Một số kinh nghiệm khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài Lý thuyết về đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triển của Toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toán trong thực tế. Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, việc dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trường phổ thông có một ý nghĩa rất lớn. Thực tế cho thấy học Toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh. Học sinh thường phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn trong việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp… Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu quả đòi hỏi người giáo viên phải đề ra được những biện pháp hợp lý về cách chọn nội dung và phương pháp: Dạy cái gì? Dạy như thế nào để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, làm thế nào để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập? là những vấn đề được nhiều người quan tâm và nghiên cứu. Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số kinh nghiệm khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp”. 2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải toán tổ hợp, phân tích các sai làm phổ biến và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trung học phổ thông. Từ đó nghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ hợp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường trung học phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm bao gồm: - 1 - 3.1. Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong quá trình học Đại số tổ hợp. 3.2. Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm. 3.3. Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về cách khắc phục sai lầm. 3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chức tính khả thi và hiệu quả của những đề xuất. 3.5. Đưa ra những kết luận cần thiết. 4. Phương pháp nghiên cứu. 4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đế đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo… 4.2. Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trung học phổ thông Đặng thai Mai. 4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai. - 2 - PHẦN 2 : NỘI DUNG NỘI DUNG: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC. 1.1. Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện nay. Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại số Tổ hợp của 100 học sinh lớp 11 – Ban nâng cao trường THPT Đặng Thai Mai với hình thức ra bài kiểm tra tự luận (thời gian: 20 phút) Đề kiểm tra 1. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh trung bình. Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người, sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá? (Đáp án: 3780 cách) 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt sao cho tổng các chữ số là một số chẵn? (Đáp án: 64800 số) *Chúng tôi trình bày một số lời giải sai của học sinh : Câu 1: - Lời giải 1: - 3 - Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A: Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là: A 1 3 .A 2 5 .A 5 8 = 403200 cách Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là: A 1 3 .A 3 5 .A 4 8 = 302400 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là: 403200 + 302400 = 705600 cách Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên đã sử dụng sai công thức. - Lời giải 2: Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A: Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là: A 1 3 +A 2 5 +A 5 8 = 6743 cách Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là: A 1 3 + A 3 5 + A 4 8 = 1743 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là: 6743 + 1743 = 8486 cách Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc. - 4 - - Lời giải 3: Mỗi cách chọn thành viên tổ 1 chính là cách chọn thành viên tổ 2. Như vậy ta chỉ cần xét cho tổ 1. Có 2 trường hợp: Trường hợp 1: 1 học sinh giỏi xảy ra 2 khả năng: * Khả năng 1: 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Có: C 1 3 .C 2 5 .C 5 8 = 1680 cách * Khả năng 2: 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng này có: C 1 3 .C 3 5 .C 4 8 = 2100 cách Trường hợp 2: 2 học sinh giỏi. Có 2 khả năng: * Khả năng 1: 2 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng này có: C 2 3 .C 2 5 .C 4 8 = 2100 cách * Khả năng 2: 3 học sinh khá và 3 học sinh trung bình. Khả năng này có: C 2 3 .C 3 5 .C 3 8 = 1680 cách Theo quy tắc cộng ta có kết quả là: 1680 + 2100 + 1680 + 2100 = 7560 cách Nhận xét: Học sinh phân chia trường hợp riêng chưa chính sác dẫn đến lặp. Do 2 tổ bình đẳng với nhau nên các cách xếp tổ 1 ở trường hợp 2 chính là các cách xếp tổ 2 ở trường hợp 1. - Lời giải đúng là: Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A: - 5 - Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là: C 1 3 .C 2 5 .C 5 8 = 1680 cách Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là: C 1 3 .C 3 5 .C 4 8 = 2100 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là: 1680 + 2100 = 3780 cách Câu 2: - Lời giải 1: Số có 6 chữ số thoả mãn: Tổng các chữ số là một số chẵn có thể xảy ra ở hai trường hợp: Trường hợp 1: Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn có C 2 5 .C 4 5 .6! số. Trường hợp 2: Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn có C 4 5 .C 2 5 .6! số. Trong đó số các số có 6 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu là: A 5 9 = 15120 số. Vậy kết quả của bài toán là: C 2 5 .C 4 5 .6! – 15120 = 56880 số. Nhận xét: Thực tế học sinh phân chia số có 6 chữ số mà tổng các chữ số là một số chẵn gồm hai tập hợp. Giả sử: A: Gồm các số có 6 chữ số có tổng các chữ số là số chắn. B: Gồm các số có 6 chữ số và có chữ số 0 đứng đầu. C: Gồm các chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán. Nhận thấy rằng: Bø - 6 - (Vì xét một số ở tập B có 0 đứng đầu nhưng tổng các chữ số còn lại không phải là số chẵn suy ra nó không thuộc tập A). Từ đó dẫn đến sai lầm trong kết quả. - Lời giải 2: Gải sử số cần tìm là a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 + a 2 +a 3 +a 4 +a 5 + a 6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp : Trường hợp 1 : Có 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được : C 2 5 .C 4 5 .6 ! = 36000 số Trường hợp 2 : Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được : C 4 5 .C 2 5 .6 ! = 36000 số Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là : 36000 + 36000 = 72000 số Nhận xét : Học sinh nắm chưa chính xác khái niệm cơ bản toán học nên đã không trừ đi những số có 6 chữ số phân biệt có chữ số 0 đứng đầu. - Lời giải đúng là : Giả sử số cần tìm là a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 + a 2 +a 3 +a 4 +a 5 + a 6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp : Trường hợp 1 : Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn ta được : C 2 5 .C 4 5 .6 ! - C 2 5 .C 3 4 .5 ! = 31200 số Trường hợp 2 : Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được : C 4 5 .C 2 5 .6 ! – C 4 5 .C 1 4 .5 ! = 33600 số Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là : 31200 + 33600 = 64800 số *Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong đề kiểm tra trên : Sai lầm 1 : Nhớ lẫn lộn giữa công tác tính số tổ hợp và số chỉnh hợp . - 7 - Sai lầm 2 : Sử dụng sai quy tắc . Sai lầm 3 : Phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn đến lặp. Sai lầm 4 : Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc. Sai lầm 5 : Hiểu sai khái niên cơ bản của toán học . * Kết quả : Quan thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về chủ đề ”Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp. Đa số học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân chia trường hợp riêng. Qua đó cho thấy trình độ giải toán của học sinh còn yếu. Câu hỏi đặt ra là trong khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm nào ? Cách hạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu quả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung. 2.2. Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại Số Tổ Hợp. 2.2.1. Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”. Trong quá trình học chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa. Theo A.A.Stôliar thì không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa lý hiệu với khái niệm được định nghĩa… Ví dụ 1 : - 8 - Học sinh thường phát biểu : ‘Tổ hợp chập k của n là C k n ’’ mà phát biểu đúng là: ‘Số tổ hợp chập k của n là C k n ’’ hoặc ‘Chỉnh hợp chập k của n là A k n ’’ mà phát biểu đúng là: ‘Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là A k n ” . Cũng có những học sinh áp dụng công thác rất thành thạo nhưng lại không hiểu ý nghĩa của công thức. Ví dụ 2 : Khi gặp bài tập chứng minh C n n -k = C k n . Học sinh dế dàng làm được bằng cách áp dụng trực tiếp công thức : C k n = ! ( )! ! n n k k− Tuy nhiên ít học sinh chứng minh được dựa vào định nghĩa của C k n , học sinh không hiểu được bản chất tập X gồm n phần tử có bao nhiêu tập con gồm k (k ≤ n) phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con gồm (n-k) phần từ. Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thươừng nhầm lẫn khi sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. Quy tắc cộng: ‘’Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n+m cách”. Quy tắc nhân: ‘Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách”. Hai khái niệm nếu không được giải thích rõ ràng thì dễ làm học sinh nhầm lẫn cụm từ ‘một trong hai phương án” và ‘’ hai công đoạn liên liếp”… gây ra sai lầm trong giải toán. Ví dụ 3 : - 9 - Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ? ♠. Học sinh giải như sau: Số học sinh nữ là: 40 – 20 = 20 (học sinh). Vận dụng quy tắc cộng ta có : 20 + 20 = 40 cách. ♠. Nguyên nhân sai lầm: Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ là ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ (hoặc ngược lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ). ♠. Lời giải đúng là: Số học sinh nữ trong lớp là: 40 – 20 = 20 (học sinh) Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn: Công đoạn 1: Chọn 1 bạn nam có 20 cách. Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn nữ. Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạn nam và 1 bạn nữ là: 20.20 = 400 (cách chọn) Khi giải các bài toán liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp nhiều học sinh vẫn chưa hiểu rõ được khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp. Dịnh nghĩa chỉnh hợp: ‘‘Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ - 10 - [...]...tự,ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)” Định nghĩa tổ hợp: ‘‘Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1≤ k ≤ n Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phẩn tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)” Do học sinh không nắm vững khái niệm nên khi sử dụng công thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp thường xảy ra nhầm... cách 2.3 Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh trong khi học chủ đề Đại số tổ hợp 2.3.1 Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh Giáo viên cần phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến ngôn ngữ toán học, phải mẫu mực về phương pháp, tư duy và lời giải phải chính xác cho từng bài toán Giáo viên không được phủ định lời giải sai của học sinh một cách chung... Khi dạy các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học sinh nắm được: - Thế nào là một hoán vị của một tập hợp, hai hoán vị của một tập hợp khác nhau nghĩa là gì, nhớ công thức tính số hoán vị của một tập hợp - Thế nào là một chính hợp chập k phần tử của một tập hợp có n phần tử, hiểu được một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của tập hợp đó Hai chỉnh hợp chập k của. .. phần tử của A khác nhau ở chỗ nào, nhớ công thức tính số chỉnh hợp - Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A, sự khác nhau giữa hai tổ hợp, công thức tính số tổ hợp - Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp - 19 - Ngoài ra giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc nào thì dùng công thức về tổ hợp, khi nào thì dùng công thức về chỉnh hợp. .. sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh một học sinh nam khác Ta có A24 cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ (có thứ tự) Như vậy 4 học sinh nữ được chia làm 2 nhóm Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ này Có C25 cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ 6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vị trí của một học sinh nam thì 5 học sinh nam còn lại có... phải chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm của học sinh một cách chính xác và thuyết phục Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai lầm, và việc đánh giá bài giải của học sinh qua điểm số phải công bằng Sau khi học sinh trình bày lời giải, ngoài việc giáo viên nhận xét đúng, sai thì cần phải chính xác hoá lời giải cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt … giúp học sinh ngày... Qua các giờ thực nghiệm cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các kiến thức về Đại số tổ hợp được trang bị Học sinh học tập một cách tích cực hơn Nhưng khó khăn và sai lầm của học sinh đã giảm đi rất nhiều Qua tiết kiểm tra cho thấy học sinh tích cực suy nghĩ làm bài kiểm tra và đạt kết quả khá cao 3.2.2 Đánh giá định lượng: Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng... hiểu các số gồm k chữ số khác nhau tức là a1a2 …ak ≠ b1b2 …bk dẫn đến sai lầm trong giải toán Trong các bài toán về chủ đề Đại số tổ hợp sử dụng rất nhiều kiến thức toán học cơ bản như: Một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, …; cách lập các số chẵn, số lẻ,… Nhiều học sinh không nắm vững những khái niệm cơ bản này nên đã có nhiều sai lầm đáng tiếc khi giải bài tập Ví dụ 7: Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4;... 240 (Số) ♠ Sai lầm ở đây là: Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt nhưng trong các số lập được có số dạng 0abc, đây là dạng số có 4 chữ số không thoả mãu yêu cầu bài toán Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính sai kết quả ♠ Lời giải đúng ở đây là: Giả sử a1a2a3a4 là số thoả mãn yêu cầu bài toán, suy ra a1 ≠ 0 Số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số. .. những biện pháp sư phạm nhằm hạn chế những sai lầm này Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Đặng Thai Mai, của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô Thanh Hoá, ngày 10 . - PHẦN 2 : NỘI DUNG NỘI DUNG: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC. 1.1. Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện nay. Chúng tôi đã tiến. khi học chủ đề Đại số tổ hợp học sinh có thể mắc những sai lầm nào ? Cách hạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu quả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng. 43200 cách. 2.3. Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh trong khi học chủ đề Đại số tổ hợp. 2.3.1. Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh. Giáo viên cần