A. PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo . Trong quá trình giải toán học sinh thường gặp không ít khó khăn, có nhiều yếu tố dẫn đến những sai lầm thường gặp của học sinh. Vì lẽ đó việc nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải toán từ đó đưa ra biện pháp khắc phục đó là việc làm vô cùng quan trọng và cần thiết của người giáo viên. Trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông (THPT), Tổ hợp – xác suất là một chủ đề mới được đưa vào giảng dạy trong những năm gần đây, trong đó xuất hiện nhiều thuật ngữ, ký hiệu, khái niệm mới, vì vậy chứa đựng những khó khăn nhất định khi giải toán chủ đề này. Học sinh (HS) thường mắc phải một số sai lầm khi giải những bài toán liên quan đến chủ đề Tổ hợp – xác suất nên giáo viên (GV) cần tìm biện pháp để giúp HS phát hiện và sửa chữa kịp thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT. Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán tổ hợp, xác suất luôn là một dạng toán khó đối với học sinh. Chẳng hạn các em thường lúng túng không biết khi nào dùng quy tắc nhân xác suất, khi nào dùng quy tắc cộng hoặc khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào tổ hợp để tìm số kết quả đồng khả năng và kết quả thuận lợi của một biến cố, … Là một giáo viên Toán, tôi thiết nghĩ mình cần phải trang bị đầy đủ lí thuyết và kĩ thuật về tổ hợp, xác suất và giúp học sinh tránh những sai lầm khi giải bài toán xác suất. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài toán tổ hợp, xác suất”. II. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài toán tổ hợp, xác suất từ đó nêu ra biện pháp khắc phục. III. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu một số quan điểm lí luận về sai lầm thường gặp trong giải toán tổ hợp, xác suất của học sinh. Nghiên cứu những biện pháp khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ hợp, xác suất. IV: Giới hạn của đề tài: Đề tài tập trung vào nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải toán tổ hợp, xác suất. V. Phương pháp nghiên cứu: Để hoàn thành đề tài người viết ngoài việc tích cực học tập, trau dồi các kiến thức đã học ở chuyên đề, tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan còn sử dụng nhiều phương pháp phân tích, tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học để áp dụng thực hiện đề tài.
Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất MỤC LỤC Trang A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài………………………………………………………………… …2 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận đề tài……………………………………………………… II Thực trạng đề tài………………………………………………………… 2.1 Thực trạng chung…………………………………………………………… 2.2 Thực trạng giáo viên………………………………………………… 2.3 Thực trạng học sinh………………………………………………… III Các giải pháp thực hiện……………………………………………………… 3.1 Một số sai lầm thường gặp giải toán tổ hợp, xác suất học sinh THPT……………………………………………………………………………… 3.2 Biện pháp giúp HS phát sửa chữa sai lầm giải toán tổ hợp, xác suất……………………………………………………………………………… 22 C KẾT LUẬN………………………………………………………………… 24 Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn -1- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ở trường phổ thông, dạy toán dạy hoạt động toán học Đối với học sinh xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Các toán phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ kĩ xảo [1] Trong q trình giải tốn học sinh thường gặp khơng khó khăn, có nhiều yếu tố dẫn đến sai lầm thường gặp học sinh Vì lẽ việc nghiên cứu sai lầm thường gặp học sinh q trình giải tốn từ đưa biện pháp khắc phục việc làm vô quan trọng cần thiết người giáo viên Trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông (THPT), Tổ hợp – xác suất là một chủ đề mới được đưa vào giảng dạy những năm gần đây, đó xuất hiện nhiều thuật ngữ, ký hiệu, khái niệm mới, chứa đựng những khó khăn nhất định giải toán chủ đề Học sinh (HS) thường mắc phải số sai lầm giải những bài toán liên quan đến chủ đề Tổ hợp – xác suất nên giáo viên (GV) cần tìm biện pháp để giúp HS phát sửa chữa kịp thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường THPT Thực tế cho thấy việc giảng dạy tốn tổ hợp, xác suất ln dạng tốn khó học sinh Chẳng hạn em thường lúng túng dùng quy tắc nhân xác suất, dùng quy tắc cộng dùng chỉnh hợp, tổ hợp để tìm số kết đồng khả kết thuận lợi biến cố, … Là giáo viên Tốn, tơi thiết nghĩ cần phải trang bị đầy đủ lí thuyết kĩ thuật tổ hợp, xác suất giúp học sinh tránh sai lầm giải toán xác suất Với lý chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất” Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán -2- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất II Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu sai lầm thường gặp học sinh THPT giải tốn tổ hợp, xác suất từ nêu biện pháp khắc phục III Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu số quan điểm lí luận sai lầm thường gặp giải toán tổ hợp, xác suất học sinh - Nghiên cứu biện pháp khắc phục sai lầm cho học sinh giải toán tổ hợp, xác suất IV: Giới hạn đề tài: Đề tài tập trung vào nghiên cứu sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất V Phương pháp nghiên cứu: Để hoàn thành đề tài người viết ngồi việc tích cực học tập, trau dồi kiến thức học chuyên đề, tích cực nghiên cứu tài liệu liên quan cịn sử dụng nhiều phương pháp phân tích, tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học để áp dụng thực đề tài Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn -3- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận đề tài Toán học đóng vai trị vơ to lớn phát triển nói chung xã hội lồi người Vì lẽ cần thiết phải tăng cường đưa lĩnh vực tốn học có nhiều tính ứng dụng thực tiễn vào chương trình phổ thơng Lí thuyết xác suất mơn Tốn học ứng dụng đưa vào chương trình tốn THPT từ đổi SGK năm 2007 Tổ hợp, xác suất mơn tốn học có nhiều ứng dụng thực tiễn như: - Trong vật lí phân tử để nghiên cứu hệ nhiều phân tử; động lực học, học lượng tử… cần thiết phải sử dụng tổ hợp, xác suất - Lí thuyết xác suất sử dụng rộng rãi sinh vật học di truyền học đại tiếp tục sử dụng rộng rãi phương pháp Thống kê xác suất - Sự vận dụng phương pháp Thống kê xác suất việc tổ chức điều khiển sản xuất mang lại cho kinh tế quốc dân nhiều lợi ích to lớn Vì việc dạy học tổ hợp, xác suất phải tạo điều kiện cho học sinh vượt ngồi khn khổ định luận học, hình thành cho em tư tưởng biến cố ngẫu nhiên xác suất, mối quan hệ biện chứng tất nhiên ngẫu nhiên; chẳng hạn: “Khi tượng xảy cách ngẫu nhiên ta coi tín hiệu hay nhiều quy luật mà khoa học chưa biết đến, biết nửa vời Cho nên người ta thường nói “cái tất nhiên bộc lộ bên ngẫu nhiên”” II 2.1 Thực trạng vấn đề Thực trạng chung Xuất phát từ mục tiêu đổi chương trình giáo dục phổ thông là: Coi trọng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung chương trình tinh giản, giảm tính hàn lâm, tập trung vào kiến thức, kĩ thiết thực, tích Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn -4- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất hợp nhiều mặt giáo dục Do vậy, hệ thống kiến thức kĩ tương ứng cần truyền thụ cho học sinh chương trình phổ thơng hồn tồn 2.2 Thực trạng giáo viên Đối với đa số giáo viên không quen không hào hứng dạy phần này, vì: Nội dung tổ hợp, xác suất đưa vào chương trình phổ thơng, cách suy luận khơng hồn tồn giống suy luận tốn học túy, kiến thức Lí thuyết xác suất giáo viên học chương trình đại học lâu khơng dùng đến kiến thức nhiều bị mai Bên cạnh khơng nhiều giáo viên ý thức cần thiết phải dạy xác suất chương trình phổ thơng Dường họ tuân thủ chương trình đề vấn đề quan trọng, chương trình phải có phần họ không quan tâm 2.3 Thực trạng học sinh Đối với học sinh, hầu hết em khơng hứng thú việc học xác suất kiến thức khó lạ Những điều là: Học sinh phải làm quen với khái niệm phép thử, không gian mẫu, biến cố liên quan đến phép thử, phép toán biến cố, định nghĩa xác suất cơng thức tính xác suất, vấn đề khó như: Các suy luận có lí có tính khơng đơn trị: Chúng hiểu khác óc khác hoàn cảnh cụ thể khác Học sinh thường lúng túng xác định biến cố đối biến cố, em thường nhầm lẫn sử dụng quy tắc tính xác suất, nhầm lẫn sử dụng hai quy tắc đếm lúng túng sử dụng chỉnh hợp sử dụng tổ hợp, để tính số phần tử không gian mẫu số kết thuận lợi cho biến cố Khi giải toán xác suất đa số học sinh không dám lập luận ngôn ngữ logic chặt chẽ mà đưa công thức kết Vì vậy, trình dạy học tổ hợp, xác suất giáo viên không dạy cho học sinh nắm vững khái niệm, định lí; quy tắc, công thức mà chủ yếu phải dạy cho học sinh biết vận dụng khái niệm, định lí; quy tắc, Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn -5- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải tốn tổ hợp, xác suất cơng thức vào giải tốn cụ thể tốn có nội dung thực tiễn Nhằm khắc phục khó khăn sai lầm học sinh III CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 3.1 Một số sai lầm thường gặp giải tổ hợp, xác suất học sinh THPT 3.1.1 Sai lầm HS chưa có khả trực giác xác suất Nếu yếu tố Đại số hình học có chỗ dựa trực giác số trực giác khơng gian tương ứng HS yếu tố lí thuyết xác suất sở tương tự khơng có Trực giác xác suất trực giác toán học thể nghiên cứu tình xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm tình mơ hình tốn học - xác suất, lẫn tình thực tiễn mang đặc trưng xác suất).Chính điều dẫn đến khó khăn HS học yếu tố lí thuyết xác suất Ví dụ 1: Gieo đồng xu đồng chất đối xứng Hãy tìm xác suất biến cố ngẫu nhiên sau : Biến cố A1 : Khơng có mặt sấp xuất Biến cố A2 : Có mặt sấp xuất Biến cố A3 : Có hai mặt sấp xuất Biến cố A4 : Có ba mặt sấp xuất Giải : HS giải sau : Ở kết phép thử T : « Gieo đồng xu đồng chất đối xứng », xảy biến cố ngẫu nhiên biến cố ngẫu nhiên sau : A1 ; A2 ; A3 ; A4 biến cố đồng khả Từ vận dụng định nghĩa cổ điển xác xuất tính : P( A1) = P( A2 ) = P( A3 ) = P( A4 ) = Sai lầm: Do HS ngộ nhận biến cố A 1; A2 ; A3 ; A4 đồng khả Nhưng thực tế thực phép thử T, biến cố A xảy trường hợp kết phép thử T, đồng xu xuất mặt ngửa Còn biến cố A2 xảy trường hợp: Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn -6- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất - Trường hợp 1: Trong kết phép thử T, đồng xu thứ xuất mặt sấp hai đồng xu lại xuất mặt ngửa - Trường hợp 2: Trong kết phép thử T, đồng xu thứ hai xuất mặt sấp hai đồng xu lại xuất mặt ngửa - Trường hợp 3: Trong kết phép thử T, đồng xu thứ ba xuất mặt sấp hai đồng xu lại xuất mặt ngửa Vậy thực phép thử T, biến cố A có khả xảy nhiều biến cố A1 Bởi biến cố A 1; A2 ; A3 ; A4 khơng đồng khả Như vậy, việc phân tích bước đầu cho ta thấy “trực giác” HS sai Ví dụ 2: Gieo đồng xu đồng chất đối xứng Hãy tìm xác suất biến cố ngẫu nhiên sau đây: a) Biến cố A1 : “Khơng có mặt sấp xuất hiện” b) Biến cố A2 : “Có mặt sấp xuất hiện” c) Biến cố A3 : “Có hai mặt sấp xuất hiện” d) Biến cố A4 : “Có ba mặt sấp xuất hiện” Một học sinh giải sau: Ở kết phép thử T : “Gieo đồng xu đồng chất đối xứng”, xảy biến cố ngẫu nhiên biến cố ngẫu nhiên sau đây: A1 , A2 , A3 , A4 biến cố đồng khả Từ vận dụng định nghĩa cổ điển xác suất tính được: Lời giải sai ngộ nhận biến cố A1 , A2 , A3 , A4 đồng khả P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) = P ( A4 ) = Thật vậy, ta phân tích cho học sinh hiểu sau: Khi thực phép thử T , biến cố A1 xảy trường hợp: Trong kết phép thử T , đồng xu xuất mặt ngửa; biến cố A2 xảy trường hợp sau đây: - Trường hợp 1: Trong kết phép thử T , đồng xu thứ xuất mặt sấp hai đồng xu khác xuất mặt ngửa Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán -7- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất - Trường hợp 2: Trong kết phép thử T , đồng xu thứ xuất mặt sấp hai đồng xu lại xuất mặt ngửa - Trường hợp 3: Trong kết phép thử T , đồng xu thứ xuất mặt sấp, hai đồng xu khác xuất mặt ngửa Vậy biến cố A2 có khả xảy nhiều biến cố A1 , phép thử T thực Bởi biến cố A1 , A2 , A3 , A4 không đồng khả Như việc phân tích bước đầu cho ta thấy “trực giác” học sinh sai Lời giải a) Gọi Bi biến cố “Đồng xu thứ i sấp” ( i = 1,2,3) , ta có: A1 = B1 B2 B3 , P Bi = Các biến cố B1 , B2 , B3 độc lập Theo quy tắc nhân xác suất, ta có P ( A1 ) = P B1 P B2 P B3 = b) Ta có A2 = B1 B2 B3 ∪ B1B2 B3 ∪ B1 B2 B3 Theo quy tắc cộng xác suất, ta có P ( A2 ) = P B1 B2 B3 + P B1B2 B3 + P B1 B2 B3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm ( ) ( ) ( ) Tương tự P ( B B B ) = P ( B B B ) = P B1 B2 B3 = P ( B1 ) P B2 P B3 = 3 Vậy P ( A2 ) = c) Ta có A3 = B1B2 B3 ∪ B1 B2 B3 ∪ B1B2 B3 Lập luận tương tự câu b) ta P ( A3 ) = d) Ta có A4 = B1B2 B3 , biến cố B1 , B2 , B3 độc lập Theo quy tắc nhân xác suất, ta có: P ( A4 ) = P ( B1B2 B3 ) = P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) = 3.1.2 Sai lầm nhận dạng thể khái niệm tổ hợp, xác suất Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán -8- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất Trong nhiều trường hợp, HS không hiểu rõ chất khái niệm tổ hợp, xác suất dẫn đến sai lầm giải tốn Ví dụ 3: Có cách cắm bơng hoa khác màu vào lọ hoa khác ( lọ cắm không ) Giải : HS giải sau: Cắm hoa vào lọ hoa (mỗi lọ cắm khơng q bơng) có 3 lọ cắm hoa lọ không cắm hoa Vậy số cách cắm hoa : C5 = 10 ( cách ) Sai lầm : Ở HS khơng tính đến thứ tự cắm hoa khác màu vào lọ hoa khác Do hoa khác màu lọ hoa khác nên cách lựa chọn có liên quan đến thứ tự Trong lời giải phải là: Do hoa khác màu cắm vào lọ hoa khác nên số cách cắm : A53 = 60 ( cách ) 3.1.3 Sai lầm việc lựa chọn khái niệm, quy tắc, định lý để vận dụng vào giải tốn Điển hình việc nhầm lần quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất, HS không ý đến điều kiện để áp dụng công thức cộng biến cố phải xung khắc, cịn điều kiện để áp dụng cơng thức nhân biến cố phải độc lập Ví dụ 4: Có giỏ đựng táo lê Hai HS lấy ngẫu nhiên người từ giỏ hoa Tính xác suất biến cố “ Hai người lấy hai loại khác ” ? Giải : HS giải sau Gọi A biến cố HS thứ lấy táo, P( A) = Thì A biến cố HS thứ lấy lê, P( A) = Gọi B biến cố HS thứ hai lấy táo, P( B) = Thì B biến cố HS thứ hai lấy lê, P( B) = Gọi C biến cố hai người lấy hai loại khác Khi : C = A.B + A.B Áp dụng công thức cộng nhân xác suất ta có : Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán -9- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất 1 1 P (C ) = P ( A).P ( B ) + P ( A).P ( B) = + = 4 12 Sai lầm: HS cho biến cố A B độc lập nên áp dụng sai công thức nhân xác suất Thực tế biến cố không độc lập với nên không sử dụng công thức nhân xác suất Nhưng lời giải phải trình bày sau: n(Ω) = A102 = 90 Gọi A biến cố hai người lấy hai loại khác TH1: HS thứ chọn táo HS thứ hai chọn lê Có : x = 24 ( cách chọn ) TH2: HS thứ chọn lê HS thứ hai chọn táo Có : x = 24 ( cách chọn ) Khi n(A) = 24 + 24 = 48 48 = Vậy P(A) = 90 15 3.1.4 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt: HS thường mắc phải số kiểu sai lầm ngôn ngữ chưa nắm rõ chất vấn đề Ví dụ 5: HS thường hay nói "Tổ hợp chập k n Cnk ", "chỉnh hợp chập k n Ank " Sai lầm: Do lẫn lộn đối tượng định nghĩa đối tượng dùng để đối tượng Chính xác phải "số tổ hợp chập k n phần tử Cnk ", "số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank " 3.1.5 Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia toán thành trường hợp riêng Do HS không ý đến điều kiện buộc vài yếu tố ẩn chứa toán nên dẫn đến phân chia thiếu trường hợp Ví dụ 6: Có số tự nhiên chẵn có chữ số khác thành lập từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ? Giải: HS giải sau: Gọi số tự nhiên chẵn có chữ số khác có dạng : abcd Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 10 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất Do số tự nhiên chẵn nên d 0,2,4,6 đó: d có cách chọn c có cách chọn b có cách chọn a có cách chọn Áp dụng quy tắc nhân số số tự nhiên chẵn có chữ số khác cần tìm : 4.6.5.4 = 480 số Sai lầm: Ở HS quên điều kiện buộc để abcd trở thành số tự nhiên có chữ số a ≠ , lời giải khơng xét đến trường hợp 480 số có trường hợp có a = khơng cịn số tự nhiên có chữ số Lời giải phải là: Gọi số tự nhiên chẵn có chữ số khác có dạng : abcd TH1: d = 0, Khi : a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn Áp dụng quy tắc nhân ta có tất : 6.5.4 = 120 số TH2: d ≠ : d 2,4,6 nên d có cách chọn a có cách chọn ( a ≠ ) b có cách chọn c có cách chọn Áp dụng quy tắc nhân có tất : 3.5.5.4 = 300 số 3.1.6 Sai lầm việc nhận thức suy luận hợp lý phân biệt với suy luận diễn dịch Trong mối liên hệ logic Toán học ứng dụng, học Lí thuyết xác suất học sinh buộc phải làm việc với suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lí; thêm vào thời điểm này, em phải rèn luyện sử dụng suy luận diễn dịch Do đó, làm để học sinh nhận thức suy luận hợp lí phân biệt với suy luận diễn dịch? Đồng thời, làm để giúp em sử dụng kết hợp hai suy luận trình học Xác suất? Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn - 11 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải tốn tổ hợp, xác suất Ví dụ 7: Bài tập 40, SGK tr.83 ĐS-GT 11 nâng cao Trong trò chơi điện tử, xác xuất để An thắng trận 0,4 (khơng có hồ) Hỏi An phải chơi tối thiểu trận để xác suất An thắng trận loạt chơi lớn 0,95 Bài giải học sinh: Gọi A biến cố: “An thắng trận loạt chơi n trận” Xác suất An thắng trận là: 0,4 n Suy P ( A ) = 0, n Ta có P ( A ) ≥ 0,95 hay ( 0, ) ≥ 0,95 Suy n = Bài giải học sinh sai suy luận toán học Ta lập luận để đến kết toán sau: Gọi n số trận mà An chơi, A biến cố: “An thắng trận loạt chơi n trận” Biến cố đối biến cố A A : n “An thua n trận” Ta có P A = ( 0,6 ) n Vậy P ( A ) = − ( 0,6 ) Để An thắng trận P ( A ) ≥ 0,95 Vậy tốn quy tìm số ngun dương n thoả mãn: P ( A ) ≥ 0,95 hay − ( 0,6 ) n ≥ 0,95 n ⇔ ( 0,6 ) ≥ 0,05 (*) Ta có ( 0,6 ) ≈ 0,078 , ( 0,6 ) ≈ 0,047 Vậy n nhỏ Do An phải chơi trận để thắng loạt chơi Chú ý: Do học sinh chưa học phương trình bất phương trình mũ nên để giải ( ) phương trình (*), giáo viên nên hướng dẫn học sinh thử máy tính bỏ túi Ví dụ 8: Bài tập 42, SGK tr85 ĐS-GT11 nâng cao Gieo ba súc sắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất ba súc sắc Bài giải học sinh: Các kết phép thử Ω = 63 = 216 Kết phép thử số (x,y,z) x,y,z tương ứng kết việc gieo súc sắc thứ nhất, thứ 2, thứ Gọi A biến cố: “Tổng số chấm mặt xuất súc sắc 9” Ta có: 9=1+2+6=1+3+5=2+3+4=1+4+4=2+2+5=3+3+3 Do số kết thuận lợi cho biến cố A Ω A = Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 12 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất Vậy P ( A ) = = 36 Bài giải học sinh sai tìm số kết thuận lợi cho biến cố A Kết mà học sinh tìm trực quan mà khơng suy luận lơgic Lời giải Ta có: Ω { } = ( x, y , z ) | x + y + z = 9,1 ≤ x ≤ 6,1 ≤ y ≤ 6,1 ≤ z ≤ 6, x, y, z ∈ ¥ * A Tập {1,2,6} cho ta kết cho A là: (1,2,6); (1,6,2); (6,1,2); (6,2,1); (2,1,6); (2,6,1) Tương tự từ tập {1,3,5}, {2,3,4} tập cho ta kết thuận lợi cho A Các tập {1,4,4}; {2,2,5} tập cho ta kết thuận lợi cho A Tập {3,3,3} cho ta kết thuận lợi cho A Vậy Ω A = + + + + + = 25 25 216 Khi giải tốn Xác suất có nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải sử Suy xác suất biến cố A là: P ( A ) = dụng kết hợp suy luận hợp lí suy luận diễn dịch trình bày chứng minh kết thu Ta biết kĩ hồn tồn học sinh, học sinh khơng tránh khỏi khó khăn định 3.1.7 Sai lầm việc sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất Ví dụ 9: Bài tập 26, tr 75 SGK ĐS-GT 11 nâng cao Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương nhỏ Tính xác suất để a) Số chọn số nguyên tố b) Số chọn chia hết cho Sai lầm thường gặp Số phần tử không gian mẫu là: Ω = a) Gọi A biến cố: “Số chọn số nguyên tố” Tập số nguyên tố nhỏ {2, 3, 5, 7} Do ta có Ω A = Ω Vậy xác suất biến cố A là: P ( A ) = A = = Ω Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 13 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất b) Gọi B biến cố: “Số chọn chia hết cho 3” Tương tự, ta có Ω B = Ω Vậy P ( B ) = B = = Ω Nguyên nhân sai lầm Học sinh nhầm lẫn tập hợp kết đồng khả tập hợp kết thuận lợi với số kết đồng khả số kết thuận lợi biến cố Học sinh tiếp cận với khái niệm xác suất, nên em chưa hiểu chất định nghĩa cổ điển xác suất Biện pháp khắc phục Theo định nghĩa cổ điển xác suất, xác suất biến cố A là: P ( A) = ΩA , Ω Ω A : Là số kết thuận lợi cho biến cố A Ω : Số phần tử không gian mẫu Do dạy giáo viên cần phân tích rõ định nghĩa rõ cho học sinh thấy định nghĩa xác suất thông qua số phần tử tập hợp ý kí hiệu cho Lời giải Số kết xảy phép thử (hay cịn gọi số phần tử không gian mẫu): Ω = a) Gọi A biến cố: “Số chọn số nguyên tố” Tập số nguyên tố nhỏ {2, 3, 5, 7} Do ta có Ω A = 4 Vậy xác suất biến cố A là: P ( A ) = = b) Gọi B biến cố: “Số chọn chia hết cho 3” ΩB = = Lập luận tương tự ta có P ( B ) = Ω 3.1.8 Sai lầm từ việc ứng dụng hai quy tắc đếm Quy tắc cộng: Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 14 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải tốn tổ hợp, xác suất Giả sử cơng việc X thực theo k phương án A 1, A2, …, Ak Phương án Ai có ni cách thực (i=1…k) Khi số cách thực công việc X n1+n2+…+nk Quy tắc nhân: Giả sử để hồn thành cơng việc X cần phải thực hiên theo thứ tự k công đoạn A1, A2,…, Ak Cơng đoạn Ai có ni cách thực (i=1…k) Khi số cách thực cơng việc X n1.n2…nk Ví dụ 10: Bài tập 32, tr.76 SGK ĐS-GT 11 nâng cao Chiếc kim bánh xe trò chơi “Chiếc nón kì diệu” dừng lại vị trí với khả Tính xác suất để ba lần quay, kim bánh xe dừng lại ba vị trí khác Sai lầm thường gặp Ba lần quay, lần quay trúng vị trí, nên kết xảy phép thử là: Ω = 3.C17 Gọi A biến cố: “Trong lần quay kim bánh xe dừng lại ba vị trí khác nhau” 1 Số kết thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = C7 C6 C5 C17 C1 C51 A = Vậy xác suất biến cố A : P ( A ) = Ω 3.C17 Nguyên nhân sai lầm Ω Học sinh vận dụng quy tắc cộng sai, mà phải sử dụng quy tắc nhân tìm số kết đồng khả Biện pháp khắc phục Giáo viên kiểm tra lại toán áp dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân Bài giải học sinh vận dụng quy tắc cộng Đối chiếu hai quy tắc cộng nhân cho học sinh thấy nên dùng quy tắc gì? Lời giải Số kết đồng khả năng: Ω = C17 C17 C17 Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 15 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất Gọi A biến cố: “Trong ba lần quay kim dừng lại ba vị trí khác nhau” 1 Số kết thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = C7 C6 C5 C17 C1 C51 7.6.5 30 = Vậy P ( A ) = 16 = 7.7.7 49 C7 C7 C7 Ví dụ 11: Bài tập 31, tr.76 SGK ĐS-GT 11 nâng cao Một túi đựng cầu đỏ, cầu xanh Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để có màu đỏ màu xanh Sai lầm thường gặp = 210 Các kết xảy phép thử: Ω = C10 Gọi A biến cố: “Trong chọn có màu đỏ màu xanh” Tìm kết thuận lợi cho biến cố A Trường hợp 1: Trong chọn có màu đỏ màu xanh Có C1 + C cách chọn Trường hợp 2: Số cách chọn màu đỏ màu xanh là: C + C cách Trường hợp 3: Số cách chọn đỏ xanh: C43 + C16 cách Áp dụng quy tắc cộng, ta có số kết thuận lợi cho biến cố A Ω = C1 + C + C + C + C + C1 = 55 A 6 Vậy xác suất biến cố A là: P ( A ) = 55 = 0, 262 210 Nguyên nhân sai lầm Lời giải sai Thật trường hợp số cách chọn có màu đỏ chọn màu xanh hai hành động liên tiếp Do có C14 C63 cách chọn Tương tự lí luận cho trường hợp Biện pháp khắc phục Đây toán vừa áp dụng quy tắc cộng vừa áp dụng quy tắc nhân Trong trường hợp, số cách chọn ta áp dụng quy tắc nhân Khi tìm số kết thuận lợi cho biến cố A ta áp dụng quy tắc cộng Vì dạy giáo viên cần phân tích rõ để học sinh thấy dấu hiệu dùng quy tắc Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 16 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất Lời giải Số cách chọn đỏ xanh là: C14 C63 Số cách chọn đỏ xanh là: C42 C62 Số cách chọn đỏ xanh là: C43.C16 Do số kết thuận lợi cho biến cố A Ω = C1 C + C C + C 3.C1 = 194 A 6 Vậy xác suất biến cố A là: 194 P ( A) = = 0,924 210 3.1.9 Sai lầm việc vận dụng cơng thức tính hốn vị - chỉnh hợp tổ hợp Ví dụ 12: Bài tập 29, tr.76 SGK ĐS-GT 11 nâng cao Chọn ngẫu nhiên người có tên danh sách 20 người đánh số từ đến 20 Tính xác suất để người chọn có số thứ tự khơng lớn 10 (tính xác đến hàng phần nghìn) Sai lầm thường gặp Việc chọn người có tên danh sách 20 người đánh số thứ tự từ đến 20 tổ hợp chập 20 Do Ω = A20 Gọi A biến cố: “Trong người chọn có số thứ tự khơng lớn 10” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = A10 A 10 Vậy xác suất biến cố A : P ( A ) = = 0,016 A 20 Nguyên nhân sai lầm Học sinh vận dụng lí thuyết để tìm số phần tử khơng gian mẫu hay số kết thuận lợi cho A số tổ hợp Nhưng tính tốn lại viết cơng thức tính chỉnh hợp Biện pháp khắc phục Khi dạy giáo viên tìm ngơn từ học sinh nhớ vận dụng công thức Chẳng hạn “chỉnh mà không C ” Lời giải Lập luận ta có số kết đồng khả là: Ω = C20 Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn - 17 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất Số kết thuận lợi cho biến cố A : Ω A = C 10 Vậy xác suất biến cố A là: C P ( A ) = 10 = 0,016 C5 20 Ví dụ 13: Bài tập 62, tr.94 SGK ĐS-GT 11 nâng cao Chọn ngẫu nhiên quân cỗ tú lơ khơ gồm 52 quân Tính xác suất để quân có qn rơ, qn pích, qn cơ, quân 10 nhép quân K Sai lầm thường gặp Số kết đồng khả năng: Ω = C52 Gọi A biến cố: “Trong qn có qn rơ, qn bích, quân cơ, quân 10 nhép quân K cơ” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = + + + + = 5 Do xác suất biến cố A : P ( A ) = C 52 Nguyên nhân sai lầm Học sinh vận dụng quy tắc đếm sai để tìm số kết thuận lợi cho biến cố A Thực để tìm số kết thuận lợi cho biến cố A ta áp dụng quy tắc nhân Biện pháp khắc phục Nhắc lại hai quy tắc đếm sau cho học sinh nhận xét nên dùng quy tắc Lời giải Số kết thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = 1 Vậy xác suất biến cố A là: P ( A ) = C 52 3.1.10 Khó khăn, sai lầm vận dụng qui tắc tính xác suất Quy tắc cộng xác suất: Nếu A B hai biến cố xung khắc thì: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) Một cách tổng quát Nếu k biến cố A1 , A2 , , Ak đơi xung khắc thì: ( ) ( ) ( ) P A ∪ A ∪ ∪ A = P A + P A + + P ( An ) 2 k Quy tắc nhân xác suất: Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn - 18 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Một cách tổng quát Nếu k biến cố A1 , A2 , , Ak độc lập với thì: P ( A1 A2 Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) Ví dụ 14: Trong thi chọn học sinh giỏi tốn quốc gia gồm có vịng Vịng lấy 80% thí sinh dự thi Vịng lấy 70% thí sinh dự thi vịng Vịng lấy 80% thí sinh vịng Tính xác suất để thí sinh lọt qua vịng thi Sai lầm thường gặp Gọi A1 là: “Thí sinh lọt qua vòng 1” Xác suất A1 là: P ( A1 ) = 0,8 Gọi A2 là: “Thí sinh lọt qua vòng 2” Xác suất A2 là: P ( A2 ) = 0,7 Gọi A3 là: “Thí sinh lọt qua vòng 3” Xác suất A3 là: P ( A3 ) = 0,8 Gọi A là: “Số học sinh lọt qua vòng” P ( A ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) = 0,8 + 0,7 + 0,8 = 2,3 Nguyên nhân sai lầm Học sinh vận dụng quy tắc cộng xác suất nên dẫn tới kết sai Ta biết xác suất p biến cố thoả điều kiện: ≤ p ≤ Trong kết tìm lớn Biện pháp khắc phục Nhắc lại cho học sinh quy tắc nhân xác suất quy tắc cộng xác suất Yêu cầu học sinh nhắc lại giá trị xác suất biến cố nằm đoạn nào? Lời giải Gọi A1 biến cố: “ Thí sinh vượt qua vịng 1” Ta có P ( A1 ) = 0,8 Gọi A2 biến cố: “ Thí sinh vượt qua vịng 2” Ta có P ( A2 ) = 0,7 Gọi A3 biến cố: “ Thí sinh vượt qua vịng 3” Ta có P ( A3 ) = 0,8 Gọi A biến cố: “Thí vượt qua vịng thi” Áp dụng quy tắc nhân xác suất Ta có xác suất biến cố A là: P ( A ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = 0,8.0,7.0,8 = 0,448 Ví dụ 15: Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu cách độc lập người bắn viên đạn, biết có viên trúng đích Tìm xác suất để có người bắn trúng đích Biết xác suất bắn trúng đích người tương ứng 0,5; 0,7 Sai lầm thường gặp Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn - 19 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất Gọi A1 biến cố: “Người thứ bắn trúng đích” Ta có P ( A1 ) = 0,5 Gọi A2 biến cố: “Người thứ hai bắn trúng đích” Ta có P ( A2 ) = 0,7 Gọi A biến cố: “Một người bắn trúng đích” P ( A ) = P ( A1 ) P ( A2 ) = 0,5.0,7 = 0,35 Nguyên nhân sai lầm Đây toán tổng hợp, vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất tính xác suất biến cố đối Do học sinh không đọc kỹ đề nên vận dụng quy tắc nhân xác suất vào toán nên dẫn tới kết sai Lời giải Ta có A = A1 A2 ∪ A1A2 P( A) = P ( A A ) + P( A A ) = P( A ) P ( A ) + P ( A ) P( A ) 2 2 = 0,5.0,3 + 0,5.0,7 = 0,5 Vậy xác suất biến cố A là: P( A) = 0,5 3.1.11 Sai lầm không đọc kỹ giả thiết toán dẫn tới kết sai Ví dụ 16: Bài tập 36, tr.83 SGK ĐS-GT 11 nâng cao Gieo hai đồng xu A B cách độc lập Đồng xu A chế tạo cân đối Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất mặt ngửa Tính xác suất để gieo hai đồng xu lần hai đồng xu ngửa Sai lầm thường gặp Xác suất để đồng xu sấp ngửa là: 0,5.0,5=0,25 Nguyên nhân sai lầm Học sinh không đọc kỹ giả thiết toán nên dẫn tới kết sai Bởi theo giả thiết xác suất đồng xu B xuất mặt sấp hay ngửa 0,5 Lời giải Gọi A1 biến cố: “Đồng xu A sấp” A2 biến cố: “Đồng xu A ngửa” B1 biến cố: “Đồng xu B sấp” B2 biến cố: “Đồng xu B ngửa” Theo ta có P ( A1 ) = P ( A2 ) = 0,5 Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn - 20 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất P ( B1 ) = 0,75 ; P ( B2 ) = 0, 25 (do đồng xu B có xác suất xuất mặt sấp gấp lần xác suất xuất mặt ngửa P ( B1 ) + P ( B2 ) = ) Gọi G biến cố: “Khi gieo hai đồng xu lần hai đồng xu ngửa” Ta có xác suất biến cố G P ( G ) = P ( A2 B2 ) = P ( A2 ) P ( B2 ) = 0,5.0, 25 = 0,125 3.1.12 Sai lầm xác định biến cố đối tính xác suất biến cố đối Biến cố đối: Cho A biến cố đối Khi biến cố “khơng xảy A”, kí hiệu A , gọi biến cố đối A Định lí Cho A biến cố Xác suất biến cố đối A P A = − P ( A) ( ) Ví dụ 17: Bài tập 35, tr.83 SGK ĐS-GT 11 nâng cao Xác suất bắn trúng hồng tâm người bắn cung 0,2 Tính xác suất để ba lần bắn độc lập: a) Người bắn trúng hồng tâm lần b) Người bắn trúng hồng tâm lần Sai lầm thường gặp a) Gọi H biến cố: “Trong lần bắn người bắn trúng hồng tâm lần” Vậy xác suất biến cố H là: P ( H ) = 0, b) Ta có trường hợp Trường hợp 1: Người bắn trúng hồng tâm lần Trường hợp 2: Người bắn trúng hồng tâm lần Trường hợp 3: Người bắn trúng hồng tâm lần Vậy xác suất cần tìm là: 1.0,2+2.0,2+3.0,2=1,2 Nguyên nhân sai lầm a) Cách suy nghĩ học sinh đơn giản Học sinh vơ tình cơng nhận tính xác suất người bắn trúng hồng tâm lần xác suất người bắn trúng hồng tâm Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 21 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất b) Cách phân tích trường hợp song cách tính xác suất trường hợp sai Có thể học sinh suy luận theo trực giác khơng phải suy luận lơgíc Biện pháp khắc phục Yêu cầu học sinh đọc kỹ Nhắc lại biến cố đối cơng thức tính xác suất biến cố đối Lời giải a) Gọi Ai biến cố: “Người bắn trúng hồng tâm lần thứ i ” với i = 1, 2,3 Ta có P ( Ai ) = 0, Gọi K biến cố: “Trong lần bắn độc lập người bắn trúng hồng tâm lần” Khi K = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ( ) ( ) ( ) Ta có P ( K ) = P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 Mặt khác P A1 A2 A3 = P ( A1 ) P A2 P A3 = 0, 2.(1 − 0, 2).(1 − 0, 2) = 0,128 ( ) ( ) ( ) Tương tự ta có: P ( A A A ) = P ( A A A ) = 0,128 3 Vậy P ( K ) = 3.0,128 = 0,384 b) Gọi H biến cố: “Người bắn trúng hồng tâm lần” Biến cố đối H : “Cả lần bắn bắn không trúng hồng tâm” Ta có H = A1 A2 A3 ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy P ( H ) = − P ( H ) = − 0,512 = 0, 488 Do P H = P A1 P A2 P A3 = 0,8.0,8.0,8 = 0,512 3.2 Biện pháp giúp HS phát sửa chữa sai lầm giải toán tổ hợp, xác suất Từ sai lầm mà HS thường gặp trình giải tốn tổ hợp, xác suất ”, để giúp cho HS phát sửa chữa sai lầm thường mắc phải trình giảng dạy GV cần ý đến vấn đề sau: Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn - 22 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất - Cần trang bị cho HS cách đầy đủ, có hệ thống kiến thức nội dung tổ hợp, xác suất Giúp HS nắm vững phân biệt khái niệm, công thức nội dung - Trang bị cho HS kiến thức phương pháp giải tốn tổ hợp, xác suất Theo G.Polya phương pháp chung để giải tốn tiến hành theo bước sau: Tìm hiểu nội dung tốn; tìm cách giải; trình bày lời giải; kiểm tra nghiên cứu lời giải GV lưu ý thêm cho HS sơ đồ tìm kiếm lời giải tốn sau: Khi tìm hiểu nội dung tốn cố gắng xác định tốn thuộc dạng nào? Nếu toán thuộc dạng chuẩn quen thuộc có thuật giải cụ thể việc áp dụng để giải Nếu toán chưa thuộc dạng chuẩn quen thuộc cần phân tích theo hai hướng: tách toán thành toán nhỏ có dạng chuẩn (thủ pháp chia nhỏ), hai diễn đạt toán theo cách khác dẫn đến tốn có dạng chuẩn (thủ pháp mơ hình hố) Với mục đích hạn chế sửa chữa sai lầm cho HS GV cần nhắc HS trọng đến bước thứ trình giải toán mà G.Polya đề xuất: + Hãy thực lời giải toán với gợi ý nhằm tránh sai lầm Hãy kiểm tra lại bước làm xem chứng minh tính đắn bước làm hay không ? + Sau giải xong xem xét lại lời giải với gợi ý đề để kiểm tra Hãy thử xem kết tìm có phù hợp với tốn khơng, có trường hợp riêng hay trường hợp tổng quát không … - HS thử thách thường xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải GV trọng hướng dẫn cho HS tự phát sai lầm mình, HS biết ngun nhân sai lầm gì, cách khắc phục sai lầm cuối sau khắc phục sai lầm HS rút kinh nghiệm để không mắc phải sai lầm tương tự Một cách học hiệu HS học từ sai lầm để từ rút kinh nghiệm để tránh sai lầm mắc phải Vì việc giúp cho HS phát sửa chữa sai lầm trình giải tốn quan trọng q trình dạy học GV Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 23 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất C KẾT LUẬN I Kết luận Đề tài thu số kết luận sau: - Đề tài làm sáng tỏ vai trò, ý nghĩa việc học tổ hợp, xác suất trường phổ thông - Bước đầu nghiên cứu số sở lí luận tổ hợp, xác suất - Tìm nhiều khó khăn sai lầm học sinh giải tập tổ hợp, xác suất - Sau tìm khó khăn sai lầm đề tài nguyên nhân dẫn đến khó khăn, sai lầm từ nêu cụ thể biện pháp khắc phục - Đề biện pháp sư phạm chung để giúp giáo viên dạy tốt phần tổ hợp xác suất, biện pháp để khắc phục sai lầm thường gặp học sinh giải toán tổ hợp, xác suất Với kết đạt nêu đề tài tư liệu bổ ích cho giáo viên học sinh THPT, học viên cao học chuyên ngành “Lí luận phương pháp dạy hoc mơn Tốn” Để hồn thành đề tài tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Thuận, người thầy cung cấp tài liệu, tận tình dạy dỗ, hướng dẫn tơi trình thực đề tài Mặc dù có nhiều cố gắng song thiếu xót đề tài tránh khỏi mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp góp ý Sự hướng dẫn, dạy bảo thầy cơ, góp ý bạn đồng nghiệp giúp nhiều để hoàn thiện đề tài nghiên cứu này! Tháng 3/ 2013 Người thực đề tài Trịnh Trọng Trung Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 24 - Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu (2011), Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh dạy học Đại số - Giải tích trường phổ thơng, NXB Đại học sư phạm Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thông, NXB Đại học sư phạm Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm 4.G Pơlya(1995), Tốn học suy luận có lý Nxb Giáo dục 5.G Pơlya (1997), Sáng tạo toán học Nxb Giáo dục 6.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số giải tích 11 nâng cao Nxb Giáo dục 7.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số giải tích 11 nâng cao (Sách giáo viên) Nxb Giáo dục 8.Đào Tam (2008), Tiếp cận phương pháp dạy học khơng truyền thống dạy học Tốn trường đại học trường phổ thông Nxb Đại học sư phạm Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán - 25 - ... là: “Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất” Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học tốn -2- Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh. .. thức vào giải tốn cụ thể tốn có nội dung thực tiễn Nhằm khắc phục khó khăn sai lầm học sinh III CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 3.1 Một số sai lầm thường gặp giải tổ hợp, xác suất học sinh THPT 3.1.1 Sai. .. Một số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán tổ hợp, xác suất Trong nhiều trường hợp, HS không hiểu rõ chất khái niệm tổ hợp, xác suất dẫn đến sai lầm giải tốn Ví dụ 3: Có cách