Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt

Tích phân hàm ẩn là một dạng toán thuộc mức độ vận dụng – vận dụng cao, được xuất hiện khá nhiều sau khi Bộ Giáo dục và Đào tạo quyết định thay đổi hình thức thi THPT Quốc gia môn Toán từ dạng tự luận sang dạng trắc nghiệm, trong đó hàm số cần tính nguyên hàm – tích phân không được cho ở dạng tường minh mà được “ẩn” kèm theo một số điều kiện có sẵn, điều này giúp làm hạn chế khả năng can thiệp của máy tính cầm tay trong quá trình giải toán, đòi hỏi học sinh cần phải tư duy nhiều hơn.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình “Nơi có ý chí, nơi có đường.” TÍCH PHÂN HÀM ẨN .1 https://luyenthitracnghiem.vn MỤC LỤC DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 10 DẠNG : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN 12 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp toán đơn giản loại 12 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho dạng 18 CHÚ Ý 1: Với hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ 20 CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược hàm số đồng biến nghịch biến 22 CHÚ Ý 3: Bài tốn tích phân có dạng sau: 23 CHÚ Ý 4: Một số tốn khơng theo khn mẫu sẵn u cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ biến đổi để đưa dạng quen thuộc 26 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN .31 BÀI TẬP .46 THẦY VIỆT  0905.193.688 https://www.facebook.com/vietgold MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN 20 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 1: Cho 2  f  x  dx  10 Kết  2  f  x  dx D 32 C 40 B 36 A 34 Lời giải Chọn A Tacó 2 5 5  2  f  x  dx  2 dx  4 f  x  dx  2x  4 f  x  dx  2     4.10  34 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liên tục F  x  nguyên hàm f  x  , biết  f  x  dx  F    Tính F   A F    6 C F    12 B F    D F    12 Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/vietgold Ta có: I   f  x  dx  F  x   F    F     F    12 0 Nhận xét 1: Trong hai ví dụ ta thấy tích phân cần tính có cận với tích phân giả thiết tốn nên học sinh dễ dàng nhận thấy làm Trong số trường hợp học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân phải dùng đến tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn 6  f  x  dx  10  f  x  dx  Tính giá trị biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx C P  B P  16 A P  ` D P  10 Lời giải Chọn A Ta có 6 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 6 4  P   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10   \0 , thỏa mãn f   x   Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  xác định f  2   b Tính f  1  f   A f  1  f    a  b , f  1  a x  x5 https://luyenthitracnghiem.vn B f  1  f    a  b C f  1  f    a  b D f  1  f    b  a Lời giải Chọn C Ta có f    x   Do  x    x     f   x  nên f   x  hàm số lẻ x  x5 1 2 2  f   x  dx    f   x  dx   f   x  dx Suy f  1  f  2    f    f 1  f  1  f    f  2   f 1  a  b Nhận xét 2: Trong số trường hợp địi hỏi học sinh phải có kỹ phân tích, tổng hợp, kĩ biến đổi phải có nhìn sâu tốn  f  t  dt  x.cos  x Tính f   https://www.facebook.com/vietgold Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  liên tục  0;   thỏa x2 A f    123 B f    C f    D f    Lời giải Chọn D Ta có: F  t    f  t  