Một số biện pháp khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải bài toán tích phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH THPT KHI GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Lớp : ThS Ngơ Thị Bích Thủy : Lê Tường Vi : 12ST Đà Nẵng, tháng 05 năm 2016 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục Các chữ viết kí hiệu viết tắt Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 6 Cấu trúc luận văn Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Các định hướng nhằm nâng cao chất lượng giáo dục 1.2 Dạy học giải toán 10 1.2.1 Yêu cầu lời giải toán 10 1.2.2 Các bước hoạt động giải toán 10 1.2.3 Tiến trình giải tốn 10 1.3 Dạy học giải tốn Ngun hàm – tích phân trường Trung học phổ thơng 12 1.3.1.Vai trị ý nghĩa nội dung Nguyên hàm – tích phân chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thơng 12 1.3.2.Nội dung Nguyên hàm – tích phân chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thông 12 1.3.3.Một số lưu ý dạy học giải tốn tích phân 13 1.4 Một số khái niệm, nội dung tốn tích phân 13 1.4.1 Những kiến thức liên quan (Nguyên hàm) 13 1.4.1.1 Định nghĩa 13 1.4.1.2 Định lí 14 SVTH: Lê Tường Vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 1.4.1.3 Tính chất 14 1.4.1.4 Nguyên hàm số hàm thường gặp 15 1.4.1.5 Một số phương pháp tìm nguyên hàm 15 a) Phương pháp đổi biến số 15 b) Phương pháp lấy nguyên hàm phần 16 1.4.2 Tích phân 16 1.4.2.1 Định nghĩa 16 1.4.2.2 Tính chất 17 1.4.2.3 Một số phương pháp tính tích phân 18 a) Phương pháp đổi biến số 18 b) Phương pháp tích phân phần 18 Chương 2: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THÔNG 20 2.1 Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân 20 2.2 Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân 20 2.3 Sai lầm dùng công thức SGK hành 22 2.4 Sai lầm vận dụng phương pháp đổi biến 23 2.5 Sai lầm vận dụng phương pháp tích phân phần 28 2.6 Sai lầm tính diện tích hình phẳng tích phân 29 2.7 Sai lầm vận dụng sai cơng thức tính thể tích khối trịn xoay 32 Chương 3: CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THÔNG 35 3.1 Biện pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức 35 3.1.1 Rèn luyện cho HS nắm vững chất ý nghĩa khái niệm, định lí, quy tắc tạo sở cho tồn kiến thức vận dụng giải tốn Tích phân 36 3.1.2 Trang bị cho HS hiểu kí hiệu logic, thuật ngữ toán học 38 SVTH: Lê Tường Vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 3.2 Biện pháp 2: Tạo tình phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính tích cực học sinh giải tốn Tích phân 38 3.3 Biện pháp 3: Xác định tập luyện cho HS phương pháp giải số dạng tốn tích phân vận dụng quy trình giải tốn G Polya 40 3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ tư logic cho học sinh 45 3.5 Biện pháp 5: Đưa học sinh vào tình thử thách với sai lầm, từ có phản ví dụ cần thiết để học sinh nhận thức sai lầm cần tránh 48 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 SVTH: Lê Tường Vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông GV : Giáo viên HS : Học sinh SVTH: Lê Tường Vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: G Polya viết “Con người phải biết học từ sai lầm thiếu sót mình” Thơng qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời tránh sai lầm tương tự bồi dưỡng thêm mặt tư cho thân người Tích phân ứng dụng rộng rãi để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, đối tượng nghiên cứu Giải tích, tảng cho lý thuyết phương trình vi phân… Trong q trình giải tốn tích phân học sinh thường khó nhận dạng, phải vận dụng nhiều phương pháp khác nhau; biết áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính tích phân Tuy nhiên em thụ động, thiếu kĩ năng, linh hoạt chưa biết độc lập suy nghĩ tìm hướng giải, cách giải Điều ảnh hưởng lớn đến khả kết