(SKKN 2022) một số dạng tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số

MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2 NỘI DUNG ……………………………………………………… 2.1 Một số toán thường gặp……………………………………… 2.2 Các ví dụ minh họa……………………………………………… 2.3 Hiệu đề tài………………………………………………… 21 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 21 3.1 Kết luận 21 3.2 Kiến nghị 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Đối với học sinh học toán trường trung học phổ thông, học sinh chuẩn bị thi TN THPT quốc gia thường gặp toán vận dụng, vận dụng cao liên quan đến tốn tính tích phân hàm ẩn Khi giảm tải chương trình dạng tốn chưa đề cập đầy đủ, học sinh khó rèn luyện tốt phần Với việc sử dụng phép đổi biến linh hoạt cho dạng cụ thể, học sinh phát triển cách phong phú giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu dạng tốn Đó lí để chọn đề tài : “ Một số dạng tập tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thông ôn thi TN THPT quốc gia có nhìn tồn diện cách tiếp cận tốn tính tích phân hàm ẩn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng tốn tính tích phân hàm ẩn Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số, giải tích hình học chương trình trung học phổ thơng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lý thuyết tính tích phân phương pháp đổi biến số Thông qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng kiến thức từ rèn luyện tư kĩ để học sinh giải tốt tập vận dụng cao Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ tài liệu tham khảo đề thi THPT quốc gia năm gần 1.5 Những điểm Với đề tài giúp giáo viên định hướng xây dựng hệ thống tập vận dụng,vận dụng cao với số lượng lớn mà xuất phát từ các toán đơn giản NỘI DUNG 2.1 MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP 2.1.1 ĐỔI BIẾN DẠNG b Biết tích phân I   f  x  dx a J k  fx Ví dụ Cho A  1 xdx   u a Tính tích phân Đối với dạng ta cần đổi biến cách đặt u b f u  x  .u '  x  dx t  u  x Khi B I   f  x  dx C 1 Lời giải D Chọn D Đặt t  x   dt  xdx Đổi cận: x   t  ; x   t  5 1   f  t  dt   f  x  dx  I   f  x  dx  22 22 Khi đó: f  x Ví dụ Cho hàm số liên tục  1;   f  x  dx  Tích phân I   xf  x  dx bằng: A I  16 B I  D I  C I  Lời giải Chọn D I  f   x  dx  Đặt t  x   t  x   2tdt  dx ; đổi cận: x   t  ; x   t  2 Khi 2 I   2tf  t  dt    tf  t  dt  Ví dụ Vậy (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) 1  2 I   f  x  dx  A I   xf  x  dx  Giá trị J  sin x f  3cos x  3cos x   B  dx C Lời giải Chọn C 3sin x dx 3cos x  Đặt  x   t 1 Đổi cận: x   t  ; 2 2 2 J    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   3 31 3 Khi đó: t  3cos x   dt  D 2 Cho Ví dụ Cho hàm số f  x liên tục R có  f  x  dx  2;  f  x  dx  Tính  f  x   dx I 1 I A B I  C I D I  Lời giải Chọn B 1 1 1 I   f  x   dx   f   x  dx   f  x  1 dx  I1  I Có  x  1  u    I1   f   x  dx x u 0  1 Tính Đặt u   x  du  2 dx Đổi cận:  1  I1  f  u  du   f  u  du   20 x   u    x u 0  2 Tính Đặt u  x   du  dx Đổi cận:  1 1  I   f  u  du   f  u  du  20 20 I   f  x  1 dx I  I1  I  Vậy   Ví dụ Cho tích phân A K  8 I   cos x f  sin x  dx  