A. PHẦN MỞ ĐẦU: I. Lí do chọn đề tài: 1.1. Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kỳ quá độ lên chủ nghĩa xã hội (bổ sung, phát triển năm 2011) đưa ra định hướng phát triển giáo dục và đào tạo trong thời kỳ quá độ: “Giáo dục và đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây dựng nền văn hóa và con người Việt Nam. Phát triển giáo dục và đào tạo cùng với phát triển khoa học và công nghệ là quốc sách hàng đầu; đầu tư cho giáo dục và đào tạo là đầu tư phát triển…” điều đó một lần nữa khẳng định giáo dục là quốc sách hàng đầu và việc cải cách giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học là nhiệm vụ vừa cấp thiết, vừa lâu dài mà Đảng và nhà nước giao cho ngành giáo dục. 1.2. Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh THPT có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT. 1.3. Tư duy hàm là một khái niệm không mới, xuất hiện trong nhiều công trình của nhiều nhà giáo dục nổi tiếng cả trong và ngoài nước, đã được áp dụng vào thực tiễn dạy học và đạt được những kết quả to lớn. Tuy nhiên thực tiễn giáo dục tư duy hàm cho học sinh nói chung, học sinh giỏi THPT nói riêng gặp nhiều khó khăn như : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lượng kiến thức nhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều. Những tri thức về hoạt động tư duy hàm không được qui định rõ ràng trong chương trình nên không được giảng dạy một cách tường minh. Mặt khác, hầu hết giáo viên phổ thông nắm về tư duy hàm chưa đầy đủ và cũng chưa thấy được tầm quan trọng của nó trong dạy học. Trong dạy học việc xem xét các đối tượng toán học một cách cô lập, trong trạng thái tĩnh tại, rời rạc. Chưa thấy hết những mối liên hệ phụ thuộc hoặc mối quan hệ nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giải quyết các bài toán. Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn hạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinh không ít khó khăn. 1.4. Việc đặt các yếu tố toán học trong mối quan hệ tương hỗ lẫn nhau, thiết lập sự tương ứng, lợi dụng sự tương ứng đó để giải quyết các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng. Như vậy dù có hiểu về khái niệm tư duy hàm hay không thì chắc chắn học sinh đã sử dụng tư duy hàm trong học tập môn toán nói riêng, các môn học khác nói chung. Tuy nhiên nhiều học sinh dù là khá giỏi cũng gặp nhiều khó khăn trong việc tìm tòi phát hiện, sử dụng sự tương ứng của các yếu tố toán học. Vì lẽ đó việc phát triển tư duy hàm cho học sinh càng cần thiết, đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học và hình thành nhân cách của học sinh. Những lí do nêu trên là cơ sở để tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình ”.
Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình A PHẦN MỞ ĐẦU: I Lí chọn đề tài: 1.1 Cương lĩnh xây dựng đất nước thời kỳ độ lên chủ nghĩa xã hội (bổ sung, phát triển năm 2011) đưa định hướng phát triển giáo dục đào tạo thời kỳ độ: “Giáo dục đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây dựng văn hóa người Việt Nam Phát triển giáo dục đào tạo với phát triển khoa học công nghệ quốc sách hàng đầu; đầu tư cho giáo dục đào tạo đầu tư phát triển…” điều lần khẳng định giáo dục quốc sách hàng đầu việc cải cách giáo dục, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ vừa cấp thiết, vừa lâu dài mà Đảng nhà nước giao cho ngành giáo dục 1.2 Chủ đề phương trình bất phương trình có vị trí quan trọng chương trình mơn Tốn THPT Kiến thức kỹ chủ đề có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức phương trình bất phương trình cịn chìa khố để giải nhiều vấn đề thuộc hầu hết chủ đề kiến thức Đại số, Giải tích Hình học Vì bên cạnh việc giảng dạy kiến thức lý thuyết chủ đề phương trình, bất phương trình cách đầy đủ theo quy định chương trình, việc rèn luyện kỹ giải phương trình bất phương trình cho học sinh THPT có ý nghĩa quan trọng việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung mơn Tốn trường THPT 1.3 Tư hàm khái niệm không mới, xuất nhiều công trình nhiều nhà giáo dục tiếng nước, áp dụng vào thực tiễn dạy học đạt kết to lớn Tuy nhiên thực tiễn giáo dục tư hàm cho học sinh nói chung, học sinh giỏi THPT nói riêng gặp nhiều khó khăn : Trình độ học sinh cịn hạn chế, khơng đồng đều, khối lượng kiến thức nhiều số tiết dành cho mơn Tốn lại không nhiều Những tri thức Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình hoạt động tư hàm không qui định rõ ràng chương trình nên khơng giảng dạy cách tường minh Mặt khác, hầu hết giáo viên phổ thông nắm tư hàm chưa đầy đủ chưa thấy tầm quan trọng dạy học Trong dạy học việc xem xét đối tượng tốn học cách lập, trạng thái tĩnh tại, rời rạc Chưa thấy hết mối liên hệ phụ thuộc mối quan hệ nhân làm cho học sinh lúng túng việc giải tốn Bên cạnh đó, tài liệu viết vấn đề nói chung cịn hạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên học sinh khơng khó khăn 1.4 Việc đặt yếu tố tốn học mối quan hệ tương hỗ lẫn nhau, thiết lập tương ứng, lợi dụng tương ứng để giải toán việc làm cần thiết quan trọng Như dù có hiểu khái niệm tư hàm hay khơng chắn học sinh sử dụng tư hàm học tập mơn tốn nói riêng, mơn học khác nói chung Tuy nhiên nhiều học sinh dù giỏi gặp nhiều khó khăn việc tìm tịi phát hiện, sử dụng tương ứng yếu tố toán học Vì lẽ việc phát triển tư hàm cho học sinh cần thiết, đóng vai trị quan trọng việc phát triển lực toán học hình thành nhân cách học sinh Những lí nêu sở để chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình ” II Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu vấn đề phát triển tư hàm cho học sinh THPT thông qua dạy học chủ đề giải phương trình, bất phương trình III Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu số quan điểm lí luận giáo dục tư hàm việc nâng cao lực học tập học sinh việc hình thành nhân cách học sinh Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình - Nghiên cứu vấn đề phát triển tư hàm cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình - Nghiên cứu ứng dụng hiệu lí luận phát triển tư hàm việc bồi dưỡng học sinh THPT thông qua chủ đề phương trình, bất phương trình IV: Giới hạn đề tài: Đề tài tập trung vào nghiên cứu dạy học phương trình bất phương trình để phát triển tư hàm cho học sinh THPT nhằm nâng cao kết học tập V Phương pháp nghiên cứu: Để hoàn thành đề tài người viết việc tích cực học tập, trau dồi kiến thức học chuyên đề, tích cực nghiên cứu tài liệu liên quan sử dụng nhiều phương pháp phân tích, tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học để áp dụng thực đề tài Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình B NỘI DUNG Chương I Một số vấn đề sở lí luận thực tiễn đề tài: 1.1 Một số quan điểm giáo dục học tư hàm : Trước hết bàn thuật ngữ tư hàm, tư hàm tất nhiên khơng phải thuật ngữ tốn học, tư khái niệm Tâm lý hàm khái niệm tốn học, hàm khơng có nghĩa hàm số mà cịn tương ứng phần tử hai tập hợp Cho đến chưa có định nghĩa thống nhất, thức tư hàm Theo Koliagin định nghĩa tư hàm sau: Tư hàm loại hình tư đặc trưng việc nhận thức tiến trình tương ứng riêng chung đối tượng toán học hay tính chất chúng (kể kỹ vận dụng chúng) [30] Cịn Trần Thúc Trình Phạm Đức Quang cho rằng: Tư hàm hoạt động trí tuệ liên quan đến tương ứng phần tử một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn phần tử tập hợp đó, vận động chúng Nguyễn Bá Kim thay đưa định nghĩa tư hàm, đưa hoạt động đặc trưng cho nó, ơng quan niệm tư hàm đặc trưng hoạt động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu lợi dụng tương ứng Như vậy, tư hàm hoạt động trí tuệ liên quan đến nghiên cứu quy luật vật, biến đổi sinh động chúng, phụ thuộc lẫn chúng Theo nhà tốn học Khinsin : “ khơng có khái niệm khác phán ánh tượng thực khách quan cách trực tiếp thực khái niệm tương quan hàm ,khơng có khái niệm thể nét biện chứng tư khái niệm toán học đại khái niệm tương quan hàm.Thật chất vật chất vận động,và vận động diễn mối tương quan định Với khái niệm hàm ,người ta nghiên cứu vật trạng thái biến đổi sinh động trạng thái tĩnh ,trong phụ thuộc lẫn tách rời nhau.Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc thực khách quan thể rõ nét tư Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình biện chứng chỗ Chính khái niệm hàm khái niệm tốn học;nó giữ vị trí trung tâm mơn tốn trường phổ thơng ,tồn việc giảng dạy tốn nhà trường phổ thơng xoay quanh khái niệm ” ( Trích : Phương pháp giảng dạy Toán Nguyễn Bá Kim – Nxb GD 1994) Liên hệ với khái niệm hàm Tư hàm ,một loại hình tư hàng loạt cơng trình nghiên cứu đánh giá cao kiến nghị phải phát triển mạnh mẽ hoạt động giảng dạy môn nhà trường đặc biệt môn tốn Ngày chương trình mơn tốn trường phổ thông khái niệm hàm đã, thể rõ vai trị chủ đạo việc ứng dụng xây dựng khái niệm khác.Trong kỳ thi cấp quốc gia câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư hàm công cụ đắc lực để giải tốn như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thày trị lên lớp Trong giảng em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề ,chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải tốn ,các em ln đặt câu hỏi “ Tại nghĩ làm vậy’’ Để trả lời câu hỏi dạy ,việc bồi dưỡng lực tư hàm cho học sinh thơng qua tốn điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà cịn phải có kiến thức vừa chun ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách logíc chất tốn học.Từ giúp em có say mê việc học mơn Tốn-mơn học coi ông vua môn tự nhiên Với cách hiểu này, tư hàm không cần thiết nhà khoa học, với học sinh học tốn nói riêng mà cần thiết người lao động, yếu tố quan trọng văn hố Tốn học giúp người lao động tìm quy luật tự nhiên, xã hội tư Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình 1.2 Vấn đề phát triển tư hàm cho học sinh thơng qua dạy học phương trình, bất phương trình Trong dạy học tốn học trường việc phát triển tư hàm cho học sinh khơng có nghĩa thầy lên lớp giảng tư hàm Nhiệm vụ tư hàm không tồn độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức Muốn phát triển tư hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức quy định, sở tìm giải pháp phát triển tư hàm cho học sinh, phát triển tư hàm mục đích kép Khi dạy học phương trình, bất phương trình cần hình thành cho học sinh thói quen ln ý thức diễn biến tập nghiệm Sau biến đổi tập nghiệm phương trình, bất phương trình ban đầu tập nghiệm phương trình, bất phương trình thu có quan hệ với nào? Có khả xảy ra? Có thể phân chia không triệt để khả loại trừ lẫn có khả sau: Khả 1: Hai tập nghiệm trùng Khả 2: Tập nghiệm phương trình trước tập tập nghiệm phương trình sau Khả 3: Tập nghiệm phương trình sau tập tập nghiệm phương trình trước Khả 4: Giao hai tập nghiệm khác rỗng, không tập nghiệm phận tập nghiệm Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều Căn vào đâu để nhận biết thay đổi tập hợp nghiệm? Thứ vào phép biến đổi phương trình phương trình đơn giản biết cách giải Loại 1: Phép biến đổi khơng làm tập xác định phương trình thay đổi Với phép biến đổi phương trình nhận tương đương với phương trình cho Khi ta kết luận: Tất nghiệm phương trình Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình thu tất nghiệm phương trình cho Mặc dù vậy, ta hình thành cho học sinh ý thức thói quen thử lại nghiệm giải phương trình (dù trường hợp khơng địi hỏi mặt lý luận mà có tác dụng kiểm tra kết qủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kết cơng việc, đức tính cần thiết người lao động thời đại Ví dụ 1: Phương trình: log (x + 5) = log (2x + 1) ⇔ x + = 2x + x = ⇔ x2 = ⇔ x = −2 Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định phương trình Với phép biến đổi phương trình nhận thường hệ phương trình cho Khi đó, tất nghiệm phương trình cho nghiệm phương trình nhận được, phép biến đổi phương trình khơng làm nghiệm, tập nghiệm phương trình cho tập tập nghiệm phương trình thu được, nghiệm ngoại lai xuất rơi vào phần mở rộng tập xác định Ví dụ 2: Phương trình: x − = x −1 ⇒ x − = x − 2x = ⇔ x − 3x − = ⇔ x − 3x − = x = −1 ⇔ (x = -1 nghiệm ngoại lai, sau phép thử x = phải loại bỏ "nghiệm này") Khi giải phương trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định ta cần nhấn mạnh cần thiết phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều khơng có mục đích kiểm tra tính tốn, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo làm mà