dt  F '  t   f  t  Đặt G  x   x2  f  t  dt  F  x   F        G '  x    F x2   2x f x (Tính chất đạo hàm hợp: f ' u  x   f '  u u '  x  )   / Mặt khác, từ gt: G  x   x2  f t  dt  x.cos  x  G '  x    x.cos  x  '  x sin  x  cos  x THẦY VIỆT  0905.193.688 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình    2x f x2  x sin  x  cos  x (1) Tính f    ứng với x  https://luyenthitracnghiem.vn Thay x  vào (1)  f    2 sin 2  cos 2   f      Ví dụ 6: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  dt Tính G '   2 x   A G '    1 2   B G '    2   C G '    2   D G '    2 Lời giải: Chọn B Cách 1: Ta có: F  t    t.cos  x  t  dt  F '  t   t.cos  x  t  x Đặt G  x    t.cos  x  t  dt  F  x  F   / /    G '  x    F  x   F    F '  x   F '     x cos  x  x     x '   G '    2 https://www.facebook.com/vietgold x Cách 2: Ta có G  x    t.cos  x  t  dt Đặt u  t  du  dt , dv  cos  x  t  dx chọn v   sin  x  t  x x 0  G  x   t.sin  x  t    sin  x  t  dt   sin  x  t  dt  cos  x  t   cos  cos x   cos x x x     G '  x   sin x  G '    sin  2 Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm thỏa  f    f     1; Tính   f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y  A B  C  f  x  1dx D Lời giải Chọn C THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   3x2  6xy , x  Cho y   f   x   f     3x2  f   x    3x2 Vậy f  x    f   x dx  x3  x  C mà f     C  suy f  x   x3  x   f  x  1dx   f  x dx    1 1 DẠNG SAU: f '( x)  g( x), f '( x)  f ( x) n  x4 x2  1 x  x  dx     x       4   1   g( x) (Trong g( x) hàm số biết, n số dương) Ví dụ 8: Cho hàm số f  x  xác định \1 thỏa mãn f   x   f    2018 Tính S  f    f  1 A S  B S  ln C S  ln 4035 Lời giải , f    2017 , x 1 D S  https://luyenthitracnghiem.vn 0 Chọn A  f  x  dx   x  dx  ln  x    C  f  x   ln  x    2017  Theo giả thiết f    2017 , f    2018 nên   f  x   ln  x    2018 Do S  f    f  1  ln  2018  ln  2017  Cách 1: Ta có x  x  0  dx  ln x  |01  ln (1)  f (0)  f ( 1)   f '( x)dx   x 1  1 1 Ta có:  3  f (3)  f (2)  f '( x)dx  dx  ln x  |3  ln (2) 2 2 x    Lấy (1)+(2), ta f (3)  f (2)  f (0)  f ( 1)   S  Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x) xác định 2 1 \   thỏa mãn f   x   , f    f    3x  3 3 Giá trị biểu thức f  1  f   A  5ln B 2  5ln C  5ln D  5ln Lời giải Chọn A THẦY VIỆT  0905.193.688 https://www.facebook.com/vietgold Cách 2: “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình   1 ln 3x   C1 x   ;  3 3    f  x   dx=  Cách 1: Từ f   x   3x  3x  ln 3x   C x   ;   3     https://luyenthitracnghiem.vn   1  f 0  ln 3x   x   ;  3 0  C1  C      f  x   Ta có:       C  C    f      3 ln 3x   x   ;       3  Khi đó: f  1  f    ln   ln    ln 32   5ln   f 0   Cách 2: Ta có   f  3    f  1  f  x  1   f   x  dx  1 3 3  3x  dx  ln 3x  1 1  ln 3 2 f    f  x    f   x  dx   dx  ln 3x   ln 3 3 2 3x  1  1 2 2 Lấy     1 , ta được: f    f  1  f    f    ln 32  f  1  f     5ln 3 Ví dụ 10: Cho hàm số f  x  xác định 1 \   thỏa mãn f   x   f    Giá trị 2x  2 https://www.facebook.com/vietgold biểu thức f  1  f   A  ln15 B  ln15 C  ln15 D ln15 Lời giải Chọn C d  x  1 Ta có f  x    f   x  dx   dx    ln 2x   c 2x  2x  f     c   f  x   ln 2x    f  1  ln   f  1  f     ln15   f    ln  Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) xác định 