Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông

Tích phân hàm ẩn là một dạng toán vận dụng cao (VDC, nâng cao, khó …) thường gặp trong các đề thi thử THPT Quốc gia 2020 môn Toán, nhưng dạng toán này lại ít được đề cập đến trong sách giáo khoa Giải tích 12, điều này đã gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình định hướng và tìm lời giải.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 17 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: 17 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 23 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 33 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG : 35 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 39 DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 40 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 51 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 1) Quy tắc: Nếu u  u  x  v  v  x   uv   uv  uv - Nếu  f  x  g  x    h  x  f  x  g  x    h  x  dx Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;   thỏa mãn điều kiện f 1  x   f   x    f  x   1, x  Giá trị f   A B C D Lời giải Chọn B +)Từ giả thiết, ta có x   f   x    f  x    xf   x   f  x   x    xf  x    x   xf  x     x  1 dx  xf  x   x  x  C +) Lại có f 1   C   f  x   x   f    Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  1;   thỏa mãn đẳng thức f  x    x  1 f   x   A f     x3  x2  x x2  với x  1;   Giá trị f  0 B f    e  C f    Lời giải D f     Chọn A +) Từ giả thiết, ta có x  x  1 x3  x2  x  f  x    x  1 x  1 f   x   x 3 x2  f  x  x 1 x x 1 x  x      f x   f  x  f  x      x 1 x2   x 1  x2   x  1 x  f  x    x  1 f   x    x 1 x x 1 x x 1 f  x     f  x   dx  f  x  x2   C x 1 x 1  x 1  x 3 x 3 có * thỏa mãn với x  1;   nên thay x  vào * ta có C  2 x 1 Suy f  x   x   Do f     x 1    * +) Lại Câu (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f '  x    f  x  f ''  x   x  x với x   f    Giá trị f 1 A B C 16 15 D 15 Lời giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Ta có:  f '  x    f  x  f ''  x    f  x  f '  x  ' Từ giả thiết ta có:  f  x  f '  x   '  x  x Suy ra: f  x  f '  x     x  x  dx  x  x  C Với f     C  Nên ta có: f  x  f '  x   x  x Suy ra:  f  x  f '  x  dx    x   x dx  f  x  16  f 1  15 15 Câu (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  xf   x     x 1  f  x  f   x   với x dương Biết f 1  f  1  Giá trị f   A f    ln  B f    2ln  C f    ln  D f    ln  Lời giải Chọn B Ta có:  xf   x     x 1  f  x  f "  x  ; x  2  x  f '  x     x 1  f  x  f "  x     f '  x      f  x  f "  x  x ' 1   f '  x    f  x  f "  x      f  x  f '  x    x x '   Do đó:   f  x  f '  x   dx     .dx  f  x  f '  x   x   c1 x  x  Vì f 1  f ' 1     c1  c1  1     Nên  f  x  f '  x  dx    x   1.dx   f  x  d  f  x      x   .dx x  x    f  x  x2 1    ln x  x  c2 Vì f 1      c2  c2  2 2 2 f  x x Vậy   ln x  x   f    ln  2 Câu (THPT NÔNG CỐNG LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f  x   x f ( x)  x 2018 x  0;1 Tìm giá trị nhỏ  f  x  dx A 2018.2020 B 2019.2020 C 2020.2021 D 2019.2021 Lời giải Chọn D x 2021 Xét hàm số: g  x   x f  x    0;1 2021 Ta có: g   x   x f  x   x f   x   x 2020  x 3 f  x   x f ( x)  x 2018   x  0;1 Do g  x  hàm số không giảm  0;1 , suy g  x   g   x   0;1 x2021 x 2018  0, x   0;1  f  x    0, x   0;1 Hay x f  x   2021 2021 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy: 1  f  x  dx   0 Tích Phân Hàm Ẩn x 2018 dx  2021 2019.2021 