cịn có tính chặt chẽ mặt lý luận Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định phương trình Với phép biến đổi này, dẫn tới tượng nghiệm phương trình đầu, phương trình đầu hệ phương trình cuối thu Khi đó, tập nghiệm phương trình thu tập phương trình đầu, phép biến đổi phương trình khơng làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị ( có ) rơi vào phần thu hẹp tập xác định Trong trường hợp này, cần phải thử giá trị bị thu hẹp tập xác định vào phương trình cho để khắc phục tượng thiếu nghiệm Tuy nhiên, khơng có quy tắc tổng quát cho trường hợp mà tuỳ tốn cụ thể mà ta có cách tìm lại nghiệm bị Ví dụ 3: Giải phương trình: 2sin x − cos x = Đặt t = tg (1) x (x ≠ π + kπ) Khi (1) trở thành: 1 2.2t − t ⇒ t = ⇒ x = 2arctg( ) + 2kπ − = 2 + t2 + t2 Do thu hẹp tập xác định từ ¡ thành ¡ \ { π + kπ} ; không thử: x = π + kπ vào (1), ta gặp tượng nghiệm x = π + kπ Thật vậy: thay x = π + kπ vào (1) ta 2sin( π + kπ) − cos( π + kπ) = ⇒ = (ln đúng) Ví dụ 4: Giải phương trình: x − = 3x + (2) ⇔ (x − 3)(x + 3) = 3(x + 3) ⇒ x − = hay x = Do thu hẹp tập xác định từ R thành ¡ \ { 3} nên ta cần thử x = vào (2) để tránh nghiệm Như vậy, dùng phép biến đổi đồng làm cho tập xác định phương trình bớt số hữu hạn giá trị hay số hữu hạn họ giá trị cần phải thử giá trị (họ giá trị đó) vào phương trình ban đầu tránh làm nghiệm Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Lưu ý: Nếu giá trị ẩn số rơi vào phần thu hẹp không nghiệm phương trình cho, tập nghiệm phương trình ban đầu trùng với tập nghiệm phương trình thu Khi đó, ta nói hai phương trình tương đương với Ví dụ 5: Giải phương trình: sin x + cos x = (3) x 2t − t2 + = ⇔ t(t − 1) = Đặt t = tg (x ≠ π + kπ) ta được: + t2 + t2 (4) Kiểm tra x = π + kπ không nghiệm (3) nên ta khẳng định (3) (4) hai phương trình tương đương Loại 4: Hỗn hợp phép biến đổi Đối với loại biến đổi phương trình thu vừa có khả thêm nghiệm vừa có khả thiếu nghiệm so với phương trình cho Do cần vận dụng hai cách giải loại loại 3, tức vừa phải thử xem nghiệm phương trình thu có phải nghiệm phương trình cho khơng, vừa phải tìm xem giá trị khơng phải nghiệm phương trình thu lại nghiệm phương trình cho Thứ hai vào định lý biến đổi phương trình, phép biến đổi tương đương mà học sinh học Nắm vững định lý giúp học sinh định hướng, biến đổi phương trình thành phương trình tương đương đơn giản, dễ giải mà giúp họ xác lập mối quan hệ tập nghiệm phương trình trình biến đổi Đây điều quan trọng làm sở để tiến hành thực biến đổi phương trình Thứ ba vào số kiến thức bản, định nghĩa, định lý, tính chất mà học sinh học dù khơng liên quan trực tiếp đến biến đổi phương trình Làm sở xác định trình biến đổi bảo tồn số nghiệm, thêm nghiệm hay bớt nghiệm Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Ví dụ 6: Phép chuyển từ phương trình: f (x) k(x) = f (x)g(x) (f (x) ≠ 0) sang phương trình: k(x) = g(x) làm nghiệm (nếu có) phương trình ban đầu Ví dụ 7: Phép chuyển từ phương trình: log f (x) = log g(x) k(x) k(x) sang phương trình: f (x) = g(x) (5) (6) phép chuyển ngược lại từ (6) sang (5) - Phép chuyển từ (5) sang (6) phép mũ hố, làm mở rộng tập nghiệm - Phép chuyển từ (6) sang (5) phép logarít hóa, làm thu hẹp tập nghiệm Tóm lại: Khi dạy học giải phương trình, ta cần hình thành cho học sinh lập luận có phép biến đổi, xác định xác mối quan hệ phương trình biến đổi kế tiếp, sử dụng ký hiệu " ⇒ "," ⇐ "," ⇔ " đúng, từ biết diễn biến tập nghiệm sau bước biến đổi, dẫn đến xác định tập nghiệm phương trình đầu dựa vào tập nghiệm phương trình cuối Ngồi ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim dạy học giải phương trình cần quan tâm giải hợp lý mối liên hệ hai phương diện ngữ nghĩa cú pháp Chương II Thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình để phát triển tư hàm cho học sinh THPT Phát triển tư hàm việc thiết lập tương ứng thơng qua giải tốn phương trình, bất phương trình Theo Nguyễn Bá Kim, tư tưởng chủ đạo phát triển tư hàm là: Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu lợi dụng tương ứng nhằm vào thực yêu cầu toán học Các hoạt động xác định giá trị biết giá trị vào ngược lại, nhận biết quy tắc tổng quát mối liên hệ (trong trường hợp có thể) cho Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 10 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình tìm giá trị tham số để phương trình nghiệm với ∀x ∈D , dạng tốn thường làm phương pháp điều kiện cần đủ Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau nghiệm với x : sin m x + cos m x = (9) Đặt f (x) = sin m x + cos m x , f liên tục R f ' (x) = 0, ∀x ( ) ⇔ f (x) = 1, ∀x ⇔ π f ÷= (i) (ii) (Thông thường x0 chọn cho vào f (x ) dễ tính tốn) Giải ( i ) : Ta được: m cos x.sin m−1 x − sin xcos m −1x = 0, ∀x ⇔ msin x.cos x(sin m−2 x − cos m−2 x) = 0, ∀x m = m = ⇔ m−2 ⇔ m−2 sin x = cos x , ∀x m = Giải ( ii ) : Ta kiểm tra trường hợp: 0 2 π Với m = , ta : f ÷= ÷ + ÷ = , không thoả mãn 4 π Với m = , ta : f ÷= ÷ + ÷ = , thoả mãn 4 Kết luận: m = , phương trình nghiệm với x Tương tự: Tìm a, b để phương trình sau nghiệm với x 2π 2π 2 acos x + b cos x + ÷+ cos x − ÷ = 3 Qua ví dụ ta có thêm phương pháp “Sử dụng tính chất hàm tìm điều kiện tham số để phương trình nhận ∀x ∈ D làm nghiệm” với phương pháp điều kiện cần đủ để giải dạng toán Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 30 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Lợi dụng tính chất hàm hợp để giải phương trình, chứng minh phương trình có số nghiệm xác định đem lại cho nhiều điều lý thú Chẳng hạn : Ví dụ 11: Cho f (x) = x + 12x + 30 , Gọi f k (x) = f [ f k −1 (x) ] với ≤ k ≤ ¥ Tìm giao điểm đồ thị y = f 2001 (x) với trục hoành Trước hết, nhận xét hoành độ giao điểm đồ thị y = f 2001 (x) với trục hồnh nghiệm phương trình f2001 (x) = Vấn đề xác định hàm f2001 (x) nào? Có vẻ trông đáng ngại để điều học sinh phải hiểu khái niệm tính chất hàm hợp Ta có : f ( x ) = x + 12x + 30 = ( x + ) − Suy : f2 ( x ) = f f ( x ) = f ( x + ) − f2 ( x ) = ( x + ) 22 −6 Từ ta chứng minh qui nạp fk (x) = ( x + ) − Do f2001 ( x ) = ⇔ ( x + ) 2001 −6=0 2001 ⇔ x = −6 ± 1 ÷ 2 2.3 Định hướng sử dụng phương trình, bất phương trình trình lợi dụng tương ứng hàm để giải vấn đề Dạy toán dạy học sinh hoạt động toán mà hoạt động toán chủ yếu giải tập tốn Vì ta cần tổ chức hoạt động toán học cho học sinh phân bổ đối tượng, xây dựng tập thể phân bậc phù hợp với đối tượng học sinh Cần rèn cho học sinh thói quen phân tích đề bài, xác định dạng tốn, yếu tố cho yếu tố cần tìm, phát đặc điểm bản, đơn giản tốn bị che khuất hình thức rắc rối Đồng thời, hướng dẫn học Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 31 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình sinh phát mối quan hệ đối tượng toán học, từ dạy cho học sinh biết lợi dụng tương ứng để giải toán a Kết hợp việc giảng dạy rèn luyện kiến thức phương trình, bất phương trình với việc ơn tập, củng cố kiến thức số học, hàm số Việc lợi dụng tương ứng hàm để giải toán phương trình, bất phương trình địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức tập hợp số kiến thức hàm số, tương ứng hàm khơng địi hỏi tiền đề kiến thức khái niệm hàm ngược lại làm việc hàm số xuất tương ứng hàm b Rèn luyện tư logic ngôn ngữ xác Việc giải tốn nói chung, giải tốn phương trình, bất phương trình nói riêng địi hỏi học sinh phải biết suy luận logic Việc phát lợi dụng mối quan hệ có tính chất nhân - kiện điều kiện toán quan trọng tìm tịi lời giải cho tốn Việc rèn luyện cho học sinh sử dụng xác từ nối với ý nghĩa phép logic như: và, hoặc, nếu, thì, cần đủ, khi, khi, có một, có khơng q một, có nhiều có ý nghĩa quan trọng việc xác định yêu cầu trình bày lời giải tốn giải phương trình, bất phương trình c Cần hình thành cho học sinh số biểu tượng tương ứng thường gặp giải phương trình, bất phương trình Chẳng hạn: - ứng với số thực có điểm đường thẳng số ngược lại với điểm đường thẳng số ứng số thực - Đặt t = ϕ ( x ) ứng với giá trị x (thuộc tập xác định) có giá trị t ngược lại ứng với giá trị t khơng có, có nhiều giá trị x Cụ thể với t = x giá trị x có giá trị t t > có hai giá trị x, t = ứng với giá trị x = Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 32 