học tập em Với mong muốn giúp em học sinh hiểu kiến thức bản, khắc phục sai lầm giải toán, nắm phương pháp giải cho số tập từ giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt kết cao trình học tập, phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái qt hóa thấy u thích mơn Tốn Xuất phát từ thực tiễn trên, tơi chọn đề tài “Một số biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp học sinh THPT giải tốn tích phân” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sai lầm phổ biến học sinh phổ thơng giải tốn tích phân, đồng thời đề xuất biện pháp sư phạm để hạn chế khắc phục sai lầm học sinh giải tốn tích phân nhằm rèn luyện lực giải SVTH: Lê Tường Vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy tốn cho học sinh nâng cao chất lượng dạy học q trình dạy tốn Tích phân trường THPT Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận - Tìm hiểu sai lầm thường gặp học sinh giải tốn tích phân chương trình phổ thơng - Đề xuất số biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh giải tốn tích phân chương trình phổ thơng Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: học sinh học THPT - Phạm vi nghiên cứu: Do số hạn chế vấn đề thời gian kinh nghiệm thân, nên đề tài nghiên cứu sai lầm học sinh thường gặp đề xuất biện pháp khắc phục giải tốn tích phân chương trình tốn phổ thơng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận mặt phương pháp dạy học tốn học, tâm lí học để phân tích nguyên nhân sai lầm đề số biện pháp khắc phục - Nghiên cứu thực tiễn thơng qua giáo viên tốn số trường THPT, kinh nghiệm học tập thân, em học sinh thơng qua tìm hiểu tài liệu có liên quan đến tốn tích phân chương trình tốn phổ thơng Cấu trúc luận văn Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Các định hướng nhằm nâng cao chất lượng giáo dục 1.2 Dạy học giải toán 1.2.1 Yêu cầu lời giải toán 1.2.2 Các bước hoạt động giải toán 1.2.3 Tiến trình giải tốn SVTH: Lê Tường Vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 1.3 Dạy học giải tốn Ngun hàm – tích phân trường Trung học phổ thơng 1.3.1 Vai trị ý nghĩa nội dung Nguyên hàm – tích phân chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thơng 1.3.2 Nội dung Nguyên hàm – tích phân chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thơng 1.3.3 Một số lưu ý dạy học giải tốn Tích phân 1.4 Một số khái niệm, nội dung tốn tích phân 1.4.1 Những kiến thức liên quan (Nguyên hàm) 1.4.2 Tích phân Chương 2: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 2.1 Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân 2.2 Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân 2.3 Sai lầm dùng cơng thức khơng có SGK hành 2.4 Sai lầm vận dụng phương pháp đổi biến 2.5 Sai lầm vận dụng phương pháp tích phân phần 2.6 Sai lầm tính diện tích hình phẳng tích phân 2.7 Sai lầm vận dụng sai cơng thức tính thể tích khối trịn xoay Chương 3: CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 3.1 Biện pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức 3.2 Biện pháp 2: Tạo tình phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính tích cực học sinh giải tốn Tích phân 3.3 Biện pháp 3: Xác định tập luyện cho HS phương pháp giải số dạng tốn tích phân vận dụng quy trình giải tốn G Polya 3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ tư logic cho học sinh SVTH: Lê Tường Vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 3.5 Biện pháp 5: Đưa học sinh vào tình thử thách với sai lầm, từ có phản ví dụ cần thiết để học sinh nhận thức sai lầm cần tránh SVTH: Lê Tường Vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Các định hướng nhằm nâng cao chất lượng giáo dục: Mục tiêu giáo dục giai đoạn phải đào tạo người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo nhân văn cao Nghị trung ương IV khóa VII năm 1993 xác