Đẳng thức xảy f  x   x 2018 2021  u  uv  uv 2) Quy tắc: Nếu u  u  x  v  v  x     với v  v2 v  f  x   f  x  h  x  dx - Nếu    h  x  g  x   g  x    u  Hệ quả: Nếu u  u  x     với u  u u    g  x  - Nếu    g  x  dx   f  x  f x     Câu (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   , x   Giá trị f 1 35 19 A  B  C  D  36 36 15 Lời giải Chọn B   f  x +)Ta có f   x   x  f  x     2x      xdx   2 x  f  x  f  x    f  x     x2  C f  x 1 +) Lại có f      C      x   f 1   f  x Câu (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;   thỏa mãn x f   x   f  x   f  x   , x   0;    Tính f   biết f 1  e A f    e2 C f    2e2 B f    e D f    e Lời giải Chọn D Ta có f  x   , x   0;     f  x   khơng có nghiệm khoảng  0;    f  x   khơng có nghiệm khoảng 1;   f 1 f    , x  1; 2 Mà f 1  e  nên f    Do x f   x   f  x    f  x   x2 f  x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 f  x 1 d x d x      ln f  x   1 x 1 f  x  x1 Suy 1      1   ln f    ln f 1    ln f    ln e  2  1    ln f     ln f     f    e  e 2   Câu Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  f   x    xf  x  với x   Giá trị f   3 16 A B C D 3 16 Lời giải Chọn B   f  x x3 2 x    x    x dx   C +) Từ giả thiết, ta có   f  x f  x  f  x   10  x3  10 +) Lại có f 1   C       f 2  3 f  x f 2 Câu (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện f 1  , 2 f  x   0, x   x  1 f '  x    f  x    x  1 với x  Giá trị f  2 2 5 A B  C  D 5 2 Lời giải Chọn D f ' x x2  2 Ta có  x  1 f '  x    f  x    x  1   x  1; 2 (*) 2  f  x    x  1 Lấy tích phân vế (*) 1; 2 ta 1 x2 1  f  x  dx  1 x  dx   f  x   1  2 dx   x  x  1  d x  1 1 x           1 f   f 1  f 2  1 x  x x     x  f ' x x2 1    1      f 2  2 f  2 Câu 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1   2  f  x   xf   x   x  x  f  x  , x  1; 2 Giá trị tích phân  xf  x dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A ln 3 B ln Tích Phân Hàm Ẩn C ln D Lời giải Chọn B +) Từ giả thiết, ta có f  x   xf   x    x  x  f  x   f  x   xf   x   xf  x    2x 1   1     2 x  1 dx    x  x  C   2 x   xf  x  xf  x   xf  x   2 1 1 +) Lại có f 1    C   xf  x      xf  x dx   dx x  x  1 x x    1 1 x 1     dx  ln  ln x 1 x  x 1 Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f     f   x    f   x   x   Tính T  f 1  f   A T   9ln B T  C T   ln D T   9ln Lời giải Chọn C 2 Ta có f   x    f   x   x     f   x   1    f   x   x    f   x   1   f   x   x  f   x   1 x dx   dx   C f  x   x  f '  x   x  9 Do f     nên C  suy f   x   x   f  x  x x 1 x 1 Lấy nguyên hàm hai vế    x2     x  dx   9ln x     ln  Vậy T  f 1  f      x 1  0  0 Câu 12 Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f   x    x  3 f  x  f     Biết a a tổng f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   với  a   , b     phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A  1 B  C a  b  1010 D b  a  3029 b b Lời giải Chọn D f  x Ta có f   x    x  3 f  x    2x  f  x  f  x f  x dx    x  3 dx   1  x  x  C Vì f      C  f  x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy f  x     x  1 x    Tích Phân Hàm Ẩn 1  x  x 1 Do f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   1 1009   2020 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 Câu 13 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1  f  x    x  1 f   x   xf  x  , x  1;2 Giá trị  f  x  dx A  ln B  ln  ln 2 C D  ln 2 Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có f  x    x  1 f   x   xf  