CHUYÊN ĐỀ “PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA VIỆC SÁNG TẠO BÀI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC”

Có thể thấy rằng vấn đề rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong giảng dạy bộ môn Toán đã thu hút đươc sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. Trong chương trình Toán phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong những nội dung quan trọng luôn xuất hiện trong đề thi Trung học phổ thông quốc gia và đề thi học sinh giỏi. Tổ hợp và xác suất được đánh giá là một trong những nội dung khó. Việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua viêc xây dựng các bài toán tổng quát giúp học sinh có cái nhìn rõ ràng hơn về dạng bài toán này và các em cũng chủ động hơn trong việc tiếp cận bài toán, việc tự sáng tạo ra các bài toán mới giúp các em rèn luyên được kĩ năng tư duy, tổng hợp kiến thức. Với các lý do trên, tôi chọn chuyên đề: “Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh qua việc xây dựng bài toán tổ hợp – xác suất” trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở nhà trường phổ thông.

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ ĐỔI MỚI SINH HOẠT CHUYÊN MÔN

QUA VIỆC SÁNG TẠO BÀI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT LIÊN

QUAN ĐẾN ĐA GIÁC”

MÔN: TOÁN PHẠM VI KIẾN THỨC: CHƯƠNG 2 – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG: HỌC SINH LỚP 11, 12

ÔN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THPT QUỐC GIA

SỐ TIẾT: 03

Mục lục

PHẦN I: LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ 3

PHẦN II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ 4

I XÂY DỰNG BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TAM GIÁC, TỨ GIÁC TẠO RA TỪ CÁC ĐỈNH CỦA MỘT ĐA GIÁC ĐỀU 2n ĐỈNH n 2.n  4

II TƯ DUY SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN TỪ BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 9

III XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT SỐ TAM GIÁC TẠO RA TỪ CÁC ĐỈNH CỦA ĐA GIÁC LỒI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI 13

1 Xây dựng bài toán đếm số tam giác trong đa giác lồi 13

2 Sáng tạo bài toán mới 14

PHẦN III: KẾ HOẠCH VÀ GIÁO ÁN CHI TIẾT 17

A Kế hoạch 17

B Giáo án chi tiết 17

TIẾT 1: XÂY DỰNG BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TAM GIÁC, SỐ TỨ GIÁC TẠO RA TỪ CÁC ĐỈNH CỦA MỘT ĐA GIÁC ĐỀU 18

TIẾT 2: TƯ DUY SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN ĐA GIÁC ĐỀU 23

TIẾT 3: TƯ DUY SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÌM SỐ TAM GIÁC TỪ CÁC ĐỈNH CỦA ĐA GIÁC LỒI 25

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA VIỆC SÁNG TẠO BÀI

TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC

PHẦN I: LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ

Có thể thấy rằng vấn đề rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong giảng dạy

bộ môn Toán đã thu hút đươc sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu Trong chươngtrình Toán phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong những nội dung quan trọng luôn xuấthiện trong đề thi Trung học phổ thông quốc gia và đề thi học sinh giỏi Tổ hợp và xác suấtđược đánh giá là một trong những nội dung khó Việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinhqua viêc xây dựng các bài toán tổng quát giúp học sinh có cái nhìn rõ ràng hơn về dạng bàitoán này và các em cũng chủ động hơn trong việc tiếp cận bài toán, việc tự sáng tạo ra các bàitoán mới giúp các em rèn luyên được kĩ năng tư duy, tổng hợp kiến thức

Với các lý do trên, tôi chọn chuyên đề: “Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh qua

việc xây dựng bài toán tổ hợp – xác suất” trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 ban

cơ bản nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở nhà trường phổ thông

PHẦN II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

“PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA VIỆC SÁNG TẠO BÀI

TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC”

I XÂY DỰNG BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TAM GIÁC, TỨ GIÁC TẠO RA TỪ CÁC ĐỈNH

 Bài toán 1: Cho đa giác đều 6 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O Hỏi:

a Có bao nhiêu đường chéo qua tâm O , bao nhiêu tứ giác, bao nhiêu hình vuông, bao

nhiêu hình chữ nhật, được tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều trên

b Có bao nhiêu tam giác, bao nhiêu tam đều, bao nhiêu giác cân không đều, bao nhiêu

tam giác vuông được tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều trên

Giải

a.

qua tâm O do vậy có 3 đường chéo đi qua tâm O

 Số tứ giác: Để tạo thành 1 tứ giác từ các đỉnh của đa giác ta chọn 4 đỉnh bất kì của đa

giác đo Do đó số tứ giác được tạo thành là C  64 15

 Số hình vuông: Để tạo thành hình vuông thì 4 đỉnh phải cách đều nhau Như vậy 4 đỉnh

phải chia đường tròn ngoại tiếp đa giác thành 4 phần bằng nhau, bốn phần đường tròn

đó chứa số đỉnh còn lại bằng nhau, do đó số đỉnh còn lại phải chia hết cho 4 Như vậybài toán này không có hình vuông nào được tạo thành

 Số hình chữ nhật: Mỗi hình chữ nhật được tạo ra từ 4 đỉnh của đa giác đều sẽ có hai

đường chéo là hai đường chéo của đa giác đi qua tâm O Như vậy số hình chữ nhật

được tạo ra chính là số cách chọn 2 trong số

63

2 đường chéo qua tâm O Vậy số hình

chữ nhật được tạo ra là C  32 3

b.

 Số tam giác: Ta thấy cứ 3 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giac do đó số tam giác

được tạo thành là: C  tam giác.63 20

 Số tam giác đều: Để tạo thành tam giác đều thì 3 đỉnh phải cách đều nhau Chọn 3 đỉnh

của tam giác đều chia đường tròn ngoại tiếp thành 3 phần bằng nhau, ta có

62

3  bộ 3

điểm như vậy nên có 2 tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều được tạothành

 Số tam giác cân không đều: Xét một đỉnh A bất kì của đa giác, ta có 2 cặp điểm đối

xứng với nhau qua đường thẳng OA, và mỗi cặp điểm này tạo với A một tam giác cân,như vậy sẽ có 2 tam giác cân tại đỉnh A, 5 đỉnh còn lại tương tự sẽ có 2 tam giác cân tại

đỉnh đó tuy nhiên các tam giác cân này có cả các tam giác đều và tam giác đều thì cântại cả 3 đỉnh của nó nên các tam giác đều được tính 3 lần Do đó số tam giác cân khôngđều được tạo ra từ 6 đỉnh của đa giác đều là 6.2 3.2 6 

 Số tam giác vuông: Để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông khi và chỉ khi

có một cạnh là đường chéo qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác, đỉnh còn lại

được chọn từ 4 đỉnh còn lại của đa giác Đa giác có 6 đỉnh nên có

6

2 đường chéo qua O

Số cách chọn 1 đường chéo là C  31 3

Số cách chọn 1 đỉnh còn lại từ 4 đỉnh của đa giác là C  41 4

Vậy số tam giác vuông được tạo thành là 3.4 12 tam giác

 Bài toán 2: cho đa giác đều 8 cạnh nội tiếp đường tròn tâp O Từ các đỉnh của đa giác

đều tạo được

a Bao nhiêu đường chéo qua tâm O , bao nhiêu tứ giác, bao nhiêu hình vuông, bao

nhiêu hình chữ nhật không là hình vuông

b Bao nhiêu tam giác, bao nhiêu tam giác đều, bao nhiêu tam giác cân không đều, bao

nhiêu tam giác vuông

Giải.

a.

84

 Số tứ giác được tạo thành là: C 84 70.