1 \   thỏa mãn f ( x)  , f (0)  f (1)  2x  2 Giá trị biểu thức f (1)  f (3) A  ln B  ln15 C  ln15 D ln15 Lời giải THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn C 1  Cách 1: • Trên khoảng  ;   : f ( x)   dx  ln(2 x  1)  C1 2x  2  Lại có f (1)   C1   1 • Trên khoảng  ;  : f ( x)   dx  ln(1  x)  C2 2 2x   https://luyenthitracnghiem.vn Lại có f (0)   C2   ln(2 x  1)  x    Vậy f ( x)   ln(1  x)  x    Suy f (1)  f (3)   ln15 Cách 2: 0  2dx  ln x  |01  ln (1)  f (0)  f ( 1)   f '( x)dx   2x   1 1 Ta có:  3  f (3)  f (1)  f '( x)dx  2dx  ln x  |3  ln (2) 1 1 2x    Lấy (2)-(1), ta f (3)  f (1)  f (0)  f ( 1)  ln15  f ( 1)  f (3)   ln15 Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) xác định 1 \   thỏa mãn f   x   , f    3x  3 2 f    Giá trị biểu thức f  1  f   3 B 2  5ln C  5ln https://www.facebook.com/vietgold A  5ln D  5ln Lời giải Chọn A   1 ln 3x   C1 x   ;  3 3    f  x   dx=  Cách 1: Từ f   x   3x  3x    ln 3x   C x  ;  3       1  f 0  ln 3x   x   ;  3 0  C1  C      f  x   Ta có:       C  C    f    ln 3x   x  ;   3 3        Khi đó: f  1  f    ln   ln    ln 32   5ln THẦY VIỆT  0905.193.688 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình https://luyenthitracnghiem.vn   f 0   Cách 2: Ta có   f  3    f  1  f  x  1   f   x  dx  1 3 3 0 dx  ln x   ln 1 3x  1 3 2 f    f  x    f   x  dx   dx  ln 3x   ln 3 3 2 3x   1 2 2 Lấy     1 , ta được: f    f  1  f    f    ln 32  f  1  f     5ln 3 Ví dụ 13: Cho hàm số f  x  xác định \2; 2 thỏa mãn f   x   f    f    Tính giá trị biểu thức P  f  4   f  1  f   A P   ln 25 B P   ln C P   ln Lời giải ; f  3   ; x 4 D P   ln Chọn B Từ f   x   4dx 4dx   f  x   x 4 x 4  x   x    ln    ln   ln  x2  C1 x   ; 2  x2 x2  C2 x   2;  x2 x2  C3 x   2;   x2 https://www.facebook.com/vietgold   f  3   ln  C1  C1   ln    Ta có  f     0  C2   C2    C   ln   f    ln  C3    ln    f  x   ln   ln  x2 -ln5 x2 x   ; 2  x2 1 x2 x   2;  x2   ln x   2;   x2 Khi P  f  4   f  1  f    ln  ln  ln   ln   ln   ln Nhận xét 3: Những tập kiểu học sinh cần ý, làm theo cách số nguyên hàm khoảng khác Nếu làm theo cách hai việc chọn cận lấy tích phân có làm học sinh khó khăn, chắn cần hướng dẫn tỷ mỉ người thầy học THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn   1;1 , thỏa mãn f  x   0, x  f '  x   f  x   Biết f  1  , tính f  1 A f  1  e 2 C f  1  e B f  1  e D f  1  Lời giải Chọn C f '  x f '  x  f  x   ln f  1 f  1  4  f  x f  1 f  1  2   1 1 f '  x df  x  dx   2dx    4  ln f  x  f  x f x   1 1 1  4  e 4  f  1  f  1 e  e Ví dụ 15: Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f   x    2x   f  x  a f     Biết tổng f 1  f    f     f  2017   f  2018   với b a a  , b   phân số tối giản Mệnh đề sau đúng? b  A  a  1 b B a  b C a  b  1010 https://luyenthitracnghiem.vn Biến đổi: D b  a  3029 Lời giải Ta có f   x    2x   f  x    f  x f f  x f  x dx    x   dx    x https://www.facebook.com/vietgold Chọn D  2x   x  3x  C f  x Vì f      C  Vậy f  x     x  1 x    1  x x1 Do f  1  f    f     f  2017   f  2018   1 1009   2020 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 THẦY VIỆT  0905.193.688 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 16: Cho hàm số y  f  x   xác định, có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn: x g  x    2018  f  t  dt , g  x   f  x  Tính https://luyenthitracnghiem.vn A 1011 B 1009  g  x dx C 2019 D 505 Lời giải Chọn A x Ta có g  x    2018  f  t  dt  g  x   2018 f  x   2018 g  x  g  x   g  x 2  t  2018   g  x  g  x t dx  2018  dx   g  x  t t  2018 x  g  t    2018t (do g    )  g  t   1009t  1  https://www.facebook.com/vietgold  1009  1011 g  t dt   t t   0 Ví dụ 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f     f   x    f   x   x   Tính T  f 1  f   A T   9ln B T  C T   ln D T   9ln Lời giải Chọn C   Ta có f   x    f   x   x    f   x      f   x   x    Lấy nguyên hàm hai vế   Do f     nên C  f   x    f   x   x   f   x   1 x dx   dx   C f  x  x  f '  x   x  9 suy f   x   x   f  x  x x1 x1  x2     x  dx   ln x     ln  Vậy T  f  1  f      0 x1   0 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình C f  3  15 15   D f  3  28ln 28 56ln 56 Lời giải Chọn D Ta có:  x  1 ln  2 f  x    x  1 f '  x   x   f  x  x  1 x   22 x Do đó: 3 1 x  2x x 2x   f  x  x  1  dx   dx  f  x  2x  1   dx 22.3  22.1 15  56 f  3  f 1   f  3   2ln 28ln 28 Câu 54: Cho hàm y  f  x số liên x  x  1 f   x   f  x   x  x, x  0; 1 f    a  b ln  a, b  A  Tính B tục \ 0; 1 f 1  2ln thỏa: Biết a  b2  ? 13 Lời giải C D https://www.facebook.com/vietgold Chọn D Ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x  1  f  x  f  x f  x x x   f  x   x  x  1 x   x  1 x 1 x  x    f  x   x 1  x 1  2 x  x  x   Do   f  x  dx   f  x     x  ln x    dx   x 1  x 1  x 1  1 2 2  f    f 1   ln   a  b ln 3   2ln    ln 3 3  a  2   a  b2   a  b ln   ln   3 b     THẦY VIỆT  0905.193.688 https://luyenthitracnghiem.vn  2x  x  1 ln  2 f  x   x  x  1 f '  x    x  74 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình     Câu 55: Cho hàm số y  f  x  có đạo làm liên tục đoạn 0;  f    Biết  4 4  f  x  dx  A I  https://luyenthitracnghiem.vn     , f   x  sin2xdx    B I   Tính I   f  x  dx C I  D I  Lời giải Chọn B Cách : Ta thấy:    f   x  sin2x dx           sin2x d  f  x   sin x f  x    f  x  2cos2x dx    4 0      sin f      f  x  2cos2x dx     f  x  cos2x dx  4 0 4   Do  cos  x  dx  nên:    4  f  x  dx  2 f  x  cos  x  dx   cos  x  dx  2 0 0  https://www.facebook.com/vietgold    f  x   cos  x   dx   f  x   cos x  C   Do f     C  , nên f  x   cos x 4   8 0 Vậy I   f  x  dx  I   cos  x  dx  Cách : Dùng bất đẳng thức Holder  b a f  x  g  x  dx   b a f  x  dx. g  x  dx b a Dấu xảy  f  x   k.g  x  , k   Theo cách thứ nhất, ta có:   f  x  cos  2x  dx     4    2 2 4  0 f  x  cos  x  dx   0 f  x  dx.0 cos  x  dx   8 64   75 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Dấu xảy  f  x   k.cos x , k  Với f  x   k cos x , k    k   cos x  dx        k cos x.cos x  dx   k   f  x   cos x  8 0 Vậy I   f  x  dx  I   cos  x  dx  Câu 56: (PTNK-HCM LẦN 1) Cho hai hàm f  x  g  x  có đạo hàm đoạn 1;4  f 1  g 1  thỏa mãn hệ thức  Tính I    f  x   g  x   dx  g  x    x f '  x  ; f  x    x.g '  x  A 8ln B 3ln C 6ln D 4ln Lời giải Chọn A Ta có f ( x)  g ( x)   x  f '( x)  g '( x)    f ( x)  g ( x) dx    x  f '( x)  g '( x) dx   x  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)dx   x  f ( x)  g ( x)  C  f ( x)  g ( x)   https://luyenthitracnghiem.vn  C x Vì f (1)  g (1)  C  C  4 4 Câu 57: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f    