x   f  x    x  1 f   x  f  x  2x  x   x 1 x 1    xdx   x  C   2x  f  x f  x  f  x   2 1 1  +) Lại có f 1   C   f  x      f  x  dx      dx x x x x  1 12  ln x    ln x1 Câu 14 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f    f  x   f   x    f  x   với x  0;1 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  0; x  B ln A ln D ln C ln12 Lời giải Chọn B +) Ta có f  x   f   x    f  x    e  f  x   e f   x    e x x  f  x   +) Lại có f    ln +) Do S   x f  x  f  x  f  x   1 ex f  x   ex f  x   f  x    ex  e x  ex x    e x dx  e x  C  e  f x f x       ex ex C 2  ex   f  x  f  x  ex ln ex dx  ln  e x  ln  ln  ln x 2e   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 15 Cho hàm số f  x  xác định có đạo hàm liên tục khoảng  0;  thỏa mãn f 1  x  f   x   x   f  x   1, x  Giá trị f  e  A e  e B e  C e  e D e  Lời giải Chọn B +) Từ giả thiết, ta có x  f   x   x   f  x    xf   x   f  x   x  xf   x   f  x  x  xf   x    x  f  x  x   f  x         1 2 x x x x x  x  f  x   x   C x x  +) Lại có f 1   C   f x x  x  f  x   x2   f  e   e  x Câu 16 (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  \ 0 , biết x f  x   1, x  0; f 1  2  x f  x   1  x f   x   f  x   với x   \ 0 Tính e  f  x  dx A 2 e B  e C  e D 1 e Lời giải Chọn A 2 Ta có  x f  x   1  x f   x   f  x     x f  x   1  x f   x   f  x  x f   x   f  x    (do x f  x   1, x  )  x f  x   1   1 1  1  xC  x f  x    x f  x     1 Do f 1  2 nên  C 1   C 1  C  f 1  1 1  x 1 Do  x  x f  x   x  1  f  x     x f  x   x x x e Suy  e e  1 1  f  x  dx       dx    ln x    x x x 1 e 1 Câu 17 (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục khoảng (1;  ) thỏa mãn  xf ( x)  f ( x)  ln x  x  f ( x) , x  (1;  ) ; biết f thuộc khoảng đây? 25    27  A  12;  B  13;       23  C  ;12     e   3e Giá trị f (2) 29   D  14;    Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn C Vì x  (1; ) nên ta có  x f ( x )  xf ( x )  f ( x)  x f ( x)  xf ( x) ln x  x  xf ( x)    ln x   x x   f ( x) f ( x)   f ( x)   f ( x)      ln x       ln xdx   1  dx x x   x   x   f ( x ) ln x f ( x) f ( x)    dx  x   dx  C x x x x2  x  C  f ( x) ln x f ( x) ln x   xC   x  C  f ( x)  x2 x2 ln x x3 Theo f e  3e  C   f ( x) = ln x  23  Do f (2) =   ;12  ln       Câu 18 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;1 f  x   , x   0;1 Biết  3 1 f  a, f  x  xf   x   f  x   , x   0;1 Tính tích phân    b 2    I   sin x.cos x  2sin x dx theo a b f  sin x  3a  b 4ab A I  3b  a B I  4ab 3b  a C I  4ab 3a  b D I  4ab Lời giải Chọn D x   0;1 ta có: x  xf   x   f  x    x   f  x   xf   x   x  x  xf  x   x2 f   x   x  x  x2  x  x xf  x   x f   x       f  x f  x f  x   f  x    Tính I     sin x.cos x  2sin x sin x.cos x  4sin x.cos x d x  dx  f  sin x  f  sin x   Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x    t  , x  t  2 Ta có I   t  4t t2 d t  f t  f t  2  3        3 f    1        3a  b 4ab   4b 4a f  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn f  x   dx    f  x   dx  10 0 Đặt 2t  x   2dt  2dx  dt  dx Đổi cận: x t 2 Vì J    I1   f  2t  dt  2  f  x  dx  10 2 Vậy I  10 TRƯỜNG HỢP RIÊNG: b b Khi đề cho biết giá trị f  a  , f  b  ,  u  x  f   x  dx  h , a thức chứa x tường minh), đề tìm b   f   x   dx  k (với u  x  biểu a f  x  trước tiên ta tìm số  ,  cho   f   x    u  x     dx  , suy f   x    u  x    , sau nguyên hàm hai vế để tìm f  x  a Câu 85 (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x  liên tục  0; 