B K   I   cos x f  sin x  dx    I   cos   t  f 2   Tính tích phân C K  Lời giải: Đặt t K   sin x f  cos x  dx D K  16  x  dt  dx Đổi cận:       sin   t   dt    sin t f  cos x  dt   sin x f  cos x  dt    0 (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân)  K  K  I  Chọn C f  x f  x   f  x  x  ¡ Ví dụ Cho hàm số liên tục ¡ thỏa mãn , Biết  f  x  dx  A I  Giá trị tích phân B I  I   f  x  dx Lời giải bao nhiêu? C I  D I  Chọn A J   f  x  dx Xét tích phân , đặt x  2t  dx  2dt Với x   t  , x   t  1 1 0 J   f  2t  2dt   f  2t  dt  2 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  Ta có 0 2 J   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Mặt khác, ta có 2 1 0  I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  J   f  x  dx  y  f  x Ví dụ Cho hàm số  f    2 liên tục có đạo hàm ¡ thỏa mãn ; f  x  dx  I  f  x  dx Tính tích phân A I  10 B I  5 Lời giải Chọn A 0 C I  D I  18 Đặt t  x , ta có: t  x 2tdt  dx Khi x   t  ; x   t  I  f Đặt   x dx   2tf   t  dt u  2t; dv  f   t  dt v  f  t ta được: du  2dt ; I   2tf  t     f  t  dt Khi đó: 0  f    2.1   2    10 16 Ví dụ Cho hàm số f  x liên tục ¡ thỏa mãn   x  dx  f x   f  sin x  cos xdx  Tính tích phân A I  2 I   f  x  dx B I  C I  Lời giải Chọn B 16 Xét I f  x  dx  x x t , đặt dx  dt x Đổi cận: x   t  ; x  16  t  4 1 I   f  t  dt    f  t  dt  3   J   f  sin x  cos xdx  , đặt sin x  u  cos xdx  du D I  x Đổi cận: x   u  ;   u 1 J   f  u  du  4 0 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    Vậy  f  x Ví dụ Cho hàm  x f  x liên tục ¡ thỏa mãn  f  tan x  dx  dx  x2  Tính A  f  x  dx C Lời giải B D Chọn A  1 1 x2 f  x  f  x x2 f  x  f  x d x  f x d x  d x  d x  d x    0 0 x  0 x  0 x2  0 f  x  dx x2  d  tan x   dt  dx  dt    tan x  dx  dt tan x  t cos x Đặt suy  dx    dt dt    tan x   t dt f  tan x  dx   f  t   1 t2 f  x dx 1 x =3 Vậy  f  x  dx  2022 f  x Ví dụ 10 Cho hàm số e 2022  1  thỏa  f  x  dx  Khi tích phân  x f ln  x  1 dx x 1 liên tục ¡ B A C D Lời giải Chọn B I Xét e2022 1    x f ln  x  1 dx x 1 2x 2022 t  ln  x  1  dt  x  dx Đặt Đổi cận: x   t  ; x  e   t  2022 2022 2022 1 I   f  t  dt   f  x  dx   2 Suy y  f  x Ví dụ 11 Cho hàm số  xf  x  dx  liên tục ¡ thỏa mãn f   x  f  x Biết Tính I   f  x  dx I A I B C I D I  11 Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm f  x số liên tục  a; b mãn Đổi cận: x  a  t  b ; thỏa b ab a xf  x  dx  a f  x  dx điều kiện b f  a  b  x   f  x  , x  a; b  Khi Chứng minh: x   a; b  t  a  b  x  dx  dt , với xbt b Đặt Ta có b b a a a  xf  x  dx   xf  a  b  x  dx    a  b  t  f  t  dt b b b b b b a a    a  b  t  f  t  dt   a  b   f  t  dt   tf  t  dt   a  b   f  x  dx   xf  x  dx a a b b a a a   xf  x  dx   a  b   f  x  dx  b  xf  x  dx  a b ab f  x  dx a Áp dụng tính chất với a  , b  f  x  a; b  thỏa mãn f    x   f  x  liên tục 3 1 1 xf  x  dx  1 f  x  dx  1 f  x  dx  Khi Cách 2: Đổi biến trực tiếp: x   1;3 Đặt t   x , với Ta có 3 3 1  xf  x  dx   xf   x  dx     t  f  t  dt  4 f  t  dt   t f  t  dt 1 3 1    f  t  dt    f  t  dt   6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường Ví dụ 12 Cho hàm số f liên tục đoạn trịn hình vẽ Tính giá trị 6 I    f  x    dx 6 y 4 O 1 x B I  2  34 C I  2  33 Lời giải A I  2  35 D I  2  32 Chọn D 1   x  2 2 x   f  x   1   x   x  2  x  x   Ta có I 5 6 6   f  x   2 dx   f  x  dx   dx 6 2   1 1  2    x  dx     x dx    x  dx  22 3  6  2 2 2 x 1  1   x  x   J   x    22  J  28 32 4  6 3    1 J  x dx 2 Tính Đặt x  2sin t  dx  cos tdt Đổi cận: Khi x    t x  2 ;     1 J t   x dx    cos tdt      cos 2t  dt   2 2     I  32  2 Vậy Ví dụ 13 (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn 5 f  x f x   x d x  d x  2 1 x2 1 f  x  dx , Tích phân A 15 B 2 C 13 D Lời giải Chọn C   Đặt t  x   x suy t  x  x    t  x   x   t  2tx   x  t  1   dx     dt 2t 2  2t Đổi cận: x  2  t  5; x   t   1 5  f x   x d x  f t   d t    2 5  2t 2  1 f  t  t  1dt  Ta có:  Suy   5 5 f  t f  t 5  f  t    1dt   5 dt   f  t  dt    f  t  dt   5 dt t t t  1 1 5 1   f  x  dx    f  x dx   5.3  13 x2 2.1.2 ĐỔI BIẾN DẠNG f  x Cho hàm số A f  x   B u f  u   C f  a  b  x   g  x  thỏa mãn : u  a   a  u  b   b +) Với  u  a   b  u  b   a +) Với  b  a b  b f  x  dx  g  x  dx A  B  C a f  x  dx  a b g  x  dx A  B  C a Trong đề thường bị khuyết hệ số A, B, C f  x Nếu  a; b liên tục f  x Ví dụ Cho hàm số liên tục b b a a  f  a  b  x  dx   f  x  dx  0;1 thỏa mãn f  x   6x2 f  x3   3x  Tính  f  x  dx A C 1 B D Lời giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) Biến đổi B  2 6  f  x   2.3x f  x    3x  3x  với A  , f  x   x f  x3    1 f  x  dx   dx     2  3x  Áp dụng cơng thức ta có: Cách 2: (Dùng cơng thức biến đổi – không nhớ công thức) 1   f  x  dx   3x f  x  dx  6  dx f  x   6x f  x   x  x  0 Từ Đặt u  x  du  3x dx ; Với x   u  x   u  Khi  1 0  3x f  x  dx   f  u  du   f  x  dx 1 0 f  x  dx   f  x  dx  6  Ví dụ Xét hàm số f  x thay vào  * , ta được: 1 dx   f  x  dx   dx  3x  3x  0 liên tục  0;1 xf  x   f  x  1   x Tích phân I   f  x  dx thỏa mãn điều kiện A I  B I  C  20 I  D I   16 Lời giải Chọn C x f  x   f  x  1  1 1  x   xf  x  dx  3 f   x  dx    x dx 2 0 Từ +) Đặt u  x  du  xdx ; Với x   u  x   u  1    xf  x  dx   f  u  du   f  x  dx  1 0 Khi +) Đặt t   x  dt  dx ; Với x   t  x   t  Khi Thay  1 0 f   x  dx   f  t  dt   f  x  dx  1 ,   vào   ta được: 1 2 f  x  dx  3 f  x  dx    x dx    2 0  f  x  dx    x dx  50 20  0; 2 thỏa mãn điều kiện f  x   f   x   x Tính Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục giá trị tích phân I   f  x  dx I B A I  4 C I D I  Lời giải Chọn D Cách 1: (Dùng công thức) f  x  f   x  2x Với ta có A  ; B  , suy ra:  I   f  x  dx  2 x dx  x  11 2 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) 2   f  x  dx   f   x  dx   xdx f  x  f   x  2x  (*) 0 Từ Đặt u   x  du   dx ; Với x   u  x   u  Suy  f   x  dx   f  u  du   f  x  dx 2  f  x  dx    f  x  dx  Thay vào (*), ta f  x  0;1 thỏa mãn f  x   f   x    x Tích Ví dụ Xét hàm số liên tục đoạn phân  f  x  dx A B C 15 10 D Lời giải Chọn C Đặt t   x  dx  dt Suy  0 1 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx 0 f  x  f   x  1 x Suy  5 f  x  dx    xdx   0  x2 f  ax  b  dx   f  x  f  1 x  1 x 1 