Skkn một số dạng toán nguyên hàm, tích phân hàm ẩn

1 Phần MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong xu đổi đất nước nhằm phục vụ cho mục tiêu cơng nghiệp hóa, đại hóa, đổi giáo dục mục tiêu hàng đầu Một nội dung đổi giáo dục đổi kiểm tra đánh giá Năm 2017 năm Bộ GD & ĐT tổ chức thi THPT QG (nay TN THPT) môn Tốn theo hình thức trắc nghiệm Trong đề thi mơn Tốn thức có 50 câu trắc nghiệm khách quan, thí sinh làm thời gian 90 phút Trong đề thi THPT QG trước đây, hay đề thi TN THPT câu hỏi số phức tương đối quan trọng, học sinh dễ tích lũy điểm số Tuy nhiên câu hỏi số phức, câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức tương đối khó, thường xuyên xuất câu thuộc mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao đề thi Do dạng tốn thường làm cho học sinh điểm học sinh học lực trở xuống gây nhiều khó khăn cho học sinh học lực giỏi Đây dạng tốn khó, học sinh tiếp cận chủ yếu qua việc tự học, tự tìm hiểu có hướng dẫn giáo viên, sách giáo khoa hành không đề cập đến Hiện tài liệu tham khảo dạng tập cịn đầu sách dạng tập, đầu tư nội dung cịn khiêm tốn Việc có tài liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng cách khoa học nhu cầu cấp thiết giáo viên học sinh Xuất phát từ lí q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 12, ôn thi TN THPT trường THPT Bá Thước, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy giúp em học sinh đạt kết cao kỳ thi, nên viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện số phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức cho học sinh khối 12 trường THPT Bá Thước” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Tạo hứng thú học tập, thay đổi cách tư học sinh toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến mơđun số phức Từ giúp học sinh đạt kết cao kỳ thi TN THPT - Trao đổi chuyên môn đồng nghiệp tổ mơn, góp phần nâng cao kết mơn học mơn Tốn 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Sử dụng phương pháp: phương pháp đại số, phương pháp hình học để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến mơđun số phức thơng qua dạng tốn xuất đề thi tham khảo, đề thi thức Bộ GD&ĐT, đề thi thử trường toán sưu tầm qua mạng internet 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Các tài liệu lí luận dạy học, phương pháp kĩ thuật dạy học theo hướng phát triển lực mơn Tốn skkn - Nghiên cứu thực trạng dạy học môn Toán trường THPT Bá Thước - Đưa hệ thống ví dụ dạng tốn thường gặp đề thi TN THPT - Dự đồng nghiệp - Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung “Rèn luyện số phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức cho học sinh khối 12 trường THPT Bá Thước” - So sánh kết đạt học sinh chưa áp dụng đề tài sau áp dụng đề tài Phần NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tốn học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Tuy nhiên, mơn học khó địi hỏi người học phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh kiến thức cho Phải có nhìn tổng thể, có kỹ khai thác toán Trong đề thi THPT Quốc gia, TN THPT câu hỏi số phức nói chung câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức chiếm vị trí quan trọng, hay hút người học Sau số kiến thức liên quan: Khái niệm số phức  Tập hợp số phức kí hiệu  Số phức biểu thức có dạng : (  ; phần thực, số thực phần ảo ; phần ảo