Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp

2 Mục lục Trang A Phần Mở đầu B phần nội dung Chương I: Cơ sở lý luận đề tài 1.1 Một số khái niệm liên quan 1.2 Vai trò ý nghĩa Tổ hợp 1.3 C¬ së lý luËn …………………………………………………… Ch-ơng II: Một số sai lầm học sinh học chủ đề Đại số tổ hợp số cách khắc phục 13 2.1 Thực trạng học chủ đề Đại số tổ hợp học sinh THPT 13 2.2 Mét sè sai lÇm phỉ biÕn cđa häc sinh học chủ đề Đại số tổ hợp 18 2.3 Một số cách khắc phục sai lầm học sinh học chủ đề Đại số tổ hợp 39 2.3.1 Một số yêu cầu trình phát sửa chữa sai lầm cho học sinh 39 2.3.2 Một số cách khắc phục sai lầm 41 Ch-ơng III: Thực nghiệm s- phạm 56 3.1 Mục đích thực nghiệm 56 3.2 Nội dung thực nghiệm 56 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 57 C Phần kết luận Tài liệu tham khảo A Phần mở đầu Lí chọn đề tài 1.1 Chúng ta sống xà hội đại, khoa học kĩ thuật phát triển nh- vũ bÃo, đòi hỏi ng-ời lao động phải có kiến thức sâu rộng, tay nghề vững, có khả linh hoạt giải tình thực tiễn Đặc điểm thời đại đòi hỏi giáo dục không ngừng đổi nội dung ph-ơng pháp nhằm đáp ứng mục tiêu: Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi d-ỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức có tay nghề, có lực thực hành, tự chủ, động sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu n-ớc, yêu chủ nghĩa xà hội.(Văn kiện đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ Đảng Cộng Sản Việt Nam) Quan điểm chung đổi ph-ơng pháp dạy học tr-ờng phổ thông là: Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.(Luật giáo dục 1998, chương 1, điều 24) 1.2 Trong nhà tr-ờng phổ thông việc tăng c-ờng mạch toán ứng dụng ứng dụng toán học góp phần thực lý luận liên hệ với thực tiễn, học đôi với hành, nhà tr-ờng gắn liền với xà hội Các toán tr-ờng phổ thông ph-ơng tiện có hiệu thay đ-ợc việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t- duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào sống Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học Toán Do đó, tổ chức có hiệu việc dạy giải toán có vai trò định chất l-ợng dạy học toán Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất l-ợng dạy học toán tr-ờng phổ thông có chỗ ch-a tốt, biểu qua việc lực giải toán học sinh hạn chế học sinh mắc nhiều sai lầm Một nguyên nhân quan trọng giáo viên ch-a ý mức việc phát hiện, uốn nắn sửa chữa sai lầm cho häc sinh giê häc To¸n 1.3 Đà có nhiều quan điểm ý kiến đ-ợc nêu xoay quanh vấn đề sai lầm sống nh- nghiên cứu khoa học Chẳng hạn, I.A.Komensky đà khẳng định: Bất kì sai lầm làm cho học sinh học nh- giáo viên không ý tới sai lầm ®ã, b»ng c¸ch h-íng dÉn häc sinh tù nhËn sửa chữa, khắc phục sai lầm J.Piaget nhấn mạnh: có hoạt động đ-ợc giáo viên th-ờng xuyên định h-ớng khích lệ nh-ng luôn tự việc mò mẫm sai lầm đ-a tới độc lập mặt trí tuệ Viện sĩ A.N.Kôlmôgôrôv viết: Năng lực bình thường học sinh trung học đủ để em nắm đ-ợc toán học nhà tr-ờng phổ thông có hướng dẫn tốt thầy giáo Như khẳng định sai lầm học sinh giải toán cần khắc phục đ-ợc 1.4 Lý thuyết đại số tổ hợp đ-ợc hình thành từ sớm lịch sử phát triển toán học, công cụ để nghiên cứu xác suất, giải nhiều toán thùc tÕ Nã gãp phÇn båi d-ìng t- logic cho học sinh Vì vậy, việc dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp tr-ờng phổ thông cã mét ý nghÜa rÊt lín Thùc tÕ cho thÊy học toán tổ hợp việc khó häc sinh Häc sinh th-êng ph©n v©n sư dơng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay th-ờng nhầm lẫn việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợpĐể dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu đòi hỏi ng-ời giáo viên phải đề đ-ợc biện pháp hợp lí cách thức chọn nội dung