f 1  Biết  f  x  dx  ,  f   x  cos  x  dx  A  B   Tính  f  x  dx C  Lời giải D 3 Chọn C Ta có  1  f  x  cos  x  dx   cos  x  df  x   f  x  cos  x     f  x  sin  x  dx 0 1 0   f 1  f      f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx     f  x  sin  x  dx  2 b b  b Áp dụng bất đẳng thức   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx ta có: a a  a 1  1  1  cos 2 x  x sin 2 x  1    f  x  sin  x  dx    f  x  dx. sin  x  dx   dx     0 0 2 2 4   0  THẦY VIỆT  0905.193.688 76 https://www.facebook.com/vietgold  I    f ( x)  g ( x) dx   dx=8ln2 x 1 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Dấu xảy f  x   k sin  x Từ ta có: 1  cos 2 x k sin 2 x  k   f  x  sin  xdx   k sin  x  dx  k  dx   x     k  2 2 0 0 1 https://luyenthitracnghiem.vn Suy f  x   sin  x Do 1 0  f  x  dx   sin  xdx   cos  x    Câu 58: [Thi thử THPT Gia Bình - Bắc Ninh] Gọi trình a3  x  1  a nguyên dương A 46  x  1  a3 sin x m giá trị lớn a để bất phương n có nghiệm, m, n số m phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P  22m  n n B 38 C 24 D 35 Lời giải Chọn B Điều kiện: x  Biến đổi tương đương bất phương trình ta a  x  1  a sin x  x  1  a 0 https://www.facebook.com/vietgold  x  x    a  x  1  sin  a  sin  0  2     x  a  sin    0, x nên bất phương trình vơ nghiệm   Nếu a  16 Nếu a  bất phương trình trở thành 16  2x sin  1 x  1 2x  x  3, x  1   x  1  sin   1  sin           x  12  sin  x  2 Vậy a  giá trị lớn để bất phương trình có nghiệm 16 Suy m  1; n  16  P  22m  n  22.1  16  38 Câu 59: (THPT Quảng Xương - Thanh Hoá - Lần - Năm 2018) Cho hàm số y  f  x   xác định, có đạo hàm đoạn  0;1 thỏa mãn: 77 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình x g  x    2018 f  t dt , g  x   f  x  Tính  g  x dx 0 A 1011 B 1009 2019 C D 505 Lời giải Chọn A x g  x    2018 f  t dt  g '  x   2018 f  x   2018 g  x   2  g ' x g  x  t  2018   g  t    2018t  g  t   1009t    g  t dt  Câu 60: Cho hàm số y  f  x  xác định       0  f  x   2 f  x  sin  x   dx  Tích phân 2  B g  x t dx  2018 dx 1011 đoạn  A g ' x   0;  thỏa mãn https://luyenthitracnghiem.vn Ta có g     f  x  dx C D  Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn B      +) Đặt I    f  x   2 f  x  sin  x    dx Ta có              I    f  x   2 f  x  sin  x    2sin  x    dx   2sin  x   dx 4 4     0    2       I    f  x   sin  x    dx   2sin  x   dx 4                 2 2 2sin x  d x    sin x d x  c os x  d x +) Có      x  cos2 x |0         2         0 2   +) Mà I  suy THẦY VIỆT  0905.193.688     0  f  x   sin  x   dx  (1) 78 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình +) Áp dụng kết quả: Nếu f  x  liên tục không âm đoạn  a; b  b  f  x  dx  a https://luyenthitracnghiem.vn Dấu "  " xảy f  x   với x   a; b      Từ (1) suy f  x   sin  x    hay f  x   sin  x   4 4     +) Do  f  x  dx   0      sin  x   dx   2cos  x  |  Chọn B 4 4   Câu 61: (Đề tham khảo BGD năm 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  , 1   f   x  dx   x f  x  dx  0 Tích phân  f  x  dx A Lời giải B C D Chọn A 1 u  f  x   du  f   x  dx +) Đặt  , x f x d x  x f x  x3 f   x  dx         dv  3x dx  0 v  x https://www.facebook.com/vietgold +) Ta có  f 1   x3 f   x  dx suy x f   x  dx  1 0 b b  b +) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx Dấu a a  a "  " xảy f  x   kg  x  với k số Ta có b  b b x7      x f  x  dx    x dx.  f  x   dx   Dấu a a  a f   x   kx3 với k số Mà 1 0 "" xảy  x f   x  dx  1 hay  kx dx  1 suy k  7 7 +) Vậy f   x   7 x3 nên f  x    x  c mà f 1  nên f  x   1  x  suy 4  f  x  dx  Chọn A 79 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 0;1 Câu 62: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 2 A 1  f   x  f  x  dx  3  f   x  f  x    dx Tích phân 9 0 B thỏa mãn f     f  x  dx Lời giải C D b +) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân  a b  f  x  dx. g  x  dx    f  x  g  x  dx  Dấu a a  b 2 "  " xảy f  x   kg  x  với k số 1 +) Ta có  dx. f   x  f  x  dx    0 0  f   x  f  x  dx  (1) nên từ giả thiết suy  2 1 f   x  f  x  dx  3  f   x  f  x   dx     0  f   x  f  x  dx    2 1 hay   0 1 f   x  f  x  dx     3  f   x  f  x  dx  https://luyenthitracnghiem.vn Chọn D dấu "  " (1) xảy ra, tức ta    f   x  f  x  dx   k  Từ tính f  x   có    f x f x  k      x3 suy  f  x  dx  y  f  x  có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa mãn Câu 63: Cho hàm số 0 [ f '( x )] dx  11 A 1 0 x f  x  dx  11 Giá trị  f  x  dx 35 11 B 65 21 C f 1  , 23 D Lời giải Chọn C Cách1: Xét A   x f ( x)dx , Đặt A 1 x f ( x) Lại có x 10 THẦY VIỆT  dx  x5 f '( x)dx u du f ( x) dv x dx 11 5 v f '( x) dx x x5 f '( x)dx 11 x5 f '( x)dx 11 nên: 11 0905.193.688 80 https://www.facebook.com/vietgold Chọn D “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 1 0 10   f '( x) dx  4 x f '( x)dx  4 x dx     f '( x)  x5  dx   f '( x)  2 x5 https://luyenthitracnghiem.vn  f ( x)   x6 10  C  C  (do f (1)  0) 3   x6 10  23  I     dx  3 0 Cách 2: Trắc nghiệm 11 f '( x) dx Từ 2x f '( x) f '( x) 11 x5 f '( x)dx Chọn f '( x) x5 dx 0 x6 f ( x) 10 I 23 3x  x  f  x  f 1   Cho biết giá trị x b 1b  f 1  f    f  3   f  2017     1 , với phân số tối giản Tính a  b a 2 a  https://www.facebook.com/vietgold Câu 64: Cho f  x   biết A 4070307 f  x  B 4070308 C 4066273 D 40662241 Lời giải Chọn B Có f  x   f  x f  x 3x  x    f  x  dx    3x    dx  3x     2 x f  x f  x x  x  1  x3  x   C f  x x 1 x4  x2  1  x3  x   f 1    C    f  x x x        2 x  x 1  x  x 1 2x x    f  x   x  x2  x2   x2 x2  x  x2  x     1 1  f  x       x  x  1  x  x  1   81 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 1 1 1 1  S   f  x           1.2  0.1  2.3  1.2  2017.2018  2016.2017   x 1 1 b  1   1     1   2 2017.2018    a 2017  a  2017.2018  1, b   a  b  4070308 Câu 65: Cho hàm số f  x  có đạo hàm thỏa mãn f  ( x)  2018 f ( x)  2018.x 2017 e2018 x với A f (1)  2019e2018 B f (1)  2019e2018 C f (1)  2018e2018 https://luyenthitracnghiem.vn f (0)  2018 Tính giá trị f (1) x  D f (1)  2017.e2018 Lời giải Chọn A Ta có f ( x)  2018 f ( x)  2018.x 2017 e2018 x   f ( x)  2018 f ( x)  2018.x 2017 e2018 x f ( x)  2018 f ( x) dx   2018.x 2017dx (1) e2018 x 1 Xét I   f ( x)  2018 f ( x) dx   f ( x).e2018 x dx   2018 f ( x).e 2018 xdx 2018 x e 0 1 u  f ( x) du  f ( x)dx  Xét I1   2018 f ( x).e2018 xdx Đặt   2018 x dx v  e2018 x dv  2018.e Do I1  f ( x).