DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH QUY TẮC ĐẠM HÀM THƯƠNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM LOGARIT ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM KHÁC DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 2 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 3 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 4 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 5 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 6 DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TRƯỜNG HỢP RIÊNG DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1
Tài Liệu Ơn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP TRANG QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN 15 ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ 18 ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM LÔGARIT 19 ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM KHÁC 21 DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 22 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 22 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 28 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 39 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 49 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 51 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 53 DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 55 TRƯỜNG HỢP RIÊNG 68 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net 78 Trang Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐIỂN HÌNH Câu DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH Nếu = ( ) = ( ) ( )′ = ′ + ′; Nếu [ ( ) ( )]′ = ℎ( ) ( ) ( ) = ∫ ℎ( ) Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục khoảng (0; +∞) thỏa mãn điều kiện (1) = − ′( ) = ( ) − 1, ∀ > Giá trị (2) A B C D Lời giải Chọn B +)Từ giả thiết, ta có − ′( ) = ( ) − ⇒ ′( ) + ( ) = + ( )]′ = + ⇒ ⇒[ Câu ( )= ( + 1) ⇒ ( )=2 + + +) Lại có (1) = ⇒ = ⇒ ( ) = + ⇒ (2) = Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục khoảng (−1; +∞) thỏa mãn đẳng thức ( ) + ( − ) ′( ) = với ∈ (−1; +∞) Giá trị (0) √ A (0) = − √3 B (0) = − √3 C (0) = √3 Lời giải D (0) = − √3 Chọn A +) Từ giả thiết, ta có ( ) + ( 1)2 ( ⇒ Câu 3 ( ) ⇒( 1 1)2 + 1 ′ ( ) = ⇒ 1 ⇒ ( )=∫ ′ 2 ( )+ 2 ⇒ 3 1 1 ⇒ ( ) + ( − 1)( + 1) ′( ) = ′( ) = ( )=√ +3+ (∗) +) Lại có (∗) thỏa mãn với ∈ (−1; +∞) nên thay = vào (∗) ta có = −2 Suy ( ) = √ + − Do (0) = − √3 Cho hàm số ( ) thỏa mãn [ ′( )] + ( ) ′′( ) = + với ∈ ℝ (0) = Giá trị (1) 16 A B C 15 D 15 Lời giải Chọn C Ta có: [ ′( )]2 + ( ) ′′( ) = [ ( ) ′( )]′ Từ giả thiết ta có: [ ( ) ′( )]′ = + Suy ra: ( ) ′( ) = ∫(4 + ) = + + Với (0) = ⇒ = Nên ta có: ( ) ′( ) = + Suy ra: ∫0 ( ) ′( ) Câu ′( ) = − 1) ′ ( ) = = ∫0 ( + 2) ⇔ 2( ) = 15 ⇒ 2( 16 1) = 15 Cho hàm số ( ) xác định (1 ; +∞), thỏa mãn ( − 1) ′( ) + ( ) = , biết (2) = ( ) Tính ∫5 d A B C D Lời giải Chọn C Ta biến đổi: ( − 1) ′( ) + ( ) = (bên vế trái gợi ý ta đưa đạo hàm ( )′ ) ⇒ ( − 1) ′ ( ) + ( − 1) ′ ( ) = ⇒ [( − 1) ( )]′ = , ta lấy nguyên hàm hai vế được: ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang Tài Liệu Ơn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A ( − 1) ( ) = ∫ ⇒ ( )= ⇒ ( )= 1 d ⇒ ( − 1) ( ) = , ta có (2) = ⇔ + = ( ) d ∫5 −∫ ⇔ d = 1( − 1) + = = Cho hàm số ( ) thỏa mãn [ ′( )]2 + ( ) ′′( ) = 15 Giá trị (1) A B C Tính Câu + Tích Phân Hàm Ẩn = ∫5 d = + 12 với ∈ ℝ (0) = ′(0) = D 10 Lời giải Chọn C Nhận xét: [ ( ) ′( )]′ = [ ′( )]2 + ( ) ′′( ) Từ suy ra: [ ( ) ′( )]′ = 15 + 12 Tiến hành lấy nguyên hàm hai vế ta được: ( ) ′( ) = + + Mà (0) = ′(0) = nên suy = ⇒ ( ) ′( ) = + + 2( ) ( ) ′( ) ⇒ = ( + + 1) ⇔ = +2 3+ + ′ 2 = vào hai vế ta được: Thay Câu (0) = ′⇒ ′=2 Suy ra: ( ) = + + + ⇒ (1) = Cho hàm số ( ) thỏa mãn [ ′( )] + = [1 − ( ) ′′( )] với dương Biết (1) = ′(1) = Giá trị (2) A (2) = √2ln2 + B (2) = 2ln2 + C (2) = ln2 + D (2) = √ln2 + Lời giải Chọn B Ta có:[ ′( )]2 + = [1 − ( ) "( )]; > ⇔ [ ′( )]2 + = [1 − ( ) "( )] ⇔ [ ′( )]2 + = − ( ) "( ) 