suy ra: hàm f  x 1 số Khi đó: 2 f  x  dx  3 f   x  dx    xdx 1 f  x  dx  2 f  x  dx  3 f   x  dx    xdx  50 ax2  b ax1  b x1 Ví dụ Xét  f  x  dx  15  Chú ý: Ta dùng công thức Từ  1 x liên tục f  x  dx    1; 2  f  x  dx  15 thỏa mãn f  x   xf  x    f   x   x I Tính giá trị tích phân I B A I   f  x  dx 1 C I  D I  15 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) f  x    x  f  x    f   x   x3 Với: Ta có: u  1  1  A  1; B  1; C  u  x  thỏa mãn u    Khi áp dụng cơng thức có: I  x4 f  x  x dx    1 3 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) f  x   xf  x    f   x   x Từ 1 1 2 1 1   f  x  dx   x f  x   dx   f   x  dx   x 3dx 1 1  * +) Đặt u  x   du  xdx ; với x  1  u  1 x   u  2 2  x f  x   dx   f  u  du   f  x  dx  1 1 1 Khi 1 +) Đặt t   x  dt  dx ; Với x  1  t  x   t  1 Khi 2 1 1 1  f   x  dx   f  t  dt   f  x  dx   11 Thay  1 ,   vào I   f  x  dx  ta được: y  f  x Ví dụ Cho hàm số  * 2 1 1  f  x  dx  15   f  x  dx  thỏa mãn a b c f  x   x3 f  x   x3 x2  0 Tích phân a b ; với a, b, c  ¢ c c tối giản Tính a  b  c B 4 A C D 10 Lời giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức) Biến x3 f  x   x3 f  x   đổi x2  x3   f  x    x  f  x    x2  A  1; B  2  Áp dụng cơng thức ta có: f  x  dx  với 1  x3  x 3dx  dx    0 x  1   2  0  x2   2 Đặt t  x   t  x   tdt  xdx ; Với x   t  x   t  Khi đó:   f  x  dx   0 x2 x 1 2  xdx   t3  t 1   t tdt    t  1 dt t  1 2  2 a b c Suy a  2; b  1; c   a  b  c  Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) f  x   x3 f  x   Từ 1   f  x  dx  2 x f  x  dx   x3 0 x2  x3 x2  0 dx  (*) Đặt u  x  du  x dx ; Với x   u  x   u  Khi 1 0  4x f  x  dx   f  u  du   f  x  dx 1 0  f  x  dx  2 f  x  dx   x x2  1 dx    thay vào (*), ta được: x3 f  x  dx   dx x2  2 Đặt t  x   t  x   tdt  xdx ; Với x   t  x   t  Khi đó:   f  x  dx   0 x2 x 1 xdx    t3  t 1 tdt    t  1 dt    t  t  1 a b c Suy a  2; b  1; c   a  b  c  12 2  2 Ví dụ Cho hàm số f  x liên tục đoạn   ln 2;ln 2 thõa mãn f  x  f  x  e 1 x ln  f  x  dx  a ln  b ln Biết P A , vi a, b Ô Tớnh giỏ tr ca P  a  b  ln 2 B P  2 C P  1 D P  Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng công thức f  x  f  x  e 1 A  1; B  , ta có ln ln ln dx dx f x d x     x x      ln e   ln e   ln Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến không nhớ công thức ln ln ln dx f  x  f  x  x   f  x  dx   f   x  dx   x  * e   ln e 1  ln  ln Từ Với x suy Đặt u   x  du  dx ln    ln  f  u  du   ln ln 2 ln f   x  dx  ln dx  e   ln  ln  ln  f  x  dx thay vào ln dx f  x  dx   x  ln e   ln ln  f  x  dx   ln x  * ta được: x x Đặt t  e  dt  e dx Với x   ln  t  ln , x  ln  t  2 ln 2 2 dx e x dx dt t   x   x x   ln  ln e  t t  t  e e       ln  ln ln Khi ú: ln a ,bÔ 1 f  x  dx  ln  a ln  b ln  a  , b  2  P  ab  2.1.3 ĐỔI BIẾN DẠNG Cách giải: Lần lượt đặt t  u x ẩn   ) để suy hàm số Các kết đặc biệt: f x Cho f  x t  v x (nếu để giải hệ phương trình hai ẩn (trong có u x  x A f  ax  b  B f  ax  c  g x cần đặt lần với  x  b  x c A.g  B.g   a  a     f  x  A2  B2 (*) +)Hệ (*): A f  x  B f   x  g x  f  x  13 A2  B2 ) A.g x  B.g  x A2  B2 t  v x ) +)Hệ (*): A f  x  B f   x  g x  f  x  g x A B g x hàm số chẵn f  x 1 I dx f  x   f    3x x y  f  x  x Ví dụ Cho hàm số liên tục ¡ Tính A I B I  C I với D I  1 Lời giải Chọn A Đặt, t 1 x x t điều kiện trở thành 1 1 f   f  t    f  x   f   t t x x 1 f  x  f   f  x  f x x   Hay , kết hợp với điều kiện f  x f  x I f  x    3x   1  x x x x 1    3x x Suy :    2  dx     1dx    x   1 x   x  2 Chọn B 1   ;3 y  f  x Ví dụ (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số liên tục   thỏa mãn f  x I  dx 1  f  x   x f    x  x x  x  x Giá trị tích phân 16 A B C D Lờigiải Chọn A 1 x   dx   d t t t + Đặt 1 x   t  3; x   t  3 + Đổi cận: 1 1 f  f   f  x t t I  dx      dt     dt 1 t x x t 1  3 t t + Ta có Suy ra: 1 1 3 f  f  x   x f  3   f  x x  x  1  x  1 16 x x   2I   dx   dx   dx   dx    x  1 dx  x  x  1 x  x  1 x x x 1 1 1 3 3 3 Vậy I 14 y  f  x Ví dụ Cho hàm số I thỏa mãn f   x   2018 f  x   x sin x   f  x  dx  Tính giá trị liên tục ¡ 2 I  2019 A B I 1009 C I  2019 D I 1009 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) f   x   2018 f  x   x sin x Với ta có A  1; B  2018  I   Suy Cách 2: f  x  dx  1  2018   x sin xdx  Casio  2019  Đáp án C g  x  f x    A f  x   Bf   x   g  x  A  B với g  x  hàm số Áp dụng Hệ 2: chẵn x sin x f   x   2018 f  x   x sin x  f  x   2019 Ta có  I   f  x  dx  Ví dụ Cho hàm số 2019   x sin xdx  y  f  x f  x   f   x   12 x Casio  có 2019 đạo  hàm Đáp án C liên tục ¡ , thỏa mãn y  f  x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ A y  x  B y  x  C y  x  D y  x  Lời giải Chọn C Áp dụng kết A f  ax  b   B f   ax  c   g  x  A2  B ) “Cho (với  x b   xc  A.g   B.g   a  a    f  x  A2  B ” Ta có x  x 1  2.g   g   2  2   f  x  22  f  x   f   x   12 x  g  x   x   x  1  x2  x 1 15  f  1   f   1  Suy  , phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  x  f  x Ví dụ Cho  f  x  dx  2022 hàm số chẵn, liên tục ¡ thỏa mãn hàm số liên tục ¡ thỏa mãn g  x  g  x  g  x , x  ¡ Tính tích phân I  f  x  g  x  dx 1 A I  2022 B 1009 I C I  4036 D I  1008 Lời giải Chọn A Áp dụng Hệ h  x A.g  x   B.g   x   h  x   g  x   A  B h  x với hàm số chẵn 1 g  x  g  x   h  x  g  x  11  Ta có: f  x Kết hợp với điều kiện hàm số chẵn, ta có: 1 1 I   f  x  g  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2022 1 1 f  x Chú ý: Nếu Ví dụ Cho hàm số chẵn, liên tục hàm số f  x liên tục a   a; a    a   ln 2;ln 2 đoạn a f  x  dx  2 f  x  dx thỏa mãn f  x  f  x  x e 1 ln Biết A  f  x  dx  a ln  b ln a; b Ô Tớnh P a  b  ln P B P  2 C P  1 D P  Lời giải Chọn A ln I  f  x  dx Gọi t   x  d t   dx Đặt Đổi cận: Với x   ln  t  ln ; Với x  ln  t   ln  ln I  Ta  ln  f  t  dt   f  t  dt   ln ln ln Khi ta có: 2I ln    ln f  x  dx  ln  f   x  dx  ln ln  f   x  dx   ln ln   ln 16  f  x   f   x   dx  ln dx e 1  ln  x ln dx x e  Xét  ln Đặt u  e   du  e x dx x u 2; x  ln  u  Đổi cận: Với x   ln  ln ln ln ex  d x   du dx  x x x  u  u  1 e   ln e  e  1  ln  ln Ta ln   1   du   ln u  ln u   u u 1  ln   ln  a 1 b  0 ab  2, Vậy ta có Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) f  x  f  1 x  x 1 x Từ Casio  0,    Suy    15 Đặt 1 0  2 f  x  dx  3 f   x  dx   x  xdx u   x  du  dx ; Với x   u  x   u  1 0 f  1 x  dx   f  u  du   f  x  dx thay vào   , ta được: 4 5 f  x  dx    f  x  dx  15 75 0 2.1.4 ĐỔI BIẾN DẠNG Dùng tích chất đặc biệt hàm số chẵn, hàm số lẻ y  f  x Ví dụ Cho hàm số A I  10 biết  f   x  dx  2  f  2 x  dx  hàm lẻ liên tục  4; 4 Tính I   f  x  dx B I  6 C I  D I  10 Lời giải Chọn B x2 f  ax  b  dx   a x2  f  ax  dx Cách 1: Sử dụng công thức: f  x  a; a với hàm số lẻ đoạn Áp dụng, ta có: 4 2   f  2 x  dx    f  x  dx   f  x  dx  2 4  x1  2 2  f   x  dx   f  x    f  x  2 Suy ra: x1  2 4 a tính chất f  x  dx    f  x  2 4 4 2 0   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 17  f  x  dx  a   8  2  f  x  dx   f  x  dx  I        I  I  6  f   x  dx  Cách 2: Xét tích phân Đặt  x  t  dx  dt 2 Đổi cận: x  2 t  ; x  t  2 0  2 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt    f  x  dx  Do hàm số Do y  f  x f  2 x    f  x  hàm số lẻ nên 2 1  f  2 x  dx    f  x  dx   f  x  dx  4  f  x  dx Xét Đặt 2x  t  dx  dt Đổi cận: x  t  ; x  t  4   f  t  dt  8   f  x  dx  8 Do  f  x  dx   f  t  dt  4 22 4 0 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    6 Ví dụ (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn y  f  x liên tục ¡  1 f  2x dx   5x Giá trị A  f  x  dx bằng: B C D 16 Lời giải Chọn D f  2x f  2x  f  2x  d x  8  d x 1  5x 0  5x dx x    +) Ta có (1) f  2x I dx  5x 1 Xét : Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: x  1  t  x   t  Khi 1 t f  2t  f  2t  f  2t   d t  dt I   d t   t t   t  5  1  0 y  f  x f 2t   f  2t  t  ¡ Vì hàm chẵn ¡ nên  , 18 x 5t f  2t  f  2x  d t  dx t x    0 I  Do Thay vào (1) thu x x 1 f  2x  f  2x   1 f  x  dx  f  x  dx 8 x dx   d x  x 0 0 5x  1 0 1 1  f  2x  d  2x     20  f  t  dt  16 2.1.4 ĐỔI BIẾN DẠNG y  f  x “ Cho hàm số g f  x   x thỏa mãn g t hàm đơn điệu ( đồng b I   f  x dx biến nghịch biến) R Hãy tính tích phân y  f  x  x  g y  dx  g  y dy Cách giải: Đặt  x  a  g y  a  y    x  b  g y  b  y   Đổi cận  Suy b  a  a “ I   f  x dx   yg y dy f  x Ví dụ Cho hàm số f  x  f  x  x, x R R liên tục thỏa mãn Tính I   f  x dx A I  I B C I D I Lời giải Chọn D y  f  x  x  y3  y  dx   3y2  1 dy Đặt  x   y3  y   y    Đổi cận  x   y  y   y  Khi     I   f  x dx   y 3y2  dy   3y3  y dy  Ví dụ Cho hàm số f  x liên tục ¡ thỏa mãn  đáp án D f  x   f  x   f  x   x x  ¡ , Tính tích phân I   f  x  dx I A B I C I  12 D I Lời giải Chọn B y  f  x   x  y  y  y  dx   y  y  1 dy Đặt Đổi cận: x   y3  y  y   y  với x   y  3y  y   y  19 1 0 I   f  x  dx   y.6  y  y  1 dy  6  y  y  y  dy  Khi 2.1.5 ĐỔI BIẾN DẠNG b Bài toán: “ Cho Chứng minh: f  x f  a  b  x  k I  , a dx ba  k  f  x 2k dt   dx   k2 f x     f  t t  a  b  x  Đặt x  a  t  b ; x  b  t  a b b b dx dx f  x  dx I    k2 k  f  x a k a k  f  x  a k f  t Khi b 2I   a b b dx f  x  dx 1     dx   b  a   I  b  a k  f  x k a k  f  x k a k 2k Ví dụ Cho hàm số f  x liên tục nhận giá trị dương dx I  x   0;1 1 f  x Tính giá trí A B  0;1 Biết f  x  f   x   với C D Lời giải Chọn B Ta có: 1 f  x  f  x f  1 x  f  x  f  x 1 f  x  f 1 x 1 dx 1 f  x I  Xét t   x  x   t  dx  dt Đổi cận: x   t  ; x   t  Đặt 1 f  x  dx dt dt dx I      1 f  1 t  1 f  1 t  1 f  1 x 1 f  x Khi 1 f  x  dx 1  f  x  dx   d x  0  f  x  0  f  x  0  f (t ) 0 dx  I 2 I  Mặt khác hay Vậy y  f  x f   x  f  x ¡ Ví dụ Cho hàm số  xf  x  dx  5 A liên tục thỏa mãn  f  x  dx Tính tích phân B C Lời giải Chọn A Đặt t   x  dt  dx x   t  ; x   t  20 11 D Biết 3 3   xf  x  dx     t  f   t  dt     x  f   x  dx     x  f  x  dx Khi đó: 1 3 1 10   xf  x  dx     x  f  x  dx  4 f  x  dx  Suy ra: y  f  x Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục R a dx I  f  x f  a  x  1 f  x Biết , tính tích phân A a I B I  2a C I a x  [0; a] ( a  ) D I a Lời giải: a dx 1 f  x I  (1) Đặt t  a  x  dt   dx Đổi cận: a a dt 1  I    dt   dx 1 f  a  t  1 f  a  t  1 f  a  x  a 0 (2) (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân)    2I      dx  f x  f a  x     0  (1) + (2) a a 1 f  a  x  1  f  x  f  a  x  f  x  dx   dx   dx  a 1 f  x f  a  x  f  x  f  a  x  f  a  x  f  x 0 I a Chọn A f  x Ví dụ Cho a dx  1 f  x  f  x  f  a  x    0; a    f  x   0, x   0; a  hàm liên tục đoạn thỏa mãn   ba , c b hai số nguyên dương c phân số tối giản b , c Khi b  c có giá trị thuộc khoảng đây?  11; 22   0;9   7; 21 D  2017; 2022  A B C Lời giải Chọn B Cách Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x   t  a; x  a  t  a a a a f  x  dx dx dt dx dx I      1 f  x a 1 f  a  t  1 f  a  x 1 1 f  x 0 f  x Lúc a a f  x  dx a dx 2I  I  I     1dx  a  f  x  0  f  x  0 Suy Do I a  b  1; c   b  c  21 Cách Chọn f  x  hàm thỏa giả thiết I  a  b  1; c   b  c  Dễ dàng tính 2.2 Hiệu đề tài Sau toán thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt Khi sử dụng vào đề ôn tập cho học sinh hệ thống tập nâng cao kĩ ứng dụng đánh giá vào việc xử lý tốn tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua dạng toán vừa nêu ta thấy ưu điểm việc ứng dụng phép đổi biến vào hệ thống tập đa dạng sử dụng cho học sinh ôn thi TN THPT quốc gia 3.2 Kiến nghị Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực bổ ích nhà trường Giúp em học sinh có thêm hệ thống tập ôn luyện đạt kết cao kì thi TN THPT quốc gia Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 TRƯỞNG CAM KẾT KHÔNG COPY Giáo viên Nguyễn Văn Chinh 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi THPT quốc gia từ năm 2016 đến 2022 Báo Toán học tuổi trẻ Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn-Tích phân Tác giả: Trần Phương-Lê Hồng Đức SGK, sách Bài tập giải tích lớp 12 – CB, NC 23 ... phép đổi biến linh hoạt cho dạng cụ thể, học sinh phát triển cách phong phú giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu dạng tốn Đó lí để tơi chọn đề tài : “ Một số dạng tập tính tích phân hàm ẩn phương. .. xử lý toán tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua dạng toán vừa nêu ta thấy ưu điểm việc ứng dụng phép đổi biến vào hệ thống tập đa dạng sử dụng cho... x  dx  15 75 0 2.1.4 ĐỔI BIẾN DẠNG Dùng tích chất đặc biệt hàm số chẵn, hàm số lẻ y  f  x Ví dụ Cho hàm số A I  10 biết  f   x  dx  2  f  2 x  dx  hàm lẻ liên tục  4; 4