SKKN phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Chương trình tổ hợp xác suất Bộ Giáo Dục Đào Tạo đưa vào chương trình tốn đại số giải tích lớp 11 nhằm cung cấp kiến thức hình thành, phát triễn kỹ giải toán đếm, tổ hợp, xác suất thống kê phát triễn phẩm chất tư khác cho học sinh Đặc trưng mơn học tính logic cao đem lại nhiều khó khăn thách thức cho thầy trò chứa đựng nhiều hội cho q trình rèn luyện phát triễn tư duy, trí tưởng tượng, khả tìm tịi, óc sáng tạo nhiều kỹ khác.Trong hai vấn đề lớn xuyên suốt toán đếm toán xác suất.Học sinh để làm tốn xác suất cần làm toán đếm.Như toán đếm toán quan trọng chương trình Khi nghiên cứu sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11 (chương trình hành) tơi thấy dạng toán đếm tương đối đơn giản sơ lược.Với số lượng làm cho giáo viên học sinh lúng túng việc tiếp cận nâng cao lực toán học.Đặc biệt học sinh chưa có hội để phân biệt khác khái niệm trình áp dụng Học sinh thiếu hội để cọ xát tiếp cận nhiều dạng toán đáp ứng nhu cầu tìm tịi phát triển tư Bên cạnh đó, với đổi cách học thi lại gây thêm khó khăn cho học sinh trình tự học, tự sáng tạo Tuy nhiên nghiên cứu kỹ tơi thấy có xuất số toán đơn giản tìm hiểu sâu ta thấy chất chứa đựng số nội dung quan trọng Nếu người dạy người học biết cách khai thác phát triển thu nhiều vấn đề mẻ Đặc biệt người học, khơi nguồn sáng tạo họ hăng say tìm tòi hội tốt để họ phát triển tư toán học lên tầm cao Với ý tưởng thúc đẩy nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm dạy học cho năm học 2021-2022 có tên: “ Phát triển, xây dựng số toán sách giáo khoa đại số & giải tích lớp 11 chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao lực tư học sinh” Mục đích nghiên cứu Trước tượng mâu thuẩn tồn thực tiễn giáo dục trên, tơi tìm tịi nghiên cứu đề tài nhằm đạt mục đích sau: Thứ nhất: Giúp em nắm vững lý thuyết quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trang bị cho em số phương pháp giải toán Thứ hai: Củng cố khắc sâu kiến thức đại số, hình học có liên quan, rèn luyện kỷ tính tốn, lập luận Thứ ba: Rèn luyện tư linh hoạt, sáng tạo, tư giải vấn đề, tư biện chứng, xây dựng phát triển lịng say mê u thích tốn học nói riêng khoa học nói chung Nâng cao lực tư duy, sáng tạo, lực tự học học sinh học chủ đề đại số tổ hợp Đối tượng, phạm vi nhiệm vụ nghiên cứu 3.1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh khối 11 khối 12 cấp trung học phổ thơng - Các tốn sách giáo khoa, sách tập đại số giải tích lớp 11, đề thi đại học, cao đẳng thuộc chủ đề đại số tổ hợp 3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài làm rõ vấn đề sau: - Cơ sở lí luận thực tiễn lực tư duy, sáng tạo, lực tự học học sinh học chủ đề đại số tổ hợp - Để phát triển lực tư duy, sáng tạo, lực tự học học sinh học chủ đề đại số tổ hợp ta cần phải thực biện pháp - Kết thực nghiệm sao? Phương pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu tâm lí giáo dục, tài liệu giáo dục học, tài liệu lí luận giảng dạy mơn tốn làm sở để đề đề xuất biện pháp nhằm phát triển lực tư duy, sáng tạo, lực tự học học sinh 4.2 Quan sát trao đổi: Thực việc trao đôi với giáo viên học sinh, tham khảo tài liệu để đề xuất thành tố lực tư duy, sáng tạo, lực tự học học sinh 4.3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu đề tài Dự báo đóng góp đề tài Đề tài xây dựng thành tố lực tư nhằm giúp học sinh nắm chất tốn từ học sinh sẻ nâng cao lực tụ học sáng tạo Đề tài đề xuất biện pháp nhằm bồi dưỡng lực tư học sinh thông qua dạy học chủ đề đại số tổ hợp Đề tài dùng để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trung học phổ thông PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I Cơ sở lí luận thực tiển I Một số khái niệm, kiến thức thuật ngữ liên quan đến đề tài Năng lực toán học Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Thơng qua chương trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành phát triển lực toán học, biểu tập trung lực tính tốn Năng lực toán học bao gồm thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Tùy vào đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt khối lớp, lực toán học học sinh biểu mức độ khác Dạy học theo hướng phát triển lực học sinh chuyển đổi từ việc “học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết làm gì” tình bối cảnh khác Do dạy học theo hướng phát triển lực học sinh trọng lấy học sinh làm trung tâm giáo viên người hướng dẫn, giúp em chủ động việc đạt lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân Tư 2.1 Khái niệm Hiện nay, tư khái niệm chưa thống chưa có định nghĩa thể trọn vẹn hết đặc điểm, tính chất, vai trị tư Từ trước đến có nhiều cơng trình nghiên cứu phát triển tư duy, xong người nghiên cứu không đưa định nghĩa tư cụ thể mà đưa cách hiểu thân không làm hạn chế lực tư hay gói gọn suy nghĩ phạm vi cụ thể Mỗi lĩnh vực khác lại nghiên cứu tư góc nhìn khác Theo quan điểm nhà tâm lý học Mác - xít dựa tảng chủ nghĩa vật biện chứng khẳng định: tư sản phẩm quan vật chất sống có tổ chức cao óc người; hình thành trình hoạt động thực tiễn người Theo “Từ điển bách khoa Việt Nam”, tập (Nhà xuất Từ điển bách khoa, Hà Nội): Tư sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt – não người Tư phản ánh tích cực thực khách quan dạng khái niệm, phán đoán, lý luận… Theo Art Costa, giáo sư danh dự giáo dục Đại học bang California, Sacramento đồng sáng lập Viện hành vi thông minh El Dorado Hills, California cho rằng:“Tư cảm nhận nhận kiện, thông tin diễn mối quan hệ” Theo V.I Lê nin: "Tư người ta - sâu cách vô hạn, từ giả tưởng tới chất, từ chất cấp một, vậy, đến chất cấp hai đến vô hạn" Tức tư phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, trung thành hơn, đầy đủ hơn, sâu cách vô hạn, tiến gần đến chân lý khách quan Trong “Những khía cánh tâm lý quản lý” Mai Hữu Khuê cho rằng: "Tư trình tâm lý phản ánh mối liên hệ quan hệ đối tượng hay tượng thực khách quan" Trong “Tâm lý học đại cương” tập thể tác giả:Trần Minh Đức, Nguyễn Quang Uẩn, Ngô Cơng Hồn, Hồng Mộc Lan lại cho: "Tư q trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ có tính quy luật vật tượng mà trước ta chưa biết” Tựu chung lại, tư hiểu q trình tâm lý thể khả nhận thức bậc cao diễn não người Q trình thu nhận thơng tin từ xúc giác, thị giác, vị giác, khứu giác, thính giác qua dây thần kinh đến não giúp người có tư rõ ràng, sâu sắc, trừu tượng, vật, tượng đời sống đường khái quát hoá, hướng sâu vào nhận thức chất, quy luật đối tượng 2.2 Đặc điểm tư Tư người xuất gặp hoàn cảnh hay tình có vấn đề Những hồn cảnh hay tình chứa đựng vấn đề đòi hỏi người phải tư tìm cách giải hiểu biết ban đầu phương thức giải trước giải triệt để vấn đề vừa phát sinh Tư cịn mang tính gián tiếp, thể thông qua việc người sử dụng ngôn ngữ để tư Không vậy, ngôn ngữ tư cịn có mối quan hệ khăng khít với nhau, khơng có ngơn ngữ người khơng thể tư kết tư để chủ thể hay thân người khác tiếp nhận Ngồi ra, tư khơng thể vật, tượng cách riêng lẻ mà rút khỏi vật, tượng cụ thể, cá biệt giữ lại thuộc tính chất chung xếp chúng thành nhóm, loại, phạm trù Tư dựa vào nhận thức cảm tính nhận thức cảm tính lại chịu tác động ngược lại tư sản phẩm trình nên ta nhận thấy hoạt động tư cịn có tượng khơng chịu chi phối từ kinh nghiệm cảm tính 2.3 Các giai đoạn tư Quá trình tư người nhằm mục đích giải nhiệm vụ cụ thể phát sinh trình nhận thức hoạt động thực tiễn Đây trình gồm nhiều giai đoạn, nhà tâm lý học K.K.Platonơv sơ đồ hóa Như vậy, giai đoạn trình tư việc nhận thức vấn đề tình có vấn đề thông qua giai đoạn khác nhằm mục đích giải vấn đề để từ bắt đầu hành động tư Nhận thức vấn đề giai đoạn giai đoạn (q trình) tư Nó nảy sinh tình mà người cho “có vấn đề” Nhận định tính có vấn đề người lại khác nhau, tùy thuộc vào góc nhìn, kinh nghiệm sống, kiến thức nhu cầu cá nhân người Trong tình huống, có người thấy có vấn đề q trình tư băt đầu ngược lại khơng thấy có vấn đề khơng có q trình tư Đây giai đoạn mở đầu quan trọng trình tư Tiếp đến giai đoạn cá nhân người tư huy động kinh nghiệm kiến thức sẵn có thân người khác vào vấn đề vừa nhận thức để làm xuất liên tưởng có liên quan đến vấn đề Giai đoạn gọi xuất liên tưởng Sàng lọc liên tưởng hình thành giả thuyết giai đoạn thu hẹp phạm vi kinh nghiệm, kiến thức tìm trước để phù hợp với nhiệm vụ giải vấn đề Từ đó, chủ thể tư đưa phương án giải vấn đề cách nhanh chóng tiết kiệm thời gian Kiểm tra giả thuyết khâu kiểm tra tính khả thi phù hợp thực tiễn phương án đề xuất Trong trình kiểm tra, chủ thể tư phát đâu phương án đem lại hiệu cao Đây giai đoạn mà sau người kiểm tra đơi phát nhiệm vụ cần giải Giai đoạn cuối giải vấn đề Bằng việc thực phương án tối ưu lựa chọn giả thuyết để giải vấn đề việc giải vấn đề đặt lúc ban đầu có kết câu trả lời đáp số Những vấn đề nảy sinh sau giải vấn đề ban đầu nên để giải vấn đề phát sinh cần trình tư Những trường hợp khác giai đoạn trình tư đổi khác khơng thay đổi thứ tự trình tư 2.4 Các thao tác tư - Coi trình tư hành động giai đoạn q trình hành động thể cấu trúc bên việc tư Phần nội dung bên giai đoạn lại diễn dựa vào sở thao tác tư Đây thao tác trí tuệ chủ thể thực đầu, nên gọi quy luật bên tư duy, bao gồm: - Phân tích: q trình sử dụng não phân tách đối tượng nhận thức thành phận, thành phần khác để có nhìn cách chi tiết tổng qt Thơng qua đó, xác định đối tượng mang đặc điểm, thuộc tính nhìn phận tổng thể cách rõ ràng, tường minh - Tổng hợp: trình sử dụng não tổng hợp lại thành phần tách rời từ việc phân tích thành chỉnh thể - So sánh: trình sử dụng não để đối chiếu đối tượng nhận thức nhằm tìm tương đồng, đồng hay khác biệt đối tượng nhận thức mà rút điểm chung hay khác biệt đối tượng nhận thức (sự vật, tượng) - Trừu tượng hóa: q trình sử dụng não làm đơn giản hóa mặt, liên hệ, thuộc tính quan hệ thứ yếu không cần thiết đồng thời giữ lại yếu tố cần thiết sử dụng cho tư - Khái qt hóa: q trình sử dụng não để tổng hợp đối tượng khác thành nhóm hay loại dựa sở phân loại thuộc tính, mối liên hệ quan hệ chung định Các thao tác tư không hoạt động riêng rẽ mà tác động qua lại, đan xen vào với khơng theo trình tự cụ thể Chủ thể tư vào yếu tố điều kiện mục tiêu nhiệm vụ tư mà lựa chọn thao tác tư phù hợp không cần phải sử dụng hết thao tác tư hoạt động tư II Thực trạng việc dạy học tiết chủ đề đại số tổ hợp Mục đích điều tra Điều tra thực trạng dạy học tiết đại số tổ hợp lực giải toán đại số tổ hợp học sinh Nội dung điều tra Điều tra việc dạy học tiết chủ đề đại số tổ hợp Đối tượng điều tra Học sinh khối 11 THPT Phương pháp điều tra Tiến hành phát phiếu điều tra cho 157 học sinh khối 11 THPT Đông Hiếu ( gồm lớp 11C1, 11C2, 11C3, 11C4 ) STT Lớp Số phiếu phát Số phiếu thu 11C1 36 36 11C2 40 40 11C3 41 41 11C4 40 40 Phiếu điều tra gồm câu hỏi, soạn hình thức trắc nghiệm cho học sinh đánh dấu Tập hợp số liệu điều tra Câu hỏi Nội dung Số ý kiến Tỉ lệ % Em đánh việc học tiết học chủ đề đại số tổ hợp nay? A Hệ thống lý thuyết dễ học, dễ hiểu Làm hầu hết tập SGK SBT Câu B Hệ thống lý thuyết, phương pháp giải cịn hạn chế Chỉ làm tốn đơn giản thường gặp khó khăn, sai lầm trước toán phức tạp 5.10 149 94.90 Em muốn tiết học tự chọn chủ đề đại số tổ hợp theo hướng ? Câu A Giáo viên dạy theo hướng truyền thống: Giáo viên đề, học sinh tìm lời giải 2.55 B Giáo viên dạy theo định hướng phát triển lực tư lập luận Toán học học sinh 153 97.45 * Nhận xét: Từ kết trên, ta thấy đa số HS (94.90%) tiếp nhận tốn đếm thường gặp khó khăn, sai lầm trước toán phức tạp hơn, số giải tập nâng cao Tuy nhiên đa số (97.45) HS hỏi mong muốn học theo định hướng phát triển lực tư lập luận để có hội thể nhiều hơn, Điều lần khẳng định vai trị quan trọng phương pháp dạy học tích cực dạy học Toán học Nguyên nhân thực trạng Đa số GV nặng nề lối truyền thụ chiều, chưa chuẩn bị tâm lý, ngại thay đổi, sợ thời gian thiết kế soạn bài, chưa trọng dạy học theo phương pháp kích thích tính chủ động HS, chưa khẳng định người học vận dụng để tự thiết kế tập yêu cầu HS chưa hình thành phương pháp đếm, kỷ thuật đếm tư giải vấn đề Đặc biệt theo u cầu đổi mới, mơn tốn thi dạng hình thức trắc nghiệm, số câu hỏi vận dụng thực tế nhiều nội dung câu hỏi phong phú Nếu giáo viên, học sinh dạy học qua loa phần khiến em học sinh gặp khơng trở ngại việc vận dụng toán học vào thực tế Những thuận lợi khó khăn việc dạy học nhằm phát triển lực tư học sinh tốn đại số tổ hợp trường THPT Đơng Hiếu 7.1 Thuận lợi Trong trình đổi phương pháp dạy học nay, học sinh học tập cách chủ động hơn, tự tìm tịi tài liệu nhiều nguồn, có khả đánh giá, hợp tác tốt mong muốn thể nhiều Do việc giáo viên tạo điều kiện để học sinh phát triển khả khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khả lập luận Tốn học để giải toán phát biểu toán mới, thiết kế tập xu tất yếu cần nhân rộng 7.2 Khó khăn Để phát biểu toán mới, thiết kế tập, cần nhiều yêu cầu cao Học sinh phải có hệ thống kiến thức đủ tốt để thiết kế tập.Về phía giáo viên địi hỏi người dạy phải bao quát nội dung chương trình, kiến thức vững vàng Đặc biệt cần giáo viên không ngại thay đổi thân, hướng học sinh tìm Điều khơng phải giáo viên dám làm Công tác kiểm tra đánh giá có nhiều thay đổi nặng đánh giá nội dung kiến thức, điểm số, chưa đánh giá lực khác học sinh nên chưa thực phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Chương II Phát triển xây dựng số toán I Trang bị kiến thức Kiến thức 1.1 Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét công việc H Giả sử H có k phương án H1 , H , , H k thực cơng việc H Nếu có m1 cách thực phương án H , có m2 cách thực phương án H , , có mk cách thực phương án H k cách thực phương án H i khơng trùng với cách thực phương án H j ( i  j; i, j 1,2, , k ) có m1 + m2 + + mk cách thực công việc H b) Công thức quy tắc cộng Nếu tập A1 , A2 , , An đôi rời Khi đó: A1  A2   An = A1 + A2 + + An ( Ai số phần tử tập hợp Ai ) 1.2 Quy tắc nhân a) Định nghĩa: Giả sử công việc H bao gồm k công đoạn H1 , H , , H k Công đoạn H có m1 cách thực hiện, cơng đoạn H có m2 cách thực hiện,…, cơng đoạn H k có mk cách thực Khi cơng việc H thực theo m1.m2 mk cách b) Công thức quy tắc nhân Nếu tập A1 , A2 , , An đơi rời Khi đó: A1  A2   An = A1 A2 An 1.3 Hoán vị 1.3.1 Hoán vị a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n  ) Khi xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập A Kí hiệu Pn số hoán vị n phần tử b) Số hoán vị tập n phần tử: Định lí: Ta có Pn = n! = 1.2.3 n ; ý: quy ước 0! = 1.3.1 Hốn vị có lặp a) Khái niệm: Có n vật (n  1) vào n vị trí đó: Có n1 vật loại Có n2 vật loại Có nk vật loại k Ở n1 + n2 + + nk = n Mỗi cách thứ tự n vật vào n vị trí gọi hốn vị có lặp n phần tử b) Cơng thức xác định: Số hốn vị có lặp n phần tử là: n! n1 !.n2 ! nk ! c) Chứng minh: Do có n1 vật giống nên số phương án n1 vật vào n1 vị trí phương án cần tìm, ta có n1 ! phương án giống Tương tự Từ suy có: pn n! = số hốn vị n1 !.n2 ! nk ! n1 !.n2 ! nk ! 1.3.2 Hốn vị vịng trịn a) Khái niệm: Có n vật vào n vị trí theo đường trịn b) Cơng thức xác định: Số hốn vị vịng tròn pn−1 = (n − 1) 3.2.1 = (n − 1)! n phần tử là: c) Chứng minh: Cố định điểm đường tròn, (n − 1) vật cịn lại vào (n − 1) vị trí cịn lại Như có (n − 1)! số hốn vị vịng trịn 1.4 Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử số nguyên k với  k  n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A b) Số chỉnh hợp Kí hiệu Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử Định lí: Ta có Ank = n! (n − k )! 1.5 Tổ hợp a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử số nguyên k với  k  n Mỗi tập A có phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A 10 Bài toán 3: Cho hai đường thẳng song song d1 , d Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, d lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà ba đỉnh chọn từ 25 điểm vừa nói Lời giải: * Số tam giác lập thuộc vào hai loại sau Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào d1 đỉnh thuộc vào d 2 + Số cách chọn hai điểm 10 thuộc d1 : C10 + Số cách chọn điểm 15 điểm thuộc d : C15 + Loại có: C10 C15 = 675 tam giác Loại 2: Gồm đỉnh thuộc vào d1 hai đỉnh thuộc vào d + Số cách chọn điểm 10 thuộc d1 : C10 + Số cách chọn hai điểm 15 điểm thuộc d : C152 + Loại có: C10 C152 = 1050 tam giác Vậy có tất cả: C102 C151 + C101 C152 = 675 + 1050 = 1725 tam giác thỏa yêu cầu toán Bài toán 4: Cho đa giác A1 A2 A3 A18 nội tiếp đường tròn (o) Hỏi có tam giác vng có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác? Lời giải: + Ta có số đường chéo qua tâm đường + Cứ hai đường chéo qua tâm ta có đỉnh đa giác tạo thành hình chữ nhật Số hình chữ nhật là: C92 = 36 + Một hình chữ nhật có tam giác vng có đỉnh thuộc đa giác + Vậy số tam giác vuông là: 4.36 = 144 (tam giác) 3: Bài toán chia kẹo Euler 3.1: Bài tốn Euler: Có cách chia n kẹo giống cho k đứa trẻ (k  n) cho có kẹo? * Một cách hợp lí, ta xét tốn trường hợp cụ thể, đơn giản để từ định hướng đưa lời giải cho toán tổng qt Bài tốn : a) Có cách chia 12 kẹo giống hệt cho đứa trẻ ? 22 b) Có cách chia 12 kẹo giống hệt cho đứa trẻ cho đứa trẻ có kẹo? Giải: a) Có cách chia 12 kẹo giống hệt cho đứa trẻ ? + Ta sử dụng ngăn chia kẹo, tức chia 12 kẹo thành phần, phần dành cho đứa trẻ Để chia 12 kẹo thành phần ta cần có ngăn chia + Ở hình vẽ minh họa cho trường hợp sữ dụng ngăn chia đặt vào hai vị trí đứa trẻ thứ kẹo, đứa trẻ thứ hai kẹo,.đứa trẻ thứ ba kẹo + Bây xem 12 kẹo 12 vị trí ngăn chia vị trí, ta có tổng 14 vị trí + Do để chia 12 kẹo giống cho đứa trẻ (có em khơng có kẹo) việc đặt ngăn chia vào 14 vị trí nói toán lấy phần tử từ tập hợp gồm 14 phần tử + Vậy tổng số cách chia là: C142 = 91 Tổng quát: Có cách chia n kẹo giống cho k đứa trẻ (k  n) ? 23 + Ta sử dụng (k − 1) ngăn chia kẹo, theo tốn cụ thể ta có n + (k − 1) vị trí Số cách chia số cách chọn (k − 1) phần tử từ tập hợp gồm n + (k − 1) phần tử + Vậy tổng số cách chia là: Cnk+−k1−1 = Cnn+k −1 (1) * Chú ý: Nếu gọi x1 , x2 , x3 , xk số lần xuất phần tử thứ 1,2,3, ,k tổ hợp lặp ta có: x1 + x2 + x3 + + xk = n; xi  N ; i = 1, k (*) ( (*) gọi phương trình tốn chia kẹo Euler) + Như ta có số nghiệm ngun khơng âm phương trình: x1 + x2 + x3 + + xk = n là: Cnk+−k1−1 b) Có cách chia 12 kẹo giống hệt cho đứa trẻ cho đứa trẻ có kẹo? Bước 1: Để đứa trẻ có kẹo, lấy kẹo chia cho đứa trẻ Bước 2: Chúng ta tiến hành chia kẹo lại cho đứa trẻ Bây ta có kẹo, ngăn chia, tức có 11 vị trí để đặt ngăn chia + Vậy tổng số cách chia số cách chọn phần tử từ tập hợp gồm 11 phần tử, tức có C112 = 55 (cách chia ) Tổng quát: Có n kẹo giống chia cho k đứa trẻ (k  n) cho đứa trẻ có kẹo số cách chia là: Cnk−−11 (2) * Chú ý: Nếu gọi x1 , x2 , x3 , xk số lần xuất phần tử thứ 1,2,3, ,k tổ hợp lặp ta có số nghiệm ngun dương phương trình: x1 + x2 + x3 + + xk = n là: Cnk−−11 3.2: Bài tốn tổng qt: Có cách chia m kẹo giống cho n đứa trẻ cho đứa có k kẹo? + Ta có số cách chia p kẹo giống cho n đứa trẻ cho đứa trẻ có kẹo là: C pn−−11 (3) + Bây ta tính số cách chia m kẹo giống cho n đứa trẻ cho đứa có k kẹo + Trước hết ta chia cho đứa trẻ (k − 1) kẹo, số kẹo cịn lại là: p = m − n(k − 1) (chiếc kẹo) sau ta cần chia p = m − n(k − 1) kẹo lại cho n đứa trẻ cho đứa trẻ thêm kẹo + Thay p = m − n(k − 1) vào cơng thức (3) ta có số cách chia là: Cmn−−1n ( k −1)−1 (4) 24 3.3: Áp dụng Bài tốn 1: Có n vật giống hệt m hộp phân biệt (n  m; m, n  N * ) a) Hỏi có cách phân phối hết n vật vào m hộp cho? b) Hỏi có cách phân phối hết n vật vào m hộp cho cho hộp có vật? Lời giải: Đánh số hộp theo thứ tự từ đến m Giả sữ ta phân phối hết hết n vật vào m hộp cho Gọi xi số vật phân phối cho hộp thứ i , với i = 1, m a) Số cách phân phối thỏa mãn số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + x3 + + xm = n Cnm+−m1−1 (cách) (theo toán chia kẹo Euler ) b) Số cách phân phối thỏa mãn hộp có vật số nghiệm nguyên dương hệ phương trình  x1 + x2 + x3 + + xm = n   xi  1; i = 1, m Kết cần tìm Cnm−−11 (cách) ( theo tốn chia kẹo Euler ) Bài tốn 2: Có viên bi vàng 10 viên bi xanh Hỏi có cách xếp viên bi thỏa mãn: a) Khơng có bi vàng kề b) Giữa hai bi vàng có hai bi xanh Lời giải: + Đánh số vị trí xếp viên bi từ trái qua phải theo thứ tự từ đến 14 Kí hiệu viên bi vàng V1 ,V2 ,V3 ,V4 + Khơng tính tổng qt, ta giã sử viên bi vàng xếp từ trái qua phải theo thứ tự V1 ,V2 ,V3 ,V4 + Gọi x1 số viên bi xanh xếp bên trái viên bi V1 , x2 số viên bi xanh xếp V1 , V2 , x3 số viên bi xanh xếp V2 , V3 , x4 số viên bi xanh xếp V3 , V4 , x5 số viên bi xanh xếp bên phải V4 + Khi đó: 25 a) Do khơng có bi vàng kề nên ta có hệ phương trình  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10   x1 , x5  x , x , x   + Đặt : y2 = x2 − 1; y3 = x3 − 1; y4 = x4 − + Số cách xếp viên bi thỏa mãn khơng có bi vàng kề số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + y2 + y3 + y4 + x5 = + Áp dụng toán chia kẹo Euler ta thu kết là: C114 = 330 (cách) b) Do hai bi vàng có hai bi xanh nên ta có hệ phương trình  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10   x1 , x5  x , x , x   + Đặt : y2 = x2 − 2; y3 = x3 − 2; y4 = x4 − + Số cách xếp viên bi thỏa mãn hai bi vàng có hai bi xanh số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + y2 + y3 + y4 + x5 = + Áp dụng toán chia kẹo Euler ta thu kết là: C84 = 70 (cách) Bài tốn 3: Cho nhóm gái, kí hiệu G1 , G2 , G3 , G4 , G5 12 chàng trai Có 17 ghế thành hàng ngang Người ta xếp nhóm người cho ngồi vào ghế cho điều kiện sau đông thời thỏa mãn 1) Mỗi ghế có người ngồi; 2) Thứ tự ngồi cô gái xét từ trái qua phải G1 , G2 , G3 , G4 , G5 ; 3) Giữa G1 G2 có chàng trai; 4) Giữa G4 G5 có chàng trai nhiều chàng trai Hỏi có tất cách xếp vậy? (Hai cách xếp coi khác tồn ghế mà người ngồi ghế hai cách xếp khác nhau) Lời giải: + Đánh số ghế từ trái qua phải theo thứ tự từ đến 17 + Gọi x1 số chàng trai xếp bên trái G1 26 x2 số chàng trai xếp G1 G2 x3 số chàng trai xếp G2 G3 x4 số chàng trai xếp G3 G4 x5 số chàng trai xếp G4 G5 x6 số chàng trai xếp bên phải G6 + Khi đó, ta có:  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 12   x1 , x3 , x4 , x6   x  3;1  x   + Đặt: y2 = x2 − 3; y5 = x5 − + Số cách phân ghế cho chàng trai số nghiệm nguyên không âm hệ phương trình  x1 + y2 + x3 + x4 + y5 + x6 =   y5  + Ta cho y5 nhận giá trị 0;1;2;3 áp dụng toán chia kẹo Euler thu kết là: C124 + C114 + C104 + C94 = 1161(cách) + Vì 12 chàng trai hốn đổi vị trí cho nên số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán 12!.1161 (cách) Bài tốn 4: Cho tập A = 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số chữ số đứng sau ln lớn chữ số đứng trước? Lời giải: + Gọi số cần tìm có dạng n = abc , theo ta có:  a  b  c  + Đặt: x = a − 1; y = b − a; z = c − b; t = − c ta có: x, y, z, t  0; x, y, z, t  Z x + y + z + t = (*) + Vậy số nghiệm ngun khơng âm phương trình (*).chính số số thỏa mãn + Áp dụng toán chia kẹo Euler ta thu kết là: C93 = 84 (số) Bài tốn 5: Có cách chọn số a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 tập A = 1,2,3, ,2022 , cho − a j  1; i  j ? Lời giải: 27 + Khơng tính tổng qt, ta giã sử a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 + Theo yêu cầu toán ta có: a2 − a1  1; a3 − a2  1; ; a7 − a6  + Tất chữ số a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 không liên tiếp (chẳng hạn cho a1 = a2 − a1  nên a2  ) + Ta giã sử số lấy xếp từ trái qua phải theo thứ tự từ a1 đến a7 + Gọi x1 số chữ số xếp bên trái a1 , x2 số chữ số xếp a1 a2 , x3 số chữ số xếp a2 a3 , x4 số chữ số xếp a3 a4 , x5 số chữ số xếp a4 a5 , x6 số chữ số xếp a5 a6 , x7 số chữ số xếp a6 a7 , x8 số chữ số xếp bên phải a7 + Khi đó, ta có hệ phương trình  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 2015   x1 , x8  x , x , x , x , x , x   + Đặt: y2 = x2 − 1; y3 = x3 − 1; ; y7 = x7 − + Số cách lấy số thỏa mãn u cầu tốn số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + x8 = 2009 + Áp dụng toán chia kẹo Euler ta thu kết là: C2016 (số) MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập 1: Một cửa hàng có m loại kem khác Một khách hàng cần mua n cốc kem (n  m) Hỏi rằng: a) Người khách hàng có tất lựa chọn ? b) Người khách hàng có tất lựa chọn cho m loại kem có mặt lựa chọn ? Bài tập 2: Cho tập hợp A = 1,2,3, 18 Có cách chọn năm số tập A cho hiệu hai số năm số khơng nhỏ ? 28 Bài tập 3: Có số nguyên dương nhỏ 1000000 mà có tổng 15 ? Bài tập 4: Có 12 hộp khác đánh số từ đến 12 viên bi giống Hỏi có cách xếp viên bi vào 12 hộp cho tổng số viên bi hộp 1,2,3 chẵn, tổng viên bi hộp 4,5,6 lẻ ? Bài tập 5: Để bảo vệ máy tính khỏi cơng hacker, lập trình viên muốn thiết lập mật cho máy tính Mật bao gồm tất chữ bảng chữ tiếng Anh, chữ lần xuất chữ nguyên âm khơng đứng cạnh Hỏi lập trình viên có cách cài đặt mật khẩu? Bài tập 6: Có cách xếp chàng trai gái vào dãy ghế có ghế cho điều kiện sau đông thời thỏa mãn 1) Mỗi ghế có người ngồi; 2) Các cô gái không ngồi hai đầu dãy; 3) Ở hai gái có khơng q chàng trai Kỹ thuật vách ngăn 4.1 Vách ngăn: Xếp k phần tử vào k vị trí ( hàng) tạo (k + 1) vách ngăn Các phần tử lại vào (k + 1) vách ngăn 4.2 Ý nghĩa cách áp dụng 4.2.1 Ý nghĩa: Kỹ thuật vách ngăn giúp giải tốn "Có cách xếp phần tử có hai nhiều phần tử không đứng cạnh nhau." cách nhanh chóng, đơn giản 4.2.2 Cách áp dụng: Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẻ tạo m + vách ngăn Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu toán từ (m + 1) vách ngăn nói Bài tốn 1: Có học sinh thầy giáo xếp thành hàng ngang Hỏi có cách xếp cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau? Lời giải: + Trước hết ta xếp học sinh vào hàng, có 5! cách + Lúc hai học sinh sẻ tạo vách ngăn học sinh sẻ tạo vị trí (vách ngăn) xếp thầy vào tính hai vị trí hai đầu hàng (hình minh họa bên dưới) vị trí dấu nhân vách ngăn tạo 29 + Do đề yêu cầu hai thầy giáo không đứng cạnh nên ta xếp hai thầy giáo vào vị trí vách ngăn tạo có A62 cách Theo quy tắc nhân ta có tất 5! A62 = 3600 cách Bài tốn 2: Có cách xếp cho bạn nữ bạn nam ngồi vào 12 ghế cho hai bạn giới không ngồi cạnh trường hợp sau: a) Ghế thành hàng ngang b) Ghế quanh bàn tròn Lời giải: a) + Trước hết xếp bạn nam vào vị trí có 6! cách xếp + Khi bạn nam tạo vách ngăn + Xếp bạn nữ vào vị trí vách ngăn có A76 cách + Vậy có 6! A76 = 3628800 cách b) + Trước hết xếp bạn nam vào vịng trịn có 5! cách + Khi bạn nam ngồi vào vòng tròn tạo vách ngăn + Xếp bạn nữ vào vị trí vách ngăn có A66 cách + Vậy có 5! A66 = 86400 cách Chú Ý - Sắp xếp n phần tử vào n vị trí tạo thành vịng trịn có (n − 1)! cách Đây hốn vị vịng quanh - Khi xếp n phần tử thành dãy xem phần tử vách ngăn tạo thành (n + 1) vị trí xếp thành vịng trịn tạo thành n vị trí Bài tốn 3: Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, có An, Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang cho An Bình ngồi cạnh 30 Lời giải: + Sắp xếp 10 bạn thành dãy có 10! cách + Theo tốn ta có số cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, An, Bình khơng ngồi cạnh là: 8!.A92 cách + Do có: 10!− 8!.A92 cách xếp cho An Bình ngồi cạnh MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số mà chữ số đứng canh Bài Có số gồm chữ số khác có hai chữ số lẻ hai chữ số đứng cạnh Bài Có bạn nữ bạn nam xếp thành vòng trịn Hỏi có cách xếp cho khơng có hai bạn nam đứng cạnh Bài Có cách xếp cho bạn nữ bạn nam ngồi vào 10 ghế mà khơng có bạn nữ ngồi cạnh a Ghế thành hàng ngang b Ghế quanh bàn tròn Chương III Thực nghiệm sư phạm Mục đích thực nghiệm sư phạm Việc tổ chức thực nghiệm sư phạm Phát triển lực tư tốn học cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề tổ hợp xác suất nhằm mục đích sau: - Thứ nhất, kiểm tra tính đắn đề tài - Thứ hai, kiểm tra lại tính hiệu biện pháp sư phạm nhằm phát triển lực tư Toán học cho học sinh - Thứ ba, kiểm tra chất lượng HS việc phát triển lực - Thứ tư, giúp GV nhận thức tầm quan trọng việc phát triển lực tư Tốn học thơng qua dạy học chủ đề tổ hợp xác suất cho HS 2.Tổ chức nội dung thực nghiệm sư phạm 2.1 Tổ chức thực nghiệm - Thực nghiệm sư phạm tiến hành lớp 11C3 lớp 11C4 trường THPT Đông Hiếu Trong đó, lớp 11C3 lớp thực nghiệm , lớp 11C4 lớp đối chứng Theo gợi ý, hướng dẫn GV trường hai lớp tương đương Thời gian thực nghiệm tiến hành từ 22/10/2021 đến 12/01/2022 31 - GV dạy lớp thực nghiệm: Nguyễn Thị Lương - GV dạy lớp đối chứng: Nguyễn Thị Xuyến 2.2 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành dạy học chủ đề tổ hợp xác suất theo hướng phát triển lực tư Toán học cho HS Đánh giá kết thực nghiệm sư phạm 3.1 Kết định tính Thơng qua dạy chủ đề tổ hợp xác suất theo hướng phát triển lực tư Toán học cho ta thấy: - Việc áp dụng biện pháp sư phạm đem lại kết định Trong trình học tập HS tích cực suy nghĩ, tham gia xây dựng bài, tích cực tham gia phát biểu ý kiến làm cho học sôi - Các em nắm kiến thức chủ đề cách vững - Thông qua chủ đề dạy học làm cho học sinh cảm thấy thích thú với việc học tập, học sinh bị hút vào công việc học tập, tạo cho HS lịng ham học, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, khơi dậy khả tìm ẩn HS Đồng thời giúp cho HS cảm thấy thêm yêu mơn tốn 3.2 Kết định lượng Kết làm kiểm tra lớp thực nghiệm lớp đối chứng thống kê tính tốn thơng qua bảng đây: – Về mức độ hứng thú với tiết học: Ta có bảng kết đối chiếu đối chứng thực nghiệm sau: Nhóm tượng đối Số lượng HS Tiết học hứng thú Tiết học thường bình Tiết học khơng hứng thú SL TL SL TL SL TL 11C3– TN 41 HS 30 73.17 11 26.83 0 11C4– ĐC 41 HS 20 48,78 18 43.90 7.32 Bảng Số lượng tỉ lệ % mức độ đạt tiêu chí đánh giá 32 Thông qua bảng số biểu phát huy tính tích cực phát triển lực học sinh minh họa mức độ hứng thú học sinh Qua giúp học sinh hình thành phát triển lực giao tiếp, tính tốn, kĩ thuật thực hành sáng tạo, tạo đà cho em phát triển tương lai sau – Về kết đánh giá học tập: Lớp Sĩ số Giỏi SL % Khá SL Trung bình Yếu % SL % SL Kém % SL % 41 11C3–TN HS 12.20 13 31.71 18 43.90 12.12 0 41 11C4–ĐC HS 9.76 29.27 20 20,51 9.76 12 Bảng Số lượng tỉ lệ % kết đánh giá học tập em học sinh Biểu đồ đánh giá kết học tập Nhận xét: Qua kết thống kê ta thấy bước đầu thực việc dạy học theo hướng phát triển lực tư lập luận cho HS thành công Các biện pháp sư phạm đề khả thi hợp lí 33 PHẦN III: KẾT LUẬN Kết luận Đề tài lập đề cương từ tháng năm 2021, đề cương chi tiết từ tháng 11 năm 2021 Trong trình nghiên cứu dạy học học sinh lớp 11( năm học 20212022) thấy rõ tính hiệu quả, sát với đối tượng Đề tài tơi bao qt đến nhóm đối tượng khác nhau, từ trung bình đến giỏi Thời lượng dành cho học sinh giỏi cao Bởi vì, chất dạng toán muốn hay phải hướng đến đối tượng học sinh giỏi tốn Tơi thấy, mức trung bình, học sinh hứng thú với phân biệt khái niệm qua phân tích giải theo nhiều cách Học sinh tránh nhầm lẫn cách lập bảng giải toán số tự nhiên (dạng đơn giản), toán chọn bi ( nhiều màu), toán chọn người ( nam nữ) Với học sinh khá, em biết cách độc lập tự suy nghĩ, biết vận dung linh hoạt, tìm tịi để phát triển vấn đề cao tổng qt hóa nhiều vấn đề mà tơi cho Tôi hi vọng, đề tài mang đến nhiều điều bổ ích cho em học sinh đồng nghiệp trình giảng dạy học tập phần Kiến nghị Để hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này, nhận quan tâm giúp đỡ BGH nhà trường đồng nghiệp tổ Sáng kiến kinh nghiệm chuẩn bị chu đáo, song tránh khỏi thiếu sót Tơi xin chân thành cảm ơn đóng góp q báu q thầy giáo để sáng kiến hoàn thiện 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số & giải tích 11, NXB Giáo dục 2.Sách tập Đại số & giải tích 11, NXB Giáo dục Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm Hà Nội Chương trình giáo dục phổ thơng 2018 Một số giảng giáo viên trang tuyển sinh 247 35 PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1: Mẫu phiếu điều tra Câu hỏi Nội dung Số ý kiến Tỉ lệ % Em đánh việc học tiết học chủ đề đại số tổ hợp nay? A Hệ thống lý thuyết dễ học, dễ hiểu Làm Câu hầu hết tập SGK SBT B Hệ thống lý thuyết, phương pháp giải hạn chế Chỉ làm tốn đơn giản thường gặp khó khăn, sai lầm trước toán phức tạp Em muốn tiết học tự chọn chủ đề đại số tổ hợp theo hướng ? Câu A Giáo viên dạy theo hướng truyền thống: Giáo viên đề, học sinh tìm lời giải B Giáo viên dạy theo định hướng phát triển lực tư lập luận Toán học học sinh 36 ... tích lớp 11, đề thi đại học, cao đẳng thuộc chủ đề đại số tổ hợp 3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài làm rõ vấn đề sau: - Cơ sở lí luận thực tiễn lực tư duy, sáng tạo, lực tự học học sinh học chủ đề đại. .. tra thực trạng dạy học tiết đại số tổ hợp lực giải toán đại số tổ hợp học sinh Nội dung điều tra Điều tra việc dạy học tiết chủ đề đại số tổ hợp Đối tư? ??ng điều tra Học sinh khối 11 THPT Phương pháp... luyện tư linh hoạt, sáng tạo, tư giải vấn đề, tư biện chứng, xây dựng phát triển lòng say mê yêu thích tốn học nói riêng khoa học nói chung Nâng cao lực tư duy, sáng tạo, lực tự học học sinh học chủ