1 ⇔ [ ′( )]2 + ( ) "( ) = − ⇔ [ ( ) ′( )]′ = − 1 Do đó: ∫[ ( ) ′( )]′ d = ∫ − d ⇒ ( ) ′( ) = + + Vì (1) = ′(1) = ⇒ = + ⇔ = −1 1 Nên∫ ( ) ′( ) d = ∫ + − d ⇔ ∫ ( ) d ( ) = ∫ + − d ⇒ Câu 2( ) 2( = 2 + ln − ) + 1 Vì (1) = ⇒ = − + ⇔ = Vậy = + ln − + ⇒ (2) = 2ln2 + Cho hàm số = ( ) có đạo hàm cấp (0; +∞) thỏa mãn ′( ) − ( ) = √ cos ∀ ∈ (0; +∞), (4 ) = Giá trị biểu thức (9 ) A B −3√ C −√ D −2√ Lời giải Chọn B 1 ( ) = cos Do ∈ (0; +∞) phương trình cho tương đương: ′( ) − 2 √ ⇒ ∫4 ⇒ 3√ ′( ) √ (9 ) − ∫4 −2 1 (4 ) = −1 ⇒ (9 ) = 3√ 2√ √ ( ) d = cos d ⇒ 2√ √ ( ) −1 √ = −1 = −3√ ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu Tích Phân Hàm Ẩn Cho hàm số ( ) thỏa mãn (1) = A 71 B 59 ′( ) + ( ) = với > Tính ∫4 ( ) d C 136 D 21 Lời giải Chọn A ′( ) + ( ) = ⇔ √ Ta có ′( ) + 2√ ( ) = 3√ ⇔ √ ′ ( ) = 3√ Do √ ( ) = ∫ 3√ d = √ + Từ (1) = ⇒ = ⇒ ( ) = + √ ( ) d = ∫4 + d = 71 Cho hàm số ( ) liên tục (0; +∞) thỏa mãn: ( ) − ′( ) = 2 ( ), với ( ) ≠ 0, ∀x ∈ (0; +∞) (1) = Gọi , giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số = ( ) [1; 2] Tính + 21 A 10 B 10 C D Lời giải Chọn C Ta có ( ) − ′( ) = 2 ( ) ⇔ ( ) − ′( ) = ( ) ′ 3 ( ) − ′( ) ⇔ =2 ⇔ =2 2( ) ( ) Vậy Câu 9 ∫4 √ ′ 3 dx = ( ) dx ⇔ Do (1) = ⇒ 1 ( ) =3⇒ = + = Vậy (x) = 2 Tìm = (2) = , = (1) = ⇒ + = Câu 10 Cho hàm số ( ) liên tục \{0; −1},thỏa mãn ( + 1) ( ) + ( ) = + ∈ \{0; −1} (1) = −2ln2.Biết (2) = + ln3 với , ∈ , tính = + 13 A = B = C = D = với Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có ′ Nhận thấy ′ ( )+( ( )+( 1)2 1)2 = = , ∀ ∈ \{0; −1} ′ ( ) , ∀ ∈ \{0; −1} Do giả thiết tương đương với ( ) ′ = Suy ( ) 1 , ∀ ∈ \{0; −1} =∫ Mà (1) = −2ln2 ⇒ =∫ 1− = −1 → ( ) = − ln| + 1| + 1 = − ln| + 1| − 3 Cho = ta (2) = − ln3 − ⇒ (2) = − ln3 → Vậy = 3 = ; = − ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 11 Cho hai hàm ( ) ( ) có đạo hàm [1; 2] thỏa mãn (1) = (1) = ( ) + 2017 = ( + 1) ′( ) ( 1)2 , ∀ ∈ [1; 2] Tính tích phân = ∫1 ( )− ′( ) + ( ) = 2018 1 ( ) A = B = C = D = Lời giải Chọn A 1)2 ( Từ giả thiết ta có: 1 ( )− ′( ) + ′( ) = −2017 , ∀ ∈ [1; 2] ( ) = 2018 Suy ra: ( ( )+ 1)2 ⇒ ( )− 1 ′( ) − 1 ( )= ′( ) − 1 ( ) − ′ ( ) =1 + Mà (1) = (1) = ⇒ ′ ( ) =1⇔ = −1 ⇒ = ∫1 ( )− ( ) = ∫1 ( − 1) = Câu 12 Cho hàm số ( ) liên tục có đạo hàm 0; , thỏa mãn hệ thức ( ) + tan ′( ) = cos3 Biết √3 + A = − − = B √3 + ln3 , = − ∈ ℚ Tính giá trị biểu thức = C D = 14 = Lời giải Chọn A Từ giả thiết, ta có cos ( ) + sin ′( ) = cos2 ⇔ [sin ( )]′ = cos2 Suy sin ( ) = ∫ cos2 d = tan + ln|cos | + Với = Với = ⇒ √3 ⇒2 Suy √3 − = √3 − ln2 + = √3 + ln3 − ln2 + = 3 √3 − 2ln2 + ⇒ = √3 + ln3 − 2ln2 + 5 ⇒ √3 = √3 − ln3 ⇒ =9 ⇒ = + = − = −1 Câu 13 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục [0; 1] thỏa mãn ( ) + ′( ) ≥ [0; 1] Tìm giá trị nhỏ ∫ ( ) d 1 A 2018.2020 B 2019.2020 C 2020.2021 Lời giải ∀ ∈ D 2019.2021 Chọn D 2021 Xét hàm số: ( ) = ( ) − 2021 [0; 1] Ta có: ′( ) = ( ) + ′( ) − 2020 = [3 ( ) + ′( ) − 2018 ] ≥ ∀ ∈ [0; 1] Do ( ) hàm số khơng giảm [0; 1], suy ( ) ≥ (0) ∀ ∈ [0; 1] Hay ( )− 2021 2021 ≥ 0, ∀ ∈ [0; 1] ⇔ ( ) ≥ 2018 2021 ≥ 0, ∀ ∈ [0; 1] ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2018 Vậy: ∫0 ( ) d ≥ ∫0 Tích Phân Hàm Ẩn d = 2019.2021 2021 2018 Đẳng thức xảy ( ) = 2021 QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG = ( ) Nếu ( ) ′ - Nếu - Nếu ( ) ( ) = ( ) ( ) ′ = ′ = ′ = ∫ ℎ( ) ′ = ( ) Hệ quả: Nếu ′ ( ) = ℎ( ) ( ) ′ = ( ) ≠ với ≠ với =∫ ( ) Câu 14 Cho hàm số ( )thỏa mãn (2) = − ′( ) = [ ( )] , ∀ ∈ ℝ Giá trị (1) 35 A − 36 19 B − C − 36 Lời giải D − 15 Chọn B ′( ) +)Ta có ′( ) = [ ( )]2 ⇒ [ ⇒ ( ) =− )]2 ( ′ =2 ⇒ = −2 ⇒ ( ) ( ) = −∫2 + +) Lại có (2) = − ⇒ = −2 ⇒ ( ) =− 2 − ⇒ ( 1) = − Câu 15 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục khoảng (0 ; +∞) thỏa mãn ′( ) + ( ) = ( ) ≠ 0, ∀ ∈ (0 ; +∞) Tính (2) biết (1) = e A (2) = e2 B (2) = √ e C (2) = 2e2 D (2) = √e Lời giải Chọn D Ta có ( ) ≠ 0, ∀ ∈ (0 ; +∞) ⇒ ( ) = khơng có nghiệm khoảng (0 ; +∞) ⇒ ( ) = khơng có nghiệm khoảng (1 ; 2) ⇒ (1) (2) > 0, ∀ ∈ (1 ; 2) Mà (1) = e > nên (2) > ′( ) Do ′( ) + ( ) = ⇔ = − ( ) ′( ) Suy ∫1 ⇔− 2 d = − ∫1 ( d ⇔− ) 2 = −ln| ( )| 1 − = −(ln| (2)| − ln| (1)|) ⇔ = −[ln (2) − lne] 1 ⇔ = −ln (2) + ⇔ ln (2) = ⇔ (2) = e2 = √e Câu 16 Cho hàm số ( ) thỏa mãn (1) = ′( ) = [ A ( )] với ∈ ℝ Giá trị (2) 16 B C Lời giải D 16 Chọn B +) Từ giả thiết, ta có +) Lại có (1) = ⇒ ′( ) 2( = ) = 10 ⇒ ⇒ ( ) ( ) = ′ =− 3 10 ⇒ ⇒ (2) ( = −∫ ) 2 =− 3 + = ⇒ ( 2) = Câu 17 Cho hàm số ( ) thỏa mãn điều kiện (1) = 2, ( ) ≠ 0, ∀ > ( [ ( )] ( − 1) với > Giá trị (2) 2 5 A B − C − D Lời giải Chọn D + 1) ′ ( ) = ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang Tài Liệu Ơn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ta có ( + 1)2 ′( ) = [ ( )]2 ( − 1) ⇔ [ ′( ) ( )]2 = Tích Phân Hàm Ẩn 2 ∀ ∈ [1; 2] (∗) Lấy tích phân vế (*) [1; 2] ta 2 ′( ) d = [ ( )]2 −1 d ⇔ − = ( + 1) ( ) 1 + d + 1 (2) 1− + 1 1 ⇔− + = ( 2) ( 1) ⇔− 2 1 1 + =− ( 2) ⇔− 2d + 1 + = − + ⇔ ( 2) = Câu 18 Cho hàm số = ( ) liên tục nhận giá trị dương đoạn 0; thỏa mãn ′( ) = tan ( ), ∀ ∈ 0; , (0) = Khi ∫ cos ( )d A C ln B D Lời giải Chọn B Từ ′( ) = tan ( ), ∀ ∈ 0; ( ) ( ) ⇒∫ ⇒∫ ( ) liên tục nhận giá trị dương đoạn 0; , ta có: = tan , ∀ ∈ 0; ( ) ( ) ( ) ( ) d = ∫ tan d , ∀ ∈ 0; d =∫ d , ∀ ∈ 0; ⇒ ln ( ) = −ln(cos ) + , ∀ ∈ 0; Mà (0) = nên suy ln (0) = −ln(cos0) + ⇒ = Như ln ( ) = −ln(cos ) ⇒ ( ) = , ∀ ∈ 0; Từ = ∫04 cos ( )d = ∫04 cos cos d = ∫04 d = Câu 19 Cho hàm số ( ) thỏa mãn (1) = ( + 3)2 ′( ) = (3) A B C 2019 Lời giải Chọn D Vì ( + 3)2 ′( ) = ( ); ( ) ≠ 0, ∀ ∈ ℝ nên ′( ) ⇒ = ( ) ( ⇒ + 3)2 ′( ) d = 2( ) d ⇔ ( + 3)2 1 ( ); ( ) ≠ 0, ∀ ∈ ℝ Giá trị D 12 d ( ) = 2( ) d( + 3) ( + 3)2 1 1 1 1 1 ⇔− =− ⇔ − = − ⇔ − = − ( ) +3 (1) (3) 12 (3) 12 ⇔ (3) = 12 ( ) + (2 − 1) ( ) = Câu 20 Cho hàm số = ( ) xác định liên tục ℝ\{0} thỏa mãn: ′( ) − với ∀ ∈ ℝ\{0} đồng thời (1) = −2 Tính ∫ ( ) A −ln2 − B −ln2 − C − − D − − Lời giải Chọn B ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có ∀ ∈ ℝ\{0}; ⇔( ( ) + (2 − 1) ( ) = ( ) + 1) = ( ) + Đặt ℎ( ) = Tích Phân Hàm Ẩn ( ) −1 ′( ) (∗) ( ) + ⇒ h′(x) = ( ) + ′( ) Khi (*) có dạng ℎ ( ) = ℎ′( ) ⇒ ⇒ ℎ( ) = − ℎ′( ) =1⇒ ℎ ( ) + ℎ′( ) ℎ ( ) ( ) Vậy ∫ =∫ − = ℎ( ) ⇒− = Suy ( ) = − ⇔ − + + ⇒ ( )+1=− Vì (1) = −2 nên −2 + = − = − − ln| | = −ln2 − = Câu 21 Cho hàm số ( ) có đạo hàm cấp hai đoạn [0; 1] đồng thời thỏa mãn điều kiện ′(0) = −1; ′( ) < [ ′( )]2 = ′′( ), ∀ ∈ [0; 1] Giá trị (0) − (1) thuộc khoảng nào? A (1; 2) B (−1; 0) C (0; 1) D (−2; −1) Lời giải Chọn C ′′( ) ′′( ) Ta có [ ′( )]2 = ′′( ) ⇔ [ ′( )]2 = ⇔ ∫ [ ′( )]2 d = ∫ d ⇔ ∫[ ′( )] d[ ′( )] = Mà ′(0) = −1 ⇒ 1 = + ⇔ ⇔ ′( ) =1⇒ = ′( ) + = + ⇒ ′( ) = d Ta có (0) − (1) = ∫1 ′( )d = ∫0 = ln2 ∈ (0; 1) Câu 22 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] đồng thời thỏa mãn ′(0) = ′′( ) + [ ′( ) − ] = Tính = (1) − (0) A = + 9ln2 B = C = + 9ln2 D = − 9ln2 Lời giải Chọn C ′′( ) 1 Ta có ′′( ) + [ ′( ) − ]2 = ⇒ 9( ′′( ) − 1) = −[ ′( ) − ]2 ⇒ − [ ′( ) ]2 = Lấy nguyên hàm hai vế− ∫ [ Do ′(0) = nên Vậy ′′( ) ′( ) A d = ∫9d ⇒ = suy ′( ) − = (1) − (0) = ∫0 Câu 23 Cho hàm số ]2 + =9+ ⇒ ′( ) = d = 9ln| + 1| + = ( ), ∀ ≥ 0, thỏa mãn B = ′( ) 2 + 1 = 9ln2 + ′′( ) ( ) − 2[ ′( )]2 + ′(0) = 0; (0) = C 3( )=0 Tính (1) D Lời giải Chọn C ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ta có: ′′( ) ( ) − 2[ ′( )]2 + 3( Tích Phân Hàm Ẩn ′′( ) ( ) 2[ ′( )]2 )=0⇔ 3( =− ) ′ ′( ) ′( ) = − ⇒ = − + 2( ) 2( ) ⇒ ′(0) ⇒ (0) = − + ⇒ 2( =− ) ′( ) d =− 2( ) ⇒ = ′( ) Do 02 0 1 d ⇒− = − ( )0 ⇒− 1 + =− ( 1) ( 0) 6 ⇒ ( 1) = Câu 24 Cho hàm số = ( ) xác định liên tục ℝ\{0} thỏa mãn: ′( ) − với đồng thời (1) = Tính ∫ ( )d A −2ln2 − B −2ln2 − ( ) + (2 − 1) ( ) = C −ln2 − D −ln2 − Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta có: ( ( ) + 1) = ( ) + = ( )+1 ⇒ Đặt Vậy ( ) = = ′⇒ ′( ) =1⇒∫ − 1, mà (1) = −2 ⇒ Vậy ( ) = − dx = + ⇒ = + = ( )d = −2ln2 − − ⇒∫ Câu 25 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [1; 2] thỏa mãn (1) = − ( ) + ′( ) = ( ) + ( ), ∀ ∈ [1; 2] Giá trị tích phân ∫ A ln B ln Chọn B +) Từ giả thiết, ta có ( ) + C ln3 Lời giải ′( ) = ( ′ ⇒ = −2 − ⇒ ( ) +) Lại có (1) = − ⇒ =0⇒ + 2) 2( 1 − +1 = = ln Câu 26 Cho hàm số ( ) liên tục có đạo hàm nào? A (6; 7) sin + ′( ) + cos ∫ B (5; 6) )⇒ = (−2 − 1) ( ) ( )=− ⇒ ∫1 ( 1) ( )= ( ) D ( ) [ ′( ) ( )]2 =2 +1 ⇒ =− ( ) ( ) = ∫1 2 − + ( 1) +1 = ln ∈ (0; +∞) đồng thời thỏa mãn điều kiện: ( )sin d = −4 Khi đó, C (12; 13) Lời giải ( ) nằm khoảng D (11; 12) ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 10 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ⇒7 + ′( ) = ⇒ ( ) = − 1 ⇒ ∫0 ( )d = ∫0 − 7 =4 +4 d + , mà (1) = ⇒ Tích Phân Hàm Ẩn = Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân sau: ( ) ( ) 2( ≤ Dấu xảy ( ) = ( ), (∀ ∈ [ ; ], Ta có = ∫0 Mặt khác 3 ∫0 Từ ∫0 ( )d ′( ) ′( ) ≤ ∫0 = = ∫0 − 4 ) = Dấu xảy ′( ) = = 21 ⇒ ′( ) = −7 ⇒ 2( ∈ ℝ) ∫0 [ ′( )]2 ) suy ( ) = − 4 + +4 d = Câu 34 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn (1) = 4, ∫ [ ′( )] d = 36 ( )d = Tích phân ∫ ∫ A ( )d C Lời giải B D Chọn B Từ giả thiết: ∫ ( )d = ⇒ ∫ ( )d = d = ′( ) d = ( ) Đặt: ⇒ = d =5 d Ta có: = ∫ ( )d = = (1) − ∫ ( ) − ∫ ′( )d = 10 − ∫ ′( )d , (vì (1) = 4) Mà: = ∫ ( )d = ⇒ = 10 − ∫ ⇔ 10 ∫ ′( )d = 36 ⇔ 10 ∫ ′( ) d ′ ( )d ⇔ ∫ ′( ) d = ′( )d = ∫ [ ′( )] d , (theo giả thiết: ∫ [ ′( )] d = 36) ⇔ [10 ′( ) − [ ′( )] ]d = ⇔ Vậy: ∫ − ′( )]d = ⇒ ( )= 10 − ′( ) = ⇔ ′( ) = 10 ⇒ 10 Với (1) = ⇒ = ′( )[10 + ( )d = ∫ = Khi đó: ( ) = ⇒ + d = + + + = Câu 35 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn (2) = 3, ∫ [ ′( )] d = ( )d = Tích phân ∫ ∫ A Chọn C Từ giả thiết: ∫ Tính: = ∫ B ( )d ( )d = ⇒ ∫ C Lời giải D ( )d = ( )d ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 70 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A = ( ) d = ′( ) d ⇒ d =3 d = ( )d = ( )| − ∫ Ta có: = ∫ Tích Phân Hàm Ẩn Đặt: ( )d = ⇒ = 24 − ∫ Mà: = ∫ ′( )d , (vì (2) = 3) ′( ) d ′( )d = 23 ⇔ ⇔ ⇔ ′( )d = 24 − ∫ 23 ′( ) d = ′( )d = ∫ [ ′( )] d , (theo giả thiết: ∫ [ ′( )] d = 4) ⇔ ∫ ∫ [ ′( )] d = ⇔ ∫ ′( ) − ′( ) d = 4 ⇒ − ′( ) = ⇔ ′ ( ) = 23 23 Với (2) = ⇒ = + ⇒ = Khi đó: ( ) = + 23 + ( )d = ∫ Vậy ∫ ⇒ ( )= ′( ) − + d = + = Câu 36 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [1 ; 2] thỏa mãn ∫ ( − 1) (2) = 0, ∫ [ ′( )] d = Tính = ∫ A = ( )d = − , ( )d B = − C = − Lời giải D = Chọn B d = ′ ( )d = ( ) Đặt ta = ( − 1) d = ( − 1) d Khi ∫ ( − 1) ( )d = ( − 1) ( ) − ∫ ( − ) ′( ) d ⇒ − = − ∫ ( − 1) ′( )d ⇒ ∫ ( − 1) ′( )d = Xét ∫ [ ′( ) − ( − 1) ] d = ( ∈ ℝ) ⇔ ∫ [ ′( )] d − ∫ ( − 1) ′( )d + ⇔7−2 + =0⇔ Do (2) = nên ∫ ( − 1) d = = ⇒ ′( ) = 7( − 1) ⇒ ( ) = =− ⇒ ( )= ( Vậy = ∫ [( − 1) − 1]d = ( ) ) ( ) + − − =− Câu 37 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [1 ; 2] thỏa mãn ∫1 ( − 1)2 ( )d = − 3, 2 (2) = 0, ∫1 [ ′( )]2 d = Tính = ∫1 ( )d 7 A = B = − C = − 20 Lời giải D = 20 Chọn B d = ′( ) d = ( ) Đặt ta = ( − 1) d = ( − 1) d 2 1 Khi ∫1 ( − 1)2 ( )d = ( − 1)3 ( ) − ∫1 ( − 1)3 ′( )d ⇒ −3 = ⇒ ∫1 ( − ∫1 ( )3 ( −1 ′ −1 )3 ′( ) d )d = ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 71 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Xét ∫1 [ ′( ) − ( − 1)3 ]2 d = ( ∈ ℝ) 2 ⇔ ∫1 [ ′( )]2 d − ∫1 ( − 1)3 ′( )d ⇔7−2 + ⇒ ( )= Do (2) = nên Vậy = ∫ [( ∫1 ( − 1)6 d = = ⇒ ′ ( ) = 7( − 1) =0⇔ 1)4 7( + + = −4 ⇒ ( ) = −1 )4 1)5 ( − 1] d = 1)4 7( −4 − = − ( )có đạo hàm liên tục đoạn [1; 2] thỏa mãn (2) = 0,∫ Câu 38 Cho hàm và∫ ( − 1) ( )d = − Tính = ∫ A = − B = − ′( ) d = ( )d C = Lời giải D = − Chọn D = ∫ ( − 1) ( )d Đặt Xét: ⇒ − ( ( ) −∫ ⇒ ∫ ( − ) ′( ) d = = ( ) d = ′( )d = ( ) ⇒ ( ) d = ( − 1)d = ) ′ ( )d = − ∫ ( ) ′( ) d ⇒ − ∫ Ta có: ∫ ( − 1) d = ∫ ( ) ′ ( )d = ′( ) d = để ∫ ( ′( ) − ( − 1) ) d = Ta tìm số ( ′( ) − ( − ) ) d = ′( ) d − ⇔ ⇔ −2 + =0⇔ ′( ) ( − 1) d + ( − 1) d = = Khi đó: ∫ ′( ) − ( − ) d = ⇔ ′( ) − ( − ) = ⇔ ( ) = ( − ) + ( − 1) − d = Mà (2) = ⇒ = ⇒ ( ) = ( − 1) − ⇒ ∫ ( )d = ∫ − Câu 39 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0 ; 1] thỏa mãn (1) = 1, ∫ ∫ [ ′( )] d = Tính tích phân = ∫ A = B = ( )d = ( )d C = Lời giải D = Chọn C Xét ⇒ =∫ = ( )d Đặt ( ) − ∫ d = ′( ) d = ( ) ⇒ d = d = ′( ) d = − ∫ ′( ) d = ⇔ ∫ ′( ) d = + Xét ∫ [ ′( )] d − ∫ ′( ) d + ∫ d = (1) ⇔ − + (1) trở thành ∫ [ ′( )] d − ∫ ′( )d + ∫ d = ⇔ ∫ ( ′( ) − ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net =0⇔ = ) d = Trang 72 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ( ′( ) − ) ≥ ⇒ ∫ ( ′( ) − Tích Phân Hàm Ẩn ) d ≥ Do ∫ ( ′( ) − ) d = ⇔ ′( ) − + (1) = ⇒ ( ) = = ∫ ( )d = ∫ d = = ⇔ ′( ) = ⇒ ( ) = ∫3 d = Câu 40 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục [1; 2] thỏa mãn ∫1 ( − 2)2 ( )d = − 21, (1) = 0, ∫1 2 ′( ) d = Tính tích phân = ∫1 19 A = − 60 ( )d B = 120 13 C = − Lời giải D = 30 Chọn A d = ′( ) d = ( ) ⇒ ( 2)3 d = ( − 2) d = 2 ( 2)3 ( 2)3 ∫1 ( − 2)2 ( )d = ( ) − ∫1 ′( )d ( 2)3 1 ⇔ ∫1 ′( )d = 21 ⇔ ∫1 ( − 2)3 ′( )d = Ta có 2 2 ∫1 [ ′( ) − ( − 2)3 ]2 d = ∫1 [ ′( )]2 d − ∫1 ( − 2)3 ′( )d + ∫1 ( − 2)6 d = − + Ta có: ∫1 ( − 2)2 ( )d Đặt = ⇒ ′ ( ) − ( − 2) = ⇒ ′ ( ) = ( − 2) ⇒ ( ) = Mà (1) = ⇔ Vậy: = ∫1 2)4 ( + = − 19 ( )d = − 60 Câu 41 Cho hàm số ( ) liên tục ℝ, tích phân ∫ [ ′( )] d = , ∫ sin ( )d = Biết (0) = 0, tính A = B = √ C =− =− D √ Lời giải Chọn B Ta có ∫ sin ( )d = ( ) = ( ) Đặt ⇒ d = ′ d = −cos d = sin d Khi ∫ sin ( )d = ⇔ −cos ( )| + ∫ cos ′( )d = ⇔ ∫ cos ′( )d = Xét ∫ [ ′( ) − cos ] d = ∫ [ ′( )] d − ∫ cos ′( )d + ∫ cos = − + ∫ d =− + + d = ⇒ ∫ [ ′( ) − cos ] d = ⇒ ′( ) − cos = ⇔ ′( ) = cos Suy ( ) = sin + Mà (0) = ⇒ = Khi ( ) = sin ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 73 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A √ = sin = Vậy Tích Phân Hàm Ẩn Câu 42 Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) liên tục đoạn [0; 1] thỏa (1) = 0, ∫0 ∫0 cos 2 ′( ) dx = 1 ( )d = Tính ∫0 ( )d 2 A B C Lời giải D Chọn D d = ′( ) d = ( ) Đặt ⇒ d = cos d = sin Do ∫0 cos 2 2 ∫0 sin2 1 ( ) − ∫0 sin ⇔ sin Lại có: ( )d = ′( )d = ⇔ ∫0 sin ′( ) d = − d =2 − ′( ) ⇒ = 2 d −2 − − sin ′( ) − sin d 2 d = sin2 ′( ) d + 2 = − + =0 2 Vì − ∫0 − ′( ) − sin ≥ đoạn [0; 1] nên 2 ′( ) − sin d =0⇔− Suy ( ) = cos ∫0 cos ′( ) = sin ⇔ ′( ) = − sin mà (1) = ( ) = cos + 2 Vậy ∫0 ( )d = d = Câu 43 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn 1 ∫0 ( )d = ∫0 ′( )cos d = Tích phân ∫0 ( )d A B (0) = Biết C D Lời giải Chọn C Ta có ∫0 ′( )cos d = ∫0 cos 2 ( ) d 1 = cos = ∫0 sin Suy ∫0 sin hay ∫0 2( + sin ( )d ( )d = 2 1 ( ) ( )d Mặt khác ∫0 sin Do ∫0 2 1 d = ∫0 (1 − cos )d − ∫0 3sin ( ) − 3sin 2 )d = 2 d = suy ( ) = 3sin Vậy ∫0 ( )d = ∫0 3sin 2 ( )d + ∫0 3sin d = − cos 2 d = = ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 74 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 44 Cho hàm ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [1; 2] thỏa mãn (2) = 0, ∫1 2 ′( ) d = 45 ∫1 ( − 1) ( )d = − 30 Tính = ∫1 ( ) d 1 A = − 36 B = − 15 C = 12 Lời giải D = − 12 Chọn D = ∫1 ( − 1) ( )d Đặt Xét: ( 1)2 ( 1)2 ( 1)2 ( ) − ∫1 ( )d = − ∫1 ( )d ( )d = − ′ ′ ⇒ − ′ ∫ 2 2 30 2 2 1 ⇒ ∫1 ( − 1) ′( )d = 15 Ta có: ∫1 ( − 1) d = ∫1 ′( ) d = 45 ⇒ = 1)2 d = ′( ) d = ( ) ⇒ ( 1)2 d = ( − 1) d = ( để ∫1 ( ′( ) − ( − 1)2 )2 d = Ta tìm số ( ′ ( ) − ( − 1) ) d = 2 1 ⇔ 45 − 15 + 2 = Mà (2) = ⇒ = ( − 1) d = 1 0⇔ = ′ ( ) − ( − 1) Khi đó: ∫1 ′ ( ) ( − 1) d + ′( ) d − ⇔ 2 1 d = ⇔ ′ ( ) − ( − 1) = ⇔ ( ) = ( − 1) + 2 ⇒ ( ) = ( − 1)3 − ⇒ ∫1 ( )d = ∫1 Câu 45 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 2] (2) = Biết ∫ ∫ √ A d =− Tính ∫ B 1 ′( ) d = ( − 1) − d = − 9 12 ( )d C D Lời giải Chọn A ( √ )d = ∫ ; Đặt = √ ⇒ d = d Đổi cận: Khi = ⇒ = 0; = 16 ⇒ = Khi ∫ ⇒∫ = ∫ ( )d = ∫ ′( )d = ( )d = ( )| − ∫ ′( )d ⇒ ( )| − ′( )d = [ ′( ) − ] d = [ ′( )] d − ′( )d + 512 512 512 −2 + =0 9 ⇒ ( ) = ∫ d = + ;mà (2) = ⇒ d = ⇒ = ⇒ ′( ) = Vậy ( ) = − ⇒∫ + =2⇒ − 22)d = − Câu 46 Cho hàm số ( ) có đạo hàm, liên tục đoạn [1 ; 2] đồng thời thỏa mãn 2 ( ) 5 ∫1 [ ′( )]2 d = 12 + ln ∫1 ( 1)2 d = − 12 + ln Tính = ∫1 ( ) d =− ( )d = ∫ ( ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net (2) = 0, Trang 75 Tài Liệu Ơn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A 2 A = + 2ln Tích Phân Hàm Ẩn B = ln 3 C = + 2ln Lời giải D = + 2ln Chọn A = ( ) + Đặt d =( 1)2 ⇒ d d = ′( ) d =2 Khi ( ) d = ( + 1)2 −1 ( ) − +1 + ln = 12 2 ⇔− (2) − −1 ′( ) d +1 −1 ′( ) d x+1 ⇔ − 2ln = 2 Xét ∫1 = ∫1 − ′( ) d (1) 2 d = ∫1 − +( 1 2 ⇒ ∫1 ∫1 d d = 1)2 − 4ln| + 1| − 1 = − 4ln3 + 4ln2 − + = − 4ln d = 12 − ln (2) Theo đề ∫1 [ ′( )]2 d = 12 − ln (3) Từ (1), (2), (3) ta có 2 1 1 − ′( ) d = ⇒ − ′( ) = ⇔ ′( ) = 2 1 ⇒ ( ) = [ − 2ln( + 1)] + ⇒ (2) = [2 − 2ln3] + = ⇒ = ln3 − ⇒ (x) = [ − 2ln( + 1)] + ln3 − 2 [ − 2ln( + 1)] + ln3 − d = ∫1 1 = + (ln3 − 1) 2 − ∫1 ln( + 1)d = − + ln3 − ∫1 ln( + 1)d = − + ln3 − ( + 1)ln( + 1)|21 − d 1 = − + ln3 − [3ln3 − 2ln2 − 1] = − 2ln 3 Câu 47 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục [0; 2] thỏa mãn: − ( − 4)2 + ( ) = [ ′( )]2 (0) = 20 Khi ∫0 ( )d A 203 30 B 163 30 Chọn A Từ giả thiết − ( − 4)2 + Ta có: 11 C 30 Lời giải D 157 30 ( ) = [ ′( )]2 ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 76 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 − ( − 4)2 + 262 ⇔ 15 2 + ∫0 ( )d( [ ′( )]2 d ( ) d = − 4) = ∫0 [ ′( )]2 d (1) Đặt = ∫0 ( )d( − 4) = ( ) d = ′( )d Đặt ⇒ d = d( − 4) = 2−4 Khi =( 2 − 4) ( ) − ( − 4) ′( )d 2 = − ∫0 ( − 4) ′( )d (2) Thay (2) vào (1) có: −262 +2 − 15 2 ( − 4) ′( )d [ ′( )]2 d = ⇔ ⇔ ∫0 [ ∫0 [ ]2 ′( ) d ′( )]2 d Do [ ′( ) + [ ′( ) + 2 + ∫0 ( 2 + ∫0 ( ]2 − 4) ′( )d + ∫0 ( − 4) ′( )d + ∫0 ( ≥ ⇒ ∫0 [ ′( ) + −4 − 4]2 = ⇒ ′( ) = − = 20 ⇒ ( ) = Vậy ∫0 ( )d = 203 Vì (0) = 20 ⇒ 30 2 − 4) d = − 262 15 2 + + ∫0 ( − 4)2 d = ⇔ ∫0 [ ′( ) + − 4]2 d ≥ mà ∫0 [ ′( ) + +4⇒ ( )= 3 2 − 4) d − 4] d = − 4]2 d = nên +4 + + + 20 ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 77 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức ′( ) + ( ) ( ) = ℎ( ) Phương pháp: + Tìm ( ) = ∫ ( ) + Nhân hai vế với ∫ ( )d ta ( ) ∫ ( ) + ( ) ∫ ( ) ( ) = ℎ( ) ∫ ( ) ⇔ ′( )e ( ) + ( ) e ( ) ( ) = ( )e ( ) ⇔ ( ) ∫ ( ) = ℎ( ) ∫ ( ) + Lấy tích phân hai vế ta ( ) ( ) = ∫ ( ) ( ) Từ suy ( ) Hệ 1: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức ′( ) + ( ) = ℎ( ) Phương pháp: + Nhân hai vế với ta ′( ) + ( ) = ℎ( ) ⇔ [ ( )]′ = ℎ( ) + Suy ( ) = ∫ ℎ( )d + Từ ta dễ dàng tính ( ) Hệ 2: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức ′( ) − ( ) = ℎ( ) Phương pháp: + Nhân hai vế với ta ′( ) − ( )= ℎ( ) ⇔ [ ( )]′ = ℎ( ) + Suy ( )=∫ ℎ( ) d + Từ ta dễ dàng tính ( ) Câu Cho hàm số ( ) thỏa mãn (0) = ( ) + ′( ) = , ∀ ∈ ℝ Giá trị (1) 10 10 A −4 + B −10 C −2 D −2 + Lời giải Chọn D ( )+ ( )]′ = ⇒ ( )=∫ +) Từ giả thiết, ta có ′( ) = ⇒ [ ⇒ Câu ( )= −3 = −3 +6 = − + 6( − 1) + 10 10 +) Lại có (0) = ⇒ = 10 ⇒ ( ) = − + − + ⇒ (1) = −2 + Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục ℝ thỏa mãn ( ) + ′( ) = + (0) = 1 Giá trị ∫0 ( ) A − 2 B 2 1 C + 2 Lời giải Chọn A Ta có: ( ) + ′( ) = + ⇔ 2 ( ) + ′ ( ) = ( + 1) ⇔ ( ) ′ = ( + 1) ⇔ ( ) = ∫(2 + 1) (*) ( ) Xét = ∫ + Đặt = + ⇒ =2 = ⇒ = 1 = ( + 1) − 2 1 = ( + 1) − + 2 Thay vào (*) ta có: 1 1 ( ) = ( + 1) − 2 + ⇔ ( ) = ( + 1) − + D − 2 ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 78 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 ( 0) = ⇔ − + 2 Câu =1⇔ = 1 1 ⇒ ( ) = ( + 1) − + = + 2 2 1 1 1 ) = −2 = − 2 + = − 2 ∫0 ( ) = ∫0 ( + Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục [0 ; 4], thỏa mãn ( ) + ′( ) = ∈ [0 ; 4] Khẳng định sau đúng? 26 A (4) − (0) = B (4) − (0) = C ( 4) − ( 0) = Chọn A Ta có: ( ) + ′( ) = Suy ra: ∫0 [ Câu Tích Phân Hàm Ẩn − D Lời giải ( )+ √2 + ⇔ 26 ( )]′ d = ∫0 √2 + 1d = ⇔ (4) − (0) = ′( ) = √ + ⇔ [ √2 + với ( 4) − ( 0) = ( )]′ = √2 + 26 Cho hàm số = ( ) có ′( ) liên tục nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn ( ) + ′( ) = √1 + e Khi đó: A e (1) − (0) = √ − B e (1) − (0) = C e (1) − (0) = D e (1) − (0) = (e + 3)√e + − √ − √ Lời giải Chọn C Ta có: ( ) + ′( ) = √1 + e ⇔ [e ( )] = e √e = √ Câu Câu ( )]| = √e ( )+e ′( ) = e √e + + Lấy tích phân từ đến hai vế ta ∫ [e ⇔ [e ⇒ 3e +3 ⇔e ( )] d = ∫ e √e (1) − (0) = √ +3d Cho hàm số ( ) có đạo hàm ℝ, thỏa mãn: ′( ) − 2018 ( ) = 2018 2017 2018 với ∈ ℝ (0) = 2018 Tính giá trị (1)? A (1) = 2018 2018 B (1) = 2017 2018 C (1) = 2018 2018 D (1) = 2019 2018 Lời giải Chọn D Ta có: ′( ) − 2018 ( ) = 2018 2017 2018 ⇔ 2018 ′( ) − 2018 2018 ( ) = 2018 2017 ⇔ [ 2018 ( )]′ = 2018 2017 ⇒ 2018 ( ) = ∫ 2018 2017 d = 2018 + Do (0) = 2018 ⇒ = 2018 ⇒ ( ) = ( 2018 + 2018) 2018 Vậy (1) = 2019 2018 Cho hàm số ( ) có đạo hàm ℝ thỏa mãn ′( ) − 2020 ( ) = 2020 .e với ( ) ( ) ∈ ℝ = 2020 Tính giá trị A (1) = 2021 e B (1) = 2020 e C (1) = 2020 e D (1) = 2019 e Lời giải Chọn A ( ) ( ) Ta có: ′( ) − 2020 ( ) = 2020 .e ⇔ = 2020 ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 79 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ( ) ⇔∫ ( ) Xét ∫ 2020 d = ( ) =∫ ( ) d =∫ ( ) d = Thay vào (1) ta được: Câu d (1) d = ∫ 2020 ( ) Xét = ∫ Tích Phân Hàm Ẩn | = ( ) ( ) − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = d − 2020 − 2020 = ⇔ (1) = 2021 e Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục ℝ, thỏa mãn ′( ) + −2.Tính (1) A (1) = B (1) = C (1) = ( )=2 (0) = D (1) = − Lời giải Chọn D Nhân vế cho để thu đạo hàm đúng, ta ′( ) 2 + ( ) 2 =2 Suy ra: Vậy (1) = −2 2 + = ⇒ ( ) = −2 =− Cho ( ) thỏa mãn (1) = Tính = ∫0 ( )d A = + ( ) =2 d = −2 = vào hai vế ta Thay Câu ⇔ 2 ( ) = ∫2 ′ 2 ( ) + 3x B = 2e − ( ) = (15x + 12x) C = − Lời giải ,∀ ∈ D = 2e + Chọn C ′ Ta có ( ) = 3x ′( ) + 3x2 ( ) = 3x ( 15x4 + 12x) Do đó: ( ) = ∫(15x4 + 12x ) x = 3x5 + 6x2 + Vì (1) = ⇒ = ⇒ ( ) = (3x5 + 6x2 ) 3x Câu 3x = 15x4 + 12x ⇒ ( ) = (3x5 + 6x2 + ) 3x Khi = ∫0 ( )d = ∫0 (3x5 + 6x2 ) 3x d = − Cho hàm số ( ) có đạo hàm đến cấp hai liên tục ℝ thỏa mãn ′(0) = (0) = ( ) + ′( ) + ′′( ) = + , ∀ ∈ ℝ Tích phân ∫ ( ) A 107 12 21 − B 107 21 12 107 − Chọn A Theo giả thiết ta có: ( ) + ′( ) + ′( ) + ′′( ) = +2 ′ ⇔ ( ) + ′( ) = ( D +2 Mặt khác (0) = ′(0) = nên + = −2 + + − 2) + ( 2) ⇔ +2 = ( 2) 21 12 + ⇔ ( ) + ′( ) +2 ′ + − 2) + ( ) + ′( ) = ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net ( ) + ′( ) = − =4 ⇔ 107 ′ ⇔ ( ) + ′( ) + ( ) + ′( ) + ( ) + ′( ) = = ( + 2) ⇔ 21 C 12 + Lời giải ( − Trang 80 Tài Liệu Ơn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A ′ ( ) = Do ( )= ⇒ ( [ 3 ( − + − 2) + − Tích Phân Hàm Ẩn + − 2) + 4] ( = −4 + 10 − 12) + + (0) = ⇔ = 13 ⇔ ( ) = (4 + 13) + − + 10 − 12 1 107 21 ⇒ ∫0 ( ) = ∫0 [(4 + 13) + − + 10 − 12] = 12 − Câu 10 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục [0; 1], (0) = ′( ) = ( ) + + 1, ∀ ∈ [0; 1] Tính = ∫ ( ) A − B 2( − 1) C − D − Lời giải Chọn B ( )=1+ Ta có ′( ) = ( ) + + ⇔ ′( ) − ( ) = +1 ⇔ ′( ) − ′ [ ( )] ( ) ( ) ⇔ =1+ ⇒ = − + ⇒ = −1+ Do (0) = ⇒ = ⇒ ( ) = ( + 2) − 1 Do = ∫0 [( + 2) − 1] = 2( − 1) Câu 11 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục ℝ thỏa mãn ′( ) = ( ) + + 1, với ∈ ℝ, (0) = −1 Tính (3)? A + B + C − D − Lời giải Chọn D ′ ( ) = 2+ Ta có: ′( ) − ( ) = + ⇔ ′( ) = + ⇔ ( )=∫ Do đó: ( ) (0) = −1 ⇒ −1 = −1 + = 3 − =0⇒ ( )= ⇔ ⇔ ( )= + −1+ Câu 12 Cho hàm số ( )có đạo hàm ℝ thỏa mãn ′( ) − ( ) = ( (1) = e Giá trị (5) A 3e12 − B 5e17 C 5e17 − Lời giải Chọn B Ta ′( ) − ( ) = ( có: ′ ( ) =( e + 1) e 2 ′ ( ) d = e Đặt: 2 = ∫1 e d 2 =e d =d = e 2 ⇔ ′( )e 2 ( + 1) e ,∀ ∈ ℝ D 3e12 ( )=( −e + 1) e d ⇔e ( )|51 = 2 e d + ( 5) − = 2 ⇔ e d 1 + (∗) ⇒ d = e = − ∫1 + 1)e 1 ⇔e Xét: + 1) e − ⇒ − ⇒ ( 3) = e 2 2 d d = 5e12 − − ⇔ + = 5e12 − 1(∗) ⇔ e ( 5) − = 5e12 − ⇔ (5) = 5e17 Câu 13 Cho hàm số f x có đạo hàm thỏa mãn f 1 e x 2 f x xf x x với x Tính f 2 A 4e 4e B e e C 2e e Lời giải D 4e 4e ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 81 Tài Liệu Ơn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn A Biến đổi giả thiết x 2 f x xf x x f x x f x x x x e f x x2 x 2 e x f x3 x x ex e f x x e x x e f x exdx e x C f x x2 Cx2ex x e f x x2 e x2e x1 Mà f 1 e C e Vậy, f 2 4 4e e 1 4e 4e Câu 14 Cho hàm số = ( ) có ′( ) liên tục nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn ( ) + ′( ) = √1 + e Khi đó: 1 A e3 (1) − (0) = − e B e (1) − (0) = C e3 (1) − (0) = 3 e2 − e2 e2 D e3 (1) − (0) = (e2 + 3)√e2 + − Lời giải Chọn C Ta có: ( ) + ′( ) = √1 + e = e2 e Nhân hai vế giả thiết với ta ⇒ 3e3 ( ) + e3 ′( ) = e2 √e2 + ⇔ [e3 ( )]′ = e2 √e2 + 1 Lấy tích phân từ đến hai vế ta ∫0 [e3 ( )]′ d = ∫0 e2 √e2 + d ⇔ [e3 1 ( )] = √e2 + 3 e2 ⇔ e3 (1) − (0) = e2 Câu 15 Trong hàm số ( ) liên tục có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn ( ) + ( )≥ Giá trị nhỏ = ∫ ( ) 1 A 2019.2021 Chọn A +3 ( )+ B 2018.2021 ′ ( )≥ 2018 ( ) ′ ⇔ + ( ) = 3ln ⇒ = + Nhân hai vế (*) cho ∀ ∈ [0; 1] ( )+ ( )≥ D 2017.2021 2017 , ≠0 ( )≥ ta + Lấy tích phân từ đến hai vế có ( 2018 C 2020.2021 Lời giải 2018 ′ ( )+3 ( )) ≥ ∫0 2020 2019 ⇒( 2021 = 2021 ( ))′ ≥ = 2021 2021 2020 , , ∀ ∈ [0; 1] ⇒ ( ) ≥ 2021 ⇒ ∫0 ( ) ≥ ∫0 2021 = 2019.2021 Câu 16 Cho hàm số ( ) có đạo hàm thỏa mãn ′( ) − 2018 ( ) = 2018 ∈ ℝ (0) = 2018 Tính giá trị (1) A (1) = 2019e2018 B (1) = 2018 e 2018 C (1) = 2018 e2018 D (1) = 2017 e2018 Lời giải Chọn A + ( ) = − ∫ 2018 = −2018 e ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net với Trang 82 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A + Nhân hai vế với 2018 ta ′( ) 2018 − 2018 2018 ( ) = 2018 + Lấy tích phân từ đến hai vế ta Tích Phân Hàm Ẩn 2017 ⇒( ( ) 2018 )′ = 2018 2017 2018 ( ( ) )|10 = 2017 2018 ⇒ (1) = 2019 2018 Câu 17 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn (0) = ( − 1) với ∈ [0; 1] Tích phân ∫ ( ) A B C Lời giải D 4 ( ) + ′( ) = Chọn A Nhân hai vế giả thiết với 2 − ⇒ ta ( )=∫ ( ( )+ = Do (0) = ⇒ = ⇒ ( ) = 2( 1 ( 2 − 2) + ( − 2) + ′ − 1) ⇔ 2 − 1) ′( ) = ⇒ ( ) = 2( ( ) = − 2) + Vậy ∫0 ( ) = ∫0 ( − 2) + = Câu 18 Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục [0, ] Biết (0) = ( ) thỏa mãn đẳng thức ′( ) + sin ( ) = cos , ∀ ∈ [0, ] Tính = ∫ ( ) (làm tròn đến phần trăm) A ≈ 6,55 B ≈ 17,30 C ≈ 10,31 D ≈ 16,91 Lời giải Chọn B ′( ) + sin ( ) = cos cos Chia hai vế đẳng thức cho cos ta ′( ) cos + cos sin ( ) = cos (vế trái có dạng ′ + ′) ⇔ ( ( ) cos )′ = cos ⇔ ∫( ( ) cos )′ d = ∫ cos d ⇔ ( ) cos = sin + sin Do (0) = nên = ⇒ = Vậy ( ) = cos = cos (sin + 2) = ∫0 ( ) = ∫0 cos (sin + 2) Sử dụng MTCT (để đơn vị rad) KQ: 10,31 Câu 19 Suy Cho hàm số = ( )liên tục ℝ\{0; −1} thỏa mãn điều kiện (1) = −2ln2 ( + 1) ′ ( ) + ( ) = + Giá trị (2) = + ln3, với , ∈ ℝ Tính + 25 13 A B C D Lời giải Chọn B + Trước tiên ta đưa phương trình dạng tổng quát ′( ) + ( 1) ( ) = 1 + ( )=∫ ( = ln 1) ( ) + Nhân hai vế cho (ta cần xét x>0) ta ′( ) +( 1 1)2 ( )= ⇒ ( ) ′ = + Lấy tích phân từ đến hai vế ta có ( ) Vậy + 2 = ∫1 1 = = − ln( + 1) 3 ⇒ (2) = − ln3 Suy = = − Câu 20 Cho hàm số ( ) liên tục có đạo hàm 0; Biết √3 + − = , thỏa mãn hệ thức ( ) + tan ′( ) = √3 + ln3 , ∈ ℚ Tính giá trị biểu thức ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net = Trang 83 Tài Liệu Ôn Thi Group ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A = − B Tích Phân Hàm Ẩn = − C = Lời giải 14 = D Chọn A Từ giả thiết ⇒ cot ( ) + ′( ) = cos3 cot ∫ cot d Nhân thêm vế với ( ) + sin cos Suy sin ( )=∫ Với =3→ Với = →2 Suy √3 cos2 √3 − = sin ta có ⇔ [sin cos2 d = tan + ln|cos | + = √3 = √3 − 2ln2 + + ln3 − ln2 + → = √3 + ln3 − 2ln2 + = √3 − ln3 → cos2 = √3 − ln2 → √3 ( )]′ = ′( ) = =9 = −1 → = + = − ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay https://TaiLieuOnThi.Net Trang 84 ... Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐIỂN HÌNH Câu DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH Nếu = ( ) = ( ) ( )′ = ′ +... TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 28 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 39 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 49 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 51 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 53 DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG... THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP TRANG QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN 15