số ảo phần thực  Hai số phức : Biểu diễn hình học • Số phức đơn vị ảo, biểu diễn điểm phẳng tọa độ • Một số quỹ tích cần nhớ Quỹ tích điểm M Biểu thức liên hệ skkn ) mặt Đường thẳng Đường trung trực đoạn với Đường trịn tâm , bán kính Hình trịn tâm , bán kính Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồng tâm , bán kính Parabol Là elip với trục lớn tiêu cự , với Trong hay Cộng, trừ số phức    Số đối Nhân hai số phức   Phép chia số phức Cho hai số phức , với Ta có Số phức liên hợp • Số phức liên hợp số phức • Tính chất: skkn , trục bé Môđun số phức - Số phức biểu diễn điểm Độ dài véctơ mặt phẳng gọi môđun số phức Kí hiệu Ta có: - Tính chất: ;   • ;  ; ;  ;  - Các bất đẳng thức môđun số phức • • Dấu xảy ; • Dấu xảy ; • Dấu xảy ; • Dấu xảy ; Căn bậc hai số thực âm Cho số thực âm Hai bậc hai Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai  Khi  Khi  Khi liên hợp) , phương trình có nghiệm thực , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt , phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ( hai số phức skkn 2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI 2.2.1 Thực trạng chung - Đối với giáo viên: Năm 2017 năm đề thi THPT QG mơn tốn chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm Với hình thức thi đòi hỏi giáo viên phải thay đổi cách tiếp cận kiến thức, cách truyền đạt cho học sinh Tuy nhiên phận giáo viên cịn gặp khó khăn việc thay đổi cách tiếp cận, cách dạy theo tinh thần đổi mới, chưa thực tâm tìm tịi, nghiên cứu cách dạy để làm tốn trắc nghiệm - Đối với học sinh: Hình thức thi trắc nghiệm thực năm, nhiên em học sinh chưa tiếp cận hết với dạng tập theo hình thức trắc nghiệm số lượng nhiều phạm vi kiểm tra rộng, cách làm tốn theo hình thức trắc nghiệm đơi lúc có khác biệt so với cách làm tốn theo hình thức tự luận Cộng thêm cách tư duy, tiếp cận toán trắc nghiệm có thay đổi khiến em gặp nhiều khó khăn 2.2.2 Thực trạng trường THPT Bá Thước Với đặc điểm trường đóng địa bàn huyện miền núi, chất lượng tuyển sinh đầu vào thấp, tính tự giác học tập học sinh chưa cao nên việc dạy học giáo viên học sinh gặp nhiều khó khăn Đặc biệt nội dung câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức câu hỏi mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao nên số học sinh quan tâm đến câu hỏi tâm để giải tương đối ít, giải cịn gặp nhiều khó khăn Kết thi TN THPT mơn Tốn cịn thấp so với mặt chung tỉnh 2.3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Để khắc phục khó khăn nhằm nâng cao chất lượng dạy học, bên cạnh việc tiến hành nghiêm túc học theo quy định chương trình, tơi thay đổi mạnh mẽ cách dạy truyền thụ kiến thức tới học sinh phù hợp với chương trình đổi giáo dục Vì thời lượng dành cho phần cịn ít, nên ứng với phần ngồi tập lớp thêm tập để em nhà nghiên cứu tìm lời giải Sau bố trí thời gian thích hợp để sửa chữa, giúp em tìm lời giải tối ưu, nhấn mạnh vấn đề cần lưu ý bài, dạng tốn Sau tơi xin đưa số giải pháp nhằm giúp học sinh nâng cao kỹ giải số câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức 2.3.1 Phương pháp đại số Phương pháp: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ , biết số phức thỏa mãn điều kiện cho trước ta thực bước sau: - Gọi , từ điều kiện rút mối liên hệ theo (hoặc theo ); - Thay theo ( theo ) vào biểu thức ; - Sử dụng cách tìm GTLN, GTNN như: khảo sát hàm số, sử dụng bất đẳng thức cổ điển, sử dụng bất đẳng thức môđun số phức, Các bất đẳng thức thường sử dụng skkn +) Dấu xảy +) Bất đẳng thức Côsi : Dấu xảy +) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Dấu xảy +) Bất đẳng thức môđun số phức  Dấu xảy ;  Dấu xảy ;  Dấu xảy ;  Dấu xảy Ví dụ Trong số phức phức có mơđun nhỏ nhất? A thỏa mãn điều kiện B Giả sử C Lời giải Tìm số D Ta có: Suy Vậy Chọn đáp án C Ví dụ 2  Xét số phức ( A ) thỏa mãn đạt giá trị nhỏ B C Lời giải Đặt Tính với skkn D 7 Theo ta có Suy Do Chọn đáp án D Ví dụ Cho số phức giá trị lớn A thỏa mãn B C Khi D Lời giải Theo bất đẳng thức môđun số phức ta có Dấu xảy Vậy giá trị lớn Chọn đáp án C skkn có Ví dụ Cho số phức thỏa mãn lớn nhất, giá trị nhỏ A Gọi Khi B giá trị C D Lời giải Gọi , với Ta có Do Mặt khác Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Do Do Chọn đáp án B Ví dụ Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức A B C Lời giải Gọi Ta có: Xét hàm số Hàm số liên tục với ta có: skkn D 9 Vậy giá trị lớn biểu thức Chọn đáp án C Ví dụ (Trích đề thi TN THPT lần năm 2021) Xét số phức đổi thỏa mãn , thay Giá trị nhỏ biểu thức A B C Lời giải D Ta có TH1: ( loại) TH2: +) Với Dấu xảy +) Với Dấu xảy skkn 10 Vậy Chọn đáp án B Ví dụ (Trích đề thi TN THPT lần năm 2021) Xét số phức mãn A Do Khi đạt giá trị nhỏ nhất, B nên Lời giải thỏa C D Ta có Dấu xảy Khi 2.3.2 Phương pháp hình học Chọn đáp án B Phương pháp: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thỏa mãn điều kiện cho trước ta thực bước sau: - Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức , biết số phức thỏa mãn điều kiện - Tìm điểm cho khoảng cách có giá trị lớn ( nhỏ nhất) Khi ta tìm Một số kết thường dùng: - Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ đường thẳng O M H OM ≥ OH = d(O, ) - Nếu tập hợp điểm biểu diễn độ đường trịn số phức có skkn tâm mặt phẳng tọa bán kính 11 M M A B I A O B |OI-R| = OB ≤ |z|= OM ≤ OI+R = OA |OI-R| = OB ≤ |z|= OM ≤ OI+R = OA - Nếu quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip Ta có: O I : Ví dụ Trong số phức trị nhỏ thỏa mãn điều kiện , tìm giá A B C D Lời giải Đặt , mặt phẳng tọa độ diễn có điểm biểu Ta có , nên tập hợp điểm Do đường thẳng nên Chọn đáp án B Ví dụ Cho số phức thỏa mãn  Giá trị nhỏ biểu thức A B C D Lời giải Gọi biểu điểm biểu diễn số phức skkn Ta có tức 12 diễn hình học số phức thỏa mãn giả thiết đường thẳng đường thẳng xứng với Xét điểm Dễ thấy nên nhỏ phía với đối qua đường thẳng B A M' M A' Do nhỏ Chọn đáp án A Ví dụ 10 Cho hai số phức thỏa mãn , Tìm giá trị nhỏ A B C D Lời giải Đặt Ta có Do tập hợp điểm mặt phẳng đường tròn tâm biểu diễn cho số phức , bán kính Do tập hợp điểm đường thẳng mặt phẳng Khi ta có skkn biểu diễn cho số phức 13 (C) Do nên không cắt I Suy M Δ N Chọn đáp án A Ví dụ 11 (Trích đề tham khảo năm 2017) Xét số phức Gọi Gọi thỏa mãn giá trị nhỏ giá trị lớn Tính A B C D Lời giải điểm biểu diễn số phức , Từ Gọi nên ta có thuộc đoạn thẳng hình chiếu lên , ta có Suy Chọn đáp án B Ví dụ 12 (Trích đề tham khảo năm 2018) Xét số phức thỏa mãn A Tính B Lời giải skkn đạt giá trị lớn C D 14 Gọi điểm biểu diễn số phức Theo giả thiết ta có: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn tâm bán kính Gọi Gọi trung điểm Vì trung tuyến , kéo dài cắt đường tròn Mặt khác Chọn đáp án B Ví dụ 13 (Trích đề minh họa năm 2021) Xét hai số phức A C Giá trị lớn B D Lời giải skkn thỏa mãn 15 Gọi điểm biểu diễn số phức ; điểm biểu diễn số phức điểm biểu diễn số phức ; ; điểm Ta có: Ta nhận thấy Lúc nằm lớn lớn ) Suy Ví dụ 14 Cho số phức lớn Tính ? A thẳng hàng ( Chọn đáp án B thỏa B C D Lời giải Gọi Xét Suy điểm biểu diễn số phức Khi thuộc Elip có Ta có: , suy Chọn đáp án C skkn hay điểm 16 Ví dụ 15 (Trích đề minh họa năm 2022) Gọi cho số phức thỏa mãn tập hợp tất số phức có phần thực Xét số phức , giá trị lớn A 16 B 20 C 10 D 32 Lời giải Gọi Ta có số phức có phần thực Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức Gọi Gọi Ta có đường tròn tâm điểm biểu diễn số phức , suy điểm biểu diễn cho số phức skkn , bán kính Ta có 17 Do đó: Dấu xảy hướng Chọn đáp án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu Cho số phức phức A thỏa mãn    Tìm mơđun nhỏ số B C D Đáp án C Câu Trong số phức thỏa mãn  , biết số phức  có mơđun nhỏ Khi đó, giá trị A B C   là D Đáp án A Câu Cho số phức thoả mãn Gọi và giá trị nhỏ biểu thức A Đáp án A Câu Cho số phức A Tính B C thỏa mãn B giá trị lớn D Số phức skkn C có mơđun nhỏ D 18 Đáp án B Câu Cho số phức thỏa mãn môđun lớn nhỏ Tính A B C Gọi , D Đáp án A Câu Cho số phức thoả mãn Tìm giá trị lớn A B C D Đáp án C Câu Trong số phức đun nhỏ có phần ảo A thỏa mãn B , số phức C có mô D Đáp án D Câu Cho hai số phức nhỏ thỏa mãn A Đáp án A B Câu Cho hai số phức C thỏa mãn đạt giá trị nhỏ A Giá trị B , , D Tính C Biết D D Đáp án D Câu 10 Gọi A , số phức thỏa mãn điều kiện có mơđun nhỏ Tính B C skkn 19 Đáp án A 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.4.1 Kết thăm dò thực nghiệm phương pháp Qua hai năm học 2020 - 2021 ; 2021 - 2022 giáo viên học sinh tiến hành áp dụng nội dung sáng kiến kinh nghiệm vào việc dạy học thơng qua nhiều hình thức lớp, nhà Kết học sinh có hứng thú môn học, say mê nắm kiến thức hơn, đặc biệt câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức, số học sinh làm tốt tăng lên rõ rệt Kết thu tích cực, cụ thể sau: * Năm học: 2020 - 2021 Lớp chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%) 12A4 39 0% 10 25.6% 25 64.1% 04 10.3% Lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp 12A8 Sĩ số 35 Giỏi (%) 23.9% Khá (%) Trung bình ( %) 20 57.1% 20.0% * Năm học: 2021 – 2022 Lớp chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) 12A7 40 0% 13 32.5 24 60.0% Yếu (%) 0% Yếu (%) 7.5% Lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp 12A9 Sĩ số 37 Giỏi (%) 10 27.0% Khá (%) 23 62.2% Trung bình ( %) 10.8% Yếu (%) 0.0% 2.4.2 Đối với chất lượng giảng dạy giáo dục học sinh - Đối với học sinh   Qua q trình giảng dạy ơn thi tốt nghiệp THPT trường THPT Bá Thước, khả tiếp thu vận dụng phương pháp để giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của  môđun số phức mang lại kết đáng mừng Số học sinh hiểu vận dụng giải tập có hiệu cao dần thể điểm thi TN THPT ngày tăng Đa số học sinh tỏ tự tin giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của  môđun số phức tiếp cận với các phương pháp giải nêu sáng kiến kinh nghiệm   - Đối với giáo viên + Bản thân thông qua việc tìm hiểu nắm vững lí luận dạy học, từ triển khai biện pháp vận dụng nguyên tắc phát huy tính tích cực học sinh vào thực tiễn giảng dạy trường THPT