ph-ơng pháp: Dạy gì? dạy nh- để học sinh tiếp thu giảng cách có hiệu quả, làm để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thức làm tập? vấn đề đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm nghiên cứu Chính từ yêu cầu cấp bách nhận thức đây, chọn đề tài nghiên cứu là: Một số sai lầm thường gặp học sinh học chủ đề Đại số tổ hợp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn học sinh giải toán tổ hợp, phân tích sai lầm phổ biến nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh trung học phổ thông Từ nghiên cứu, đề xuất số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh giải toán tổ hợp, góp phần nâng cao chất l-ợng dạy học môn toán tr-ờng trung học phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu khoá luận bao gồm: 3.1 B-ớc đầu làm sáng tỏ số khó khăn sai lầm học sinh trình học Đại số tổ hợp 3.2 Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm 3.3 Nghiên cứu đề xuất số vấn đề cách khắc phục sai lầm 3.4 Tổ chức thực nghiệm s- phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi hiệu đề xuất 3.5 Đ-a kết luận cần thiết Giả thuyết khoa học Nếu dạy học Toán nói chung dạy học Đại số tổ hợp nói riêng, ng-ời giáo viên biết cách phát hiện, dự đoán sai lầm phổ biến học sinh, đồng thời biết cách phân tích sử dụng biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế sửa chữa sai lầm góp phần giảm sai lầm cho học sinh giải toán, từ chất l-ợng dạy học toán đ-ợc nâng cao Ph-ơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu ph-ơng pháp dạy học toán, tài liệu tâm lý học, giáo dục học, công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài số tác giả, sách tham khảo, 5.2 Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu số liệu thông qua giáo viên toán tr-ờng phổ thông, qua kiểm tra học sinh trung học phổ thông 5.3 Thực nghiệm s- phạm: TiÕn hµnh thùc nghiƯm mét sè tiÕt ë tr-êng trung học phổ thông Đóng góp khóa luận 6.1 Khoá luận đ-a đ-ợc sở lý luận việc dự đoán sai lầm phổ biến giải toán học sinh 6.2 Khoá luận làm sáng tỏ đ-ợc số sai lầm th-ờng gặp học sinh trung học phổ thông giải toán tổ hợp 6.3 Khoá luận nêu đ-ợc số cách hạn chế khắc phục sai lầm học sinh giải toán tổ hợp tr-ờng phổ thông Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm cã ch-¬ng: Ch-¬ng 1: C¬ së lý ln cđa đề tài Ch-ơng 2: Một số sai lầm học sinh học chủ đề Đại số tổ hợp cách khắc phục Ch-ơng 3: Thực nghiệm s- phạm B Phần nội dung Ch-ơng I: Cơ sở lý luận đề tài 1.1 Một số khái niệm liên quan 1.1.1 Bài toán hoạt động giải tập toán Theo Polya: Giải toán nghệ thuật thực hành mà có, giống nh- việc bơi chẳng hạn Vậy mà khéo léo thực hành lại có đ-ợc cách bắt ch-ớc thí nghiệm Còn theo A.N.Leonchiep: Bài toán mục đích đà cho điều kiện định, đòi hỏi chủ thể (ng-ời giải toán) cần phải hành động, tìm kiếm ch-a biết sở mối liên quan với đà biết Nh- khái niệm toán đ-ợc gắn liền với hoạt động chủ thể Có b-ớc trình giải toán: B-ớc 1: Tìm hiểu nội dung đề B-ớc 2: Nắm đ-ợc mối quan hệ yếu tố khác toán, ch-a biết với đà biết để tìm cách giải B-ớc 3: Trình bày lời giải B-ớc 4: Nhìn lại cách giải đà thu đ-ợc lần nữa, nghiên cứu phân tích Bài tập toán có vai trò quan trọng môn toán Thông qua giải tập, học sinh thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc hay ph-ơng pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến toán học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Tuân thủ theo b-ớc trình giải tập toán, học sinh tránh đ-ợc sai lầm cách thử lại b-ớc Một phần lớn kết hay toán đi, học sinh không xem xét lại, không nghiên cứu phân tích lại cách giải toán Để phát huy tác dụng tập toán, tr-ớc hết cần nắm vững yêu cầu lời giải