định: “Áp dụng phương pháp giáo dục bồi dưỡng cho học sinh lực tư duy, sáng tạo, lực giải vấn đề” Nghị trung ương VIII khóa IX (Nghị số 29 – NQ/TW) đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo đặt nhiệm vụ: “Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực Chuyển từ học chủ yếu lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, ý hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin truyền thông dạy học” Định hướng pháp chế hóa Luật giáo dục điều 28 mục chương II nêu “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong đó, tốn học có vai trị quan trọng đời sống ngành khoa học khác Nhà tư tưởng người Anh R Bêcơn nói: “Ai khơng hiểu biết tốn học khơng thể hiểu môn khoa học khác phát dốt nát thân mình” Do vai trị tốn học đời sống cơng nghệ đại, kiến thức phương pháp toán SVTH: Lê Tường Vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Sai lầm nhớ nhầm cơng thức nguyên hàm yêu cầu học sinh học thuộc bảng nguyên hàm hàm số nguyên hàm hàm hợp tương ứng Giúp em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm nguyên hàm tìm xem có hàm số cho khơng Sai lầm nhớ nhầm tính chất tích phân: yêu cầu học sinh học thuộc tính chất nguyên hàm tích phân; giúp em tổng qt hóa dạng tốn sử dụng phương pháp tích phân phần Sai lầm đổi biến số: yêu cầu học sinh học thuộc bước thực phương pháp đổi biến số (đổi biến, tính vi phân, đổi cận); giúp em tạo thói quen kiểm tra lại làm, kiểm tra kết phép tính gần máy tính bỏ túi Sai lầm hiểu sai chất cơng thức: giải thích cho học sinh hiểu cặn kẽ vai trị ý nghĩa cơng thức, kí hiệu 3.1.2 Trang bị cho HS hiểu kí hiệu logic, thuật ngữ tốn học 3.2 Biện pháp 2: Tạo tình phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính tích cực học sinh giải tốn Tích phân Khi tốn (khơng riêng tốn Tích phân) suy nghĩ người giáo viên tự hỏi để làm gì? mục đích nó? Cần chọn thật giảng cho hiểu sau nâng lên dần đến tổng qt hố cố gắng chọn cho có nhiều mối liên hệ với nhiều khác để em xây dựng Trong chừng mực phương pháp nói cho truyền cảm chỗ; nhấn mạnh lúc; cho em chỗ hay, chỗ thiếu tự nhiên giải tốn trên; sai đâu đâu mà sai? Thường xuyên tìm hiểu rộng cách giải học sinh khai thác chúng; thấy hiệu nên khen với tình cảm thân mật Ví dụ: Các em xem lại cách giải bạn thấy nào? bạn khai thác sao? Các em có hứng thú với cách giải khơng? Bạn có SVTH: Lê Tường Vi 38 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy cách giải khác khơng? Cuối khích lệ học sinh Làm phát huy tính tích cực hoạt động học tập học sinh Ví dụ: Sau học tích phân cách tính dựa vào lí thuyết học, vận dụng tính tính phân  x3 ( x4  1)4 dx Có nhiều học sinh làm theo cách khai triển đa thức tích thành tổng áp dụng cơng thức để tính Tuy nhiên, việc khai triển lâu có lúc mắc phải sai sót (nếu đa thức với lũy thừa bậc cao) cách giải khơng tốt Gợi động cho học sinh tích cực suy nghĩ tìm lời giải khác: Hãy tìm cách giải nhanh giải tốn tương tự mà có số mũ lớn?(có thể sử dụng phương pháp đổi biến) Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số Đặt t  x4 1  dt  x3dx  x3dx  dt x  t    x  t  Đổi cận:  12 31   Khi đó:  x ( x  1) dx   t 4dt   t   41  20  10 4 Ngoài ra, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp biến đổi vi phân giúp học sinh hứng thú việc suy nghĩ, tìm cách giải khác tốn tích phân để đạt hiệu việc học toán học sinh Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân SVTH: Lê Tường Vi 39 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 11 ( x4  1)5 31 4 x ( x  1) d x  ( x  1) d ( x  1)      40 20 0 4 3.3 Biện pháp 3: Xác định tập luyện cho HS phương pháp giải số dạng tốn tích phân vận dụng quy trình giải tốn G Polya Việc xác định hướng giải toán có liên quan mật thiết với việc lựa chọn phương pháp cơng cụ thích hợp để giải tốn, “Một tốn có lời giải tốt