2 , thỏa điều kiện f     2 f  x  dx    f   x   dx  A Giá trị B C  f  x dx : x2 D Lời giải Chọn C u  f  x  du  f   x  dx Đặt   vx   dv  dx 2 2   f  x  dx  x f  x    x f   x  dx    x f   x  dx   x f   x  dx  0 Ta lại có: x  x dx  12  0 2   3 2 2   Do đó:   f   x   dx   x f   x  dx   x 2dx       f   x   x  dx  3  0 0 2   x  (vì   f   x   x  dx  , x  0; 2 ) 2    f  x   x2  C  f  2   C  C  2 f  x 1 Vậy f  x   x   dx   dx  x  x 4 1  f  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 86 (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn 1 0 x f  x  dx  Tích phân f 1  ,   f   x  dx  36 A B  f  x  dx C D Lời giải Chọn B 1 Từ giả thiết:  x f  x  dx    x f  x  dx  0  du  f   x  dx u  f  x   Đặt:   dv  xdx v  x  1 5 Ta có: I   x f  x  dx  x f  x    x f   x  dx 20 0 1 5  f 1   x f   x  dx  10   x f   x  dx , (vì f 1  ) 20 20 1 Mà: I   x f  x  dx    10  1 18 x f   x  dx   x f   x  dx   20 1 2  10  x f   x  dx  36  10 x f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết:   f   x   dx  36 ) 2 0 1   10 x f   x    f   x    dx    f   x  10 x  f   x   dx    0 10 x3 C 10 x3 10.1  Với f 1     C  C  Khi đó: f  x   3 3  10 x  f   x    f   x   10 x2  f  x   Vậy:  1  10 x   5x  f  x  dx     dx    x  3 0  0 Câu 87 (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;  thỏa mãn 2 f    ,   f   x   dx  A 115 B 0 x f  x  dx  Tích phân 297 115 C  f  x  dx 562 115 D 266 115 Lời giải Chọn C Từ giả thiết:  x f  x  dx    x f  x  dx  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Tính: I   x f  x  dx du  f   x  dx u  f  x  Đặt:    dv  3x dx v  x 2 2 Ta có: I   3x f  x  dx  x3 f  x    x f   x  dx  24   x f   x  dx , (vì f    ) 0 2 Mà: I   x f  x  dx    24   x f   x  dx 0 2   x f   x  dx  23   x3 f   x  dx   23 2 x3 f   x  dx    f   x   dx ,  23 0 (theo giả thiết:   f   x   dx  ) 2 4 4     x3 f   x    f   x    dx    f   x   x3  f   x   dx  23  23   0 4  x  f  x   f  x  x  f  x  x C 23 23 23 16 53 Với f      C C  23 23 53 Khi đó: f  x   x  23 23 Vậy  2 53  562   53  f  x  dx    x  dx   x  x  23 23  23  115  115 0 Câu 88 (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;  thỏa mãn   x  1 A I  f  x  dx   , f  2  , 2   f   x   dx  Tính I   f  x  dx 1 B I   C I   20 D I  20 Lời giải Chọn B u  f  x  Đặt  ta dv   x  1 dx 2 Khi  du  f   x  dx   v   x  1    x 1 2 1 3 f  x  dx   x  1 f  x     x  1 f   x  dx 31 2 1 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  31 Xét   f   x   k  x  1  dx   k    File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Tích Phân Hàm Ẩn    f   x   dx  2k   x  1 f   x  dx  k   x  1 dx  1  x  1 k   2k    k   f   x    x  1  f  x   C 4  x  1 7 Do f    nên C    f  x    4 2    x  1 7   Vậy I    x  1  dx    x    4 41   Câu 89 (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm f  x  có đạo 2 1   x  1 f  x  dx   Tính 45 30 hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f   =0 ,   f   x   dx  I   f  x dx A I   36 B I   15 C I  12 D I   12 Lời giải Chọn D  du  f   x  dx  u  f  x  Xét: E    x  1 f  x  dx Đặt   x    dv   x  1 dx v   2 E  x  1 2 2 2    x  1 f   x  dx  1 Ta có: 15   x  1   f   x   k  x  1 dx  Ta tìm số k để 2 2  x  1 x  1   x  1  f  x   f   x  dx    f   x  dx    f  x  dx   1 2 30 1   f   x  dx  45  dx   f   x   k  x  1  2 2 2 dx     f   x   dx  2k  f   x   x  1 dx  k   x  1 dx  1 1 1 1   2k  k   k  45 15 2 1 2  Khi đó:   f   x    x  1  dx   f   x    x  1   f  x    x  1  C 3  1 Mà f     C  1 1 1 3 1  f  x    x  1    f  x  dx     x  1   dx   9 9 9 12 1  Câu 90 (THPT NGHÈN LẦN 1) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa 1 mãn f 1  ,  x f  x  dx  1 0  f   x  dx  Tính tích phân I  0 f  x  dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A I  B I  C I  Tích Phân Hàm Ẩn D I  Lời giải Chọn C du  f   x  dx u  f  x    Xét A   x f  x  dx Đặt  x2 dv  xdx v   1 1 x2 1 1  A f  x    x f   x  dx    x f   x  dx    x f   x  dx  20 20 0 + Xét   f   x  1 dx  2k  x f   x  dx  k 2  x dx  1  2k  k   k  5  1 1 trở thành   f   x  dx  6 x f   x  dx  9 x 4dx     f   x   3x2  dx   f   x   3x  2 0     f   x   3x  dx  Do   f   x   3x  2 dx   f   x   3x   f   x   3x  f  x    x dx  x  C f 1   f  x   x3 1 I   f  x  dx   x 3dx  0 Câu 91 (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  1;1 thỏa f 1  ,  f   x   f  x   x  16 x  với x thuộc  1;1 Giá trị  f  x  dx A  B C D  Lời giải Chọn A Cách 1 Đặt I   f  x  dx 1 u  f  x  du  f   x  dx Dùng tích phân phần, ta có:   dv  2dx v  x  1 1 I   x   f  x  1    x   f   x  dx  f 1    x   f   x  dx     x   f   x  dx 1 Ta có  f   x    f  x   x  16 x   1 1 1   f   x   dx   f  x  dx    8x 1 1   16 x  dx 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  1   f   x   dx    x   f   x  dx    x   dx   8 x 1 1 Tích Phân Hàm Ẩn 1 2   16 x  dx    x   dx 1 1    f   x    x    dx   f   x   x   f  x   x  x  C , C   1 1 Mà f 1   C  3  f  x   x  x    f  x  dx   x  x  dx   0 Cách Chọn f  x   ax2  bx  c  a   (lý do: vế phải hàm đa thức bậc hai)    f   x   2ax  b Ta có:  f   x    f  x   x2  16 x    2ax  b 2   ax2  bx  c   8x2  16 x     4a  4a x   4ab  4b  x  b  4c  x  16 x   4a  a  a     4ab  4b  16  b  c  3 b  4c  8   a  2  b  4 c  6  Do f 1   a  b  c   a  , b  c  3 1 Vậy f  x   x  x    f  x  dx   x  x  dx   0   Câu 92 (THUẬN-THÀNH-BẮC-NINH) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa   mãn f 1   f   x    x  f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1 Tích phân  f  x dx bằng? A 23 15 B 13 15 C  17 15 D  15 Lời giải Chọn B  f   x    x  f  x   40 x6  44 x4  32 x2           f   x   dx   x  f  x  dx   40 x  44 x  32 x  dx 1 0 1     Xét I   x  f  x  dx   24 x  f  x  dx 0 u  f  x   du  f   x  dx Đặt     dv   24 x   dx v  x  x   1      I  x3  x f  x    x  x f   x  dx =   x  x f   x  dx 0 Do đó: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1    f   x   1     Tích Phân Hàm Ẩn   dx   x  x f   x  dx   x  x dx   56 x  60 x  36 x  dx   0    f   x   x  x  dx   f   x   x3  x  f  x   x  x  c Mà f 1   c   f  x   x  x  1 Do    f  x  dx   x  x  dx  13 15 Câu 93 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn     0;  thỏa mãn:   f   x  dx   cos x f  x dx  0 A B   f    Khi tích phân 2  1 C  D   f  x  dx  1 Lời giải Chọn B  *) Xét tích phân I   cos x f  x dx u  f  x  du  f   x  dx Đặt    dv  cos xdx v  sin x    I  sin x f  x   sin x f   x  dx    sin x f   x  dx 0  Theo giả thiết I    , suy  sin x f   x  dx   2  *) Tìm số thực k thỏa mãn f   x   k.sin x  Khi   f   x   k sin x  dx        f   x   dx   2k sin x f   x  dx   k sin xdx  0 0      2k     k   k  2k    k  2  2 Từ đó, f   x   sin x   f   x    sin x  f  x   cos x  C    Do f    nên C  Vậy f  x   cos x  2  *) Ta có    f  x  dx    cos x  1 dx   sin x  x  02   0  Trắc nghiệm:     0  f   x   dx  0 sin x f   x  dx   ta suy f   x    sin x Từ giải tiếp phần Từ giả thiết File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn   Câu 94 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    , 2    f   x    dx      cos x f  x  dx  Tính f  2018  A 1 B C D Lời giải Chọn D Bằng cơng thức tích phân phần ta có       cos xf  x  dx  sin xf  x     sin xf   x  dx Suy  sin xf   x  dx   2     cos x   x  sin x  Hơn ta tính  sin xdx   dx         2  Do đó:   f   x  2    2 dx   sin xf   x  dx   sin xdx     f   x   sin x  dx  0 0   Suy f   x    sin x Do f  x   cos x  C Vì f    nên C  2 Ta f  x   cos x  f  2018   cos  2018   Câu 95 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 A I   e e2  Tính tích phân I   f  x  dx B I  e  C I  e D I  e 1 Lời giải Chọn B u  f  x  du  f   x  dx  Xét A    x  1 e x f  x  dx Đặt   x x dv   x  1 e dx v  xe 1 1 Suy A  xe f  x    xe f   x  dx   xe f   x  dx   xe x f   x  dx  x x x 0 1 Xét  e2 1 e2  2x 2x  x e d x  e x  x     0 40 2 Ta có 1  x x 2x   f   x  dx  2 xe f   x  dx   x e dx    f   x   xe 0  Suy f   x   xe  x  0;1 (do f   x   xe x x  dx  0 x   x  0;1 ) x  f   x    xe  f  x   1  x  e  C Do f 1  nên f  x   1  x  e x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Tích Phân Hàm Ẩn Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx    x  e x  e  0 Câu 96 (THPT-TỒN-THẮNG-HẢI-PHỊNG) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx   ln A  ln B f  x 0  x  12 dx  ln  Tích phân  2ln C  4ln D  f  x  dx  ln Lời giải Chọn A Ta có: f  x   x  1  dx   1 x f   x  f 1 x f   x  x f   x   x  x f  x  f  x d    d x   d x   dx     x 1 0 x 1 x  x   x 1  0 x f   x  f  x dx    dx   ln x 1  x  1 Mặt khác: 2 1      x    0  x   dx  0 1  x   dx  0 1  x    x  12  dx   x  2ln x   x     2ln   Khi đó: 1 x f   x   x  3    f x  x x d  d  0    0 x  0  x   dx   ln    2ln    ln   x  x        f  x    f  x     dx  x 1  x     0 x      f  x  dx  * x    2 x  x     0, x   0;1 nên   f   x   dx  0, x   0;1 Vì  f   x    x  1 x     x x Dấu "  " xảy  f   x    0, x   0;1  f   x   , x  0;1 x 1 x 1 1 1 x2   Khi đó:  f  x  dx  x f  x    x f   x  dx    dx     x    dx x  x    0 0  x2  1  ln     x  ln x     ln   0 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f   x   p  x  f  x   h  x  Phương pháp: + Tìm P ( x)   p( x) dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn p  x dx + Nhân hai vế với e ta p  x  dx p x  dx p  x  dx f   x  e   p  x  e  f  x   h  x  e   f '( x ) e P ( x )  p ( x ).e P ( x ) f ( x)  q ( x ) e P ( x ) p  x dx  p  x dx   f  x  e   h  x  e    + Lấy tích phân hai vế ta f ( x )e P ( x )   q( x)e P ( x ) dx Từ suy f ( x ) Hệ 1: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x  Phương pháp:  + Nhân hai vế với e x ta e x f   x   e x f  x   e x h  x   e x f  x    e x h  x  + Suy e x f  x    e x h  x  dx + Từ ta dễ dàng tính f  x  Hệ 2: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x  Phương pháp:  + Nhân hai vế với e  x ta e x f   x   e x f  x   e x h  x   e x f  x    e x h  x  + Suy e  x f  x    e  x h  x  dx + Từ ta dễ dàng tính f  x  Câu 97 (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số f  x  thỏa mãn f    f  x   f   x   x3 , x   Giá trị f 1 A 4  10 e B 10 C 2 D 2  10 e Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có e x f  x   e x f   x   x 3e x   e x f  x    x 3e x  e x f  x    x 3e x dx  e x f  x   x3ex  3 x2e x dx  x3e x  3x 2e x  6 xe x dx  x3e x  3x 2e x   x  1 e x  C 10 10 +) Lại có f     C  10  f  x   x3  3x  x   x  f 1  2  e e Câu 98 Cho f  x  thỏa mãn f 1  f '  x   3x f  x   15x  12x  e  x , x  R e Tính I   f  x  dx A I   e B I  2e  C I   e D I  2e+1 Lời giải Chọn C   '     Ta có e3 x f  x   e3x f '  x   3x f  x   e3x 15x  12x e 3x  15x  12x Do đó: e3 x f  x    (15x  12x )dx=3x  6x  C  f  x    3x  6x  C  e 3x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vì f 1  Tích Phân Hàm Ẩn  C   f  x   3x  6x e 3x e  1  Khi I   f  x  dx   3x  6x e 3x dx   e 0    Câu 99 Cho hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục  thỏa mãn f     f    f  x   f   x   f   x   x  x , x   Tích phân  f  x  dx A 107 21  12 e B 107 12  21 e C 107 21  12 e D 107 12  21 e Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có: f  x   f   x    f   x   f   x    x  x  f  x   f   x    f  x   f   x    x3  x  e x  f  x   f   x    e x  f  x   f   x    e x x3  x  e x  f  x   f   x     e x  x  x       e x  f  x   f   x     e x x  x dx  e x x  x    2x  2  C  Mặt khác f    f     nên   2  C  C   e x  f  x   f   x    e x  x  x  x     Do e x f  x   e x x3  x  x            e x f  x     e x x  x  x    dx  e x x3  x  10 x  12  x  C f     C  13  f  x    x  13 e x  x  x  10 x  12 1   f  x  dx    x  13 e  x  x  x  10 x  12 dx  0 107 21  12 e Câu 100 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , f    f   x   f  x   e x  1, x   0;1 Tính I   f  x  dx A 2e  B  e  1 C  e D  2e Lời giải Chọn B Ta có f   x   f  x   e x   f   x   f  x   e x   e  x f   x   e  x f  x    e  x  e x f  x     e x  e x f  x   x  e x  C  f  x   xe x   Ce x Do f     C   f  x    x   e x  Do I    x   e x  1 dx   e  1 Câu 101 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f   x   f  x   x 2e x  , với x   , f  0  1 Tính f  3 ? A 6e3  B 6e  C 3e  D 9e3  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn D  Ta có: f   x   f  x   x 2e x   e x f   x   x  e  x  e x f  x   x  e x   3 x x xe  e x  C  f  x     Ce x 3 x xe f    1  1  1  C  C   f  x     f  3  9e3    Do đó: e x f  x    e x f  x  dx  Câu 102 (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn   f  x  f  x  x 1 e x  x 1 A 3e12  , x   f 1  e Giá trị f   B 5e17 D 3e12 C 5e17  Lời giải Chọn B Ta  f  x  f  x  x 1 e có: '      e x f  x   x  e  x 1     x 1 x Xét: I   e x 1 5 dx  e f  x    x e x  x 1 x x    f   x e  e f  x  x 1 e x 1 e f  x   dx =  x  e x  x 1 1 dx   e x 1 dx  e5 f     I1  I * dx 2 x 1 x 1   u  e du  xe dx Đặt:   dv  dx v  x I  xe x 1 5 x e x 1 dx  5e12   I1  I1  I  5e12  *  e5 f  5   5e12   f  5  5e17 Câu 103 Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f 1  e  x  2 f  x   xf   x   x với x Tính f  2 A e  e  B e  e  C 2e  2e  D e  4e  Lời giải Chọn A Biến đổi giả thiết  x  2 f  x   xf   x   x  f   x   x2 f  x   x2 x e x f   x   x  2  x  e x  x   e f  x   e   f  x    e x x x x  ex  f  x   ex dx  e x  C  f  x  x2  Cx2ex x Mà f 1  e  C  e 1  f  x   x2   e  1 x2e x1 e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Vậy, f  2  4  4e  e 1  4e  4e  Câu 104 Cho hàm số y  f  x  có f   x  liên tục nửa khoảng 0;  thỏa mãn f  x   f   x    3.e 2 x Khi đó: A e3 f 1  f    C e e2  e f 1  f    3   1  e2  B e3 f 1  f    e2    D e3 f 1  f    e   e2   Lời giải Chọn C e2 x  ex Ta có: f  x   f   x    3.e 2 x  Nhân hai vế giả thiết với e3x ta  3e3 x f  x   e3 x f   x   e x e x   e3 x f  x    e2 x e2 x  Lấy tích phân từ đến hai vế ta  3x 2x 2x  e f  x  dx   e e  dx   e f  x    3x  2x e 3  31 e e f 1  f    3  e2   Câu 105 Trong hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f ( x )  xf ' ( x )  x 2018 Giá trị nhỏ I   f ( x )dx A 2019.2021 B 2018.2021 C 2020.2021 D 2017.2021 Lời giải Chọn A + f ( x)  xf ' ( x)  x 2018  f ' ( x)  f ( x)  x 2017 , x  x + P( x)  3ln x  e P ( x )  x3   ' + Nhân hai vế (*) cho x ta x f ' ( x )  3x f ( x)  x 2019  x f ( x)  x 2020 , x  0;1  + Lấy tích phân từ đến hai vế có x f ( x) 2018  f (t )  1 t  x t t 2020 2021 t 2021 dx  x  , t  0;1 2021 2021 2018 t t   f (t )dt    2021 2021 2019.2021 Câu 106 Cho hàm số f  x  có đạo hàm R thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.x2017 e2018 x với x   f    2018 Tính giá trị f 1 A f 1  2019e2018 B f 1  2018.e2018 C f 1  2018.e2018 D f 1  2017.e2018 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn A + P ( x )    2018 dx  2018 x + Nhân hai vế với e 2018 x ta   ' f   x  e 2018 x  2018e 2018 x f  x   2018.x 2017  f ( x )e 2018 x  2018.x 2017 + Lấy tích phân từ đến hai vế ta  f ( x) e 2018 x  |   2018x 2017 dx  f (1)  2019e2018 Câu 107 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f      xf  x   f   x   x x  với x   0;1 Tích phân  xf  x  dx A e4 8e B C D e4 4e Lời giải Chọn A 2 2 Nhân hai vế giả thiết với e x ta e x xf  x   e x f   x   e x x  x  1    e x f  x    x 3e x  xe x    2 ex x2 x2 e f  x    x  x  1 e dx  x    C  f  x    x    Ce  x  2 2 Do f     C   f  x   x   e  x 1  e4 1 Vậy  xf  x  dx   x  x   e  x dx  8e  0  2     Câu 108 (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0,   Biết f  0  2e f  x  thỏa mãn đẳng thức f '  x   sin x f  x   cos x.ecos x , x   0,   Tính  I   f  x  dx (làm tròn đến phần trăm) A I  6,55 B I  17, 30 C I  10,31 D I  16,91 Lời giải Chọn B f '  x   sin x f  x   cos x.e cos x Chia hai vế đẳng thức cho ecos x ta f '  x  e cos x  e cos x sin x f  x   cos x (vế trái có dạng u ' v  uv ' )      f  x  e  cos x '  cos x   f  x  e  cos x 'dx   cos x.dx  f  x  e cos x  sin x  C Do f    2e nên 2e.e 1  C  C  Vậy f  x    sin x   ecos x  sin x   e  cos x  I   f  x  dx   ecos x  sin x   dx 0 Sử dụng MTCT (để đơn vị rad) KQ: 10,31 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 109 Suy Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2ln x  x  1 f   x   f  x   x  x Giá trị f  2  a  b ln , với a, b   Tính a  b A 25 B C D 13 Lời giải Chọn B + Trước tiên ta đưa phương trình dạng tổng quát f   x   + P( x )   f  x  x  x  1 x dx  ln (ta cần xét x>0) x( x  1) x 1 ' + Nhân hai vế cho e P ( x ) ta f   x  x x x  x     f ( x ) f  x    x   x  1 x 1  x 1  x 1 + Lấy tích phân từ đến hai vế ta có 2 3 x  x 3  dx   x  ln  x  1   f     ln Suy a  b    f ( x)   1 2 x 1  x 1 2  Vậy a  b    Câu 110 Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm  0;  , thỏa mãn hệ thức  2 x     f  x   tan xf   x   Biết f    f    a  b ln a, b   Tính giá cos x 3 6 trị biểu thức P  a  b 14 A P   B P   C P  D P  9 9 Lời giải Chọn A x Từ giả thiết  cot x f  x   f   x   cot x cos3 x cot xdx Nhân thêm vế với e  sin x ta có cos xf  x   sin xf   x   x x  sin xf  x    cos x cos2 x x dx  x tan x  ln cos x  C cos x      Với x    f     ln   3f 3 Suy sin xf  x           ln  2C 3        Với x    f    ln  ln  C   f      ln  2ln  2C 6 6  a      Suy f    f      ln   P  a b    3 6 b  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ... 17 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: 17 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 23 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 33 TÍCH PHÂN... Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 1)...ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP DẠNG 2: PHƯƠNG