Nghĩa toán phải đ-ợc giải cách trọn vẹn, khoa học xác Tác giả Nguyễn Bá Kim cuốn: Phương pháp dạy học môn toán đà cụ thể yêu cầu là: - Kết đúng, kể b-ớc trung gian - Lập luận chặt chẽ - Lời giải đầy đủ - Ngôn ngữ xác - Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật - Tìm nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn hợp lí - Nghiên cứu giải toán t-ơng tự, mở rộng hay lật ng-ợc vấn đề Trong bốn yêu cầu đầu yêu cầu bản, yêu cầu thứ năm yêu cầu mặt trình bày, hai yêu cầu cuối yêu cầu đề cao 1.1.2 Sai lầm Theo từ điển Tiếng Việt sai lầm là: Trái với yêu cầu khách quan, lẽ phải, dẫn đến hậu không hay Phổ biến là: có tính chất chung, áp dụng cho tập hợp, tượng, vật 1.2 Vai trò ý nghĩa tổ hợp 1.2.1 Vai trò tổ hợp hoạt động thực tiễn Ông X.M.Nikôlxki đà nói khái niệm giải tích tổ hợp: Là ngành toán học nghiên cứu vấn đề khác liên quan đến việc xếp phận khác tập hợp đà cho, th-ờng tập hữu hạn Một dạng chủ đề tổ hợp toán chọn, lớp toán ứng dụng nhiều hoạt động ng-ời Chẳng hạn, nhà máy cần thực n công việc (chế tạo máy, kế toán, bảo vệ, quản lý, ).Để thực công việc ng-ời ta tuyển số ng-ời, ng-ời thực đ-ợc số công việc Nhà máy muốn tuyển ng-ời mà đảm bảo tiến trình công việc Từ đặt câu hỏi: chọn tối thiểu ng-ời để đảm bảo tiến trình công việc? Đây dạng toán tổ hợp 1.2.2 Vai trò tổ hợp với t- cách môn học Tiến sĩ khoa học Vũ Đình Hòa khẳng định: Sự chuyển hướng xây dựng toán học đại sở lý thuyết tập hợp đ-ợc mở cuối kỷ XIX Một ảnh h-ởng mạnh mẽ lý thuyết tập hợp lý thuyết tính toán với tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, toán hình học tổ hợp Các toán tổ hợp phận quan trọng toán học có nội dung phong phú nhiỊu øng dơng thùc tiƠn khoa häc kü tht nh- đời sống hàng ngày Trong nhiều đề thi quốc gia quốc tế xuất toán tổ hợp, dạng toán khó học sinh n-ớc ta mà học sinh quốc tế nói chung Hòa chung với xu đổi tiến giới, cải cách ch-ơng trình sách giáo khoa yêu cÇu cÊp thiÕt Tõ ci thÕ kû XX nhiỊu qc gia đà tiến hành cải cách giáo dục nhằm h-ớng tới mục tiêu nâng cao chất l-ợng giáo dục, góp phần cải thiện nguồn nhân lực, tạo hứng thú say mê học tập cho học sinh Đối với n-ớc ta, nghị hội nghị Ban Chấp Hành Trung Ương Đảng Cộng Sản lần khoá năm 1997 đà rõ: Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp t- sáng tạo ng-ời học, b-ớc áp dụng ph-ơng pháp tiên tiến ph-ơng tiện đại vào trình dạy học đảm bảo điều kiện, thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, sinh viên đại học 1.3 Cơ sở lý luận Ph-ơng pháp dạy học tổng hợp cách thức hoạt động phối hợp giáo viên học sinh, ph-ơng pháp dạy đạo ph-ơng pháp học, nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh hệ thống kiến thức khoa học hình thành hệ thống kỹ năng, kỹ xảo thực hành sáng tạo Học sinh trung tâm cố gắng, cải tiến nội dung ph-ơng pháp dạy học, trung tâm tìm tòi cách tổ chức trình dạy học Chính mà ng-ời ta tiến hành trình dạy học cách khơi dậy tiềm trí tuệ học sinh, nghĩa trình học tập đ-ợc tiến hành học sinh 10 Học sinh vừa mục tiêu, vừa động lực trình dạy học Đó chất quan điểm: Dạy học lấy học sinh làm trung tâm, quan điểm dạy học đại, sở lý luận để tiến hành hoạt động dạy học có hiệu Nghiên cứu khó khăn sai lầm học sinh giải toán cần thiết, thực tiễn s- phạm cho thấy học sinh mắc nhiều kiểu sai lầm Từ sai lầm tính toán đến sai lÇm vỊ suy ln,…cã nhiỊu kiĨu sai lÇm rÊt tinh vi, khó phát Đà có nhiều nhà khoa học nhấn mạnh tới vai trò việc sửa chữa sai lầm cho học sinh trình giảng dạy toán Chẳng hạn, G.Polia cho rằng: Con người phải biết học sai lầm thiếu sót A.A.Stôliar phát biểu: Không tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh Tâm lí học đà khẳng định rằng: Mọi trẻ em bình thường bệnh tật có khả đạt đ-ợc học vấn toán học phổ thông chương trình toán đà đại hóa Như thấy sai lầm học sinh giải toán cần khắc phục đ-ợc Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học cần h-ớng vào tổ chức cho ng-ời học học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo Mỗi nội dung dạy học liên hệ với hoạt động định Phát hoạt động nội dung vạch đ-ờng để ng-ời học chiếm lĩnh nội dung Các cách sửa chữa khắc phục sai lầm học sinh đ-ợc đ-a dựa quan điểm hoạt động ph-ơng pháp dạy học Nguyễn Bá Kim với tt-ởng chủ đạo sau: Cho học sinh thực luyện tập hoạt động hoạt động thành phần t-ơng thích với nội dung mục tiêu dạy học Gợi động cho hoạt động học tập Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt tri thức ph-ơng pháp nh- ph-ơng tiện kết hoạt động Phân bậc hoạt động làm điều khiển trình dạy học Các biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh phải phản ánh đ-ợc cấu trúc bên cấu trúc bên trong, đặc biệt cấu trúc bên phải đ-ợc 11 thao tác trí tuệ, cách tổ chøc logic cđa sù nhËn thøc vµ lÜnh héi cđa học sinh Sai lầm học sinh tạo mâu thuẫn mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình nhận thức học sinh Sai lầm học sinh xuất gợi hoạt động học tập mà học sinh đ-ợc h-ớng đích, gợi động để tìm sai lầm tới lời giải Phát sai trình giải toán giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức cách trọn vẹn Tuy nhiên, cách tốt để học sinh tự khám phá sai lầm, giáo viên h-ớng dẫn gợi ý cho học sinh cách khắc phục sai lầm Từ học sinh nắm kiến thức sâu sắc Đà có nhiều quan ®iĨm kh¸c ®èi víi viƯc chØ c¸c sai lầm cho học sinh Chẳng hạn R.A.Axanôp cho rằng: Việc tiếp thu tri thức cách có ý thức kÝch thÝch bëi viƯc tù häc sinh ph©n tÝch mét cách có suy nghĩ nội dung sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc sai lầm t- duy, lý luận chất sai lầm A.A.Stôliar đà khẳng định: Cần có biện pháp nhằm dạy học môn toán dựa sai lầm, sai lầm học sinh xt hiƯn‛ Thut hµnh vi quan niƯm r»ng: sai lầm học sinh t-ợng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức cần tránh gặp cần khắc phục Nhà giáo dục ng-ời Đức Aphơgut Lai cho rằng: Việc ý tới sai lầm học sinh giê häc cã ¶nh h­ëng xÊu tíi viƯc tiÕp thu giảng Quan điểm đề nghị không viết lại lời giải sai lên bảng điều làm củng cố thêm sai lầm ý thức học sinh Còn nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh nắm kiến thức không vững, không cẩn thận giải toán giáo viên dạy nhanh hay giải thích không rõ ràng Theo quan điểm xu hướng dạy học là: Sư phạm bước nhỏ Tức truyền đạt kiến thức dần dần, từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm sai lầm Nếu lỡ sai lầm cách khắc phục dạy lại, cung cấp kiến thức bổ trợ học sinh có lời giải Nh- thuyết hành vi nhấn mạnh vai trò chủ đạo giáo viên Đối lập với thuyết hành vi, thuyết kiến tạo lại cho rằng: sai lầm không đơn giản thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh mà hậu kiến thức tr-ớc không thích hợp Theo quan điểm sai lầm thể 46 - Xây dựng ch-ơng trình giải; - Thực ch-ơng trình giải; - Kiểm tra nghiên cứu lời giải Khi dạy quy tắc cộng quy tắc nhân, toán đếm phức tạp giáo viên h-ớng dẫn học sinh chuyển giải toán gián tiếp: Trong số toán đếm, số phần tử tập E có tính chất A khó đếm nh-ng việc đếm số phần tử tập E tính chất A dễ ta nên dùng toán gián tiếp, tức đếm số phần tử E tính chất A, sau tính sè phÇn tư cđa tËp E cã tÝnh chÊt A số phần tử tập E trừ số phần tử tập E tính chất A E BB Trong B tập hợp phần tử có tính chất A B tập hợp phần tử tính chất A E B Khi ®ã: B BEB VÝ dơ 25: Víi ch÷ sè 1; 2; 3; 4; cã thĨ lËp đ-ợc số có chữ số phân biệt không bắt đầu chữ số ? H-ớng dẫn: Có thể thấy việc tìm số cách lập số có chữ số phân biệt không bắt đầu chữ số phức tạp Vì học sinh chuyển sang làm toán gián tiếp, tức tính số cách lập số có chữ số phân biệt bắt đầu chữ sè Cã: 4!