chọn phương pháp cơng cụ thích hợp với hướng giải có” Khơng tìm phương pháp giải phù hợp với tốn đưa đến sai lầm: đặt điều kiện sai, biện luận không hết trường hợp, khơng theo trình tự logic, khơng có cách giải tối ưu Muốn giải tốt tập tốn, ngồi việc nắm vững kiến thức mơn tốn, kiến thức cần thiết logic học, cần phải hướng giải vạch ra, vào trình tiếp nhận, phát đặc điểm tốn Việc hệ thống hóa phương pháp giải cho loại tập toán góp phần hạn chế sai lầm, giúp HS tự tin, chủ động tiến trình giải tốn Giáo viên xác định tập luyện cho học sinh số phương giải tốn Chẳng hạn với dạng tốn tính tích phân, áp dụng phương pháp sau: a) Tính tích phân phương pháp phân tích: Đây phương pháp áp dụng định nghĩa tính chất học b Để tính tích phân I   f ( x)dx ta phân tích f ( x)  k1 f1( x)   km f m ( x) Trong a ki  0(i 1,2,3, , m) , hàm fi ( x) có bảng ngun hàm b) Tính tích phân phương pháp đổi biến số: Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo phương pháp sau: SVTH: Lê Tường Vi 40 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy PP1: Giả sử ta cần tính b a g ( x)dx Nếu ta viết g(x) dạng f [u( x)]u '( x) , theo cơng thức ta có b u (b ) a u (a) I   g ( x)dx   f (u)du u (b ) Vậy tốn quy tính  f (u )du u (a)  Các bước thực hiện: B1: Chọn u=u(x), u(x) hàm số chọn cho phù hợp B2: Xác định vi phân du  u '( x)dx B3: Biểu thị g ( x)dx theo u du Giả sử g ( x)dx  f (u)du b B4: Tính I   g ( x)dx  a u (b )  f (u)du u (a) Lưu ý: dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Cách đặt Hàm số phân thức u mẫu số f ( x,  ( x)) u   ( x) Hàm số a sin x  b cos x Hàm số f ( x)  c sin x  d cos x  e SVTH: Lê Tường Vi x x u  tan (cos  0) 2 41 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy x2 dx 1 x Ví dụ: Tính I   Giải: Đặt t  1 x  x  1 t  dx  2tdt x   t 1 Đổi cận: 1 x t  2 Khi đó: I  1 t  t   1   (2t )dt   t  2t  dt   t  t  t  5  1 2           2    15 20  15 20    PP2: Giả sử cần tính   f ( x)dx Đặt x  x(t )(t  K ) a, b  K thỏa mãn   x(a),   x(b) cơng thức cho ta  b  f ( x)dx  a f [x(t )]x '(t )dt  b Vậy toán quy tính  g (t )dt (ở g (t )  f [x(t )]x '(t ) ) a  Các bước thực hiện: B1: Chọn x  x(t ) , x(t) hàm số ta chọn cho thích hợp B2: Xác định vi phân dx  x '(t )dt B3: Biểu thị f ( x)dx theo t dt Giả sử f ( x)dx  g (t )dt SVTH: Lê Tường Vi 42 Khóa luận tốt nghiệp  B4: Tính   GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy b f ( x)dx   f [x(t )]x '(t )dt a Lưu ý: dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Cách đặt   x  a sin t với t   ;   2 a2  x2 x  a cos t với t  0;  x x2  a2 a   với t   ;  \{0} sin t  2 x a  với t  0;  \   cos t 2   x  a tan t với t   ;   2 a2  x2 x  a cot t với t  (0; ) ax ax ax ax x  a cos2t ( x  a)(b  x) Ví dụ: Tính tích phân I   x  a  (b  a)sin t 1 x  dx Giải:    ;   dx  cos tdt  2 Đặt x  sin t; t   SVTH: Lê Tường Vi 43 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy x 0t 0 Đổi cận: x  t     cos tdt 3 1 sin t  Khi đó: I    cos tdt dt    cos2 t  d(tan t ) cos t 0    tan t 03  c) Tính tích phân phương pháp tích phân phần: Bước 1: Biến đổi b b a a I   f ( x)dx   f1( x)  f ( x)dx Bước 2: Đặt: du  df ( x) u  f1( x)    dv  f ( x)d x v   f ( x)dx Với v nguyên hàm f ( x) Bước 3: Tính: b I  u  v a   vdu b a Chú ý: tính tích phân phần ta phải nắm nguyên tắc:  Chọn phép đặt dv cho dễ xác định v  b b a a  vdu phải dễ xác định  udv Ví dụ: Tính tích phân SVTH: Lê Tường Vi 44 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy I   x ln x  x  x2  dx Giải: Ta có:   I   ln x  x2    x x2  dx  x  u  ln x  x  1   x 1 du   dx    x x  x   dx Đặt dv    x2  v  x  1 x 1 dx Khi đó:  I  x  1.ln x  x  2  2    dx  x  1.ln x  x  2   x 02  5.ln(2  5)  3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ tư logic cho học sinh - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp - Kĩ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải toán Rèn luyện tư logic nhiệm vụ hàng đầu việc dạy học tốn trường phổ thơng Nhiệm vụ địi hỏi giáo viên có hiểu biết cần thiết logic học, khoa học suy luận, tư duy, vận dụng kiến thức vào mơn tốn “Phát triển tư lơgic cho HS q trình giảng dạy Toán nhiệm vụ đáng đặc biệt quan tâm GV nhà phương pháp” Toán học đại xây dựng tảng lí thuyết tập hợp logic tốn Kiến thức logic tốn đóng vai trị quan trọng dạy học giải tốn, giúp cho tiến trình giải tốn xác, rõ ràng quán Một nguyên nhân dẫn đến sai lầm HS giải tốn trình độ hiểu biết kiến SVTH: Lê Tường Vi 45 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy thức cần thiết lơgic cịn yếu HS thường khó nhận thấy sai lầm logic Trong tiến trình giải tốn, sai lầm thường gặp HS là: - Các suy luận không hợp logic - Dựa vào tiên đề sai mệnh đề chưa biết tính sai - Khơng nắm vững cấu trúc định lí, khơng xét tồn diện giả thiết định lí, suy luận sai dẫn đến nhầm lẫn giả thiết kết luận Rèn luyện tư logic trình lâu dài khó khăn, biện pháp giúp học sinh rèn luyện thêm tư logic đồng thời hình thành kĩ cần thiết giải toán: Xây dựng xếp hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp Việc xếp xây dựng hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp (từ dễ đến khó) ln việc cần thiết quan trọng trình dạy học Tư logic học sinh rèn luyện nâng cao dần từ dạng toán đơn giản đến phức tạp Tùy theo khả học tập mà học sinh tiếp thu mức độ tập khác nhau, phù hợp với thân Cũng từ hệ thống câu hỏi, tập giúp học sinh có nhìn nhận sâu sắc tập tốn Tích phân, tạo nhiều hứng thú trình học tập Đây phương pháp tốt để góp phần nâng cao tư logic cho học sinh Ví dụ: Tính tích phân sau đây: a) A   ( x3  1)2 dx a) B  1 c) C   4x  ( x  2)3 dx 3 x2  3x  2dx d) D   (1  3x)(1  x  3x2 )10dx 1 Lời giải:  x7 x  a) A   ( x  1) dx   ( x  x  1)dx     x   2496 1 1   1 SVTH: Lê Tường Vi 3 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy b) Hàm số y  4x không xác định x  2 [  3;2] suy hàm ( x  2)3 không liên tục [  3;2] , tích phân không tồn c) C  1 x  3x  2dx    ( x  3x  2)dx   ( x  3x  2)dx   ( x  3x  2)dx 2 1 2  x3 x   x3 x   x3 x       x      x      x  2   1  1  2           23        16   6   6  3 19  d) Sử dụng phương pháp đổi biến Đặt t  1 2x  3x2 Suy dt  (2  6x)dx  2(1 3x)d x  (1  3x)dx  Đổi cận: dt x   t 1 x 1 t  6 Vậy D   t10 dt 11 11   t   1 22 22 Việc xếp tập theo thứ tự từ dễ đến khó gây ý, lơi học sinh tập trung vào học Trước hết ta đưa câu a học sinh yếu làm Với tập học sinh tập trung ý vào học tự tính tích phân, từ có hứng thú mong muốn giải tập Ở giáo viên bắt đầu kích thích tính tích cực học sinh Đối với câu tiếp theo, biểu thức phân thức nên học sinh cần ý đến điều kiện xác định Tiếp tục tốn tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức trị tuyệt đối đồng thời phân khoảng xác tránh sai lầm SVTH: Lê Tường Vi 47 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Mức độ dần cao hơn, câu d học sinh dùng cách khai triển đa thức thơng thường phức tạp (vì số mũ lớn nhiều hạng tử), dẫn đến sai sót Do kích thích học sinh nghĩ đến phương pháp khác để tính Sau lời giải cần có nhận xét,củng cố phát triển tốn, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo 3.5 Đưa học sinh vào tình thử thách với sai lầm, từ có phản ví dụ cần thiết để học sinh nhận thức sai lầm cần tránh Một phương thức cho học sinh thử thách thường xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải cài đặt tốn có chứa “bẫy” Khái niệm “bẫy” mơ tả nhằm theo định nghĩa tích cực có tính sư phạm, khơng thiên đánh đố Bởi đánh đố mức dẫn HS đến bế tắc khơng “sa bẫy”, biện pháp có chủ định sư phạm khơng thực Mỗi học sinh mắc sai lầm đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" tốn tình tác giả cài đặt mà học sinh không