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình t < khơng có giá trị x thỏa mãn, t = ax ( a > 0) , t = x ± , t = log a x ( < a ≠ 1) cho học sinh xác định tương ứng t x x - Số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) đồ thị hàm số y = g(x) số nghiệm phương trình f(x) = g(x) (*) (Sự tương ứng đơn trị 1:1) Hồnh độ giao điểm (nếu có) nghiệm phương trình (*) - ứng với loại phương trình, bất phương trình quy có cách làm tổng quát xác định (nhận dạng thể hiện) Tất nhiên ta làm đến loại tốn có thuật giải việc làm khơng làm cho học sinh linh hoạt, tạo tính ỳ giải toán mà rõ cho học sinh thấy tương ứng khơng đơn trị - Cho phương trình, bất phương trình chứa tham số với giá trị tham số có tập nghiệm phương trình, bất phương trình xác định tham số cụ thể - Khi giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ phương pháp lượng giác hóa lợi dụng tương ứng điều kiện ẩn với tập giá trị hàm sin, cosin, tg, cotg để tìm cách lượng giác hóa ẩn, nhằm sử dụng công thức lượng giác để khử dấu thức thuận lợi như: Điều kiện ẩn x x ∈ [ −a; a ] , a ∈ ¡ + x x ∈ ( −∞; − a ] ∪ [ a; + ∞ ) a∈¡ + Lượng giác hóa ẩn x π π x = a cosϕ ( ≤ ϕ ≤ π ) hc x = a sin ϕ − ≤ ϕ ≤ ÷ 2 π π x = tgϕ − < ϕ < ÷ 2 a a π x= ϕ ≠ + kπ ÷ ( ϕ ≠ kπ ) hc x = sin ϕ cosϕ d Các ví dụ minh họa: Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 33 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình + 2x − x = − 2x 2 Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Hoạt động tìm lời giải: Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Tìm tương ứng: Từ điều kiện x ∈ [ −1; 1] ta đặt x = cosϕ, ϕ∈ [ 0; π] Khi (1) trở thành: + 2cosϕ sin ϕ = − 2cos2ϕ ⇔ ( cosϕ + sin ϕ ) ( = − 2cos2ϕ ) π π ⇔ cos ϕ − ÷ = − 2cos2ϕ ⇔ cos ϕ − ÷ = − 2cos2ϕ = −2cosϕ ( ) 4 4 ( ) Giải (2) trở tìm x, ta suy nghiệm (1) là: x = 6− 2 x = − 2 Nhận xét: Với phương trình dùng phép biến đổi tương đương khả hữu tỷ hóa gặp khó khăn phương trình chứa q nhiều thức, việc lợi dụng tương ứng, khả hữu tỷ hóa việc đưa ẩn phụ lượng π π giác tỏ rõ tính hiệu Có thể đặt x = sin ϕ, ϕ∈ − ; 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( 26 + 15 ) x ( +2 7+4 ) x ( −2 2− ) x =1 (3) Hoạt động tìm lời giải: Tìm mối quan hệ biểu thức phương trình: ( 7+4 = 2+ ) ( 26 + 15 = + 2− = ( ( ⇒ 7+4 ) ( ) ( x = 2+ ⇒ 26 + 15 ⇒ 2− 2+ ) x = ) 2x ) = ( + 3) x 3x ( + 3) x Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 34 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Rõ ràng, việc giải phương trình nhìn phức tạp phát mối quan hệ biểu thức có phương trình, lợi dụng tương ứng ( ) ( ) ( )( ) = , − + = nên chúng t hai đại lượng nghịch đảo tốn giải trở nên nhẹ nhàng Khi đó: (3) trở thành: t + 2t − = ⇔ t + 2t − t − = ⇔ ( t + ) t − = ⇔ t = t đặt t = + x (với t > 0) − x ( ( Trở giải x ta có: + Ví dụ 3: dương ) x ) =1⇔ x = :Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có 2nghiệm x2 − 4x + = m + 4x − x2 Lời giải: Đặt t= x − x + , t’(x)= x−2 x2 − 4x + (3) =0⇔ x=2 Bảng biến thiên x t’(x) - t(x) +∞ + +∞ (3) ⇔ f(t) =t2+t-5=m Nhận thấy với t ∈ 1; phương trình (1) có 2nghiệm x>0.Bài tốn quy ( ) Tìm m để phương trình t2+t-5=m có nghiệm t ∈ ( 1; ) Ta có f’(t)=2t+1>0 ∀ t ∈ ( 1; ) nên hàm số đồng biến Ta có bảng biến thiên t ’ f (t) + f(t) -3 Từ bảng biến thiên ta có −3 < m < Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 35 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Ví dụ 4: Chứng minh với tham số m dương phương trình sau ln có hai nghiệm thực phân biệt : x + x − = m( x − 2) (4) Lg: Do m>0 nên x ≥ (4) ⇔ ( x − 2)( x + 4) = m( x − 2) ⇔ [ ( x − 2)( x + 4) ] = m( x − 2) x = ⇔ ( x − 2) ( x − 2)( x + 4) − m = ⇔ x + x − 32 − m = 0(*) Ycầu toán quy chứng minh phương trình (*) có nghiệm (2; +∞) Xét f(x)= x3 + x − 32 với x>2, f’(x)=3x2+12x>0 ∀x ∈ (2; +∞) Bảng biến thiên x f (x) f(x) ’ +∞ + +∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m>0 (1) ln có nghiệm x>2 Ví dụ 5: Xác định tất giá trị a để phương trình sau có nghiệm phân biệt: ax − ( a − ) x + 3a = (5) Hoạt động tìm tương ứng: - Nhận dạng phương trình? Cách làm? (Phát tương ứng) - Đặt t = x điều kiện t nào? - Từ yêu