Khi phương trình (kể cả phương trình hàm) học sinh thường loay hoay với các thủ thuật như: Biến đổi, phân tích, đặt ẩn phụ để giải chúng, có khi cho kết quả ngắn gọn, nhanh chóng có lại khi phức tạp, thậm chí bế tắc. Giáo viên cần hình thành ở học sinh thói quen xem xét vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
Đặc biệt giúp họ đoán nhận và giải quyết bài toán phương trình bằng việc sử dụng công cụ hàm số, ánh xạ, dựa vào đặc điểm phương trình. Chẳng hạn nhận thấy hai vế phương trình hoặc các biểu thức thành phần của phương trình là các hàm số khác biệt nhau (giống nhau) về loại hình, tính chất. Nói cách khác, đặt phương trình và giải quyết bài toán phương trình theo quan điểm hàm.
Việc xét tính chất của tương ứng hàm, có ý nghĩa to lớn khi giải toán phương trình, bất phương trình, không những rèn luyện, bồi dưỡng tư duy hàm mà còn rèn luyện, bồi dưỡng tư duy linh hoạt cho học sinh khi giải toán về chủ đề
6
4
2
-2
-4
-5 5 x 10
a
(d)
- + + -
g x( ) = x⋅x-4⋅x 6
f x( ) = -x⋅x-2⋅x
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
này. Do đó học sinh cần nắm vững và vận dụng tốt các tính chất của tương ứng hàm như tính liên tục, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính đơn điệu, tính chất của hàm hằng, hàm hợp và tính chất của một số hàm số quen thuộc đôi khi kết hợp với miền giá trị của tương ứng hàm để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 1: Cho phương trình:
x2000
2002 4 2
2002 2000 4 2
a x +a + +... a x +a x + =1 0 (1)
Phương trình trình này có thể có đúng 1001 nghiệm phân biệt được hay không?
ý tưởng giải phương trình rồi từ đó đến số nghiệm phương trình là không khả thi vì:
Thứ nhất: Số nghiệm phương trình cần kiểm tra khá lớn (1001 nghiệm)
Thứ hai: Bậc của phương trình lại cao, không đưa về các dạng phương trình đã có cách giải.
Ngoài ra, nếu giải được thì bài toán lại ra dưới dạng “Giải phương trình”.
Buộc phải nghĩ tới việc lợi dụng tính chất của tính chất hàm để giải quyết bài toán này, đặt:
( ) 2002 2002 2000 2000 4 4 2 2
f x = a x +a x + +... a x +a x +1
Hướng 1: Hàm số f(x) là hàm đa thức, xác định và liên tục trên ¡ . Do đó để chứng minh phương trình f(x) = 0 có thể có 1001 nghiệm phân biệt, thì trên ¡ ta phải chỉ ra có đoạn [a; b] sao cho tồn tại các số chia đoạn [a; b] thành 1001 khoảng:
a < T1 < T2 < … < T1000 < b thoả mãn:
1
1 2
1000
f(a).f(T ) 0 f(T ).f(T ) 0 ...
f(T ).f(b) 0
<
<
<
Hoặc ngược lại thì phải chỉ ra không tồn tại đoạn [a; b] thoả mãn điều kiện trên.
Công việc này quả thật không dễ chút nào!
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Hướng 2: Nhận thấy: TXĐ : đối xứng qua x = 0 f( x) f(x) x
− = ∀ ∈
R
R
Hàm số f(x) là hàm số chẵn trên ¡ , ta có f(0) = 1 ≠ 0 nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Vì f(x) là hàm chẵn nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 thì - x0 cũng là nghiệm mà x = 0 không phải là nghiệm. Do đó f(x)
= 0 nếu có nghiệm thì số nghiệm phải là số chẵn tức là (1) không thể không thể có đúng 1001 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
1x 2
2 ≥ +1 m (2)
Điều kiện cần: Giả sử (2) có nghiệm là x0 thì - x0 cũng là nghiệm của (2). Vậy (2) có nghiệm duy nhất khi x0 = - x0 ⇔ x0 = 0.
