Dạy toán là dạy học sinh hoạt động toán mà hoạt động toán chủ yếu là giải bài tập toán. Vì vậy ta cần tổ chức các hoạt động toán học cho học sinh phân bổ đều các đối tượng, xây dựng các bài tập thể hiện sự phân bậc phù hợp với từng đối tượng học sinh. Cần rèn cho học sinh thói quen phân tích đề bài, xác định dạng toán, các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tìm, phát hiện được các đặc điểm cơ bản, đơn giản của bài toán bị che khuất bởi hình thức rắc rối. Đồng thời, hướng dẫn học
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
sinh phát hiện mối quan hệ giữa các đối tượng toán học, từ đó dạy cho học sinh biết lợi dụng sự tương ứng để giải bài toán.
a. Kết hợp giữa việc giảng dạy rèn luyện các kiến thức về phương trình, bất phương trình với việc ôn tập, củng cố kiến thức về số học, về hàm số.
Việc lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về các tập hợp số cũng như các kiến thức về hàm số, dù rằng tương ứng hàm không đòi hỏi tiền đề là kiến thức về khái niệm hàm nhưng ngược lại làm việc trên hàm số luôn xuất hiện các tương ứng hàm.
b. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
Việc giải bài toán nói chung, giải bài toán về phương trình, bất phương trình nói riêng đòi hỏi học sinh phải biết suy luận logic. Việc phát hiện và lợi dụng các mối quan hệ có tính chất nhân - quả trong các dữ kiện và điều kiện của bài toán là hết sức quan trọng khi tìm tòi lời giải cho bài toán. Việc rèn luyện cho học sinh sử dụng chính xác các từ nối với ý nghĩa của các phép logic như: và, hoặc, nếu, thì, cần đủ, khi, chỉ khi, có ít nhất một, có không quá một, có nhiều nhất một... có ý nghĩa rất quan trọng trong việc xác định yêu cầu cũng như trình bày lời giải của một bài toán giải phương trình, bất phương trình.
c. Cần hình thành cho học sinh một số biểu tượng về sự tương ứng thường gặp khi giải phương trình, bất phương trình
Chẳng hạn:
- ứng với mỗi số thực có đúng một điểm trên đường thẳng số và ngược lại với mỗi điểm trên đường thẳng số ứng đúng một số thực.
- Đặt t= ϕ( )x thì ứng với mỗi giá trị x (thuộc tập xác định) có đúng một giá trị t nhưng ngược lại ứng với mỗi giá trị t thì có thể không có, có một hoặc nhiều giá trị của x. Cụ thể hơn với t x= 2 thì mỗi giá trị x có một giá trị t nhưng mỗi t >
0 có hai giá trị của x, t = 0 thì ứng với một giá trị x = 0 còn
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
t < 0 thì không có giá trị x nào thỏa mãn, t a= x (a 0> ) ,
( )
a
t x 1, t log x 0 a 1 ...
= ± x = < ≠ cho học sinh xác định sự tương ứng giữa t và x.
- Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = g(x) chính là số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*) (Sự tương ứng đơn trị 1:1). Hoành độ giao điểm (nếu có) là nghiệm của phương trình (*).
- ứng với mỗi loại phương trình, bất phương trình chính quy thì có cách làm tổng quát xác định (nhận dạng và thể hiện). Tất nhiên ở đây ta đang làm đến loại bài toán có thuật giải và việc làm này không làm cho học sinh kém linh hoạt, tạo tính ỳ khi giải toán mà chỉ rõ cho học sinh thấy sự tương ứng này không đơn trị.
- Cho phương trình, bất phương trình chứa tham số thì với mỗi giá trị của tham số có một tập nghiệm của phương trình, bất phương trình xác định bởi tham số cụ thể.
- Khi giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác hóa thì có thể lợi dụng sự tương ứng giữa điều kiện của ẩn với tập giá trị của các hàm sin, cosin, tg, cotg để tìm cách lượng giác hóa ẩn, nhằm sử dụng công thức lượng giác để khử các dấu căn thức được thuận lợi như:
Điều kiện của ẩn x Lượng giác hóa ẩn x
[ ]
x∈ −a; a , a∈¡ + = ϕ ≤ ϕ ≤ π( ) = ϕ − ≤ ϕ ≤ π π÷
x a cos 0 hoặc x a sin
2 2
x bất kỳ x tg= ϕ − < ϕ < π π÷
2 2
( ] [ )
x ; a a;
a +
∈ −∞ − ∪ + ∞
∈Ă x= sinaϕ (ϕ ≠ πk ) hoặc x= cosaϕ ϕ ≠ + π2π k ữ d. Các ví dụ minh họa:
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 1 2x 1 x2 2 2 1 2x
+ − = − (1)
Hoạt động tìm lời giải:
Điều kiện: − ≤ ≤1 x 1
Tìm sự tương ứng: Từ điều kiện x∈ −[ 1; 1] ta có thể đặt x cos ,= ϕ ϕ∈[0; π].
Khi đó (1) trở thành:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
1 2cos sin
1 2cos cos sin 2 1 2cos 2
2 cos 2 1 2cos cos 1 2cos 2cos 2
4 4
+ ϕ ϕ = − ϕ ⇔ ϕ + ϕ = − ϕ
π π
⇔ ϕ − ÷ = − ϕ ⇔ ϕ − ÷ = − ϕ = − ϕ
Giải (2) và trở về tìm x, ta suy được nghiệm của (1) là: 6 2
x 2
= − và 2
x= − 2 . Nhận xét: Với phương trình trên nếu dùng phép biến đổi tương đương thì khả năng hữu tỷ hóa gặp khó khăn do phương trình đó chứa quá nhiều căn thức, bằng việc lợi dụng sự tương ứng, khả năng hữu tỷ hóa bằng việc đưa ẩn phụ lượng giác tỏ rõ tính hiệu quả. Có thể đặt x sin , ;
2 2
π π
= ϕ ϕ∈ − . Ví dụ 2: Giải phương trình:
(26 15 3+ ) (x +2 7 4 3+ ) (x −2 2− 3)x =1 (3)
Hoạt động tìm lời giải:
Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức trong phương trình:
( ) (2 ) (x )2x
7 4 3+ = +2 3 ⇒ +7 4 3 = +2 3
( ) (3 ) (x )3x
26 15 3+ = +2 3 ⇒ 26 15 3+ = +2 3
( ) ( )x x
1 1
2 3 2 3
2 3 2 3
− = ⇒ − =
+ +
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Rõ ràng, việc giải phương trình nhìn rất phức tạp nhưng nếu phát hiện được mối quan hệ giữa các biểu thức có trong phương trình, lợi dụng sự tương ứng nếu đặt t= +(2 3)x (với t > 0) thì (2− 3)x =1t , do (2− 3 2)( + 3) =1 nên chúng là hai đại lượng nghịch đảo của nhau thì bài toán giải quyết trở nên nhẹ nhàng.
Khi đó: (3) trở thành:
( ) ( )
3 2 1 4 3 3
t 2t 2 1 t 2t t 2 0 t 2 t 1 0 t 1
+ − t = ⇔ + − − = ⇔ + − = ⇔ =
Trở về giải x ta có:(2+ 3)x = ⇔ =1 x 0
Ví dụ 3: :Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2nghiệm dương
x2 −4x+ = +5 m 4x x− 2 (3)
Lời giải: Đặt t= x2−4x+5, t’(x)= 2 2 0 2
2 4 5
x x
x x − = ⇔ = − + Bảng biến thiên x 0 2 +∞
t’(x) - 0 +
+∞ t(x) 5
1
(3) ⇔f(t) =t2+t-5=m Nhận thấy với mỗi t∈( )1; 5 thì phương trình (1) có 2nghiệm x>0.Bài toán quy về Tìm m để phương trình t2+t-5=m có nghiệm t∈( )1; 5
Ta có f’(t)=2t+1>0 ∀ t∈( )1; 5 nên hàm số đồng biến .Ta có bảng biến thiên t 1 5
f’(t) + 5
f(t) -3 Từ bảng biến thiên ta có − < <3 m 5
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi tham số m dương thì phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt : x2+2x− =8 m x( −2) (4)
Lg:
Do m>0 nên x≥2 (4) ⇔
[ ]2
2
3 2
( 2)( 4) ( 2) ( 2)( 4) ( 2)
( 2) ( 2)( 4) 0 2
6 32 0(*)
x x m x x x m x
x x x m x
x x m
− + = − ⇔ − + = −
=
⇔ − − + − = ⇔ + − − =
Ycầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có nghiệm trong (2;+∞) Xét f(x)= x3+6x2−32 với x>2, f’(x)=3x2+12x>0 ∀ ∈x (2;+∞)
Bảng biến thiên
x 2 +∞
f’(x) +
+∞
f(x) 0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m>0 (1) luôn có 1 nghiệm x>2 .
Ví dụ 5: Xác định tất cả các giá trị của a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: ax4 − −(a 3 x) 2 +3a 0= (5)
Hoạt động tìm sự tương ứng:
- Nhận dạng phương trình? Cách làm? (Phát hiện sự tương ứng) - Đặt t x= 2 thì điều kiện của t như thế nào?
- Từ yêu cầu phương trình với ẩn x có 4 nghiệm phân biệt chuyển sang phương trình với ẩn t có bao nhiêu nghiệm? Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện gì?
Hướng dẫn giải:
Đặt t x= 2 ⇒ ≥t 0. Ta được phương trình:
( )
at2 − −a 3 t 3a 0+ = (6)
Có nhận thức được sự tương ứng: Mỗi nghiệm t < 0 của phương trình (6) thì phương trình (4) vô nghiệm, t = 0 thì x = 0 và mỗi nghiệm t > 0 của (6) cho hai nghiệm tương ứng x= ± t của (5). Thì mới lợi dụng được sự tương ứng này, chuyển đổi yêu cầu bài toán đối với ẩn x sang đối với ẩn t, để giải quyết dễ dàng hơn.
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Điều kiện cần và đủ để phương trình (5) có 4 nghiệm phân biệt là phương trình (6) có hai nghiệm dương phân biệt.
Đặt f t( ) =at2 − −(a 3 t 3a) + . Điều kiện cần tìm là:
2
a 0 a 0
0 3 6 3
11a 6a 9 0 a 0
11
P 0 a 3
S 0 0
a
≠
≠
∆ >
⇔ + − < ⇔ − − < <
>
−
> >
Khi nhận thức và lợi dụng sự tương ứng giữa nghiêm của phương trình (5) với nghiệm của phương trình (6), học sinh không chỉ giải quyết được câu hỏi trên mà còn giải quyết được các câu hỏi như: Tìm a để phương trình vô nghiệm, có một nghiệm, có hai nghiệm hoặc có 3 nghiệm.
Nói tóm lại, giải quyết được bài toán tổng quát ax4 +bx2 + =c 0 chưa biết cách giải, bằng cách "chế biến" đưa về dạng quen thuộc at2 + + =bt c 0 thông qua cách đặt t x= 2 (t 0≥ ), đồng thời thiết lập và lợi dụng sự tương ứng giữa nghiệm, số nghiệm phương trình ẩn t với nghiệm, số nghiệm phương trình ẩn x.
Ngoài ra ta còn mở rộng bài toán:
Tổng quát 1: Giải và biện luận phương trình:
( )
2n n *
ax +bx + =c 0 n∈¥ Tổng quát 2: Giải và biện luận phương trình:
( ) ( )
aϕ2 x + ϕb x + =c 0 Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
− + + = 4 2 −
3 x 1 m x 1 2 x 1 (7)
Yêu cầu học sinh nhận dạng phương trình? Đề xuất cách làm chung?
Phương trình có dạng au2 +buv cv+ 2 =0, cách làm chung là:
+ Nếu v = 0, phương trình trở thành u = 0
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
+ Nếu v 0≠ , chia cả hai vế phương trình cho v2, sau đó đặt = u
t v, được phương trình bậc hai đối với t.
Nêu các hướng giải quyết bài toán trên?
Trước hết, cần đưa phương trình (7) về phương trình dạng đơn giản (bậc hai) thông qua bước đặt ẩn phụ.
Điều kiện: x 1≥ . Khi đó, chia cả hai vế của phương trình cho x 1 0+ > ta
được: − + = − ⇔ − − + − − =
+ 4 + + 4 +
x 1 x 1 x 1 x 1
3 m 2 3 2 m 0
x 1 x 1 x 1 x 1 (8)
Đặt = − = −
+ +
4 x 1 4 2
t 2 1
x 1 x 1, vì x 1≥ nên 0 t 1≤ < . Từ (8), ta được:
−3t2 + − =2t m 0 (9)
Đến đây, để giải quyết bài toán này học sinh có hai hướng suy nghĩ:
Hướng 1: Lợi dụng mối quan hệ, sự tương ứng giữa ẩn x và ẩn phụ t, chuyển đổi bài toán thành: Tìm m để (9) có nghiệm thực thoả mãn 0 t 1. ≤ <
Học sinh cần huy động kiến thức về tam thức bậc hai để giải.
Hướng 2: Đưa phương trình về dạng f t( ) =m. Xét mối tương quan giữa hai đồ thị hàm số (C): y f t= ( ) và đường thẳng (d): y = m. Cần làm cho học sinh nhận thức được sự tương ứng: Phương trình f t( ) =m ⇔( ) ( )C ∩ d ≠ ∅ và ( ) ( )C ∩ d ≠ ∅ ⇔m thuộc tập giá trị của hàm y f t= ( ). Như vậy, bài toán trở về tìm tập giá trị của hàm số y f t= ( ) (Tất nhiên, tuỳ từng bài cụ thể mà ta tìm tập giá trị của nó trên tập xác định hay trên trên một khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn nào đó thoả mãn yêu cầu bài toán).
Trở lại bài toán trên: ( )9 ⇔ = −m 3t2 +2t
Đặt: f t( ) = −3t2 +2t
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
f t'( ) = − +6t 2; f t'( ) = ⇔ =0 t 13
Lập bảng biến thiên của hàm f(t) với 0 < t < 1, ta được:
( )
− < ≤1 ≤1
1 f t . Suy ra -1< m
3 3.
Nhận xét: Dù nhận thức và lợi dụng sự tương ứng giữa x và t nhưng học sinh dễ mắc sai lầm khi đặt điều kiện cho t là t 0≥ (vì căn bậc chẵn của một số không âm mà không thấy được 0 t 1 nên làm theo hướng 1 hay hướng 2 đều ≤ <
dẫn đến kết quả sai là ≤1 m 3.
Trong quá trình làm toán việc hình thành, phát hiện, nghiên cứu và lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết đòi hỏi học sinh nói chung, học sinh giỏi nói riêng cần phải huy động các luồng kiến thức liên quan như: kiến thức về hàm số, về tập hợp số, về bất đẳng thức...Lợi dụng tương ứng hàm không những giải quyết hiệu quả các bài toán về phương trình, bất phương trình, cho ta các cách nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau mà còn phát triển bài toán tổng quát hơn.
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.