= 24 c¸ch Sè c¸ch lËp c¸c số có chữ số phân biệt : 5! = 120 cách Mỗi cách lập cho ta t-ơng ứng số Vậy kết toán : 47 120 -24 = 96 (số) Giáo viên h-ớng dẫn học sinh sơ đồ b-ớc tìm kiếm lời giải toán nh- sau: - Trong đọc kĩ toán, cần phải cố gắng xác định đ-ợc toán thuộc dạng - Nếu toán chuẩn dạng đà biết hÃy sử dụng quy tắc đà biết để giải - Nếu toán không chuẩn cần hành động theo h-ớng: tách từ toán chia nhỏ toán thành toán nhỏ có dạng chuẩn diễn đạt lại toán theo cách khác, dẫn toán đến toán có dạng chuẩn Nhiều học sinh biết cách chuyển toán gián tiếp nh-ng trình chuyển đổi lại gặp sai sót Giáo viên cần đ-a ví dụ dễ gặp sai sót h-íng dÉn häc sinh gi¶i cÈn thËn VÝ dơ 26: Có số tự nhiên có chữ số phân biệt cho số có mặt chữ số 1? (ví dụ 13 nêu mục 2.2.4) H-ớng dẫn: Việc đếm số tự nhiên có chữ số phân biệt có mặt chữ số khó thực ta h-ớng dẫn học sinh giải toán gián tiếp Giả sử E tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt B tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt có mặt chữ số Khi B tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt mặt chữ số 1, có mặt chữ số nh-ng mặt chữ số 1, có mặt chữ số nh-ng mặt chữ số Dựa vào sai lầm học sinh trình chuyển toán gián tiếp đà trình bày ví dụ 13 nêu mục 2.2.4 trang 26, toán học sinh th-ờng nghĩ B tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt mặt chữ số Khi h-ớng dẫn học sinh giải toán giáo viên cần giải thích rõ cho em để tránh sai lÇm lÇn sau 48 VÝ dơ 27: Trong hép có bi vàng, bi đỏ, bi xanh Có cách chọn viên bi hộp cho cã Ýt nhÊt bi xanh? H-íng dÉn: việc đếm cách chọn viên bi hộp cho cã Ýt nhÊt bi xanh lµ viƯc phức tạp nhiều tr-ờng hợp Vì ta chuyển sang giải toán gián tiếp: tìm số cách chọn viên bi hộp cho bi xanh Số cách chọn viên bi hộp là: C20 15504 cách Trong số cách chọn viên bi hộp cho bi xanh là: C13 1287 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn viªn bi hép cho cã Ýt nhÊt bi xanh là: 15504 1287 14217 cách VÝ dơ 28: Líp 10A cã 13 b¹n häc sinh -u tú có bạn nam Có cách chọn bạn học sinh -u tú tham dù héi nghÞ cho cã Ýt nhÊt häc sinh nam? H-íng dÉn: viƯc chän häc sinh 13 học sinh -u tú thoả mÃn điều kiƯn cã Ýt nhÊt häc sinh nam phøc t¹p h¬n nhiỊu so víi viƯc chän häc sinh 13 học sinh mà học sinh nam Vì ta chuyển giải toán gián tiếp Số học sinh nữ -u tú là: 13-7= (học sinh) Sè c¸ch chän häc sinh 13 häc sinh -u tú là: C13 1287 cách Trong đó, số cách chọn học sinh cho học sinh nam là: C65 cách Theo quy tắc cộng ta có kết toán là: 1287 1281 cách Từ chóng ta cã thĨ rót mét tri thøc ph-¬ng pháp cần thiết để truyền thụ cho học sinh Một dấu hiệu để nhận biết làm toán gián tiếp đếm 49 phần tử tËp hỵp A cã tÝnh chÊt ‚cã Ýt nhÊt mét đối tượng đó, có phần tử thoả mÃn tính chất 2.3.2.3 Rèn luyện cho học sinh ph-ơng pháp phân chia tr-ờng hợp riêng Khi dạy học chủ đề Đại số tổ hợp, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh ph-ơng pháp giải toán phân chia tr-ờng hợp riêng để tránh sai sót Khi giải toán đếm, trình phân chia tr-ờng hợp riêng, học sinh mắc sai lầm nhiều nguyên nhân Theo Đ.P.Goocki logic học: Điều quan trọng phân chia khái niệm tìm dấu hiệu để đứng quan điểm chia ngoại diên khái niệm cần phân chia thành phận lấp đầy ngoại diên Trong trình phân chia phải tuân theo quy tắc định: * Tính đầy đủ: Sự phân chia phải triệt để, không đ-ợc bỏ sót; * Tính độc lập: Sự phân chia không đ-ợc trùng lặp; * Dựa vào tiêu chí phân chia: Cùng lúc không đ-ợc đ-a vào dấu hiệu khác để phân chia; Nh- vậy, giáo viên cần h-ớng dẫn học sinh nắm vững tiêu chí phân chia Đối với quy tắc cộng: ta phân chia khái niệm thành khái niệm nhỏ thoả mÃn quy tắc nêu Chẳng hạn: A A1 A2   Ak Ai  A j   vµ k A  A i ; i, j  1, k ; i Đối với quy tắc nhân: ta phân chia thành công đoạn Với cách thực công đoạn Ai công đoạn Ai+1 làm theo ni+1 cách Số cách thực công đoạn Ai+1 ni+1 không phụ thuộc vào cách đà đựơc thực công đoạn Ví dụ 29: Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Cần lập đoàn công tác gồm ng-ời có nam nữ, có nhà toán học nhà vật lý Hỏi có cách chọn? 50 H-ớng dẫn: Chúng ta ý khái niệm cần phân chia là: đội công tác gồm ng-ời Tiêu chí để phân chia dựa vào môn học giới tính Cách 1: Chọn tiêu chí môn học nên chọn vật lý có nam vật lý nên việc phân chia đơn giản Có tr-ờng hợp: Tr-ờng hợp 1: nhà vật lý nam Hai ng-ời lại nhà toán học nữ nhà toán học nam nhà toán học nữ Tr-ờng hợp có: C41 (C32 C51 C31 ) 72 cách Tr-ờng hợp 2: nhà vật lý nam Ng-ời lại nhà toán học nữ Số cách chọn tr-ờng hợp là: C42 C31 18 cách Theo quy tắc cộng ta có kết toán là: 72 18 90 cách Cách 2: Chọn tiêu chí giới tính nên chọn nữ có nữ toán học Có tr-ờng hợp: Tr-ờng hợp 1: nhà nữ toán học Hai ng-ời lại nhà nam toán học nhà nam vật lý nhà nam vật lý Tr-ờng hợp có: C31 (C51 C41 C42 ) 78 cách Tr-ờng hợp 2: nhà nữ toán học Ng-ời lại nhà nam vật lý Tr-ờng hợp có: C32 C41 12 cách Theo quy tắc cộng ta có kết toán là: 12  78  90 c¸ch VÝ dơ 30: Tõ ch÷ sè 1; 2; 3; 4; 5; cã thể lập đ-ợc số tự nhiên có chữ số phân biệt thiết phải có mặt chữ số 1? H-ớng dẫn: Trong toán khái niệm cần phân chia số tự nhiên có chữ số phân biệt, tiêu chí phân chia có mặt chữ số Tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt đ-ợc chia thành hợp tập hợp không giao Tập hợp thứ gồm số tự nhiên có chữ số phân biệt có mặt chữ số tập hợp thứ 51 gồm số tự nhiên có chữ số phân biệt mặt chữ số Ta có số số thỏa mÃn yêu cầu toán là: A64 A54 240 (số) 2.3.2.4 Cho học sinh đ-ợc thử thách th-ờng xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải Đứng tr-ớc khái niệm, định lý, quy tắc, lời giải học sinh phải biết phân tích để lĩnh hội kiến thức Học sinh phải biết tự nêu câu hỏi tích cực tự trả lời Khi giải toán bị sai lầm, học sinh cần phân tích sai lầm để tìm nguyên nhân điều chỉnh dẫn tới lời giải Giáo viên cần phối hợp nhiều biện pháp giúp cho hành động phân tích học sinh hình thành phát triển Nhiều học sinh có thói quen trình bày cẩu thả nên hay tính toán nhầm lẫn Một số lại có thói quen đọc đề toán xong giải nên có định h-ớng sai lời giải Chúng ta cần xây dựng thói quen tốt cho học sinh nhằm tránh sai lầm giải toán Chẳng hạn thói quen đọc kĩ đề để hiểu rõ giả thiết, kết luận, thói quen trình bày mạch lạc, thói quen th-ờng xuyên ôn tập kiến thức cũ, thói quen kiểm tra lại bước toàn lời giải Tất thói quen tốt thay thói quen xấu, nhiên cần nỗ lực giáo viên học sinh Cho học sinh thử thách với toán dễ dẫn đến sai lầm biện pháp nên dùng th-ờng xuyên Giáo viên cần cho học sinh đ-ợc thử thách với toán dễ mắc sai lầm, cần phải tiếp xúc với sai lầm sửa chữa đ-ợc sai lầm Không nên nghĩ ph-ơng thức dạy học bình th-ờng phòng tránh đ-ợc sai lầm học sinh, giáo viên trọng tới khâu lập luận, nh-ng học sinh phạm phải sai lầm Để học sinh ý thức đ-ợc sai lầm họ cần phải th-ờng xuyên thử thách sai lầm, từ rút kinh nghiệm chấm dứt cách thức trình bày sai thân Một ph-ơng thức cho học sinh thử thách th-ờng xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải cài đặt toán có chứa bẫy Thuật ngữ bẫy đà nhiều tác giả đề cập đến Việc cài đặt bẫy cho hợp lý, ®iỊu ®ã chđ u phơ thc vµo nghƯ tht s- phạm giáo viên Không nên đ-a vấn đề khó v-ợt xa trình độ học sinh để đóng vai trò 52 bẫy Bẫy nên xoay quanh vùng phát triển gần kiến thức học sinh Nói cách khác, nguyên tắc học sinh cần nắm thật kiến thức v-ợt qua đ-ợc bẫy Việc tạo bẫy để học sinh mắc sai lầm phòng tránh chủ động sai lầm học sinh Các bẫy củng cố lại nhằm xoá hẳn sai lầm học sinh đà đ-ợc sửa chữa tr-ớc đó, nhiên cần sử dụng bẫy cách có mức độ, với việc lạm dụng mức bẫy dẫn đến đánh đố phòng tránh sai lầm cho học sinh Tr-ớc đ-a toán để thử thách sai lầm học sinh, dĩ nhiên giáo viên cần có hình dung trực giác rằng: Chỗ này, chỗ học sinh mắc sai lầm Nhờ hình dung trực giác ấy, giáo viên thiết kế toán t-ơng thích Qua thực tiễn trình bày lời giải toán cung cấp cho giáo viên nhận định sát thực tế so với cảm nhận trực giác ban đầu, khẳng định chắn sai lầm học sinh khâu đặc biệt quan trọng phải dành thời gian thích đáng để nhấn mạnh kiến thức cần l-u ý liên quan trực tiếp đến sai lầm vừa mắc, thực chất thể chế hoá lần Giáo viên cần l-u ý không nên lặp lại trình nhiều lần vấn đề nh- gây nhàm chán, hứng thú cho học sinh Một ph-ơng pháp tốt để cài bẫy cho học sinh xây dựng hệ thống câu trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn Trong câu trắc nghiệm khách quan có ph-ơng án đúng, ph-ơng án khác đ-ợc xây dựng dựa sai lầm mà học sinh th-ờng mắc phải Đây ph-ơng pháp cài bẫy đ-ợc nhiều giáo viên sử dụng đạt hiệu cao Đứng tr-ớc câu hỏi học sinh phải đối mặt với suy luận ch-a xác nh-ng t-ởng chừng nh- hợp lý Ví dơ 31: (vÝ dơ 18 mơc 2.2.5 ) Mét tªn trộm vào nhà tỷ phú với ý định mở két sắt để lấy vàng Hắn biết đ-ợc lÃo tỷ phú cài mật gồm kí tự, kí tự chữ số, chữ (lấy từ 26 chữ bảng chữ cái) mật phải có chữ số Hỏi phải thử nhiều lần mở đ-ợc két sắt ? a 10.365 b 10 A365 c A366  A266 d 366  266 53 Các ph-ơng án đ-a dựa vào lời giải sai lầm sau: Ph-ơng án a: Vì mật phải chứa chữ số nên tr-ớc hết ta chọn chữ số Có 10 cách chän ch÷ sè 10 ch÷ sè kÝ tự lại chữ số chữ nên có 365 cách chọn kí tự lại Theo quy tắc nhân ta có: 10.365 cách chọn Nhận xét: Lời giải đà sai lầm chỗ chän ch÷ sè 10 ch÷ sè ta đà vô tình cố định vị trí chữ số dÃy kí tự nên kết đà tính thiếu (sai lầm 2.2.5) Ph-ơng án b: Vì mật phải chứa chữ số nên tr-ớc hết ta chọn chữ số Có 10 cách chọn ch÷ sè 10 ch÷ sè, kÝ tù lại chữ chữ số nên có A365 cách chọn kí tự lại Vậy kết toán là: 10 A365 cách chọn Nhận xét: Cách giải đà sai lầm chỗ học sinh ch-a nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp Ngoài học sinh vô tình cố định vị trí chữ số (sai lầm 2.2.5, 2.2.1) Ph-ơng án c: Số dÃy kí tự lấy từ 36 kÝ tù lµ A366 Sè d·y kÝ tù mật là: A266 Số dÃy kí tự mật x Theo quy tắc cộng ta cã: x + A266 = A366 VËy x= A366 - A266 Nhận xét: cách giải học sinh đà biết cách chuyển toán gián tiếp, nhiên học sinh mắc sai lầm 2.2.1 không hiểu chất khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp Ph-ơng án d: Sè d·y gåm kÝ tù lÊy tõ 36 kí tự là: 366 Trong đó, số dÃy kí tự có tất kí tự chữ là: 266 Số dÃy kí tự mật x Theo quy tắc cộng ta có: x + 266 = 366  x= 366 - 266 VÝ dô 32: (vÝ dơ 13 mơc 2.2.4) Cã bao nhiªu sè tự nhiên có chữ số phân biệt cho số phải có mặt chữ số vµ 1? a A95  A86 b A106  A86 c 5.5 A84 d 5.6 A84 Các ph-ơng án nhiễu đ-ợc đ-a dựa lời giải sai sau: 54 Ph-ơng án a: Số số tự nhiên có chữ số phân biệt là: A95 136080 số Trong đó, số số tự nhiên có chữ số phân biệt mặt chữ số vµ lµ: A86  20160 sè Theo quy tắc cộng ta có kết toán là: A95  A86  136080  20160  115920 số Nhận xét: Học sinh đà dựa vào tiêu chí phân chia có mặt hay mặt chữ số chữ số số tự nhiên có chữ số phân biệt để phân chia tr-ờng hợp Tuy nhiên cách phân chia ch-a đầy đủ, thiếu tr-ờng hợp số có mặt chữ số nh-ng mặt chữ số tr-ờng hợp số có