 Số hình vuông được tạo thành: Để 4 đỉnh tạo thành 1 hình vuông thì 4 đỉnh này chia

đường tròn ngoại tiếp đa giác đều thành 4 phần bằng nhau, có

82

4  bộ bốn điểm như

vậy Vậy có 2 hình vuông được tạo thành

ra từ 4 đỉnh của đa giác đều sẽ có hai đường chéo là hai đường chéo của đa giác đi qua

tâm O Như vậy số hình chữ nhật được tạo ra chính là số cách chọn 2 trong số

84

đường chéo qua tâm O Do đó số hình chữ nhật được tạo ra là C  Nhưng trong các42 6

hình chữ nhật đó có cả 2 hình vuông Vậy số hình chữ nhật không là hình vuông đượctạo ra là: 6 2 4 

b

 Số tam giác được tạo thành là: C 83 56

 Số tam giác đều được tạo thành: để tạo thành tao giác đều thì số cạnh của đa giác đều

phải chia hết cho 3 vậy không có tam giác đều nào được tạo thành

không có tam giác đều nên số tam giác cân không đều là: 4 8 2   24

 Số tam giác vuông được tạo thành là: C C 41 61 24

 Từ lời giải bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau:

 Bài toán tổng quát 1: Cho đa giác đều 2n đỉnh n 2,n 

nội tiếp đường tròn tâm

O Từ các đỉnh của đa giác tạo thành

a Bao nhiêu đường chéo qua tâm O , bao nhiêu tứ giác, bao nhiêu hình vuông, bao nhiêu

hình chữ nhật?

b Bao nhiêu tam giác, bao nhiêu tam giác đều, bao nhiêu tam giác cân không đều, bao

nhiêu tam giác vuông?

Giải:

a.

 Số đường chéo qua tâm O là:

22

n n



 Số các tứ giác: C 2n4

 Số các hình vuông là:

- Nếu n không chia hết cho 2 thì không có hình vuông

- Nếu n chia hết cho 2 thì số hình vuông là:

- Nếu n không chia hết cho 2 thì số hình chữ nhật là: C n2

- Nếu n chia hết cho 2 thì số hình chữ nhật không là hình vuông là:

- Nếu n không chia hết cho 3 nên không có tam giác đều.

- Nếu n chia hết cho 3 thì số tam giác đều là

23

n

 Số các tam giác cân không đều:

- Nếu n không chia hết cho 3 thì số tam giác cân là: n n 2 2

2 Với điều kiện nào của n thì có tam giác vuông?

Bài 2 Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có n cạnh n4,n  Xét các tứ giác có bốnđỉnh được lấy từ các đỉnh của đa giác

1 Với điều kiện nào của n thì trong các tứ giác đó có hình chữ nhật?

2 Với điều kiện nào của n thì trong các tứ giác đó có hình vuông?

Bài 3 Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 10 cạnh Xét các tứ giác có bốn đỉnh được

lấy từ các đỉnh của đa giác Khi đó:

1 Có bao nhiêu tứ giác tất cả?

Bài 4 Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 12 đỉnh Xét các tứ giác có bốn đỉnh được lấy

từ các đỉnh của đa giác Khi đó:

1 Có bao nhiêu tứ giác tất cả?

Bài 5 Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 12 cạnh Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy

từ các đỉnh của đa giác Khi đó:

1 Có bao nhiêu tam giác đều?

II TƯ DUY SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN TỪ BÀI TOÁN TỔNG QUÁT

Từ bài toán tổng quát xây dựng ở trên ta có thể đếm được số tam giác, tứ giác được tạo ra từcác đỉnh của một hình đa giác và từ đó chúng ta có thể sáng tạo ra các bài toán mới về tổ hợp

và xác suất nhờ vào kết quả của bài toán cụ thể Sau đây là một số ví dụ minh họa

Bài 1 Cho một đa giác đều có 30 cạnh Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy

từ các đỉnh của đa giác đều Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S , tính xác suất để được một

hình chữ nhật

Giải:

Số phần tử của không gian mẫu là số tứ giác được tạo ra từ các đỉnh của đa giác đều

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C304 =27405.

Gọi A là biến cố ''tứ giác được chọn là hình chữ nhật''

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C1051 =105.

Từ bài toán trên chúng ta suy ra bài toán ngược của bài toán này như sau:

Bài 1.1 Cho một đa giác đều có 2n cạnh n 2,n 

Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S , biết

rằng xác suất để chọn được một hình chữ nhật là

1

261 Tìm n ?

Giải:

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C 2n4 .

Gọi A là biến cố ''tứ giác được chọn là hình chữ nhật''

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C n2.

Xác suất của biến cố A là:

1

15261

n n

C

n

Bài 2 Từ kết quả của bài toán đa giác đều 16 đỉnh Ta thấy số các tam giác là 560, số các

hình chữ nhật là C  , số các tam giác vuông là 82 28 1 1

8 14 112

560 5 Do đó ta sáng tạo ra hai bài toán sau:

Bài 2.1 Cho một đa giác đều 2n đỉnh (n³ 2, nÎ ¥*)

nội tiếp đường tròn ( )O Biết rằng số

tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh Tìm n?

Bài 2.2 Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n³ 2, nÎ ¥ Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số)

2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là

1

5 Tìm n?

Giải

Không gian mẫu là số cách chọn 3 đỉnh trong 2n đỉnh của đa giác.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C 2n3 .

Gọi A là biến cố ''Ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông''

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A n n(2 - 2).

Do đó xác suất của biến cố A là

Bài 3 Từ kết quả của bài toán đa giác đều 12 đỉnh ta có số tứ giác là 495 số hình chữ nhật là

2

6 15

C  Ta thấy 49515 331 ta có thể sáng tạo ra hai bài toán sau:

Bài 3.1 Cho một đa giác đều 2n đỉnh (n³ 2,nÎ ¥ nội tiếp đường tròn ) ( )O Chọn ngẫu

nhiên 4 đỉnh của đa giác đó Tìm n để xác suất 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ

nhật là

1

33.

Bài 3.2 Cho một đa giác đều 2n đỉnh (n³ 2, nÎ ¥ nội tiếp đường tròn ) ( )O Biết rằng số tứ

giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác đều gấp 33 lầ số hình chữ nhật tạo ra từ các đỉnh đó Tìm n

hợp xác suất

Bài tập áp dụng

Bài 1 Cho đa giác đều 2n cạnh n 2,n 

, biết rằng số tứ giác tạo ra từ các đỉnh của đagiác đều gấp 17 lần tổng số hình chữ nhật và tam giác vuông có đỉnh là các đỉnh của đa giác

đều đó Tìm n ?

A

97

Bài 2 Cho đa giác đều 2n cạnh n 2,n 

, biết rằng số tam giác tạo ra từ các đỉnh của

đa giác đều gấp 140 lần số hình vuông có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều đó Tính số tamgiác vuông được tạo ra từ các đỉnh của đa giác đều đó

Bài 3 Cho đa giác n đỉnh n 5,n 

Bài 4 Cho đa giác đều 2n đỉnh n 2,n 

Biết rằng số tam giác được tạo ra từ các đỉnhcủa đa giác mà có 2 cạnh là cạnh của đa giác bằng

1

20 số tam giác vuông được tạo ra từ các

đỉnh của đa giác đều trên Tìm n ?.

Bài 5 Cho đa giác n đỉnh n 5,n 

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác, biết xác suất

để chọn được 3 đỉnh tạo thành một tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác là

5

13 Tìm n ?

Bài 6 Cho đa giác đều 2n cạnh n 2,n 

, gọi S1 là tập các tam giác ra từ các đỉnh của

đa giác đều, S2 là tập các tứ giác được tạo ra từ các đỉnh của đa giác đều Chọn ngẫu nhiên

một phần tử từ S1 và một phần tử từ S2, biết rằng xác suất để lấy được một tam giác vuông từ

1

S gấp 45 lần xác suât để lấy được một hình vuông từ S2 Tìm n ?

Bài 7 Cho đa giác đều 2n đỉnh n 2,n 

Biết rằng xác suất để chọn được 3 đỉnh củatam giác tạo thành một tam giác vuông không lớn hơn

III XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT SỐ TAM GIÁC TẠO RA TỪ CÁC ĐỈNH CỦA ĐA GIÁC LỒI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI

1 Xây dựng bài toán đếm số tam giác trong đa giác lồi

 Xét bài toán: Cho đa giác lồi 7 đỉnh Từ các đỉnh của đa giác có thể lâp được bao

nhiêu:

a Tam giác, tam giác có 3 cạnh là cạnh của đa giác.

b Tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác.

c Tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác.

d Tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

Giải:

a.

 Số tam giác được tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi 7 đỉnh là: C 73 35

 Số tam giác có 3 cạnh là cạnh của đa giác lồi: không có

b Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi mà có hai cạnh là cạnh của đa giác là việc

chọn 3 đỉnh liên tiếp từ các đỉnh của đa giác đo, nên số tam giác là: 7

c Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là tam

giác có 2 đỉnh liên tiếp của đa giác và đỉnh còn lại không kế tiếp 2 đỉnh kia

Cứ 2 đỉnh liên tiếp là 1 cạnh của đa giác, nên chọn 1 cạnh từ 7 cạnh của đa giác có 7cách Sau đó, đỉnh còn lại chọn từ 7 4 3- = đỉnh còn lại trừ đi 2 đỉnh đã cho và 2 đỉnh

kế tiếp nó

Vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là 7 7 4( - )= tam giác.21

d Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác lồi mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác

bằng số tam giác được tạo ra trừ đi tổng số tam giác có 1 cạnh và hai cạnh là cạnh của

đa giác Nên kết quả là: C 73 7 21 7  tam giác

Từ các tư duy để giải bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau:

 Bài toán tổng quát 2: Cho đa giác lồi n đỉnh n 4,n 

Xác định số tam giác tạo

ra từ các đỉnh của đa giác sao cho:

a Số tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác là C n3

b Số tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên

tiếp của đa giác nên có n tam giác như vậy.

c Tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là tam giác có 2 đỉnh liên tiếp của đa giác

và đỉnh còn lại không kế tiếp 2 đỉnh kia

Cứ 2 đỉnh liên tiếp là 1 cạnh của đa giác, nên chọn 1 cạnh từ n cạnh của đa giác có n

cách Sau đó, đỉnh còn lại chọn từ n- 4 đỉnh còn lại trừ đi 2 đỉnh đã cho và 2 đỉnh kếtiếp nó

Vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n n( - 4) tam giác.

d Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là C n3- n n n- ( - 4)

Ví dụ:

Cho đa giác 35 cạnh Theo bài toán tổng quát 2 ta có các kết quả sau:

+ Số tam giác được tạo ra từ các đỉnh của đa giác là: 6545

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác là: 35

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác là: 1085

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là: 5425.

2 Sáng tạo bài toán mới

Bài 1: Cho đa giác lồi 35 cạnh Theo bài toán tổng quát 2 ta có các kết quả sau:

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác là: 35

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác là: 1085

+ Số tam giác tạo ra từ các đỉnh của đa giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là: 5425

35  do đó ta sáng tạo ra hai bài toán sau:

Bài 1.1 Cho đa giác ( )H có n đỉnh (nÎ ¥, n>4) Tìm n, biết số các tam giác có 3 đỉnh làđỉnh của ( )H và không có cạnh nào là cạnh của ( )H gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là

đỉnh của ( )H và có đúng 1 cạnh là cạnh của ( )H

Giải:

Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là C n3

Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n.

Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n n-( 4).

Suy ra số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là C n3- n n n- ( - 4).

Theo giả thiết, ta có C n3- n n n- ( - 4) =5.n n( - 4)

Do n> nên ta chọn 4 n=35 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 1.2 Cho đa giác lồi ( )H có n đỉnh (nÎ ¥, n>4) Tìm n, biết số các tam giác có 3 đỉnh

là đỉnh của ( )H và có 1 cạnh là cạnh của ( )H gấp 31 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh

của ( )H và có đúng 2 cạnh là cạnh của ( )H

Giải như bài toán trên ta cũng có kết quả n 35

Bài 2 Cho đa giác lồi 14 đỉnh Theo bài toán tổng quát ta có các kết quả sau

+ Số tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác lồi là: C 143 364.