(e 2018 x )   f ( x).e2018 x dx  I  f (1).e2018  2018 0 Khi từ (1) suy I  f (1).e2018  2018  x 2018  f (1)  2019.e2018 1  3  f   x   f  x     dx  2 f   x  f  x  dx Tính tích phân 9 0 A B   f  x  dx Lời giải C D Chọn D Áp dụng BĐT Holder ta có: 2 1  1  1     f ( x)  f ( x)  dx     f ( x) f ( x)dx   4 f ( x) f ( x)dx 9  0  0  1  1      f ( x) f ( x)  dx   4 f ( x) f ( x)dx  9  0  1 1 f ( x)    f ( x) f ( x)dx     f ( x) f ( x)    xC 9 0  THẦY VIỆT  0905.193.688 82 https://www.facebook.com/vietgold Câu 66: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm dương, liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f (0)  “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 1 Vì f (0)  nên C  Khi f ( x)  x  3 Vậy https://luyenthitracnghiem.vn 1    f ( x) dx    x  1dx  Câu 67: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 49] Cho hàm số f ( x) dương có đạo hàm liên tục 0; 1 thỏa f    f 1  mãn 1 1  f  x   0  x  1 f   x  dx= , 0  f   x  dx= 64 Tính tích phân   1 A B C 32 24 Lời giải 3 , 16 f   x   0x  0; 1  f  x dx D Chọn B Ta có:   x  1 1 f ( x)dx=  x  1 f  x     x  1 f  x  dx 0 mà f    f 1  1 ,   x  1 f   x  dx= 16 1 https://www.facebook.com/vietgold Nên   x  1 f  x  dx= 16  f  x    ;   x  1 f   x   x  0; 1 Vì f  x   , f   x   0x  0; 1 nên   f   x   1 f  x    x  1 f  x  dx     16 0   f   x        x   f ' x   dx             f  x   1  3  3 dx  x  f x dx       0  f x         2 1     64   16 Dấu "  " xảy  f  x   f  x 1  k  x  1 f   x    ln  f  x    ln  x  1  C 3 f  x k x 1 k  f   x   1 1 1 Do f    , f 1  nên C  ln ,  2  f  x     f  x  dx  32 16 k  x  1 83 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Câu 68: [THPT ĐẶNG THÚC HỨA LẦN 1- 2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục 0; 1 thỏa mãn f 1  1, f   x   0x 0; 1 1 0  f   x  dx= , 0 f  x dx= 52 Tính tích phân I   f  x dx A I  B I  C I  D I  đoạn 1; 4 thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với x  1;4  f 1  g 1   1 Tính I    f ( x).g ( x) dx  ; g ' x    f ' x  x x g ( x) x x f ( x)  A 4ln B C 2ln D Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta có f '( x).g ( x)  x x g '( x) f ( x)   x x 1  , hay  f ( x).g ( x)   f '( x).g ( x)  g '( x) f ( x)   x x x x Do f  x  g  x     x x 1  I    f ( x).g ( x) dx    C Lại có f 1 g 1  2.1  nên C  x dx=4 x Câu 70: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 A I   e 0;1 thỏa mãn f 1  e2  Tính tích phân I   f  x  dx B I  e  C I  e D I  e 1 Lời giải Chọn B Xét A    x  1 e x f  x  dx u  f  x   du  f   x  dx Đặt    x x  dv   x  1 e dx v  xe THẦY VIỆT  0905.193.688 84 https://www.facebook.com/vietgold dx  , suy https://luyenthitracnghiem.vn Câu 69: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Lần - 2018) Cho hai hàm f  x  g  x  có đạo hàm “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 1 0 Suy A  xe x f  x    xe x f   x  dx    xe x f   x  dx   xe x f   x  dx  1  e2 1 1 e2  1 Xét  x e dx  e  x  x    40 2 2x https://luyenthitracnghiem.vn 2x Ta có : 1 0 x x 2x   f   x  dx  2 xe f   x  dx   x e dx     f   x   xe  dx  2 Suy f   x   xe x  0, x  0;1 (do  f   x   xe x   0, x  0;1 )  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  nên f  x   1  x  e x 1 0 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx    x  e x  e  Câu 71: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo f (0)  0, f '(1)  hàm đến cấp 39 ,  [f '( x)]2 dx  ,  ( x  x) f "( x)dx  Tính 2 tích phân I   f ( x)dx https://www.facebook.com/vietgold A 14 Lời giải B 14 C D Chọn D Chọn f ( x)  ax  bx, f (0)  0; f '( x)  2ax  b, f '(1)  [ f '( x)]2  (ax  b)   (ax  b) dx  9  2a  b  (1) 2 39 a  2ab  b  (2) 1 0 Lại có: f "( x)  2a   ( x  x) f "( x)dx  2a  ( x  x)dx  Thay (3) vào (1) ta b  5a 5a    a  (3) 3 2 Từ thay a, b vào (2) kiểm chứng (2) 2 3 Vậy ta tìm f ( x)  ( x  x) Vậy I   f ( x)dx   (x  x)dx  20 85 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Câu 72: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f   x   x  , x  x  f 1  Tìm giá trị nhỏ f   A  ln 2 Lời giải B C D Theo giả thiết f   x   x  , x  x  nên lấy tích phân hai vế với cận từ đến ta 1  được:  f   x  dx    x   dx   ln x 1 2 Mà  f   x  dx  f  x   f    f 1  f    nên f     Suy f     ln 2  ln 2 Đẳng thức xảy f   x   x  , x  x x2  ln x  C , mà f 1  nên C  2 Do f  x   x2  ln x  2 Vậy giá trị nhỏ f    https://www.facebook.com/vietgold Suy f  x   x2  ln f  x    ln x  2  f  1  g 1  1; f   g    f 1  Câu 73: Cho hàm số f  x  g  x  thỏa mãn    1  f   x  g   x   g  x   f   x   x f   x      x  Tính tích phân I   f  x  g   x  A I   ln 3 B I    ln C I   ln 4 Lời giải D I    ln Chọn D    f   x  g   x   g  x   f   x   f   x  x    x  xf   x  g   x   g  x   xf   x   f   x  THẦY VIỆT  0905.193.688 https://luyenthitracnghiem.vn Chọn C 86 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình  g  x   xf   x   xf   x  g   x   x https://luyenthitracnghiem.vn   xf   x  g  x   x x2  xf   x  g  x    C Do f  1  g 1  nên xf   x  g  x   x2 x  hay f   x  g  x    2 2x Lấy tích phân cận từ đến ta x   ln     dx   f   x  g  x  dx  f  x  g  x   I 2 2x  1 2  I    ln 1  Câu 74: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  ;  thỏa mãn f  x   2  x  * Tính tích phân I   A I  B I  1 f   ,  x x f  x dx x C I  4ln  15 D I  4ln  15 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Chọn A Đặt: t  1  x   dx   dt x t t Đổi cận: I  1 f  2  t  dt  f   dt  f   dx 1 t  t  1 x  x  t2 2 t  3I   87 2 f  x 1 1 dx   f   dx    f  x   x x x x  2 3   f    dx   dx   dx  x  x x x 2 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình I  2  1 dx      x  x1 2 Câu 75: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  x   xf   x   x 2018 , x  0;1 Tính I   f  x  dx 2019.2021 B I  2018.2019 C I  2018.2020 D I  2019.2020 https://luyenthitracnghiem.vn A I  Lời giải Chọn A Nhân x vào hai vế giả thiết ta 3x f  x   x3 f '  x   x 2020   x3 f  x   x 2010 ' x 2021 x 2018 c Suy   x3 f  x  dx   x 2010dx  x3 f  x    c  f  x   2021 2021 x3 Chọn f  x    x 2018 ta có 2021 1 x 2018 x 2019 f  x  dx   dx   2021 2019.2021 2019.2021 https://www.facebook.com/vietgold THẦY VIỆT  0905.193.688 88 ... Tích phân phần với hàm ẩn thường áp dụng cho tốn mà giả thiết kết luận có tích phân sau b  u( x) f '( x).dx a 31 b  u '( x) f ( x).dx a THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn –. .. THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Phân tích: + Bước 1: Từ f  x   f 1  x   3x  x ta giải phương trình hàm tìm hàm số f  x  + Bước 2: Xác định trực tiếp hàm. .. nguyên hàm khoảng khác Nếu làm theo cách hai việc chọn cận lấy tích phân có làm học sinh khó khăn, chắn cần hướng dẫn tỷ mỉ người thầy học THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng