Bài Tập Chuyên Đề Tích Phân Hàm Ẩn ôn thi THPT môn Toán

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN  a ln  bc ln  c  x ln( x  2)  dx  ,với a, b, c  Tính T  a  b  c 0  x   Câu Cho A T  13 B T  15 C T  17 D T  11 Lời giải Chọn A Phân tích: Biểu thức tích phân có tổng hàm logarit hàm phân thức nên ta tách thành tích phân dạng thường gặp Một tích phân hàm đa thức hàm logarit ta dùng tích phân phần, tích phân hàm phân thức bậc bậc  x  dx   x ln( x  2)dx   dx  I1  I Ta có: I   x ln( x  2)   x  x    0 1 1 *Tính I1   x ln( x  2)dx dx  du   u  ln( x  2)   x2  Đặt   dv  xdx  v x  Khi : I1  1 1 x2 x2 1 x2   ln( x  2)   dx  ln   dx x2 2 x2 1 1 1 x2  ln   ( x   )dx  ln  (  x  ln x  ) 20 x2 2 1 3  ln  (   ln 3)  ln   ln  ln  2 2 *Tính I   I2   x dx x2 1 x x22 dx   dx   (1  )dx  ( x  ln x  ) x2 x2 x2 0   ln  ln 7 42 ln  2.7 ln  I  I1  I  4ln  ln   4 Ta có a  4, b  2, c  Vậy T  a  b  c     13  abc ln  b ln  c  Cho I   x  ln  x  1   dx  , với a, b, c  Tính T  a  b  c x 1   Câu A T  13 B T  15 C T  10 Lời giải Chọn C D T  11 3 x dx  I1  I x 1 Ta có I   x ln  x  1 dx   * Tính I1   x ln  x  1 dx dx  du   u  ln  x  1  x 1  Đặt  dv  xdx v  x  x2 x2   dx  ln    x   Khi : I1  ln  x  1    dx 2 x 1 2 0 x 1  3  19  x2   ln    x  ln x    ln     ln   ln  22 2  0 * Tính I   x dx x 1 Đặt u  x   du  xdx Đổi cận: x   u  1; x   u  10 10 Khi : I  1 du  ln u  21u 3 Suy I   x ln  x  1 dx   0 10 1  ln10 5.2.3ln  ln  x dx  I1  I  ln   ln10  4 x 1 Ta có a  5, b  2, c  Vậy T  a  b  c  10  ab ln  bc ln  c  Cho I   x ln  x     dx  , với a, b, c  Tính T  abc x    Câu A T  18 B T  16 C T  18 D T  16 Lời giải Chọn A  x    - Ta có I   x ln  x     dx    x ln  x    dx x  1 x  1  0  1 1   x ln  x  dx   0 x dx x 1 - Đặt I1   x ln  x  dx I   0 x dx x 1  du  dx  u  ln  x    x2  + Tính I1   x ln  x  dx Ta đặt  , ta có:  dv  xdx  v x  1 x2 x2 I1  ln  x      dx 2 x2 0 1   ln    x   dx 2 0 x2   1  x2  ln    x  ln x   2 0 1     ln     4ln   4ln  2    3  ln  ln    1 d x 1 1 x  ln x   ln + Tính I   dx    2 x 1 2 x 1 0 3 - Khi I  I1  I  ln  ln   ln 2  3 ln  ln  2  3.2.ln  3.2.ln   3.2.ln   3 ln   3  a3  Ta suy ra:  b  Vậy T  a.b.c  3.2 3   18 c  3  Câu Cho f  x  hàm liên tục a  Giả sử với x 0; a , ta có f  x   a f  x  f  a  x   Tính I   dx 1 f  x A a C a ln 1  a  B 2a D Lời giải Chọn D a a dx   1 f  x 0 1 Ta có I   1 f a  x a dx   f a  x dx f a  x 1 Đặt a  x  t dx  dt Với x  a  t  ; x   t  a Ta I    a a f t  f  x dt   dx f t   f x    a Do đó, ta có I   a a f  x a a dx   dx   dx  x  a Vậy I  f  x 1 f  x 1 0 a Câu Cho f  x  hàm i n tục tr n 0;1 f  x  f 1  x   T nh iả sử với x0;1 , ta có f  x   dx   f  x A B C D Lời giải Chọn D f 1  x  dx  dx  f x 2  f  x       0 Ta có I   Đặt t   x  dt  dx , đổi cận : x   t  ; x  1 t  f t  I   f  x dt     f t    f  x  dx f  x dx 1  dx   I   f  x    f  x   2I    Câu Cho hàm số f  x  liên tục f   x   f  x   tan x Tính  f  x dx  A   B  1 C   4 D   Lời giải Chọn D Theo đề bài, ta có f   x   f  x   tan x 1 Thay x  x ta được: f  x   f   x   tan   x   tan x Từ 1   suy ra: f  x   tan x   4  I   2 f  x dx          1dx tan xdx   tan xdx     tan x  1dx     cos x  4 0       tan x  x    Câu Biết x3 Tính tổng S A 2x e.x3 2x dx e.2x m n m ln p e ln n e e p B C Lời giải Chọn A Với m, n, p số nguy n dương D 1 x3 Ta có: 2x ln e ln m n p Vậy e.x3 x dx e.2 x e.2 x m n x 2x dx e.2 x ln e ln 2e e x4 1 e ln ln e ln e.2 x d e.2 x e e p Câu Cho hàm số f x liên tục có đạo hàm cấp hai 0;1 thỏa x2 f x dx 12 2f Tính f f x dx B 14 A 10 C D Lời giải Chọn D u Đặt Đặt x2 dv f u 2x dv f du x dx x dx xdx v f du 2dx v x f x Khi I f 2f A x dx x f x f x dx x f x f x dx 0 f x dx f x dx thỏa mãn ∫ Cho hàm số x Suy Câu x f 1 Do 12 Tính ∫ B 11 C D Lời giải Chọn A Áp dụng phương pháp t nh t ch phân phần Từ giả thiết đề cho, Đặt { { Khi đó: ∫ ∫ Suy ∫ Câu 10 Cho hàm số f  x  liên tục thỏa mãn f   x   2018 f  x   x sin x Tính  I  f  x dx  A 2019 B 2019 C Lời giải Chọn A 1009 D 2018 Đặt t   x  dt  dx  x   x     I    f  t  dt  Suy 2019.I   t   2  f   x dx    2   I    t  ; 2 f   x  dx  2018  f  x  dx    x sin xdx   2 2019 Câu 11 Cho hàm số f  x  xác định khoảng  0;   \ e thỏa mãn f   x   , x  ln x  1 1 1 f    ln f  e   Giá trị biểu thức f    f  e3  e e  A  ln  1 C 3ln  B ln D ln  Lời giải Chọn A Ta có: f  x    f   x  dx   d  ln x  1 dx    ln ln x   C với x   0;   \ e x  ln x  1 ln x   Trường hợp 1: ln x 1   ln x   x  e  f  x   ln  ln x 1  C1 , f  e2    C1   f  x   ln  ln x 1  f  e3   ln  ln e3  1    ln  Trường hợp 2: ln x 1   ln x    x  e 1  f  x   ln 1  ln x   C2 , f    ln  ln  C2  ln  C2  ln  ln  ln e   f  x   ln 1  ln x   ln 1 1  f    ln 1  ln   ln  ln e e  1 Vậy f    f e   2ln   ln  ln 1  e Câu 12 Cho hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d có đạo hàm hàm số với đồ thị hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y  f  x  tiếp xúc với trục hoành điểm có hồnh độ âm Khi đồ thị hàm số cắt trục tung điểm điểm có tung độ A 4 B C Lời giải D Chọn A Ta có f   x   ax  x  2 mà f   1  3  a   f   x   3x  x  f  x    f   x  dx  x3  3x  C   x  2  f  x0   Gọi x0 hoành độ tiếp điểm  x0   suy    f  x   x  3x  C  4   f   x0   Vậy đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 4 Câu 13 Cho y  f  x  hàm số chẵn, liên tục   M   ;     f  t  dt  Tính 0  sin x f   sin x dx  A I  10 Biết đồ thị hàm số y  f  x  qua điểm B I  2 C I  D I  1 Lời giải Chọn B  t   ;x  0t  Đặt sin x  t ; đổi cận x   I  sin x f   sin x dx   2t f   t dt   2t  u 2dt  du  I   2t f  t   |0   f  t  dt Đặt    f   t  dt  dv  f  t   v  y  f  x  hàm số chẵn:  f  t  dt   f  t  dt  2.3      1 Đồ thị hàm số y  f  x  qua điểm M   ;  : f        2  1 I   2t f  t   |0   f  t  dt   2t f  t   |0 3  2.0 f     f    2  1          2    f   x  ln  f  x  dx  f 1  1, f  2  Giá trị f  2 Câu 14 Cho hàm số f  x  thỏa mãn A f    B f  2  C f  2  e D f    e2 Lời giải Chọn C   du  u  ln  f  x   Đặt    v  f dv  f   x  dx  f  x dx f  x  x 2  f   x  ln  f  x  dx  f  x  ln  f  x    f   x  dx Khi đó, 1   f   ln  f     f 1 ln  f 1    f    f 1  f 1 1  f   ln  f    f   f  2 1  ln  f  2   f  2  e Câu 15 Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f  x  dx  f    Tính A I B I  f   x dx C I D I Lời giải Chọn A  f   x dx Xét tích phân Đặt x  t  x  t  dx  2tdt Đổi cận: Khi x   t  ; Khi x  t  Khi I   f    x dx   2tf   t dt 0 u  2t du  2dt Đặt  Ta có I   f    f   t  dt=dv  f  t   v   2 x dx   2tf   t  dt  2tf  t    f  t  dt 0 4f 2 f x dx 4.2 2.3 Câu 16 Cho hàm số y  f  x  liên tục thỏa f   x   f  x  Biết  xf  x dx  Tính  f  x dx A B C Lời giải D 11 Chọn A 3 1 Ta có   xf  x dx   xf   x dx Đặt t Do x t dx dt x 1; t x 3; t x 3 3 1  xf   x dx     t  f  t dx     t  f t dx   f t dt   tf t dt 3 Suy   f  t dt    f  t dt  10   f  t dt  hay 1  f  x dx  Câu 17 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn  x  f   x   2 dx  f 1 Giá trị I   f  x  dx A C 1 B D 2 Lời giải Chọn C  u  x Đặt  ta có dv   f   x    dx  du  dx  v  f  x   x 1 Khi f 1   x  f   x   2 dx  x  f  x   x     f  x   x  dx  f 1   I  0 Suy I  1 Câu 18 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn x f x dx f Giá trị I f x dx A B C D Lời giải Chọn B Đặt u dv x f x dx du dx v f x 4x Khi f 1   x  f   x   4 dx  x  f  x   x     f  x   x  dx  f 1   I  0 Suy I 1 Câu 19 Cho hàm số f  x  liên tục f x thỏa x dx 10 f f D I 2f f Tính f x dx I B I 12 A I C I 12 Lời giải Chọn D Đặt u x dv f du x dx v dx f x x Khi f x dx 10 f x x 1 f x dx 0 10 I 10 Suy I thỏa f    16; Câu 20 Biết hàm số y  f ( x) liên tục  A I  13 f  x  dx  Tính I   xf   x  dx C I  20 B I  12 D I  Lời giải Chọn D du  dx u  x   Đặt   v  f  2x   dv  f   x  dx   Ta có: I   xf   x  dx  1 Đặt t  x  dt  2dx  A   f  x  dx  Vậy I   Câu 21 Cho 1 1 xf  x    f  x  dx   A với A   f  x  dx 20 0 2 1 f  t  dt   f  x  dx 2  20 20 A  hàm số f  x liên tục tr n 0;1 đoạn thỏa mãn f  x   f 1  x   3x  6x, x  0;1 Tính I   f 1  x  dx A I  15 B I  C I   15 D I  Lời giải Chọn C Đặt t   x, x 0;1  t 0;1 Ta có f  x   f 1  x   3x  x  f  x   f 1  x   1  x    f 1  t   f  t   3t   f  x   f 1  x   3x2  15 điều kiện Ta có hệ phương trình  f  x   f 1  x   3x  x  f  x   f 1  x   3x  x   2 2 f  x   f 1  x   3x  4 f  x   f 1  x   x   f  x   3x  x   f  x   x  x  Khi f 1  x   1  x   1  x    x  x  1 Suy I   f 1  x  dx    x  x  1 dx   0 15  x 1 Câu 22 Cho hàm số y  f  x  liên tục với x  thỏa mãn f    x  3, x  Tính  x 1  e 1 I  f  x  dx A I  4e 1 B I  e  C I  4e  D I  e  Lời giải Chọn C Đặt t  x 1 t 1 t 1 2  xt  t  x   x  3 4 , suy f  t   hay f  x    x 1 t 1 t 1 t 1 x 1 e 1 Ta có I       x   dx   x  2ln x   e 1  4e  1 Câu 23 Cho hàm số y  f  x  liên tục với x  thỏa mãn f  x   f    3x, x  Tính x I f  x A I  x dx B I  C I  Lời giải Chọn A 1 f  x   f    3x, x  1 x 1 Nên f    f  x   , x    x x      x  x 1 ,     f  x   f   1  f  x   f    x   3 x  x   ,  3  f  x    x  x D I  I  f  x x 2  2   dx    1   dx    x    x x   1 2 ... thỏa mãn ∫ Cho hàm số x Suy Câu x f 1 Do 12 Tính ∫ B 11 C D Lời giải Chọn A Áp dụng phương pháp t nh t ch phân phần Từ giả thi? ??t đề cho, Đặt { { Khi đó: ∫ ∫ Suy ∫ Câu 10 Cho hàm số f  x ... e Câu 12 Cho hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d có đạo hàm hàm số với đồ thị hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y  f  x  tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ âm Khi đồ thị hàm số cắt trục...   f  x   2I    Câu Cho hàm số f  x  liên tục f   x   f  x   tan x Tính  f  x dx  A   B  1 C   4 D   Lời giải Chọn D Theo đề bài, ta có f   x   f  x  