Đang tải... (xem toàn văn)
H iện nay tại nhiều trung tâm nghiên cứu khoa học, đặc biệt là trong các trường học từ phổ thông đến đại học vấn đề phát triển tư duy cho học sinh đang là một vấn đề bức xúc và thu hút rất nhiều các đề tài nghiên cứu khoa học. Những vấn đề triết học trong toán học không nằm ngoài những mục tiêu nói trên. Ph.Ăngghen đã từng nói: một dân tộc muốn đứng vững trên đỉnh cao của khoa học cần phải có tư duy lí luận. Chính vì vậy, vấn đề rèn luyện khả năng tư duy lí luận cho học sinh thông qua việc truyền thụ những kiến thức khoa học là việc làm hết sức cần thiết và có ý nghĩa chiến lược trong sự nghiệp phát triển đất nước. Trong khi khái quát những thành tựu của toán học, các nhà kinh điển của chủ nghĩa Mác Lênin và những nhà triết học mácxít hiện nay đã xem vấn đề vô hạn trong toán học là thành tựu vĩ đại của tư duy nhân loại. Vấn đề này đang được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học hiện đại. Để người học thấy rõ sự phát triển của tư duy lí luận, trước hết chúng ta cần làm rõ bản chất của vô hạn toán học. Khái niệm vô hạn toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa vô hạn hiện thực, và theo một nghĩa nào đó, có thể nói nó là sự trừu tượng về tính thực hiện được. Vô hạn hiện thực không chỉ có đặc trưng số lượng mà cả đặc trưng chất lượng. Đặc trưng chất lượng về tính vô hạn của thế giới vật chất được biểu thị thành sự đa dạng vô hạn của nó trong không gian và thời gian, trong sự đa dạng vô hạn các thuộc tính của nó. Tính vô cùng vô tận là đặc điểm quan trọng nhất của vô hạn hiện thực. Điều đó có nghĩa là cứ mỗi lần có sự biến đổi về chất lượng trong phạm vi không gian thời gian của các hiện tượng, người ta lại tìm thấy những thuộc tính căn bản và tính quy luật của các hiện tượng. Toán học với tư cách là khoa học về những quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực, nó phải trừu tượng khỏi những đặc điểm chất lượng của các sự vật và các quá trình. Vì vậy, khi nghiên cứu tính vô hạn của thế giới vật chất, toán học tự giới hạn ở việc nghiên cứu khía cạnh vô hạn của hiện thực tách rời khỏi mặt chất lượng của các sự vật, các quá trình. Trong toán học, người ta sử dụng ba hình thức vô hạn khác là: vô hạn thực tế; vô hạn thực tại; vô hạn tiềm năng. Trong phạm vi bài viết này, để đạt được mục tiêu: rèn luyện khả năng tư duy khoa học cho các đối tượng đang học tập và nghiên cứu khoa học, chúng ta chỉ tập trung sự chú ý vào hai hạng: vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng. Trước hết, cần nhận thức rõ, vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng là hai mặt thống nhất của vô hạn toán học. Vô hạn thực tại được hiểu là một tập hợp vô hạn các phần tử đã được hoàn thiện và đang cùng tồn tại. Ví dụ: tập hợp tất cả các số tự nhiên và tập hợp các số thực,… và khi nói về lực lượng của các tập hợp này, ta xem như vô hạn phần tử của chúng cùng tồn tại đồng thời. Đó là vô hạn thực tại. Vô hạn tiềm năng là thứ vô hạn, trong đó chúng ta đưa ra khả năng xây dựng dần các phần tử của nó. Theo quan niệm này, các phần tử của tập hợp vô hạn không tồn tại đồng thời mà tồn tại trong quá trình xây dựng chúng theo các bước: từ phần tử này đến phần tử kia, việc xây dựng xong phần tử này là điều kiện xây dựng phần tử tiếp theo, và quá trình đó không có bước cuối cùng. Chẳng hạn, nếu ta quan niệm tập hợp các bước tự nhiên được thành lập từ số trước đến số sau theo tiến trình: 1, 2, 3, …, n, n+1, … thì vô hạn ở đây là vô hạn tiềm năng. Để rèn luyện khả năng tư duy biện chứng cho các đối tượng đang học tập và nghiên cứu khoa học, chúng ta cần làm rõ sự thống nhất giữa vô hạn thực và vô hạn tiềm năng. Trong triết học duy vật biện chứng, vô hạn và hữu hạn là cặp phạm trù biểu hiện mối liên hệ hữu cơ giữa hai mặt đối lập của thế giới khách quan. Phạm trù hữu hạn dùng để chỉ tính giới hạn và có ranh giới của một sự vật, hiện tượng, quá trình nào đó trong không gian và thời gian về mặt số lượng và chất lượng. Theo từ điển bách khoa Việt Nam “cái hữu hạn là hình thức thể hiện của các vô hạn, chứa trong lòng nó một phần của cái vô hạn, và ngược lại, cái vô hạn được tạo nên từ cái hữu hạn. Sự thống nhất mang tính mâu thuẫn đó giúp chúng ta có thể nhận thức được cái vô hạn, mặc dù trong hoạt động ta chỉ tiếp xúc với cái hữu hạn” (1). Về vấn đề này, Ph. Ăngghen cũng đã từng nhận xét: “Mọi nhận thức thực sự thấu đáo chỉ là ở chỗ: trong tư duy, chúng ta tìm ra và xác định cái vô hạn trong cái hữu hạn”(2). Như vậy, nếu vận dụng nguyên lí triết học: “cái vô hạn chỉ có thể nhận biết trong sự thống nhất với cái hữu hạn”, thì tính vô hạn toán học trong nội dung đầy đủ của mình chỉ có thể đạt được thông qua mối tương quan giữa vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng. Trong suốt quá trình phát triển của toán học cả hai hình thức vô hạn này luôn luôn thay thế cho nhau và bổ sung cho nhau. Trên thực tế, nếu chúng ta chỉ thừa nhận sự tồn tại của vô hạn thực tại hoặc vô hạn tiềm năng, mà không xem đó như hai mặt đối lập, thống nhất của một vấn đề thì chắc chắn sẽ dần tới các nghịch lí không thể giải quyết được. Chẳng hạn, trong thời kì cổ đại, các nghịch lí của Dênông (Asin không đuổi kịp con rùa và nghịch lí mũi tên bay không tới đích) xuất hiện là do chỉ thừa nhận vô hạn tiềm năng mà không sử dụng vô hạn thực tại. Theo quan điểm của Dênông, nếu gọi khoảng cách ban đầu giữa Asin và con rùa là m, và tốc độ của Asin nhanh gấp k lần tốc độ con rùa, thì như vậy khoảng cách giữa Asin và con rùa lần lượt được rút ngắn đến vô hạn theo dãy số: m, mk, mk2, …, mkn, … khoảng cách đó chỉ tiến dần tới 0 chứ không thể bằng 0, do vậy Asin không bao giờ tiếp cận được con rùa. Về thực chất trong quan niệm của Dênông đây là thứ vô hạn tiềm năng. Tiếp đó, lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời với sự thừa nhận vô hạn thực tại. Lý thuyết tập hợp được sử dụng để luận chứng cho cơ sở toán học hiện đại. Tuy nhiên, lý thuyết này lại xuất hiện một số nghịch lý liên quan đến vô hạn thực tại. Chính vì vậy những khuynh hướng lập luận khác nhau về cơ sở của toán học hiện đại lại hướng tới việc sử dụng vô hạn tiềm năng. Trong lịch sử phát triển của toán học còn ghi lại những thành tựu rực rỡ và những hạn chế nhà toán học nổi tiếng người Pháp – Cauchy, trong đó có vấn đề vô hạn. Đầu tiên Cauchy chỉ ra một cách đúng đắn rằng, nếu một tập hợp những vật thể là vô hạn hay một vật thể có thể chia nhỏ ra đến vô hạn, thì đặc điểm số lượng của tập hợp tất cả những vật thể đó, cũng như tập hợp các phần của một vật thể không thể biểu diễn bằng bất cứ số tự nhiên nào. Đó là một quan điểm đúng, nhưng để mô tả cho nội dung của nó thì chỉ có sử dụng số vô hạn. Song Cauchy lại khẳng định rằng, không thể có được ý kiến về số vô hạn những sinh vật hay là số hạn những những vật thể cùng tồn tại mà không rơi vào những mâu thuẫn hiển nhiên. Theo Cauchy, mâu thuẫn của khái niệm tập hợp vô hạn là ở chỗ nếu một tập hợp đối tượng mà vô hạn thì ta có thể sắp đặt tất cả các đối tượng đó theo một dãy nào đó, và có thể đánh số chúng sao cho những số hiệu của chúng lập thành một dãy số tự nhiên: 1, 2, 3,…, n,... và khi đó đã phải giả thiết rằng dãy số này kéo dài đến vô hạn. Cauchy cho rằng điều này là vô lí, ông lập luận như sau: nếu dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn thì một mặt, có bao nhiêu số tự nhiên sẽ có bấy nhiêu n tương ứng với một số n2 và ngược lại.
SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TƯ DUY KHOA HỌC QUA VẤN ĐỀ VÔ HẠN TRONG TOÁN HỌC H O TS LÊ VĂN ĐOÁN* iện nhiều trung tâm nghiên cứu khoa học, đặc biệt trường học từ phổ thông đến đại học vấn đề phát triển tư cho học sinh vấn đề xúc thu hút nhiều đề tài nghiên cứu khoa học Những vấn đề triết học toán học không nằm mục tiêu nói Ph.Ăngghen nói: "một dân tộc muốn đứng vững đỉnh cao khoa học cần phải có tư lí luận" Chính vậy, vấn đề rèn luyện khả tư lí luận cho học sinh thông qua việc truyền thụ kiến thức khoa học việc làm cần thiết có ý nghĩa chiến lược nghiệp phát triển đất nước Trong khái quát thành tựu toán học, nhà kinh điển chủ nghĩa Mác - Lênin nhà triết học mác-xít xem vấn đề vô hạn toán học thành tựu vĩ đại tư nhân loại Vấn đề ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học đại Để người học thấy rõ phát triển tư lí luận, trước hết cần làm rõ chất vô hạn toán học Khái niệm vô hạn toán học kết trừu tượng hóa vô hạn thực, theo nghĩa đó, nói trừu tượng tính thực Vô hạn thực đặc trưng số lượng mà đặc trưng chất lượng Đặc trưng chất lượng tính vô hạn giới vật chất biểu thị thành đa dạng vô hạn không gian thời gian, đa dạng vô hạn thuộc tính Tính vô vô tận đặc điểm quan trọng vô hạn thực Điều có nghĩa lần có biến đổi chất lượng phạm vi không gian - thời gian tượng, người ta lại tìm thấy thuộc tính tính quy luật tượng Toán học với tư cách khoa học quan hệ số lượng hình thức không gian giới thực, phải trừu tượng khỏi