Bá Thước skkn 20 + Trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm thông qua thực tiễn giảng dạy đơn vị cho đồng nghiệp, đúc rút nhiều kinh nghiệm nhằm nâng cao hiệu mơn Tốn trường phổ thơng 2.4.3 Khả ứng dụng và triển khai của sáng kiến kinh nghiệm - Có khả ứng dụng cho mọi đối tượng học sinh lớp 12 ở trường THPT - Giáo viên cần xây dựng hệ thống tập nêu vấn đề để học sinh tự giải quyết, từ em nắm vững kiến thức vận dụng vào giải tập Đặc biệt giáo viên rèn luyện cho học sinh phương pháp nghiên cứu học tập độc lập để em có tư giải vấn đề phát sinh Phần KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Trong q trình dạy học, tốn nói chung tốn số phức nói riêng, giáo viên biết tìm sở lý thuyết, đưa phương pháp giải hợp lý và hướng dẫn học sinh vận dụng cách linh hoạt tạo hứng thú học tập học sinh Khi dạy học sinh giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức yêu cầu học sinh tìm mối liên hệ giả thiết toán Giáo viên cần xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó để nâng cao khả tư kỹ làm học sinh         Là giáo viên xác định cho phải ln tạo cho học sinh niềm hứng thú, say mê trình học tập; cải tiến phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho dạy Sau thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy số toán liên quan trường THPT Bá Thước, thân nhận thấy kinh nghiệm phù hợp với tốn tìm GTLN, GTNN liên quan đến môđun số phức với tiết dạy học theo hướng đổi Học sinh có hứng thú học tập hơn, tích cực chủ động học tập Tôi hy vọng với việc áp dụng đề tài học sinh đạt kết cao kỳ thi tốt nghiệp THPT       Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của  mơđun số phức rất  đa dạng Trong viết đưa số ví dụ toán hay gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử trường nước nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết, với mong muốn giúp cho học sinh có định hướng tốt gặp tốn này, tơi mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp để viết tơi hồn thiện        Tơi xin chân thành cảm ơn! 3.2 KIẾN NGHỊ * Đối với Nhà trường Nên có sự đầu tư khuyến khích giáo viên đổi phương pháp dạy học dưới nhiều hình thức khác * Đối với giáo viên -Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao lực chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm, đổi mới phương pháp dạy học skkn 21 -Phải tìm tòi, sáng tạo để từng bước cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với từng tiết học, bài học với những đối tượng học sinh khác -Phải thực sự tâm huyết, tận tình với công việc, yêu nghề, có tinh thần trách nhiệm cao trước học sinh Chỉ thực yêu nghề, giáo viên vượt qua khó khăn, thực tốt nhiệm vụ “trồng người” XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Như Quân skkn ... trừ số phức    Số đối Nhân hai số phức   Phép chia số phức Cho hai số phức , với Ta có Số phức liên hợp • Số phức liên hợp số phức • Tính chất: skkn , trục bé Môđun số phức - Số phức... quan: Khái niệm số phức  Tập hợp số phức kí hiệu  Số phức biểu thức có dạng : (  ; phần thực, số thực phần ảo ; phần ảo số ảo phần thực  Hai số phức : Biểu diễn hình học • Số phức đơn vị... cần lưu ý bài, dạng toán Sau xin đưa số giải pháp nhằm giúp học sinh nâng cao kỹ giải số câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến môđun số phức 2.3.1 Phương pháp đại số Phương pháp: