Thông tin tài liệu
50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Câu 41: TÍCH PHÂN HÀM ẨN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các tính chất tích phân: b c b f x dx � f x dx � f x dx � a a b c với a c b b k� f x dx � kf x dx k �0 a a b a a b f x dx � f x dx � b f x dx F x � a b a F b F a b b b a a a f x dx � g x dx f x g x dx � � b b b a a a f x dx � f t dt � f z dz � b f� x dx f x � a b a f b f a Công thức đổi biến số: b u b a u a f u x u� f u du , u u x x dx � � f u x u� x dx �f u du , u u x � Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b Giả sử cần tính b u b a u a g x dx � a Nếu ta viết g x u b g x dx �f u du � Vậy toán quy tính tích phân đơn giản �f u du u a dạng f u x u� x , nhiều trường hợp f x dx � Giả sử cần tính Đặt x x t b b a a thỏa mãn f x dx � f x t x� g t dt t dt � � x a , x b , g t f x t x� t BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số �x f ( x) � �x x x �2 x Tích phân f (2sin x 1) cos x dx � bằng: Trang 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 23 A 23 17 17 B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị tích phân hàm số HƯỚNG GIẢI: B1: Dựa vào biểu thức bên dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý toán b c b f x dx � f x dx � f x dx, c � a; b � a c B2: Sử dụng tính chất a B3: Lựa chọn hàm f x thích hợp để tính giá trị tích phân Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Xét I� f (2sin x 1) cos x dx t sin x � dt cos xdx Đặt x �t 1 x �t 3 Đổi cận: 3 1 � 23 x 1 dx � I � f (t )dt � f ( x)dx � x x d x � � � 21 21 2� � Bài tập tương tự phát triển: Mức độ � e2 x x �0 a e2 a f ( x ) �2 f ( x ) d x � x x x b c ( b � Câu Cho hàm số Biết tích phân phân số tối giản) Giá trị a b c A B C D 10 Lời giải Chọn C 1 e2 x x dx � I� f ( x )dx � e x dx 1 1 Ta có: Vậy a b c �x x x �3 � e4 f (x) � f (ln x) dx x � � x x � e Câu Cho hàm số Tích phân bằng: 40 95 189 189 ln ln ln ln A B C D Lời giải Chọn D e4 Xét Đặt f (ln x) I� dx x e t ln x � dt dx x Trang 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x e2 � t Đổi cận: x e � t 4 189 I � f (t )dt � f ( x)dx � dx � x x dx ln x4 2 �1 � f ( x) �x � �x x �1 x Câu Cho hàm số Tích phân m n tối giản), bằng: A B C Lời giải Chọn A I Xét �f ( �f ( x )dx 2 m m n ( n phân số D x )dx 7 Đặt t x � 3t dt dx x 7 � t Đổi cận: x � t 2 � � 25 I 3� t f (t )dt 3� x f ( x)dx � x x d x xdx � � � 0 � � 12 Câu Cho hàm số f x liên tục � f x dx � , f x dx � Tính I �f x dx 1 A I B I C I Lời giải D I Chọn B �d x du Đặt u x Khi x 1 u 1 Khi x u 3 � 1� f u du � f u du� I � f u d u �� �1 1 � Nên � 1� �� f u d u � f u du � �1 � f x d x � Xét Đặt x u � d x d u Khi x u Khi x u 1 Nên 1 0 4� f x d x � f u d u Ta có �f u d u 1 f x d x � � f u du � � 1� I �� f u d u � f u d u � �1 � Nên 0 Trang 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ F x f x 1 x 1 x nguyên hàm hàm số tập � F 1 F F F 3 thỏa mãn Tính tổng A B 12 C 14 D 10 Lời giải: Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: Câu Cho Ta có: f x dx F F 1 F � 1 f x dx F 1 F F � mà 2 1 f x dx � 2dx � F 1 F 0 nên 1 1 1 nên 1 1 �f x dx F 1 F 3 F 3 3 Vậy 1 xdx x �f x dx � mà 1 0 �f x dx F F 1 F 1 F 2 f x dx � xdx x � mà nên F F F 3 14 mà 1 1 3 3 2dx 4 �f x dx � nên F 3 x 1 I � dx a ln b ln x Câu Biết với a, b �� Tính S a b A S B S 11 C S 3 D S Lời giải: Chọn D �x x �2 x2 � x x �2 � Ta có x 1 x 1 I � dx � dx x x Do 2 x 1 � x 5ln x x x 2 1 dx � 2 x x 3ln x �5 � � 3� dx � �dx � �dx � � x x� � 1� 2� 8ln 3ln a 8 � � b 3 � S a b �� Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục � thỏa mãn f x3 x 1 x , với x ��.Tích phân xf � x dx � Trang 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A 31 17 B Chọn C 33 C Lời giải f x 3x 1 x Từ giả thiết ta có nên suy 49 D f 1 1 Suy x t 3t � dx 3t dt Đặt Với x � t 0; x � t Vậy 1 0 I 23 Câu Cho hàm 59 33 4 số y f x f x x 3 x 1, x �� xác định liên 59 tục � thoả thỏa mãn Tích phân �f x dx 32 C Lời giải B 10 A f x dx � f t 3t 1 3t 3 dt � 3t 3t 3 dt � Do f 5 5 I � xf � f x dx 23 � f x dx x dx xf x � , 2 D 72 Chọn B x t 4t � dx 5t dt Đặt x � t � � Đổi cận: �x � t �f x dx Khi Câu Cho 2 hàm �f t 4t 3 5t dt 1 y f ( x) xác số định 2t 1 5t � 1 liên dt 10 tục � 10 f ( x ) f ( x) x I A với x �� Tính B I I� f ( x)dx I C D I Lời giải Chọn B Đặt t f ( x) � 2t 3t x � dx (6t 3)dt x � 2t 3t � t x 10 � 2t 3t 10 � t Vậy Câu 10 10 I� f ( x)dx � t (6t 3)dt Cho hàm số f 1 A ln15 f x �1 � �\ � �, �2 xác định thỏa f 1 f 3 Giá trị biểu thức B ln15 C ln15 Lời giải f� x , f 0 2x 1 D ln15 Trang 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn C Ta có f� x 2x 1 � ln x C1 � � � f x � dx ln x C � 2x 1 � ln x 1 C2 � f � C1 f 1 � C2 ;x ;x � ln x ; x � � � �f 1 ln f x � �� � �f 3 ln ln x 1 ; x � Do � f 1 f 3 ln15 � 3x x x �0 I � cos xf sin x dx f ( x) � 5 x x Khi � Câu 11 Cho hàm số 15 17 A B 15 C D Lời giải: Chọn A � x � t 1 � � � �x � t t sin x � dt cos xdx Đặt Đổi cận � �I �f t dt �f x dx 1 1 � 3x x f ( x) � 5 x � Do 1 x �0 x �I � x dx � 3x x dx 15 �x x x �2 f ( x) � I � f x dx x k h i x � Câu 12 Cho hàm số Khi 41 41 41 A B 21 C 12 D 21 Lời giải Chọn C �x � t � t x � dt 2dx � dx dt Đổi cận �x � t Đặt �I 1 f t dt � f x dx � 21 21 �x x f ( x) � �x Do x �2 k hi x Trang 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � 41 1� � I �� x x 3 dx � x 1 dx � �1 � 12 �2 x 2x � � f ( x) � �x � Câu 13 Cho hàm số 35 A 12 B x � 2 I sin xf cos x 1 dx x � Khi 19 10 C D Lời giải: Chọn A �x � t � � �x � t Đặt t cos x � dt sin xdx Đổi cận � 2 1 �I � f t dt � f x dx x � x �2 x 2x � � f ( x) � �x � Do 2 �I � x dx � x2 x dx 35 12 �x x f ( x) � �x Câu 14 Cho hàm số A B 1 x �0 I x Khi C Lời giải: cos xf sin x dx � D Chọn A � x � t 1 � � � �x � t Đặt t sin x � dt cos xdx Đổi cận � �I �f t dt 1 �f x dx 1 �x x f ( x) � �x Do x �0 x �I � xdx � x2 x dx �x x f ( x) � �2 x Cho hàm số 1 Câu 15 x �3 I � xf x 1 dx x Khi Trang 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 73 B A 24 74 C D 25 Lời giải: Chọn B �x � t 1 � t x � dt xdx � xdx dt Đặt Đổi cận �x � t 5 1 �I � f t dt � f x dx 21 21 �x x x �3 f ( x) � x �2 x Do � 73 1� � I �� x dx x x 1 dx � � �1 � � 3x x � � f ( x) � �x x � � Tính tích phân Câu 16 Cho hàm số 17 13 A B C Lời giải: Chọn B f sin x cos xdx � 21 D I � f sin x cos xdx Xét Đặt sin x t � cos xdx dt Với x � t x � t 1 1 0 1 I � f t dt � f x dx � f ( x )dx � f ( x)dx � 3x 3 dx � x dx � 2 17 � x2 x �0 f ( x) � f 3cos x sin xdx � x x x � Câu 17 Cho hàm số Tính tích phân 33 15 19 A B 23 C 12 D 24 Lời giải: Chọn D Xét I� f 3cos x sin xdx 3sin xdx dt � sin xdx dt Đặt 3cos x t � Với x � t 1 t x � Trang 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ I � 3 �f t dt 1 �f x dx �f ( x)dx 1 f ( x )dx 3� x x 1 dx 13 � x 1 dx 19 � 24 � x x �1 f ( x) � �2 x x Tính tích phân Câu 18 Cho hàm số 11 43 31 A 10 B 31 C 30 Lời giải: Chọn C I x 31 D 10 f 5sin x 1 cos xdx � Đặt 5sin x t � Với �f 5sin x 1 cos xdx Xét x 10 cos xdx dt � cos xdx dt 10 � t 1 �t4 4 1 1 �I f t dt f x dx f ( x)dx � f ( x)dx � � � 10 1 10 1 10 1 10 1 1 31 � x dx � x dx 10 1 10 30 � x x x �2 f ( x) � 11 x x � Câu 19 Cho hàm số Tính tích phân 69 25 A B 12 C Lời giải: Chọn A e I � f ln x dx x Xét e f ln x dx � x e D 30 dx dt Đặt ln x t � x x e � t 1 Với xe �t 3 � Câu 20 3 1 I � f t dt � f x dx � f x dx � f x dx � 11 x dx � 2x3 x 5 dx � x x �3 f ( x) � x x � Cho hàm số Tính tích phân ln �f 3e x 1 e x dx 69 Trang 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 13 A 15 B 102 33 C 94 25 D Lời giải: Chọn C ln I Xét �f 3e x 1 e x dx 3e x dx dt � e x dx dt Đặt 3e t � Với x � t x ln � t x 5 1 1 94 I � f t dt � f x dx � f x dx � x dx � (7 x)dx 32 32 33 32 33 � Mức độ Câu Giá trị tích phân A max sin x, cos x dx � D C Lời giải B Chọn C �� 0; � x � Ta có phương trình sin x cos x có nghiệm đoạn � �là Bảng xét dấu Suy 0 max sin x, cos x dx � cos xdx � sin xdx � sin x cos x Câu Tính tích phân A I � max x3 , x dx 17 B 19 C Lời giải: 11 D Chọn B f x x3 x Đặt ta có bảng xét dấu sau: Dựa vào bảng xét dấu ta có �Σ� x 0;1 �� , f x x3 x x3 x max x , x x Trang 10 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ γ� x 1; �۳� 2 , f x Ta có: x x3 x max x3 , x x3 I � max x , x dx � max x , x dx � max x , x dx Nên x3 1 I � max x3 , x dx � xdx � x 3dx y f x Câu Cho hàm số liên �f 1 2 ln � �f a b ln 3; a, b �� � x f x x2 x �x x 1 f � 2 Tính a b 25 A 2 17 x x4 4 tục B C �\ 0; 1 thỏa mãn 13 D Lời giải Chọn B x x 1 f � x f x x2 x Ta có Chia vế biểu thức (1) cho x x f � f x x x 1 x 1 x 1 (1) x 1 ta � x �x � x x f x f x � dx � � x �� \ 0; � x 1 � x , với � �x x 1 x x 1 f x x ln x C f x x ln x C � x 1 � x f 2 ln � ln C 2 ln � C 1 Mặt khác, x 1 f x x ln x 1 x Do 3 3 f x ln 3 ln a b 2 2 Với x Suy a b2 Vậy y f x � thỏa Câu Cho hàm số có đạo hàm � 0 �f f � � f x 1 d x � �f x y f x f y 3xy x y , với x, y �� Tính 1 A B C D Lời giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f� x y f � y x xy , x �� y 0� f� x f � x2 � f � x 3x Cho mãn Trang 11 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ f� x dx x x C mà f � C Do f x x x � f x � 0 f x d x f x dx � x3 x 1 dx 14 � � 1 1 Vậy 0;1 thỏa mãn có đạo hàm liên tục 1 1 2 � x f x d x f x dx � � � �f x � �dx � Tích phân 7 A B C D Lời giải Chọn A Câu Cho hàm số f x f 1 , 1 �x3 � x3 x � x f x dx f x f x dx f� x dx �3 � � � � 3 � �0 Ta có Suy x dx � 63 Hơn ta dễ dàng tính 1 2 x x � � f� f� dx x � x dx 21 � dx � � x x3 � �f � �dx 2.21� � � � 0 0 Do 7 f� x 7 x3 , f x x C Vì f 1 nên C Suy Vậy f x dx � 7 x 1 dx � 40 f 1 có đạo hàm liên tục � thỏa mãn điều kiện �f � x f x �dx J � � � f 2 x x2 � 1� Tính 1 J ln J ln 2 A J ln B J ln C D Lời giải Chọn D �f � x f x �dx f � x dx f x dx �2 �dx J � � � � � � � � x x2 � x x2 x x2 � 1� 1 1� Ta có Câu Xét hàm số f x � � u du dx � � x �� � x � dv f � v f x x dx � � � Đặt 2 2 � �f x f x � f x f x �2 � J � d x f x d x d x dx � � � 2� 2 � � � x x x x x x x � � 1� 1 1� 2 1� � f f 1 � ln x � ln x� � Câu Cho hàm số f ( x ) xác định �\ 2;1 thỏa mãn Trang 12 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 , f 3 f 3 0, f x x2 Giá trị biểu thức f 4 f 1 f 1 1 ln 20 ln ln 3 A B C ln 80 D Lời giải Chọn B 1�1 � f� � x � x x �x x � Ta có: f� x �1 ln x ln x � � � C1; x � �; 2 �3 � � �1 � x 1 �1 f x � dx ln C � � ln x ln x � � � � � C2 ; x � 2;1 �x x � x �3 �1 ln x 1 ln x � � � C3 ; x � 1; � �3 � � 1 1 f 0 � � ln ln � C2 � C2 ln � � 3 3 Với 1 f 3 f 3 � C1 C3 ln 10 Với 1 1 f 4 f 1 f ln ln ln C2 C1 C3 ln 3 3 Nên f x Câu Cho hàm số xác định liên tục � đồng thời thỏa mãn � �f x 0, x �� � x e x f x , x �� �f � � �f � f ln Tính giá trị 1 1 f ln f ln f ln ln f ln ln 2 D A B C Lời giải Chọn B f� x e x � x 2 f� f x f x x e f x Ta có ( ) � f x 1 e x C � f x x � �2 dx � e x dx � f x e C f x 1 f 0 � � C 1 e C Mà 1 � f x x � f ln ln e 1 e 1 Trang 13 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �f 1 g 1 � x �g x xf � � f x g x x 1; 4 , thỏa mãn �f x xg � Câu Cho hai hàm có đạo hàm với I � � �f x g x � �dx x � 1; 4 Tính tích phân A 3ln B ln C ln D 8ln Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có f x g x x f � x x.g � x � x.g x � � �� g x x.g � x f x � x � x � �f x x f � � � � � � � � � � � � C � x f x x.g x C � f x g x x 4 f 1 g 1 � C � I � � f x g x � dx dx 8ln � � � x 1 Mà 1; Câu 10 Cho hai hàm f ( x) g ( x) có đạo hàm thỏa mãn f (1) g (1) � x g ( x) 2017 x ( x 1) f � ( x) � �( x 1) , x � 1; 2 � x � g� ( x) f ( x) 2018 x � �x x 1 �x � I � dx �x g ( x) x f ( x) � � � Tính tích phân A D I I B I C I Lời giải Chọn A x 1 � g ( x) f� ( x ) 2017 � x �( x 1) , x � 1; 2 � x � g� ( x) f ( x) 2018 �x x Từ giả thiết ta có: � Suy ra: � �x � � � �x x � �x � � � � g ( x ) g ( x ) f ( x ) f ( x ) � g ( x ) f ( x ) 1 � � �x � � � � ( x 1) x 1 x2 � �x � � �x � � �� � x x 1 g ( x) f ( x) x C x 1 x 2 x 1 �x � I � g ( x) f ( x) � dx � ( x 1)dx � x 1 x � 1 � Mà f (1) g (1) � C 1 � Câu 11 Cho hàm số �x3 x x f ( x) � x �1 �x Tính tích phân f 3sin � x 1 sin xdx Trang 14 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 21 A 13 B 20 C D Lời giải: Chọn A I � f 3sin x 1 sin xdx Xét 3sin x t � 3sin xdx dt � sin xdx dt Đặt Với x � t 1 x �t2 2 1 1 �I � f t dt � f x dx � f ( x)dx � f ( x)dx 1 1 1 31 1 21 x x dx � x 3 dx � 1 31 �2 x x �1 f ( x) �2 x �x Câu 12 Cho hàm số 231 A 97 B 13 Tính tích phân 16 C Lời giải: f � x dx 113 D Chọn B 13 Xét I� f x dx Đặt x t � x t � x (t 2) � dx 2(t 2)dt Với x � t x 13 � t 2 2 0 � I 2� (t 2) f t dt � ( x 2) f x dx 2� ( x 2) f x dx � ( x 2) f x dx 2� ( x 2) x 2dx � (2 x 1)( x 2)dx 97 x x �2 � f ( x) � x x Tính tích phân � Câu 13 Cho hàm số 21 A B C Lời giải: Chọn A I Xét �f cos x sin xdx D 12 f cos x sin xdx � cos x t � sin xdx dt Đặt Trang 15 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Với x � t 1 x �t 3 3 1 1 �I � f t dt � f x dx � f ( x )dx � f ( x )dx 41 41 41 42 1 x dx � x dx � 31 32 e �x x x 1 f ( x) � f ln x dx � 3 x x �1 x � Câu 14 Cho hàm số Tính tích phân 16 11 A B 17 C D 11 Lời giải: Chọn C e4 I� f ln x Xét 1x dx ln x t � ln x t � dx 2tdt x Đặt Với x � t x e4 � t 2 0 � I 2� t f t dt � x f x dx � x f ( x)dx � x f ( x)dx 2� x x x 1 dx � x x dx Câu 15 Cho hàm � x x � f ( x) �x �x �2 � x x � số �f tan x cos x 11 Tính tích phân dx 201 A 77 34 B 103 155 C 109 D 21 Lời giải: Chọn D I Đặt x f tan x � cos Xét Với x dx tan x t � x 1 dx dt cos x �t 9 � t 5 Trang 16 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 9 1 1 f t dt � f x dx � f ( x)dx � f ( x)dx � f ( x)dx � 5 5 5 70 72 �I 1 109 � x 1 dx � x 1 dx � x dx 5 70 72 21 Câu 16 Cho hàm �x x f ( x) � �x số 2 0 I 2� cos xf sin x dx � f x dx A x �0 x Khi B C 10 D Lời giải: Chọn D 2 0 I 2� cos xf sin x dx � f x dx I1 I Ta có: �x � t � � �x � t Đặt t sin x � dt cos xdx Đổi cận � � I1 2� f t dt 1 1 1 �f t dt �f x dx �x x f ( x) � �x Do 1 x �0 x � I1 � xdx � x x dx �x � t � t x � dt 2dx � dx dt Đổi cận �x � t 1 Đặt � I2 �f t dt �f x dx 1 1 �x x x �0 f ( x) � x �x Do �0 � � I �� xdx � x x dx � �1 � 10 I I1 I Vậy �4 x f ( x) � �2 x 12 Câu 17 Cho hàm số I x f � A 84 x2 1 x 1 dx x x �2 Tính tích phân ln3 e f e dx � 2x 2x ln B 83 C 48 D 84 Lời giải: Trang 17 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn A I Ta có: x f � x2 x 1 dx ln e f e dx I � 2x 2x I2 ln �x � t � 2 x �t t x � t x � tdt xdx � xdx tdt Đặt Đổi cận � 2 1 � I1 � f t dt � f t dt � f x dx x x �2 �4 x f ( x) � �2 x 12 Do � I1 � 2 x 12 dx �x ln � t � t e x � dt 2e x dx � e2 x dx dt Đổi cận �x ln � t 10 Đặt 10 10 1 � I2 � f t dt � f x dx 25 25 x �4 x f ( x) � �2 x 12 Do 10 � I2 � x 75 25 Vậy I I1 I 84 Câu 18 Cho x �2 hàm f tan x I � dx cos x e 1 số x f ln x 1 � x 1 �2 x3 x f ( x) � �3x dx a b tổng a b A 69 x �1 x Biết a với b phân số tối giản Giá trị C 67 B 68 D 66 Lời giải: Chọn A f tan x I � dx cos x e 1 � x f ln x 1 x 1 dx I I � x �t 1 � � � �x � t t tan x � dt dx cos x Đổi cận � Đặt � I1 �f t dt �f x dx Trang 18 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �x � t � � 2x x x e 1 � t t ln x 1 � dt dx � dx dt � x 1 x 1 Đổi cận � Đặt � I2 2 1 f t dt � f x dx � 20 20 �2 x3 x f ( x) � �3x Do x �1 x � I I1 I 2x � x dx 53 3x dx � a 53, b 16 � 20 16 Vậy a b 69 Câu 19 Cho hàm e2 f ln x I� dx � x f x a b A 77 �1 � x2 f ( x ) �2 � � x số x dx a b �x
Ngày đăng: 28/07/2021, 19:44
Xem thêm:
