Trước yêu cầu của đổi mới phương pháp : Thầy chủ đạo , trò chủ động , làm thế nào để củng cố đào sâu suy nghĩ và rèn luyện tư duy toán học . Làm thế nào để giúp các em độc lập suy nghĩ , xây dựng ý thức tự giác trong học tập ? Câu hỏi này luôn làm tôi băn khoăn suy nghĩ để rồi qua đó tự tìm hiểu , nghiên cứu cách thức phương pháp , trong đó tôi thấy phương pháp sử dụng phép tính nhẩm là tâm đắc . Tôi đem trao đổi cùng anh chị em đồng nghiệp , cùng họ mang đi thực nghiệm trong thực tế giảng dạy . Và chúng tôi đều thấy kết quả thu được rất khả quan .
Trang 1I KHÁI QUÁT NỘI DUNG CHÍNH
A : ĐẶT VẤN ĐỀ
- Vai trò, tác động của toán học với đời sống, với các ngành khoa học kỹ thuật
- Vị trí của môn toán trong trường THCS
- Khả năng học toán của các em ở trường THCS hiện nay
- Do yêu cầu của đổi mới phương pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động "
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Ý tưởng đi nghiên cứu đề tài từ một bài toán thực tế với cách giải độc đáo được đúc rút từ sự vận dụng linh hoạt của các nội dung cơ bản của chương trình
2 Phương pháp dạy học của thầy, cách tìm tòi thực nghiệm để đúc rút
ra các dạng vận dụng kiến thức cơ bản vào làm phép tính nhẩm
3 Tám dạng bài tập khác nhau, mỗi dạng đều nêu ví dụ cụ thể, cơ sở của cách làm, tại sao làm như vậy
Dạng 1 : Nhẩm bình phương của một số có chữ số tận cùng là 5 Dạng 2 : Vận dụng hằng đẳng thức ( a + b )2 vào làm phép tính nhẩm
Dạng 3 : Nhẩm bình phương của một số lớn hơn 50 một chút
Dạng 4 : Nhẩm căn bậc hai của một số chính phương
Dạng 5 : Nhẩm tích hai số nhỏ hơn 100 một chút.
Dạng 6 : Nhân nhẩm tích của hai số lớn hơn 100.
Dạng 7 : Nhẩm tích của hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng
nghìn , hàng trăm giống nhau Tổng chữ số hàng chục
và hàng đơn vị của hai thừa số là 100
Dạng 8 : Tính nhanh một số biểu thức
Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật
Dạng 10 : Nhận xét , đề suất cách giải một số dạng toán khác.
C KẾT QUẢ THỰC HIỆN - BÀI HỌC KINH NGHIỆM
- Kết quả qua 1 số năm giảng dạy gần đây
- Bài học rút ra qua đề tài
Trang 2II NỘI DUNG CHI TIẾT
A ĐẶT VẤN ĐỀ :
Trong thời đại công nghiệp hoá , hiện đại hoá ngày nay , một trong những điểm đáng chú ý của cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đang diễn ra nhanh như vũ bão hiện nay là sự thâm nhập ngày càng nhiều của máy tính điện tử , của công nghệ thông tin vào các ngành khoa học khác
mà chìa khoá của nó là toán học
Toán học không chỉ xâm nhập vào các ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật mà còn vào cả sinh học, ngôn ngữ học, tâm lý học, xã hội học Trong sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá ở nước ta hiện nay , toán học giữ một vị trí nổi bật Nó có tác dụng rất lớn đối với các nghành khoa học khác , đối với kỹ thuật , sản xuất , chiến đấu … Trong trường THCS môn toán có vị trí vô cùng quan trọng Nó có khả năng to lớn để thực hiện mục tiêu giáo dục : "Nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân lực , đào tạo nhân tài" Môn toán là công cụ thiết yếu giúp các em học tốt môn học khác , giúp các em phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ Chúng ta đều biết : Một trong những yêu cầu của việc dạy học sinh học toán là tạo cho các em có phương pháp tư duy , óc sáng tạo , khả năng lập luận , kỹ năng tính toán hợp lý , trình bày bài khoa học , rõ ràng Tuy nhiên trong các trường THCS hiện nay , đặc biệt là các vùng nông thôn tình trạng các em học yếu toán , sợ toán không phải là ít , kiến thức toán học hời hợt , thiếu vững chắc Nhiều em nghĩ toán học khô khan , hóc búa , học toán đau đầu Trước một bài toán nhiều em không biết bắt đầu từ đâu ? Làm thế nào ? Nếu giáo viên càng thuyết trình thì học sinh càng thụ động Do đó các em càng sợ , càng yếu , không nắm được các kiến thức cơ bản
Trước yêu cầu của đổi mới phương pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động " , làm thế nào để củng cố đào sâu suy nghĩ và rèn luyện tư duy toán học Làm thế nào để giúp các em độc lập suy nghĩ , xây dựng ý thức tự giác trong học tập ? Câu hỏi này luôn làm tôi băn khoăn suy nghĩ để rồi qua đó tự tìm hiểu , nghiên cứu cách thức phương pháp , trong đó tôi thấy phương pháp sử dụng phép tính nhẩm là tâm đắc Tôi đem trao đổi cùng anh chị em đồng nghiệp , cùng họ mang đi thực nghiệm trong thực tế giảng dạy Và chúng tôi đều thấy kết quả thu được rất khả quan
Trang 304,20
-959:03,20
9,95:003,
2
Trong khi đại đa số các em khác dùng máy tính để tính giá trị của biểu thức A Tôi quan sát không thấy em Kiên làm bài mà chỉ ngồi suy ngẫm , sau đó em hỏi tôi ngay : " Thưa cô A = 1 " Nhiều em ngỡ ngàng không tin vì em nói ngay đáp số mà không cần dùng máy tính , không làm nháp Em trình bày nhận xét của mình :
5
4 => 08
221104
20
,
20
995003
2
: ,
, : ,
= 1
Do đó A = 1 +1 -1 => A = 1
Qua lời giải trên đã xác định được sự linh hoạt của em Kiên dựa vào những kiến thức cơ bản và vận dụng một cách sáng tạo những nội dung sau đây của toán học :
+ Quan hệ giữa các thừa số với kết quả của phép nhân ( chia )
+ Quy tắc biểu diễn hỗn số bằng phân số
Trang 4các bài toán mà nhiều khi tính nhẩm còn nhanh hơn bấm máy Chẳng hạn những bài toán sau :
1) Tìm a ∈ N biết :
2
1)-(a a
= 36
2) Tìm x biết :
15x
150+ - x
150
= 1 3) Tính tích : +/ ( a2+ a + 1 ) ( a2 - a - 1 )
y2xy-x3
y3+xy+x2
5) Tính giá trị của biểu thức :
A = 2004(1.9.4.6)(1.9.4.7) (1.9.9.9)
B = ( 100 - 12 ) ( 100 - 22 ) …( 100 - 252) Lời giải bài toán trên thực ra không có gì khó nếu như không có yêu cầu tính nhẩm , tìm tòi lời giải nhanh nhất , đơn giản nhất Để giúp các
em thực hiện được các yêu cầu đề ra tôi yêu cầu các em thực hiện đúng quy trình sau :
+ Ở nhà : Cá nhân tự nghiên cứu , đề xuất cách giải
+ Đến lớp : Tiết 1 : Thảo luận cách giải trong từng nhóm
Tiết 2 : Thảo luận cách giải hay của từng nhóm Tiết 3 : Áp dụng cách giải hay đó vào các bài toán khác
Chẳng hạn vào ba ví dụ sau đây
* Ví dụ 1 : Tính nhẩm nghiệm nguyên , dương của phương trình có
* Ví dụ 2 : Phân tích đa thức 12a2 - 15 ab + 3b2 ra thừa số để từ đó rút
ra cách phân tích đa thức có dạng : Số hạng ở giữa có hệ số là đối của
Trang 5tổng các hệ số của hai số hạng còn lại hoặc tích các hệ số của hai số hạng bằng tích các hệ số của hai số hạng còn lại
* Ví dụ 3 : Áp dụng công thức nhân nhanh : chẳng hạn áp dụng
+ Để các em đào sâu suy nghĩ, tự giác học tập, người thầy cần dạy, đúng trọng tâm , kiến thức chính xác , ngôn ngữ truyền đạt trong sáng ,
có sức thuyết phục , phải xây dựng được không khí thầy trò cùng làm việc " Thầy chủ đạo , trò chủ động "
+ Thầy trò cùng mạn đàm trao đổi để rồi thực hiện theo đúng quy trình
đã được thống nhất trong tập thể Cụ thể :
a) Khi được cung cấp bài toán , trò cần tạo thói quen suy nghĩ : bắt đầu từ đâu ? (với đề bài toán) Phải làm gì ? (Thấy được bài toán càng rõ ràng , càng sáng sủa càng tốt) Làm như thế tiện lợi
gì ? (quen với bài toán)
b) Khi hiểu rồi , cần đi sâu nghiên cứu xây dựng chương trình
(Thầy dùng lời nhắc nhở , kiên nhẫn)
a = 36 => a( a - 1 ) = 72 => a2 - a - 72 = 0
+ Ta có thể dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một
ẩn này
+ Tôi cho các em nhận xét a và a - 1 là hai số nguyên dương Đó là hai
số tự nhiên liên tiếp nhau và trong bảng nhân 9 ta có 9.8 = 72
=> a = 9
* Từ nhận xét này cá em có thể dễ dàng giải phương trình dạng
Trang 6( x - n )( x + m) = q
Với bài 3 ở phần 1 (b) :
Tính ( a2 + a + 1 ) ( a2 - a - 1 ) Vận dụng nhân hai đa thức các em
có thể tính được kết quả Nhưng nếu quan sát giữa các hạng tử ở hai đa thức đó ta có thể tính nhanh hơn
3
+
1 + 2a + 2 a
2
) =
1 - a
1-
2
15
a
a+
với a ≠ 1 Thông qua bài tập ta thấy được tác dụng của phép tính nhẩm trong việc giúp các em đào sâu suy nghĩ , rèn luyện tư duy toán học Làm thế nào để các em tự đề suất cách giải nhanh ? Đây là vấn đề nan giải , nó tuỳ thuộc vào sự linh hoạt , nhanh nhẹn , sáng tạo của trò Tuy vậy để phần nào tạo ra sự linh hoạt , sự hứng thú với môn toán tôi đã cung cấp cho các em một số thủ thuật để các em có thể tính nhẩm được Các thủ thuật đó được rút ra dưới một số dạng sau đây :
+ Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị bao giờ cũng là 25
+ Các chữ số còn lại là tích của các số đó với số tự nhiên liên
Trang 7c) Tính 312 : ( 3 + 1 )2 = 9 + 6 +1 => 312 = 961
Tại sao làm được như vậy ?
Sở dĩ ta làm được như vậy vì ta đã áp dụng :
( ab )2 = ( 10a + b)2 = 100a2 + 10 2ab + b2
Như vậy ta có b2 đơn vị , 2ab chục , a2 trăm các dấu cộng mà ta xoá đi chính là vì ta đã biết nó thuộc hàng nào rồi
2) Ví dụ 2 :
a) Tính 232
Ta có ( 2 + 3 )2 = 4 + 12 + 9 Nếu cứ máy móc ghi 232 = 4129 là sai ? Tại sao sai?
Ta đã biết trong tập hợp các số tự nhiên , các chữ số thuộc một hàng nào đó phải nguyên dương , nhỏ hơn hoặc bằng 9 Nếu nó lớn hơn hoặc bằng 10 thì phải chuyển lên hàng đứng trước nó Với ví dụ ở trên thì 12
là 1 trăm và 2 chục nên 1 trăm này phải được cộng với 4 trăm
=> 232 = 529 b) Tính 362 Có ( 3 + 6 )2 =
Lấy 3 + 8 = 11 chỉ giữ lại 1 chuyển 1 lên hàng trên :
Lấy 1+ 4 + 6 = 11 chỉ giữ lại 1 chuyển 1 lên hàng trên 1+1= 2
Trang 8+ Viết tiếp vào kết quả 2 chữ số cuối cùng của bình phương của hiệu giữa số đó và 50
Với ví dụ trên ta làm như sau : 58 - 25 = 33 ( 58 - 50 )2 = 82 = 64 Viết tiếp 64 vào sau 33 => 582=3364
Trong trường hợp này : Nếu bình phương của hiệu giữa số đó và 50 là
số có 3 chữ số thì phải đem chữ số hàng trăm này cộng lên với chữ số cuối cùng của hiệu trên
Ta lấy 39 + 1 = 40 Rồi viết tiếp 96 vào bên phải số 40
Vậy 642 = 4096
Dạng 4 : Nhẩm căn bậc hai của một số chính phương
Để tính nhẩm căn bậc hai của một số chính phương , vận dụng tính
Δ trong việc giải bài toán bằng cách lập phương trình Tôi hướng dẫn các em vận dụng ngay chữ số hàng đơn vị để tính nhẩm sơ bộ ban đầu Sau đó vận dụng ngược lại ba dạng trên vào tính nhẩm các chữ số còn lại Cụ thể như sau :
a Một số là số chính phương thì chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là các
số 0 ,1 ,4 , 5 , 6 , 9
* Với chữ số hàng đơn vị là 0 và 5 thì chỉ có thể là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 bình phương
Trang 9* Chữ số hàng đơn vị là 1 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 9 đem bình phương
* Chữ số hàng đơn vị là 4 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 8 đem bình phương
* Chữ số hàng đơn vị là 6 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 đem bình phương
* Chữ số hàng đơn vị là 9 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 3 hoặc 7 đem bình phương
b Các chữ số thuộc các hàng còn lại ta vận dụng ngược lại của ba dạng nhẩm trên
Ví dụ 1 : Tính 15625 = 125
Nhận xét : Chữ số hàng đơn vị là 5 , chữ số hàng chục là 2 chắc chắn kết quả là số có chữ số hàng đơn vị là 5 ;156 = 12 13
Vậy 15625 = 125
Ví dụ 2 : Tính 3844 = 62
Nhận xét : Chữ số 4 do 22 hoặc 82 Ta thử các chữ số hàng chục để
ghép với 2 hoặc 8 Ta thấy nếu lấy 52 = 25 < 38 quá nhiều
72 = 49 > 38 cũng không được Do vậy ta thử 62 = 36 gần 38
Vậy được 622 hoặc 682
Trang 12Dạng 7 : Nhẩm tích của hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng nghìn , hàng trăm giống nhau Tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị của hai thừa số là 100
Ví dụ : Tính nhẩm 2976 2924
Xét xem hai thừa số có liên quan đến nhau hay không ?
- Cả hai thừa số đều có hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm là 29
- Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của mỗi thừa số có tổng là 100 Vậy nếu đặt a = 29 , b = 76 , c = 24 thì tích trên có dạng như thế nào? Hãy nêu cách giải ?
* Như vậy chỉ qua một phép nhân cụ thể các em có thể rút ra cách làm tổng quát với phép nhân hai số bất kỳ có bốn chữ số , hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm giống nhau , hai chữ số hàng chục , hàng đơn vị của hai thừa số có tổng là 100 và các trưòng hợp tương tự Tất nhiên việc tính tiếp cần sự sáng tạo của các em Nhưng đây cũng tạo ra hứng thú cho các em tìm hiểu về các con số , về mối liên quan giữa chúng
2 Nếu gặp những tổng gồm nhiều số chẵn liên tiếp hoặc lẻ liên tiếp thì lưu ý hiệu hai số liên tiếp nhau luôn bằng 2
Trang 13Ngoài ra muốn tínhxem có bao nhiêu số lẻ ( hay chẵn ) chẳng hạn
từ 1 đến 99 có bao nhiêu số lẻ ta làm như sau :
ba nhận xét trên vào tính toán cho hợp lý
Ví dụ 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức :
75125.150125
220
780
++
125
220 780
+ +
−
75 75 125 2 125
) 220 780
)(
220 - 780 (
+ +
+
75+125
1000560
) (
.
= 14
Ví dụ 2 : Tính nhanh
Trang 14g)
21147+1284+642+321
42217+24124+1262+631
.
.
.
.
.
.
.
.
h)
35217+20124+1062+531
21147+1284+642+321
.
.
.
.
.
.
.
.
Tìm tòi lời giải :
Trang 15a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng ta có thể viết : 36 ( 143 + 57 ) + 64 ( 143 + 57 ) = ( 143 + 57 ) ( 36 +64 )
= 200 100 = 20 000 b) Áp dụng tương tự a có 28 101 = 28 ( 100 +1 ) = 2800 + 28
= 2828
c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 ) = 491 ( 263 + 57 - 153 - 67 )
= 49 100 d) Nhận xét các số hạng trong dấu ngoặc :
234234 233 - 233233 234 = 234 101 233 - 233 101 234 = 0 Vậy 12345 678910 ( 234234 233 - 233233 234 ) = 0 e) So sánh các hạng tử ở tử và mẫu :
2003
1928+75
2004.
=
2003
1928+751+
2003.
=
2003
2003+
75
2003.
= 2003
76
2003.
= 76 g) Nhận xét mỗi số hạng của tử đều gấp 3 lần số hạng tương ứng ở mẫu:
21147+1284+642+321
42217+24124+1262+63
1
.
.
.
.
.
.
.
.
=
21.14.712.8.46.4.23.2.1
3.21.14.73.12.8.43.6.4.23.3.2
1
++
+
++
+
=
21.14.712.8.46.4.23.2.1
)21.14.712.8.46.4.23.2.1(
3
++
+
++
+
= 3
h) Các số hạng ở tử , ở mẫu là bội của nhau :
35217+20124+1062+531
21147+1284+642+321
.
.
.
.
.
.
.
.
3
7531+64531+8531+531
7321+64321+8321+321
.
.
.
.
=
) (
.
) (
7+64+8+1321
=
531
321
.
.
=5
2
Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật
Đây là dạng bài khó với các dãy phân thức có thể rút gọn phân thức ,
Trang 16cũng có khi chứng minh hằng đẳng thức Với dạng này tôi yêu cầu các
em nhận xét để tìm mối liên quan giữa các thành phần tham gia phép tính để tìm ra quy luật chung giữa chúng Qua đó có cách giải cho phù hợp
Ví dụ 1 : Rút gọn các biểu thức sau đây :
13
4
141
4
2.
24
) (
432
14
32
)1 (
5.4
1+n
1
- 3
1 + … +
n
1 -
1+n
1 = 1 -
1+n
1 =
1+n
n
Ví dụ 2 : Chứng minh các đẳng thức sau :
a)
31
b)
321
1
. 2 3 4
1
. + … + n -1)n(n +1)
1)+1)(2n-
n2
2
Đặt A =
31
Trang 17=
1
1
- 3
1 + 3
1
- 5
1 + 5
1
- 7
1 + … +
1-n21
= 1 -
1+n2
1 =
1+n2
n2 => A =
1+n2
n (n ≥ 1)
1
. +
432
1
. + … + n -1)n(n +1)
1
(
=> 2B =
3 2 1
2
. +
432
2
. + 3 4 5
2
. + … + n-1)n(n+1)
n
n
(2
2
2
=
1)(
))(
n
n
2
21
n
n
(4
)2)(
1(
Vế trái bằng vế phải Vậy đẳng thức được chứng minh
Dạng 10 : Nhận xét , đề xuất cách giải quyết một số dạng khác ;
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau :
a)
2004
1+x + 2002
3+x = 2000
5+x + 1998
7+x
1896-x
+ 4 = 0 Với các phương trình dạng này ta nhân hai vế của phương trình với mẫu số chung theo đúng thứ tự các bước giải phương trình thì rất phức tạp Nên với các phương trình dạng nầy nếu cộng hoặc trừ số1 vào mỗi phân thức thì các phân thức đó đều có tử số bằng nhau
+ 1 ) = (
2000
5+x + 1) + (
1998
7+x
+ 1 )
Trang 18
2004
2005+
x
+ 2002
2005+
x
= 2000
2005+
x
+ 1998
2005+
1
- 2000
1
- 1998
1 ) = 0
Vì
2004
1
+ 2002
1
- 2000
1
- 1998
x
-1) = (
61
1943-
x
-1 ) + (
62
1942-
1
- 61
1
- 62
1 ) = 0
Vì
59
1
+60
1
- 61
1
- 62
1
≠ 0 => x - 2004 = 0 ⇒ x = 2004
1 + 105
1 +107
1 ) = 0
Vì
101
1 + 103
1 + 105
1 +107
1
≠ 0 => 2003 - x = 0