vững kiến thức mắc phải sai lầm Trước đưa toán để thử thách sai lầm học sinh, dĩ nhiên giáo viên cần có hình dung trực giác rằng, chỗ này, chỗ học sinh mắc sai lầm Nhờ hình dung trực giác giáo viên thiết kế toán tương thích Qua thực tiễn trình bày lời giải tốn cung cấp cho giáo viên nhận định sát thực tế so với cảm nhận trực giác ban đầu, khẳng định chắn sai lầm học sinh khâu đặc biệt quan trọng phải dành thời gian thích đáng để nhấn mạnh kiến thức cần lưu ý liên quan trực tiếp đến sai lầm vừa mắc, thực chất thể chế hóa lần dx 1 x Ví dụ: 1) Tính tích phân I   SVTH: Lê Tường Vi 48 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy dx 1 1 1 4    HS giải I    x 1 1 1 x Ở đây, HS bị sai lầm hàm số y  không xác định x=0 suy hàm số x2 khơng liên tục nên tích phân khơng tồn 2) Tính tích phân I  2  dx  x2 * HS giải: Đặt x  sin t  dx  cos tdt I 2  cos tdt   2sin t 2 2  cos tdt  2(1  sin t )  dt  t 02  2 Ở đây, HS đổi biến quên đổi cận dẫn đến kết sai Có trường hợp, nhiều HS khơng tính vi phân nhẫm lẫn tính tốn dẫn đến sai sót Do vậy, người GV cần nhấn mạnh cho HS nhớ bước tính phương pháp đổi biến đồng thời tránh sai lầm nêu *Lời giải đúng:   Đặt x  sin t  dx  cos tdt , t   ;   2 Đổi cận: x  2   sin t  t  2 x   sin t   t    cos tdt  2sin t I    cos tdt     dt  t 06  (vì t  0;  nên cos t  0)  6 2(1  sin t ) Nếu ta thay cận thành HS tính tích phân với kết nhiên em khơng để ý tích phân khơng liên tục tập xác định nên không tồn SVTH: Lê Tường Vi 49 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Việc tạo “bẫy” để HS mắc sai lầm phịng tránh chủ động sai lầm xuất Các “bẫy” cịn củng cố lại, nhằm xóa hẳn sai lầm HS sửa chữa trước Giáo viên cần lưu ý khơng nên lặp lại q trình nhiều lần vấn đề tạo tính ỳ, hứng thú cho học sinh SVTH: Lê Tường Vi 50 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Đề tài “Một số biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp học sinh THPT giải tốn tích phân” mang lại cho HS hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Qua q trình thực hiện, khóa luận giải số nội dung cụ thể sau: Chương 1: Bài tốn tích phân tốn quan trọng chương trình tốn phổ thơng nhiên tốn khó phức tạp học sinh Do trình học, học sinh gặp khơng bỡ ngỡ, lo lắng Chương 2: Khóa luận nêu số sai lầm thường gặp giải tốn tích phân, học sinh học tích phân Chương 3: Khóa luận nêu biện pháp khắc phục đưa dựa sở học sinh tiếp thu nắm vững kiến thức, thông qua biện pháp tạo nên tiền đề cho việc vận dụng kiến thức để giải tốn Phần trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy bạn góp ý, bổ sung để khóa luận hồn thiện Cuối tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Ngơ Thị Bích Thủy tận tình bảo hướng dẫn trình thực đề tài SVTH: Lê Tường Vi 51 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục Nguyễn Cam, Phương pháp giải tốn Tích phân Giải tích tổ hợp, NXB Trẻ Trần Đức Hiên, Trần Chí Trung, Phương pháp giải tốn Tích phân, NXB Giáo dục Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán,NXB Hà Nội, 2004 http://www.baigiang.violet.vn http://www.google.com.vn http://www.tailieu.vn http://123doc.org/document/2508930-skkn-sai-lam-thuong-gap-khi-giai-toannguyen-ham-tich-phan-va-cach-khac-phuc.htm SVTH: Lê Tường Vi 52 ... 1.4.2.3 Một số phương pháp tính tích phân 18 a) Phương pháp đổi biến số 18 b) Phương pháp tích phân phần 18 Chương 2: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN TRONG... phương pháp tích phân phần 2.6 Sai lầm tính diện tích hình phẳng tích phân 2.7 Sai lầm vận dụng sai cơng thức tính thể tích khối trịn xoay Chương 3: CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI... II: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 2.1 Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ Tính tích phân I  dx   x  12 2 * Sai lầm thường gặp: