Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 46 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Cấu trúc
1. TICH PHAN HAM AN P1
GIAI1. BTTL TICH PHAN HAM AN P1
LỜI GIẢI CHI TIẾT
2. TICH PHAN HAM AN P2
2. BTTL TICH PHAN HAM AN P2
Nội dung
Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN A CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC x + x + x ≤ b Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) = x Biết ∫ f ( x )dx = ae − với a, b, c ∈ N * Tìm 4 e − x ≥ c −1 giá trị nhỏ biểu thức T = a + b + c A 23 B 27 C 33 D 42 Lời giải 1 25 Ta có, ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + x + 1) dx +∫ (4 e x − 3) dx = + 2e − = 2e − 6 0 −1 −1 ⇒ T = + 25 + = 33 1 Ví dụ [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ thỏa mãn f ′( x ) = x −1 , f (0) = f (1) = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) B + ln15 C + ln15 D ln15 A + ln Lời giải 1 dx = ln(2 x −1) + C1 Cách 1: Trên khoảng ; +∞ : f ( x ) = ∫ x −1 Lại có f (1) = ⇒ C1 = 1 • Trên khoảng −∞; : f ( x ) = ∫ dx = ln(1− x ) + C x −1 2 Lại có f (0) = ⇒ C = ln(2 x −1) + x > Vậy f ( x ) = ln(1 − x ) + x < Suy f (−1) + f (3) = + ln15 Cách 2: 0 2dx f (0) − f (−1) = f '( x )dx = ∫ ∫ x −1 = ln x −1 |−1= ln (1) −1 −1 Ta có: 3 f (3) − f (1) = ∫ f '( x )dx =∫ 2dx = ln x −1 |13 = ln (2) x −1 1 Lấy (2)-(1), ta f (3) − f (1) − f (0) + f (−1) = ln15 ⇒ f (−1) + f (3) = + ln15 TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG Điều kiện hàm ẩn có dạng: f ′ ( x ) = g ( x ).h ( f ( x )) f ′ ( x ).h ( f ( x )) = g ( x ) Phương pháp giải: f ′(x ) f ′ (x ) df ( x ) = g (x ) ⇔ ∫ = g ( x )dx dx = ∫ g ( x )dx ⇔ ∫ h ( f ( x )) h ( f ( x )) h ( f ( x )) ∫ ∫ f ′ ( x ).h ( f ( x )) dx = ∫ g ( x ) dx ⇔ ∫ h ( f ( x )) df ( x ) = ∫ g ( x ) dx Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Chú ý: • chất ( cô lập cụm f ( x ), f ′ ( x ) sang vế) • • Ngồi việc ngun hàm hai vế, ta tích phân hai (tùy cách hỏi) f ′ ( x ) phải để tử Ví dụ Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương (0; + ∞) thỏa mãn f (1) = , f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f (5) < B < f (5) < C < f (5) < Lời giải Cách 1: Với điều kiện tốn ta có f ′(x ) f ′(x ) f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + ⇔ = ⇔∫ dx = ∫ f (x ) f (x ) 3x + ⇔∫ d ( f ′ ( x )) f (x ) − d (3 x + 1) ⇔ ln f ( x ) = 3x + + C ⇔ f ( x ) = e 3 + x ( ) ∫ 3 +C =1 ⇔ C = − ⇒ f (x ) = e3 3 x +1− d ( f ( x )) f (x ) = x +1 +C ⇒ f (5) = e ≈ 3,79 ∈ (3; ) Vậy < f (5) < Cách 2: Với điều kiện tốn ta có 5 f ′(x ) f ′ (x ) ⇔∫ f ( x ) = f ′( x ) 3x + ⇔ dx = ∫ = f (x ) f (x ) 3x +1 1 dx 3x + = Khi f (1) = ⇔ e ⇔∫ D < f (5) < dx 3x +1 f (5) 4 ⇔ ln f ( x ) = ⇔ ln = ⇔ f (5) = f (1).e ≈ 3,79 ∈ (3; ) 3 f (1) f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1;4 ] thỏa mãn x + xf ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1;4 ], f (1) = Giá trị f (4 ) bằng: 391 361 381 371 A B C D 18 18 18 18 Lời giải Biến đổi: f ′ ( x ) f ′ (x ) 2 =x⇒ = x x + xf ( x ) = f ′ ( x ) ⇔ x (1 + f ( x )) = f ′ ( x ) ⇔ + f (x ) 1+ f x Ví dụ Cho ( ) ⇒∫ f ′ (x ) + f (x ) dx = ∫ ⇔ + f (4 ) − = xdx ⇔ + f ( x ) = 1 14 14 391 ⇔ f (4 ) = 18 Ví dụ Cho f ( x ) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x ) f '( x ) = x f ( x ) + f (0) = Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [1;3] A 22 B 11 + C 20 + Lời giải Biến đổi: Trang D 11 + Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng f ( x ) f '( x ) = x f ( x ) + ⇔ ⇔ f ( x ) f '( x ) f (x ) +1 = 2x ⇒ ∫ f ( x ) f '( x ) f (x ) +1 dx = ∫ xdx f (x ) +1 = x + C Với f (0) = ⇒ C = ⇒ f (x ) +1 = x +1 ⇒ f (x ) = x + 2x = g (x ) Ta có: g '( x ) = x + x > 0, ∀x ∈ [1;3] Suy g ( x ) đồng biến [1;3] f ( x )≥0 → ≤ f ( x ) ≤ 11 Suy ra: g (1) ≤ g ( x ) = f ( x ) ≤ g (3) ⇒ ≤ f ( x ) ≤ 99 f (x ) = min [1;3] ⇒ Max f ( x ) = 11 Chú ý: Nếu khơng tìm ln ∫ f ( x ) f '( x ) dx = f ( x ) + + C ta sử dụng f ( x ) +1 kĩ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) +) Vi phân: −1 f ( x ) f '( x ) f (x ) 2 ∫ f ( x ) + dx =∫ f ( x ) + d ( f ( x )) = ∫ ( f ( x ) + 1) d ( f ( x ) + 1) = f (x ) +1 + C + Đổi biến: Đặt t = f ( x ) + ⇒ t = f ( x ) + ⇒ tdt = f ( x ) f '( x )dx f ( x ) f '( x ) tdt Suy ra: ∫ dx =∫ = ∫ dt = t + C = f ( x ) + + C t f ( x ) +1 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = (2 x + 3) f ( x ) f (0) = −1 Biết tổng f (1) + f (2) + + f (2017) + f (2018) = a a với a ∈ ℤ, b ∈ ℕ* phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A < −1 B > b b C a + b = 1010 D b − a = 3029 Lời giải f (x ) f '( x ) Biến đổi f ( x ) = (2 x + 3) f ( x ) ⇔ = 2x + ⇔ ∫ dx = ∫ (2 x + 3) dx f (x ) f (x ) −1 1 ⇔− = x + 3x + C ⇒ f ( x ) = − Mà f (0) = nên C = f (x ) x + 3x + C ' ' Do f ( x ) = − 1 =− x + 3x + ( x + 1)( x + 2) a = f (1) + f (2 ) + + f (2017 ) + f (2018) b 1 1 = − + + + + 2.3 3.4 2018.2019 2019.2020 1 1 1 1 1 −1009 = − − + − + + − + − = − − = 3 2020 2020 2018 2019 2019 2020 a = −1009 Với điều kiện a, b thỏa mãn toán, suy ra: ⇒ b − a = 3029 b = 2020 Khi Trang Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI Học sinh làm BTTL xong, tô phương án Buổi sau học sinh GV kiểm tra kết Câu 3 x [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số y = f ( x ) = 4 − x ≤ x ≤ Tính ≤ x ≤ 2 ∫ f ( x )dx A Câu Câu Câu B C D 6 x x ≤ Cho hàm số y = f ( x ) = I = ∫ f ( x )dx Hỏi có tất số a − a x x ≥ −1 nguyên a để I + 22 ≥ ? A B C D 1 [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ thỏa mãn , f (0) = f (1) = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) f ′( x ) = x −1 A + ln B + ln15 C + ln15 D ln15 [Toán học tuổi trẻ số – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {1} thỏa mãn , f (0 ) = 2017 , f (2) = 2018 Tính S = f (3) − f (−1) x −1 A S = B S = ln C S = ln 4035 D S = 1 [Lục Ngạn–Bắc Giang–2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ thỏa mãn 2 f ′ (x ) = , f (0) = f = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) x −1 A + ln B −2 + ln C + ln D + ln Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−2;2} thỏa mãn f ′ ( x ) = ; f (−3) = ; x −4 f (0) = f (3) = Tính giá trị biểu thức P = f (−4 ) + f (−1) + f (4 ) f ′ (x ) = Câu Câu A P = + ln 25 B P = + ln Trang C P = + ln D P = − ln Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Câu Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−2;1} thỏa 1 ; f (−3) − f (3) = f (0 ) = Giá trị biểu thức mãn f ′ ( x ) = x + x −2 f (−4 ) + f (−1) − f (4 ) 1 + ln B + ln 80 C + ln + ln D + ln 3 5 [Sở Bắc Giang – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−1;1} thỏa mãn A Câu 1 ; f (−3) + f (3) = f − + x −1 P = f (0 ) + f ( ) f ′ (x ) = 1 f = Tính giá trị biểu thức 3 3 A P = + ln B P = + ln C P = + ln D P = ln 5 5 Câu [Sở Phú Thọ - 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−1;1} thỏa mãn 1 1 f '(x ) = ; f (−2 ) + f (2 ) = f − + f = Tính f (−2 ) + f (0 ) + f (4 ) = 2 x −1 kết 6 4 A P = + ln B P = −1 + ln C P = + ln D P = −1 + ln 5 5 Câu 10 [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số π với ∀x ∈ ℝ \ − + k π, k ∈ ℤ Biết F (0) = F (π ) = Tính giá trị + sin x π 11π biểu thức P = F − − F 12 12 y= A P = − B P = C Không tồn D P = Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x ) > , ∀x ∈ ℝ ; f ′ ( x ) = −e x f ( x ) , ∀x ∈ ℝ f (0 ) = Tính giá trị f (ln 2) 2 2 A f (ln ) = B f (ln 2) = − C f (ln ) = D f (ln 2) = 9 3 Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C ) , xác định liên tục ℝ thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x ) > ∀x ∈ ℝ , f ′ ( x ) = ( x f ( x )) , ∀x ∈ ℝ f (0 ) = Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị (C ) A y = x + 30 B y = −6 x + 30 C y = 36 x − 30 D y = −36 x + 42 Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [−1;1] , thỏa mãn f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ f ' ( x ) + f ( x ) = Biết f (1) = , tính f (−1) A f (−1) = e −2 Câu 14 B f (−1) = e C f (−1) = e D f (−1) = [Sở Yên Bái – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) f ( x ) = x + x Biết f (0) = Tính f (2) 313 332 A f (2) = B f (2) = 15 15 Trang C f (2) = 324 15 D f (2 ) = 323 15 Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng [Sở Nam Định – Lần – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục (0; + ∞) , biết f ′ ( x ) + (2 x + ) f ( x ) = f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ; f (2 ) = Tính f (1) + f (2 ) + f (3) 15 11 11 A B C D 15 15 30 30 Câu 16 Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục ℝ Biết f ( x ) f ′ ( x ) = 12 x + 13 f (0 ) = Câu 15 Khi phương trình f ( x ) = có nghiệm? A B C D Câu 17 Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = (2 x + 3) f ( x ) f (0 ) = f (1) + f (2) + + f (2017 ) + f (2018) = −1 Biết tổng a a với a ∈ ℤ, b ∈ ℕ * phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A < −1 B > C a + b = 1010 D b − a = 3029 b b Câu 18 [Chuyên Vinh – Lần – 2017] Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương (0; + ∞) thỏa mãn f (1) = , f ( x ) = f ′ ( x ) x + , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f (5) < B < f (5) < C < f (5) < D < f (5) < Câu 19 [Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần – 2018] Cho f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1;4 ] thỏa mãn x + xf ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1;4 ], f (1) = Giá trị f (4 ) bằng: 391 361 381 371 A B C D 18 18 18 18 Câu 20 Cho f ( x ) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x ) f '( x ) = x f ( x ) + f (0) = Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [1;3] A 22 B 11 + C 20 + D 11 + Câu 21 [Chuyên Tuyên Quang – Lần – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đồng biến ℝ thỏa mãn f (0 ) = ( f ′ ( x )) = e x f ( x ), ∀x ∈ ℝ Tính tích phân ∫ f ( x ) dx A e − B e −1 C e − D e −1 Câu 22 [Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ \ {0} thỏa mãn x f ( x ) + (2 x −1) f ( x ) = xf ′ ( x )−1 với ∀x ∈ ℝ \ {0} f (1) = −2 Tính ∫ f ( x ) dx 1 ln ln A − − ln B − − ln C −1 − D − − 2 2 Câu 23 [Sở Đà Nẵng – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 4;8 ] f (0) ≠ với ∀x ∈ [ 4;8 ] Biết ∫ A B ′ f ( x ) dx = f (4 ) = , f (8) = Tính f (6 ) f ( x ) C D Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 3 x x [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số y f x Tính 4 x x 2 A Câu f xdx Ta có, Lời giải C D x2 f x dx f x dx x dx 4 x dx x 4 x 2 1 2 6 x x Cho hàm số y f x I f x dx Hỏi có tất số a a x x 1 nguyên a để I 22 ? A B C D Lời giải Ta có 4 a x 2 a 8a I f xdx f xdx x dx a a xdx x 1 ax 1 Câu B 1 0 a a 1;0;1;2 I 22 a 8a 22 2a a a Vậy có giá trị nguyên a thỏa mãn 1 [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x) xác định \ thỏa mãn f ( x) x 1 , f (0) f (1) Giá trị biểu thức f (1) f (3) A ln B ln15 C ln15 D ln15 Lời giải f ( x) dx ln(2 x 1) C1 x 1 1 Cách 1: Trên khoảng ; : Lại có f (1) C1 1 dx ln(1 x) C2 • Trên khoảng ; : f ( x) x 1 2 Lại có f (0) C2 ln(2 x 1) x Vậy f ( x) ln(1 x) x Suy f (1) f (3) ln15 Cách 2: 0 2dx f (0) f (1) f '( x)dx x 1 ln x 1 |1 ln (1) 1 1 Ta có: 3 f (3) f (1) f '( x)dx 2dx ln x 1 |13 ln (2) x 1 1 Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Câu Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Lấy (2)-(1), ta f (3) f (1) f (0) f (1) ln15 f (1) f (3) ln15 [Toán học tuổi trẻ số – 2018] Cho hàm số f x xác định \ 1 thỏa mãn , f 0 2017 , f 2 2018 Tính S f 3 f 1 x 1 A S B S ln C S ln 4035 D S Lời giải dx ln x 1 C Cách 1: Ta có f x dx x 1 f x ln x 1 2017 x Theo giả thiết f 0 2017 , f 2 2018 nên ln 2018 f x x x Do S f 3 f 1 ln 2018 ln 2017 f x Cách 2: 0 dx f (0) f (1) f '( x)dx x 1 ln x 1 |1 ln (1) 1 1 Ta có: 3 f (3) f (2) f '( x)dx dx ln x 1 |32 ln (2) x 1 2 Lấy 1 2, ta Câu f (3) f (2) f (0) f (1) S f (3) f (1) f (2) f (0) 1 [Lục Ngạn–Bắc Giang–2018] Cho hàm số f ( x) xác định \ thỏa mãn 2 , f 0 f Giá trị biểu thức f 1 f 3 f x x 1 A ln B 2 ln C ln D ln Lời giải ln x 1 C1 x ; 3 Cách 1: Từ f x dx= f x 1 x 1 x 1 ln x 1 C1 x ; ln x 1 x ; f 0 C1 C1 Ta có: f x 1 f 0 C2 C2 ln x 1 x ; 3 3 Khi đó: f 1 f 3 ln ln ln 32 ln Cách 2: Ta có 0 f 0 f 1 f x f x dx 3x 1 dx ln 3x 1 1 ln 1 1 1 1 3 2 3 dx ln x 1 ln 2 f 3 f f x f x dx 3 x 1 3 2 3 2 Lấy 2 1 , ta được: f 3 f 1 f 0 f ln 32 f 1 f 3 ln Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Câu Câu Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng ; f 3 ; x 4 f 0 f 3 Tính giá trị biểu thức P f 4 f 1 f 4 5 B P ln C P ln D P ln A P ln 25 Lời giải dx 4 dx f x Từ f x x 4 x 4 x 2 x 2 x2 C1 x ; 2 ln x x2 C2 x 2;2 ln x x2 C3 x 2; ln x2 f 3 ln C1 C1 ln Ta có f 0 0 C2 C2 f 2 C3 ln ln C x2 ln -ln5 x ;2 x2 x2 f x ln x 2;2 1 x2 x2 ln ln x 2; x2 Khi P f 4 f 1 f 4 ln ln ln ln ln ln [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho hàm số f x xác định \ 2;1 thỏa mãn Cho hàm số f x xác định \ 2;2 thỏa mãn f x f 3 f 3 ; x x2 f 4 f 1 f 4 f x A 1 ln 3 f x x x2 B ln 80 f 0 Giá C ln ln Lời giải trị biểu D ln x 1 1 ln C1 x ; 2 x2 1 dx dx x 1 x 2;1 f x ln C2 x x2 x 1 x 2 x 1 x 1 ln C3 x 1; 3 x 1 Do f 3 f 3 ln C1 ln C3 C3 C1 ln10 3 Trang thức Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 1 1 ln C2 C2 ln 3 3 x ln x ; 2 C1 x x 1 1 f x ln ln x 2;1 x2 3 ln x 1 C1 ln10 x 1; 3 x 1 1 1 1 Khi đó: f 4 f 1 f 4 ln C1 ln ln 2 ln C1 ln10 3 1 ln 3 [Sở Bắc Giang – 2018] Cho hàm số f x xác định \ 1;1 thỏa mãn Và f 0 Câu 1 ; f 3 f 3 f x 1 P f 0 f f x A P ln f x 2 3 C P ln D P ln 5 Lời giải 1 x 1 ln C1 x ; 1 1; x 1 dx x 1 x 1 x 1 ln C2 x 1;1 x 1 B P ln dx x 1 x 1 1 f Tính giá trị biểu thức 1 ln C1 ln C1 C1 2 1 1 1 Và f f ln C2 ln C2 C2 2 x 1 ln x ; 1 1; x 1 P f 0 f 4 = ln Suy f x x 1 ln x 1;1 x 1 [Sở Phú Thọ - 2018] Cho hàm số f x xác định \ 1;1 thỏa mãn Ta có f 3 f 3 Câu 1 1 ; f 2 f 2 f f Tính f 2 f 0 f 4 x 1 kết 6 4 A P ln B P 1 ln C P ln D P 1 ln 5 5 Lời giải x 1 C1 x ; 1 1; ln x 1 2dx 2dx f ' x f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 C1 x 1;1 l n x f ' x Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Câu Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Xét hàm số f ( x ) liên tục [0;1] thỏa mãn f ( x ) + xf (1 − x ) + f (1 − x ) = x +1 Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = ln B I = ln C I = D I = Lời giải Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: f ( x ) − (−2 x ) f (1 − x ) + f (1− x ) = x Ta có: u (0) = −1 A =1; B = ; C = u = x − thỏa mãn u (1) = Khi áp dụng cơng thức (Xem phần Chú ý sau lời giải Câu 3) ta có: 1 I = ∫ f ( x ) dx = 2 dx = ln x + = ln ∫ 1 x +1 − − + Cách 2: (Dùng công thức đổi biến không nhớ công thức) Từ f ( x ) + xf (1 − x ) + f (1 − x ) = x +1 1 1 0 dx = ln x + 10 = ln (*) x +1 ⇒ ∫ f ( x )dx + ∫ xf (1− x )dx + 3∫ f (1− x )dx = ∫ +) Đặt u = 1− x ⇒ du = −2 xdx ; Với x = ⇒ u = x = ⇒ u = Khi ∫ 1 1 xf (1− x )dx = ∫ f (u )du = ∫ f ( x )dx (1) 2 +) Đặt u = − x ⇒ du = −dx ; Với x = ⇒ t = x = ⇒ t = Khi ∫ 1 ∫ Câu xf (1− x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x )dt (2) Thay (1), (2) vào (*) ta được: 0 1 1 f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + 3∫ f ( x )dx = ln ⇒ ∫ f ( x )dx = ln ⇔ ∫ f ( x )dx = ln 2 0 [Chuyên Thái Nguyên – Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x )− x f ( x )+ x3 x +1 = Tích phân I = ∫ f ( x ) dx = a b ; tối giản Tính a + b + c c c A B −4 a −b với a, b, c ∈ ℤ c C Lời giải Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Trang D −10 Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biến đổi f ( x )− x f ( x ) + x3 x +1 x3 = ⇔ f ( x ) − 2.(4 x ) f ( x ) = − x +1 với A = 1; B = −2 Áp dụng cơng thức ta có: f ( x ) dx = ∫ − x dx = ