có công việc đợc thực theo phơng án A phơng án B Có n cách thực theo phơng án A m cách thực theo phơng án B Khi công việc đợc thực theo n + m cách Quy tắc đơn giản nhng không nắm vững học sinh dễ mắc sai lầm Đối với giáo viên, phần Đại số tổ hợp, nói chung, khó dạy Do vấn đề dạy học chủ đề Đại số tổ hợp cần đợc nghiên cứu rèn luyện cho học sinh nắm vững chất khái niệm: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp phân biệt khái niệm với Nắm vững kí hiệu: số chỉnh hợp chập k n chỉnh hợp chập k n phần tử, số tổ hợp chập k n tổ hợp chập k n phần tử, số hoán vị n phần tử Cần rèn cho học sinh kỹ giải toán đếm số tổ hợp ,chỉnh hợp, toán hoán vị thẳng, hoán vị vòng, toán đếm số số thoả mÃn tính chất hình thành từ tập với mức độ phổ thông, bản, theo yêu cầu sát với thực tiễn Sau c rốn luyện hệ thống kiến thức trên, với việc phân chia dạng tốn hợp lí, em học sinh hiểu rõ số nội dung Đại số tổ hợp, 50 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số giống nhau, điểm khác khái niệm, vận dụng linh hoạt tính chất, gúp phn bi dng nim đam mê, yêu thích môn toán cho hc sinh, lực t kỹ giải toán học sinh đợc nâng lờn, học sinh giỏi Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức có k giải toán tơng tự, sở học sinh giải đợc toán tổng hợp Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ logic, kết cao, với kết nh sau Năm học 2014 2015 2015 - 2016 Lớp Số học sinh đạt ®iÓm xi SÜ sè 10 11A5 48 11 10 12 11A11 32 15 11A1 45 10 7 11A4 41 1 15 15 11A8 44 13 13 2 51 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Phần KẾT LUẬN Qua đề tài này, nhận thấy: 1) Đây chủ đề học sinh, giáo viên nên có bước chuẩn bị tốt kiến thức, phương pháp tâm cho riêng mình, hướng dẫn học sinh tiếp cận với kiến thức cách tự nhiên, nhẹ nhàng 2) Các kiến thức lựa chọn để cung cấp cho học sinh cần giáo viên cân nhắc kĩ lưỡng, vào nội dung chương trình, chuẩn kiến thức - kĩ năng, vào phạm vi kiến thức thi THPT Quốc gia thi HSG, vo i tng hc sinh Giáo viên nờn hớng dẫn học sinh giải toán cách phânloại dạng toán, 52 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số từ học sinh nâng cao đợc khả t tính sáng tạo giải toán, đồng thời làm cho học sinh hiểu rõ đợc vai trò ý nghĩa phơng pháp Khụng nờn la chn cỏc đề q khó gặp, gây tải cho học sinh, không nên đề cập tới vấn đề đơn giản để tránh nhàm chán tránh thái độ chủ quan học sinh 3) Giáo viên nên hướng dẫn khích lệ học sinh phương pháp tự học, tự đọc tài liệu tham khảo, tạo cho học sinh nhận thức rõ động lực học tập mình, nâng cao tự giác, sáng tạo học tập, có việc học tập có nhiều tiến Hiện nay, sách tham khảo chủ đề nhiều, giáo viên tạo phong trào tự học, tự đọc tài liệu tham khảo học sinh việc giảng dạy vừa đỡ vất vả hơn, lại vừa mang lại hiệu cao 4) Ngay từ lớp 10, giáo viên nên hình thành cho học sinh phương pháp áp dụng kiến thức tập hợp, tập hợp số, kiến thức mệnh đề để giải toán, từ hình thành cho học sinh hiểu biết sâu hơn, hệ thống, chủ động tự nhiên Trong đề tài tơi trình bày nội dung trọng tâm Đại số tổ hợp chương trình tốn THPT, dạng tốn Đại số tổ hợp thường gặp kì thi THPT Quốc gia, thi HSG, đưa giải pháp hợp lí để giải dạng tốn đó, phân tích số sai lầm học sinh mắc phải, nhiều ví dụ minh họa trình bày nhiều cách giải khác nhau, hệ thống tập tổng hợp chọn lọc kĩ có chất lượng 53 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Từ góp phần tích cực vào nâng cao hiệu dạy học chủ đề Đại số tổ hợp Phần nội dung sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Tơi kiến nghị cấp quản lí, tổ chun mơn quan tâm tới nội dung Đại số tổ hợp chương trình phổ thơng, có đạo kịp thời để nội dung giảng dạy học tập cách hiệu nhất, bước vận dụng kiến thức Đại số tổ hợp vào giải vấn đề khác toán học khoa học nói chung Tơi đề nghị thư viện nhà trường bổ sung thêm tài liệu tham khảo chủ đề để phục vụ tốt nhu cầu tham khảo giáo viên học sinh Tơi kính mong đồng nghiệp cho ý kiến góp ý, phê bình đề tài này, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, để nội dung mà đề tài đề cập đến thực hiệu thời gian tới Tôi chân thành cảm ơn giúp đỡ BGH, đồng nghiệp em học sinh suốt q trình tơi giảng dạy trường q trình hồn thiện đề tài Tác giả Nguyễn Văn Xá 54 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Phần PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban bản, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [2] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban KHTN, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [3] Bộ Giáo dục Đào tạo, Tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ năng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 55 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số [4] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Đổi phương pháp dạy học ví dụ minh họa, Tốn 10, 11, 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [5] Nguyễn Trọng Tuấn, Đặng Phúc Thanh, Rèn luyện giải tốn Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục, 2007 [6] Võ Anh Dũng (tổng chủ biên), Giải tốn Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 [7] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Doãn Minh Cường, Nguyễn Khắc Minh, Phạm Đức Tài, Hướng dẫn ơn tập kì thi THPT Quốc gia năm học 2014-2015, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2015 [8] Phạm Khắc Ban, Nguyễn Xn Bình, Dỗn Minh Cường, Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Đức Nghị, Phạm Minh Phương, Bộ đề mơn Tốn chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2015 [9] Nguyễn Thành Anh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Nguyễn Minh Phương, Hồng Việt, Ơn tập mơn Tốn chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2015 [10] Đề thi TN THPT, ĐH-CĐ, thi THPT Quốc gia thi HSG năm [11] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục Việt Nam [12] Tài liệu Internet 56 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 57 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... nhóm gồm học sinh từ tổ Hỏi có cách chọn cho học sinh chọn a) Có nam nữ ? b) Có học sinh nữ ? c) Có nhiều học sinh nữ ? d) Có học sinh nữ ? e) Số học sinh nữ số học sinh nam ? Bài Có số tự nhiên... đứng cạnh 2.3 Một số toán chỉnh hợp Ví dụ Một lớp có 41 học sinh Có cách chọn học sinh, học sinh làm lớp trưởng, học sinh làm bí thư, học sinh làm cờ đỏ ? Lời giải Mỗi cách chọn học sinh để phân... vấn đề thuộc phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán tổ hợp Đề tài đà góp phần: - Trang bị cho học sinh kiến thức Đại số tổ hợp - Rèn luyện kỹ làm toán Đại số tổ hợp - Đóng góp tài liệu tham khảo