mặt chữ số nh-ng mặt chữ số Sai lầm 2.2.4, 2.2.5 Ph-ơng án b: Số số tự nhiên có chữ số phân biệt là: A106 Trong số số tự nhiên có chữ số phân biệt mặt chữ số là: A86 Theo quy tắc cộng ta có kết toán là: A106 - A86 Nhận xét: Học sinh đà không nắm vững khái niệm toán học nên đà không trừ số có chữ số phân biệt nh-ng có số đứng đầu Sai lầm 2.2.2 Ph-ơng án c (ph-ơng án đúng): Việc lập số cần tìm việc xếp chữ số lấy từ E= {0; 1;.; 9} vào ô trống cho ô chứa Công việc gồm công đoạn: Công đoạn 1: Sắp xếp chữ số vào ô trống Có cách xếp (Trừ ô đầu tiên) Công đoạn 2: Sắp xếp số vào ô trống lại Có cách xếp Công đoạn 3: Xếp chữ số từ E (Trừ 1) vào ô trống lại Có A84 1680 cách xếp Mỗi cách xếp cho ta t-ơng ứng số thoả mÃn yêu cầu toán Vậy số số lập đ-ợc là: 5.5 A84 42000 (số) Ph-ơng án d: Xem cách chọn số tự nhiên thoả mÃn yêu cầu toán cách xếp chữ số từ tập hợp E= {0; 2; .; 8; 9} vào ô trống hai chữ số đ-ợc xếp vào ô, chữ số từ tập hợp F= {2, 55 3,,8, 9} xếp vào ô trống lại Chữ số có cách xếp, chữ số có cách xếp, chữ số lại có A84 cách Theo quy tắc nhân có: 6.5 A84 Nhận xét: Học sinh quên chữ số có cách xếp ®øng ®Çu Sai lÇm 2.2.2 VÝ dơ 33: Líp 10A có 40 học sinh, có 12 bạn nữ Có cách chọn ban cán gồm bạn nam bạn nữ ? a 94 (  C28  C122 ) b 9880( C403 ) c 3696( A28 A122 ) d 1848( C28 C122 ) Các ph-ơng án nhiễu dựa lời giải sai sau: Ph-ơng án a: Số học sinh nam là: 40-12=28 Có C 28 cách chọn bạn nam Có C122 cách chọn bạn nữ theo quy tắc cộng số cách lập ban cán là: C28 C122 Nhận xét: Trong toán cần sử dụng quy tắc nhân học sinh lại dùng quy tắc cộng Sai lầm 2.2.3 Ph-ơng án b: Số cách chọn ban cán gồm bạn là: C403 Nhận xét: Học sinh nắm ch-a hết yêu cầu toán phải có bạn nam bạn nữ Ph-ơng án c: Việc lập ban cán trải qua công đoạn Công đoạn 1: chọn 1 bạn nam 28 bạn nam, có A28 cách chọn Công đoạn 2: chọn bạn nữ 12 bạn nữ, có A122 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có kết là: A28 A122 Nhận xét: Học sinh ch-a nắm vững khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp nên đà tính sai Sai lầm 2.2.1 Ph-ơng án d: Việc lập ban cán trải qua công đoạn Công đoạn 1: chọn 1 bạn nam 28 bạn nam, có C28 cách chọn Công đoạn 2: chọn bạn nữ 12 C122 bạn nữ, có C122 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có kết là: C28 Kết luận ch-ơng II: Nh- ch-ơng II đà trình bày sở lý luận việc dự đoán sai lầm, từ sở lý luận dự đoán số sai lầm học sinh th-ờng gặp giải toán chủ đề Đại số tổ hợp Dựa sai lầm đ-a số cách khắc phục sai lầm cho học sinh 56 Ch-ơng III: Thực nghiệm s- phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm s- phạm đ-ợc tiến hành với mục đích thử nghiệm biện pháp dạy học nhằm hạn chế sai lầm học sinh học chủ đề Đại số tổ hợp Từ xét tính khả thi tính hiệu biện pháp đà đề xuất 3.2 Nội dung thực nghiệm 3.2.1 Cách thức tiến hành thực nghiệm Thực nghiệm s- phạm đ-ợc tiến hành tr-ờng trung học phổ thông Nguyễn Du- Nghi xuân Hà tĩnh Chúng chọn lớp 11A lớp thực nghiệm lớp 11B lớp đối chứng Trình độ chung môn toán lớp t-ơng đ-ơng Giáo viên dạy lớp thực nghiệm giáo viên dạy lớp đối chứng 3.2.2 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm đ-ợc tiến hành tiết đầu ch-ơng: Tổ hợp xác suất (Sách giáo khoa Đại số11-nâng cao) Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra Nội dung ®Ị kiĨm tra nh- sau: §Ị kiĨm tra : 45phót Phần 1: Trắc nghiệm Câu 1: Trong phát biểu sau, phát biểu sai? a, Số hoán vị n phần tử lớn số tổ hợp chập k n b, Mỗi cách xếp k phần tử n phần tử theo thứ tự chỉnh hợp chập k n phần tử c, Chỉnh hợp chập k n phần tử là: Ank d, Số tổ hợp chập k n phần tử là: C nk Câu 2: Nghiệm ph-ơng trình: C xx83  Ax36 lµ: a, 17 c, 17 -32 b,-32 d,-32< x