Thay x0 = 0 vào (2) ta được: m = 0 là điều kiện cần.
Điều kiện đủ: Với m = 0, (2) có dạng:
1x x
1 2 1 x 0 x 0
2 ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ = là nghiệm duy nhất.
Vậy m = 0, bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của a, b để phương trình:
3 (ax b)+ 2 +3 (ax b)− 2 + 3 a x2 2 −b2 = 3 b có nghiệm duy nhất.
Đối với bài toán này, hình thức phức tạp, phương trình dạng vô tỷ có hai tham số nhưng nếu quan sát và xem xét kỹ vế trái của phương trình:
VT = f(x) = 3 (ax b)+ 2 +3 (ax b)− 2 + 3 a x2 2 −b2 . Xác định trên ¡ và f(x) = f(- x) nên VT là hàm số chẵn thì ta có thể vận dụng tính chất hàm số chẵn để giải bài toán một cách dễ dàng. Thu được kết quả a 0≠ , b = 0 hoặc b = 1.
Qua các ví dụ trên cho thấy: Nếu khai thác và lợi dụng tính chất chẵn lẻ của hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình thật hiệu quả đặc biệt là loại tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất, hoặc có một số
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình : sin2x > sin4x (3) Thông thường, học sinh biến đổi tương đương, thực hiện lời giải sau:
(3) ⇔sin4x - sin2x < 0 ⇔ sinx.cos3x < 0
sinx 0 cos3x 0 sin x 0 co3x 0
>
<
⇔ <
>
Trường hợp 1:
2k x 2k 2k x 2k
sinx 0
3 2k
cos3x 0 2k 3x 2k x 2k
2 2 6 3 2
π < < π + π π < < π + π
> ⇔ ⇔
< π+ π < < π+ π π+ π< < + ππ
2k x 2k
6 2
π π
⇔ + π < < + π÷ hoặc 5
2k x 2k
6
π+ π < < π + π
÷
( )∗ Trường hợp 2:
2k x 2 2k sinx 0
cos3x 0 2k 3x 2k
2 2
π + π < < π + π
<
⇔
> π− + π < < + ππ
2k x 2k
6
π
⇔ − + π < < π ÷
hoặc 5
2k x k
6
− π+ π < < π + π
÷
( )∗∗
Kết hợp ( )∗ và( )∗∗ suy ra nghiệm là:
k x k
6 2
π π
+ π < < + π
÷
hoặc5
k x k
6π + π< < π+ π
Tuy nhiên, nếu lợi dụng tính chất của tương ứng hàm dựa vào đặc điểm riêng của bất phương trình, ta có cách làm ngắn gọn hơn nhiều.
Hướng dẫn: Đưa bất phương trình về dạng f(x) = sin4x - sin2x < 0
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số f(x) = sin4x - sin2x?
Do y = sin4x và y = sin2x là các hàm số tuần hoàn có chu kỳ lần lượt là 2,
π π nên f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ π.
Hàm f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ π, có gợi cho ta cách giải bất phương trình trên không?
Thay vì giải bất phương trình f(x) < 0 trên ¡ , ta giải bất phương trình trên
[0; π] sau khi tìm được nghiệm riêng, ta suy ra nghiệm tổng quát bằng cách cộng vào nghiệm riêng lượng k , kπ ∈¢ .
Bây giờ, ta giải bất phương trình (3) trên [0; π]:
(3)⇔sinx.cos3x < 0 x 0,x cos3x 0
≠ ≠ π
⇔ < (vì 0 < x < π thì sinx > 0, còn sin0 =sinπ = 0)
x 0,x
3 5
3x hoặc ( ) 3x 3 )
2 2 6
≠ ≠ π
⇔π< < π÷ π ≤ < π
6 x 2
π π
⇔ < < ÷ hoặc 5 6 x
π< < π
÷
.
Vậy nghiệm của bất phương trình (3):
k x k
6 2
π π
+ π < < + π
÷
hoặc 5
k x k
6
π+ π < < π + π
÷
Qua bài toán trên, ta thấy được “lợi thế” của việc lợi dụng tính chất tuần hoàn của hàm số để giải phương trình, bất phương trình; đặc biệt là phương trình, bất phương trình lượng giác (Dù bất phương trình lượng giác trong chương trình mới hiện nay được giảm tải nhưng chúng tôi vẫn đưa nội dung này vào để thấy tác dụng to lớn của việc vận dụng tính chất tuần hoàn khi giải toán bất phương trình).
Tiếp đến, ta xét tính chất liên tục của hàm số trong việc vận dụng giải phương trình, bất phương trình, tiêu biểu là dạng toán: Chứng minh phương trình có nghiệm hoặc vô nghiệm. Trước hết, xuất phát từ hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0 (Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.171).
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt:
x3- mx2 + (m + 1)x - 2 = 0 (4)
Từ nhận xét x2 = x2, ta nghĩ ngay tới việc chuyển đổi bài toán bằng cách đặt ẩn phụ t= x , điều kiện t 0≥ . Thay vì phải chứng minh (4) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt với mọi m, ta đi chứng minh phương trình:
t3 - mt2 + (m + 1) t - 2 = 0 (5)
có ít nhất một nghiệm dương với mọi m (vì mỗi nghiệm t0 > 0 của (5) thì (4) có hai nghiệm phân biệt x= ±t0)
Giải: Xét hàm số f(t) = t3 - mt2 + (m +1)t - 2 liên tục trên ¡ . Ta có: f(0) = - 2 < 0, tlim f t→+∞ ( ) = +∞ ⇒ ∃ >c 0 sao cho f(c) > 0
Suy ra: f(0).f(c) < 0, (5) có ít nhất một nghiệm t0 ∈(0; c) với mọi m ⇒(4) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt x = ±t0 với mọi m. Cần phải nói thêm rằng ở bài toán này có thể chứng minh (5) có ít nhất một nghiệm dương với mọi m bằng phương pháp đồ thị.
Để làm tốt dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh tự rút ra quy trình chứng minh phương trình có nghiệm mà không cần phải giải! Cần lưu ý học sinh khi giải dạng toán này, họ dễ bỏ quên điều kiện hàm số phải liên tục, dù rằng nhiều bài toán điều kiện này không ảnh hưởng tới đáp số bài toán vì hàm số liên tục hiển nhiên nhưng nếu không đề cập tới thì lời giải xem như không đầy đủ.
Ví dụ 6: Cho biết 2b 3c 0+ = . Chứng minh rằng phương trình:
a cos2x b cosx c 0+ + = luôn có nghiệm thuộc khoảng 0, 2
π
÷
Việc biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng:
2acos x b cosx c a 02 + + − =
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Rồi bằng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt X cosx= , chuyển bài toán chứng minh phương trình : a cos2x b cosx c 0+ + = luôn có nghiệm thuộc khoảng
0, 2
π
÷
về bài toán chứng minh phương trình 2aX2 +bX c a 0+ − = (6) luôn có nghiệm thuộc khoảng (0; 1 (vì X = cosx mà x∈) 0,
2
π
÷
nên X (0; 1)∈ không mấy khó khăn. Nhưng việc giải quyết trực tiếp bài toán sau khi chuyển đổi lại không đơn giản!
Ta chọn cách chứng minh gián tiếp (phản chứng):
Xét hàm số
4 3 2
X X X
f(X) a a (c a)
2 3 2
= + + −
f (X) 2aX' = 3 +bX2 + −(c a)X =X(2aX2 +bX c a)+ −
Giả sử (6) vô nghiệm trong khoảng (0; 1). Vì g(X) 2aX= 2 +bX c a+ − liên tục trong khoảng (0; 1) nên g(X) 0> ∀ ∈X (0;1) hoặc g(X) 0 X (0; 1)< ∀ ∈ .
* Nếu g(X) 0 X (0; 1)> ∀ ∈ thì f (X) 0' > ∀ ∈X (0;1)⇒ hàm f đồng biến trên (0; 1) mà f liên tục trên R nên b c 2b 3c
f (0) 0 f (1) 0
3 2 6
= < = + = + = ,vô lí
* Nếu g(X) 0 X (0;1)< ∀ ∈ thì f (X) 0' < ∀ ∈X (0; 1)⇒ hàm f nghịch biến trên (0;1) , lại có fliên tục trên R nên f (0) f (1)> hay 0 0> ,vô lí
Vậy (6) phải có nghiệm thuộc khoảng hay phương trình acos2x bcos x c 0+ + = có nghiệm thuộc khoảng (0, )
2 π .
Như vậy, trong quá trình giải phương trình việc xem xét , vận dụng tính liên tục của hàm số để giải quyết vấn đề bài toán đặt ra đem lại hiệu quả to lớn; đặc biệt đối với những phương trình dạng không mẫu mực khó giải, thậm chí không giải được hoặc phương trình chứa tham số cần chứng minh phương trình có
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
tính tuần hoàn, tính liên tục của hàm số từ đó lợi dụng để giải phương trình, bất phương trình ta không thể không nhắc tới vai trò vô cùng quan trọng của việc lợi dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán phương trình. Có thể nói, lớp các bài toán giải phương trình, bất phương trình dựa vào tính chất đơn điệu của các hàm thành phần cho kết quả ngắn gọn, nhanh chóng và đôi khi giải quyết được bế tắc mà các cách làm khác không làm được (nhất là đối với những phương trình, bất phương trình không mẫu mực). Trong chương trình phổ thông, dạng toán này chiếm một số lượng lớn và thường hay gặp trong các kì thi. Một vài ví dụ minh họa cho điều này:
Ví dụ 7: Giải bất phương trình 5x +12x >13x Biến đổi tương đương:
x x
5 12
13 13 1 0
+ − >
÷ ÷
vì (13x > ∀0 x)
Xét hàm số:
x x
5 13
f (x) 1
13 13
= ÷ ÷ + −
Nhận thấy: f là tổng của hai hàm giảm trên R(vì 5
13<1 và 12
13 <1 nên 5 x
y 13
= ÷ và
12 x
y 13
= ÷ là các hàm giảm trên R) nên nó cũng giảm trên ¡ . Do đó :∀ <x 2 thì f (x) f (2) 0> = ⇔ Nghiệm của (7) là x 2< .
Rõ ràng, trong bài toán này nếu ta không lợi dụng tính chất hàm đơn điệu (đơn điệu giảm) thì không thể giải được bài toán.
Ví dụ 8: Giải bất phương trình :
x2 −2x 3+ − x2 −6x 11+ > 3 x− − x 1− (7)
Ta hoàn toàn hy vọng học sinh tìm được điều kiện của bất phương trình
(1 x 3≤ ≤ )và viết lại bất phương trình dưới dạng:
x2 −2x+ +3 x 1− > x2 −6x 11+ + 3 x− .
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Đến đây học sinh có hai hướng giải quyết:
Hướng 1: Nhận thấy đây là phương trình vô tỷ, có hai vế không âm nên để khử dấu căn ta bình phương hai vế, hướng làm này có thể vẫn ra đáp số nhưng chắc chắn khá phức tạp, dễ nhầm lẫn trong tính toán.
Hướng 2: Nhận xét các số hạng ở từng vế của bất phương trình.Từ đó đặt bất phương trình dưới góc nhìn theo quan điểm hàm tức là có thể sử dụng công cụ hàm số để giải quyết bất phương trình này không ?
(7) ⇔ (x 1)− 2 + +2 x 1− > (3 x)− 2 + +2 3 x− (8) Xét hàm số: y f (t)= = t2+ +2 t trên đoạn [ ]0;2 (vì x∈[ ]1;3 )
f (t)' 2t 2 t1 0 t [ ]0; 2
t 2
= + > ∀ ∈ +
⇒ hàm f đồng biến trên [ ]0; 2 . Do đó từ (2) ta có : f (x 1) f (3 x)− > − ⇔ − > − ⇔ >x 1 3 x x 2
Kết hợp với điều kiện 1 x 3≤ ≤ bất phương trình có nghiệm 2 x 3< ≤ . Ví dụ 9: Giải phương trình: 5x 2− = −3 x
Đối với bài toán này, hai vế của phương trình là hai hàm số khác biệt nhau về tính chất và loại hình nên không thể giải được bằng biến đổi thông thường ,ta có thể dựa vào tính chất và đồ thị của các hàm thành phần để tìm nghiệm của phương trình mà thôi!
Ngoài ra, dựa vào tính chất của hàm hằng, hàm hợp cũng đem lại tác dụng không nhỏ trong việc tìm lời giải cho các bài toán phương trình, bất phương trình.
Chẳng hạn dựa vào tính chất của hàm hằng :
( ) [ ]
[ ] [ ] [ ]
'
0 0
f x a;b
f (x) 0 x a;b f (x) c x a;b
x a;b : f (x ) c liê n tục trê n
= ∀ ∈ ⇒ = ∀ ∈
∃ ∈ =
Ta có thể giải quyết các bài toán: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số hay phương trình f (x) c= có nghiệm ∀ ∈x D. Thậm chí cả các bài toán
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
tìm giá trị của tham số để phương trình nghiệm đúng với ∀ ∈x D, là dạng toán thường làm bằng phương pháp điều kiện cần và đủ.
Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x : sin x cos x 1m + m = (9)
Đặt f (x) sin x cos x= m + m , f liên tục trên R ( )
f (x) 0, x' (i)
9 f (x) 1, x
f 1 (ii)
4
= ∀
⇔ = ∀ ⇔ π = ÷
(Thông thường x0 được chọn sao cho khi vào f (x )0 dễ tính toán).
Giải ( )i : Ta được:
m 1 m 1
m 2 m 2
m 2 m 2
mcos x.sin x sin xcos x 0, x msin x.cos x(sin x cos x) 0, x
m 0 m 0
sin x cos x , x m 2
− −
− −
− −
− = ∀
⇔ − = ∀
= =
⇔ = ∀ ⇔ =
Giải ( )ii : Ta kiểm tra từng trường hợp:
Với m 0= , ta được :
0 0
2 2
f 2
4 2 2
=π ÷ + ÷ =
÷ , không thoả mãn.
Với m 2= , ta được :
2 2
2 2
f 1
4 2 2
=π ÷ + ÷ =
÷ , thoả mãn.
Kết luận: m 2= , phương trình nghiệm đúng với mọi x.
Tương tự: Tìm a, b để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
2 2 2 2 2 3
acos x b cos x cos x
3 3 2
π π + + ÷+ − ÷=
Qua ví dụ trên ta có thêm một phương pháp mới “Sử dụng tính chất của hàm hằng tìm điều kiện của tham số để phương trình nhận ∀ ∈x D làm nghiệm”
cùng với phương pháp điều kiện cần và đủ để giải quyết dạng toán này .
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Lợi dụng tính chất của hàm hợp để giải phương trình, chứng minh phương trình có một số nghiệm xác định đem lại cho chúng ta nhiều điều lý thú. Chẳng hạn :
Ví dụ 11: Cho f (x) x= 2 +12x 30+ , Gọi f (x) f f (x)k = [ k 1− ] với 2 k≤ ≤¥ Tìm giao điểm của đồ thị y f= 2001(x) với trục hoành.
Trước hết, nhận xét hoành độ giao điểm của đồ thị y f= 2001(x) với trục hoành chính là nghiệm phương trình f2001(x) 0= .Vấn đề xác định hàm f2001(x) như thế nào?
Có vẻ trông rất đáng ngại để là được điều này học sinh phải hiểu khái niệm và tính chất của hàm hợp
Ta có :
f x( ) =x2 +12x 30+ =(x 6+ )2 −6
Suy ra :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2
2 2
2 2
f x f f x f x 6 6
f x x 6 6
= = + −
= + −
Từ đó ta có thể chứng minh bằng qui nạp f (x)k =(x 6+ )2 −6
Do đó f2001( )x = ⇔0 (x 6+ )22001 − =6 0
12 2001 x 6 6
÷
⇔ = − ±