cầu phương trình với ẩn x có nghiệm phân biệt chuyển sang phương trình với ẩn t có nghiệm? Các nghiệm thỏa mãn điều kiện gì? Hướng dẫn giải: Đặt t = x ⇒ t ≥ Ta phương trình: at − ( a − ) t + 3a = (6) Có nhận thức tương ứng: Mỗi nghiệm t < phương trình (6) phương trình (4) vơ nghiệm, t = x = nghiệm t > (6) cho hai nghiệm tương ứng x = ± t (5) Thì lợi dụng tương ứng này, chuyển đổi yêu cầu toán ẩn x sang ẩn t, để giải dễ dàng Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 36 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Điều kiện cần đủ để phương trình (5) có nghiệm phân biệt phương trình (6) có hai nghiệm dương phân biệt Đặt f ( t ) = at − ( a − ) t + 3a Điều kiện cần tìm là: a ≠ a ≠ ∆ > −3 − ⇔ 11a + 6a − < ⇔ >0 a Khi nhận thức lợi dụng tương ứng nghiêm phương trình (5) với nghiệm phương trình (6), học sinh khơng giải câu hỏi mà cịn giải câu hỏi như: Tìm a để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm có nghiệm Nói tóm lại, giải toán tổng quát ax + bx + c = chưa biết cách giải, cách "chế biến" đưa dạng quen thuộc at + bt + c = thông qua cách đặt t = x ( t ≥ ) , đồng thời thiết lập lợi dụng tương ứng nghiệm, số nghiệm phương trình ẩn t với nghiệm, số nghiệm phương trình ẩn x Ngồi ta cịn mở rộng toán: Tổng quát 1: Giải biện luận phương trình: ax 2n + bx n + c = ( n∈¥ ) * Tổng quát 2: Giải biện luận phương trình: aϕ2 ( x ) + bϕ ( x ) + c = Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x − + m x + = x2 − (7) Yêu cầu học sinh nhận dạng phương trình? Đề xuất cách làm chung? Phương trình có dạng au + buv + cv = , cách làm chung là: + Nếu v = 0, phương trình trở thành u = Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 37 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình u + Nếu v ≠ , chia hai vế phương trình cho v , sau đặt t = , v phương trình bậc hai t Nêu hướng giải toán trên? Trước hết, cần đưa phương trình (7) phương trình dạng đơn giản (bậc hai) thông qua bước đặt ẩn phụ Điều kiện: x ≥ Khi đó, chia hai vế phương trình cho được: x + > ta x −1 x −1 x −1 x −1 + m = 24 ⇔ −3 + 24 − m = (8) x +1 x +1 x +1 x +1 Đặt t = x −1 , x ≥ nên ≤ t < Từ (8), ta được: = 1− x +1 x +1 −3t + 2t − m = (9) Đến đây, để giải tốn học sinh có hai hướng suy nghĩ: Hướng 1: Lợi dụng mối quan hệ, tương ứng ẩn x ẩn phụ t, chuyển đổi toán thành: Tìm m để (9) có nghiệm thực thoả mãn ≤ t < Học sinh cần huy động kiến thức tam thức bậc hai để giải Hướng 2: Đưa phương trình dạng f ( t ) = m Xét mối tương quan hai đồ thị hàm số (C): y = f ( t ) đường thẳng (d): y = m Cần làm cho học sinh nhận thức tương ứng: Phương trình f ( t ) = m ⇔ ( C ) ∩ ( d ) ≠ ∅ ( C ) ∩ ( d) ≠ ∅ ⇔ m thuộc tập giá trị hàm y = f ( t ) Như vậy, tốn trở tìm tập giá trị hàm số y = f ( t ) (Tất nhiên, tuỳ cụ thể mà ta tìm tập giá trị tập xác định hay trên khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn thoả mãn yêu cầu toán) Trở lại toán trên: Đặt: ( ) ⇔ m = −3t + 2t f ( t ) = −3t + 2t Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 38 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình f ' ( t ) = −6t + 2; f ' ( t ) = ⇔ t = Lập bảng biến thiên hàm f(t) với < t < 1, ta được: 1 −1 < f ( t ) ≤ Suy -1< m ≤ 3 Nhận xét: Dù nhận thức lợi dụng tương ứng x t học sinh dễ mắc sai lầm đặt điều kiện cho t t ≥ (vì bậc chẵn số khơng âm mà không thấy ≤ t < nên làm theo hướng hay hướng dẫn đến kết sai m ≤ Trong trình làm tốn việc hình thành, phát hiện, nghiên cứu lợi dụng tương ứng hàm để giải đòi hỏi học sinh nói chung, học sinh giỏi nói riêng cần phải huy động luồng kiến thức liên quan như: kiến thức hàm số, tập hợp số, bất đẳng thức Lợi dụng tương ứng hàm giải hiệu toán phương trình, bất phương trình, cho ta cách nhìn tốn nhiều góc độ khác mà cịn phát triển toán tổng quát Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 39 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình C KẾT LUẬN Việc vận dụng lí luận tư hàm, phát triển tư hàm cho học sinh vào thực tiễn dạy học nói chung, dạy học phương trình, bất phương trình nói riêng kiểm chứng tính hiểu quả, tính thiết thực, tầm quan trọng thơng qua nhiều cơng trình nghiên cứu nhiều tác giả, nhiều nhà sư phạm tâm huyết với nghiệp giáo dục Bản thân người viết giáo viên dạy tốn, ý thức trách nhiệm việc khơng ngừng tìm tịi đổi phương pháp dạy học nhằm góp phần nâng cao kết học tập mơn tốn cho học sinh THPT Tơi áp dụng lí luận khoa học phát triển tư hàm vào thực tiễn dạy học đạt kết tích cực, kết sở để tơi hồn thành đề tài Trên sở vận dụng tri thức khoa học kết hợp với kiến thức thực tiễn dạy học thân, sau thời gian tập trung, nỗ lực nghiên cứu đề tài hoàn thành đạt kết sau: + Đề tài nêu lên số luận điểm khoa học nhiều nhà giáo dục, sư phạm tâm huyết ( GS Nguyễn Bá Kim, GS Đào Tam, P.GS Bùi Văn Nghị, TS Nguyễn Văn Thuận….) tư hàm vấn đề phát triển tư hàm dạy học nói chung, dạy học phương trình, bất phương trình nói riêng + Đề tài sâu khai thác số nội dung quan trọng dạy học giải phương trình, bất phương trình để phát triển tư hàm cho học sinh THPT + Đề tài đưa nhiều ví dụ minh họa minh chứng cho việc giải phương trình, bất phương trình góp phần khơng nhỏ phát triển tư hàm cho học sinh đặc biệt học sinh giỏi Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 40 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Để hồn thành đề tài tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Thuận, người thầy cung cấp tài liệu, tận tình dạy dỗ, hướng dẫn tơi q trình thực đề tài Mặc dù có nhiều cố gắng song thiếu xót đề tài tránh khỏi mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp góp ý Sự hướng dẫn, dạy bảo thầy cơ, góp ý bạn đồng nghiệp giúp nhiều để hoàn thiện đề tài nghiên cứu này! Tháng 3/ 2013 Người thực đề tài Trịnh Trọng Trung Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 41 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình MỤC LỤC Nội dung Trang A Phần mở I.Lí dó chọn đề tài đầu B Nội dung II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Giới hạn đề tài V Phương pháp nghiên cứu 2 3 Chương I Một số vấn đề sở lí luận thực tiễn đề tài 1.1.Một số quan điểm giáo dục học tư hàm 1.2 Vấn đề phát triển tư hàm cho học sinh thông qua dạy học phương trình, bất phương trình Chương II Thơng qua dạy học giải phương trình, bất 10 phương trình để phát triển tư hàm cho học sinh giỏi THPT 2.1 Phát triển tư hàm việc thiết lập 10 tương ứng thơng qua giải tốn phương trình, bất phương trình 2.2 Xét tính chất tương ứng hàm thơng qua giải 21 tốn phương trình, bất phương trình 2.3 Định hướng sử dụng phương trình, bất phương 31 trình trình lợi dụng tương ứng hàm để giải vấn đề C Kết luận Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 40 42 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu (2011), Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh dạy học Đại số - Giải tích trường phổ thơng, NXB Đại học sư phạm Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thông, NXB Đại học sư phạm Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm 4.G Pơlya(1995), Tốn học suy luận có lý Nxb Giáo dục 5.G Pơlya (1997), Sáng tạo toán học Nxb Giáo dục 6.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số giải tích 11 nâng cao Nxb Giáo dục 7.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số giải tích 11 nâng cao (Sách giáo viên) Nxb Giáo dục 8.Đào Tam (2008), Tiếp cận phương pháp dạy học khơng truyền thống dạy học Tốn trường đại học trường phổ thông Nxb Đại học sư phạm 9.Nguyễn Thái Hoè (2004), Rèn luyện tư qua việc giải tập Toán, Nxb Giáo Dục Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 43 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL PP dạy học toán 44 ... để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình - Nghiên cứu vấn đề phát triển tư hàm cho học sinh thơng qua dạy học giải phương trình, bất phương. .. 30 Phát triển tư hàm để nâng cao kết học tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình Lợi dụng tính chất hàm hợp để giải phương trình, chứng minh phương trình có... tập cho học sinh THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình 1.2 Vấn đề phát triển tư hàm cho học sinh thơng qua dạy học phương trình, bất phương trình Trong dạy học toán học trường