đặc điểm chất lượng vật trình Vì vậy, nghiên cứu tính vô hạn giới vật chất, toán học tự giới hạn việc nghiên cứu khía cạnh vô hạn thực tách rời khỏi mặt chất lượng vật, trình Trong toán học, người ta sử dụng ba hình thức vô hạn khác là: vô hạn thực tế; vô hạn thực tại; vô hạn tiềm Trong phạm vi viết này, để đạt mục tiêu: rèn luyện khả tư khoa học cho đối tượng học tập nghiên cứu khoa học, tập trung ý vào hai hạng: vô hạn thực vô hạn tiềm Trước hết, cần nhận thức rõ, vô hạn thực vô hạn tiềm hai mặt thống vô hạn toán học Vô hạn thực hiểu tập hợp vô hạn phần tử hoàn thiện tồn Ví dụ: tập hợp tất số tự nhiên tập hợp số thực,… nói lực lượng tập hợp này, ta xem vô hạn phần tử chúng tồn đồng thời Đó vô hạn thực Vô hạn tiềm thứ vô hạn, đưa khả xây dựng dần phần tử Theo quan niệm này, phần tử tập hợp vô hạn không tồn đồng thời mà tồn trình xây dựng chúng theo bước: từ phần tử đến phần tử kia, việc xây dựng xong phần tử điều kiện xây dựng phần tử tiếp theo, trình bước cuối Chẳng hạn, ta quan niệm tập hợp bước tự nhiên thành lập từ số trước đến số sau theo tiến trình: 1, 2, 3, …, n, n+1, … vô hạn vô hạn tiềm Để rèn luyện khả tư biện chứng cho đối tượng học tập nghiên cứu khoa học, cần làm rõ thống vô hạn thực vô hạn tiềm Trong triết học vật biện chứng, vô hạn hữu hạn cặp phạm trù biểu mối liên hệ hữu hai mặt đối lập giới khách quan Phạm trù hữu hạn dùng để tính giới hạn có ranh giới vật, tượng, trình không gian thời gian mặt số lượng chất lượng Theo từ điển bách khoa Việt Nam “cái hữu hạn hình thức thể vô hạn, chứa lòng phần vô hạn, ngược lại, vô hạn tạo nên từ hữu hạn Sự thống mang tính mâu thuẫn giúp nhận thức vô hạn, hoạt động ta tiếp xúc với hữu hạn” (1) Về vấn đề này, Ph Ăngghen nhận xét: “Mọi nhận thức thực thấu đáo chỗ: tư duy, tìm xác định vô hạn hữu hạn”(2) Như vậy, vận dụng nguyên lí triết học: “cái vô hạn nhận biết thống với hữu hạn”, tính vô hạn toán học nội dung đầy đủ đạt thông qua mối tương quan vô hạn thực vô hạn tiềm Trong suốt trình phát triển toán học hai hình thức vô hạn luôn thay cho bổ sung cho Trên thực tế, thừa nhận tồn vô hạn thực vô hạn tiềm năng, mà không xem hai mặt đối lập, thống vấn đề chắn dần tới nghịch lí giải Chẳng hạn, thời kì cổ đại, nghịch lí Dênông (Asin không đuổi kịp rùa nghịch lí mũi tên bay không tới đích) xuất thừa nhận vô hạn tiềm mà không sử dụng vô hạn thực Theo quan điểm Dênông, gọi khoảng cách ban đầu Asin rùa m, tốc độ Asin nhanh gấp k lần tốc độ rùa, khoảng cách Asin rùa rút ngắn đến vô hạn theo dãy số: m, m/k, m/k2, …, m/kn, … khoảng cách tiến dần tới 0, Asin không tiếp cận rùa Về thực chất quan niệm Dênông thứ vô hạn tiềm Tiếp đó, lý thuyết tập hợp Cantor đời với thừa nhận vô hạn thực Lý thuyết tập hợp sử dụng để luận chứng cho sở toán học đại Tuy nhiên, lý thuyết lại xuất số nghịch lý liên quan đến vô hạn thực Chính khuynh hướng lập luận khác sở toán học đại lại hướng tới việc sử dụng vô hạn tiềm Trong lịch sử phát triển toán học ghi lại thành tựu rực rỡ hạn chế nhà toán học tiếng người Pháp – Cauchy, có vấn đề vô hạn Đầu tiên Cauchy cách đắn rằng, tập hợp vật thể vô hạn hay vật thể chia nhỏ đến vô hạn, đặc điểm số lượng tập hợp tất vật thể đó, tập hợp phần vật thể biểu diễn số tự nhiên Đó quan điểm đúng, để mô tả cho nội dung có sử dụng số vô hạn Song Cauchy lại khẳng định rằng, có ý kiến số vô hạn sinh vật số hạn những vật thể tồn mà không rơi vào mâu thuẫn hiển nhiên Theo Cauchy, mâu thuẫn khái niệm tập hợp vô hạn chỗ tập hợp đối tượng mà vô hạn ta đặt tất đối tượng theo dãy đó, đánh số chúng cho số hiệu chúng lập thành dãy số tự nhiên: 1, 2, 3,…, n, phải giả thiết dãy số kéo dài đến vô hạn Cauchy cho điều vô lí, ông lập luận sau: dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn mặt, có số tự nhiên có nhiêu n tương ứng với số n2 ngược lại 1, 2, 3,…, n,… 12, 22, 32,…, n2, … Mặt khác, số tự nhiên n lớn, tỉ số số phương từ đến n trở nên nhỏ đi, từ ta có: dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn, bình phương dãy số phận vô nhỏ bé dãy số Theo Cauchy, điều giả thiết dãy số kéo dài đến vô hạn dẫn đến mâu thuẫn rõ ràng, cần phải bác bỏ giả thiết Đó lí Cauchy không nghiên cứu tính chất tập hợp vô hạn Đối với ông, vô hạn vô hạn tiềm Kết luận Cauchy sai lầm chỗ, ông xuất phát từ việc đồng tính chất tập hợp vô hạn tập hợp hữu hạn cách Điều khẳng định Cauchy phủ nhận tính chất khách quan khái niệm tập hợp vô hạn mà chứng tỏ rằng, tập hợp vô hạn hữu hạn có nhiều tính chất khác Chẳng hạn, điều khẳng định “toàn thể lớn phận nó” với tập hợp hữu hạn mà không lĩnh vực tập hợp vô hạn Tóm lại, nhìn vào lịch sử phát triển toán học, đấu tranh hai quan điểm: quan điểm ủng hộ việc sử dụng vô hạn tiềm phức tạp kéo dài tận ngày Việc giải vấn đề cách triệt để phải tìm kiếm giới thực Thế giới vật chất vô hạn không gian thời gian, mãi Mặt khác giới vật chất luôn phát triển bao hàm khả biến đổi vô hạn Chính vậy, không đơn giản phủ nhận mặt Tính vô hạn giới thống vô hạn thực vô hạn tiềm Để phản ánh thông ấy, phương pháp nhận thức khoa học phải dựa mối quan hệ biện chứng vô hạn thực vô hạn tiềm Đó sở đáng tin cậy để rèn luyện phát triển tư lí luận cho đối tượng học tập nghiên cứu khoa học lĩnh vực khác (1) Từ điển bách khoa (tập 4) NXB Từ điển bách khoa H 2005, tr 922 (2) Mac-Ăngggen toàn tập (tập 20) NXB Chính trị quốc gia H 1995 tr 724 ... chỗ: tư duy, tìm xác định vô hạn hữu hạn”(2) Như vậy, vận dụng nguyên lí triết học: “cái vô hạn nhận biết thống với hữu hạn”, tính vô hạn toán học nội dung đầy đủ đạt thông qua mối tương quan vô... đích) xuất thừa nhận vô hạn tiềm mà không sử dụng vô hạn thực Theo quan điểm Dênông, gọi khoảng cách ban đầu Asin rùa m, tốc độ Asin nhanh gấp k lần tốc độ rùa, khoảng cách Asin rùa rút ngắn đến vô... rùa Về thực chất quan niệm Dênông thứ vô hạn tiềm Tiếp đó, lý thuyết tập hợp Cantor đời với thừa nhận vô hạn thực Lý thuyết tập hợp sử dụng để luận chứng cho sở toán học đại Tuy nhiên, lý thuyết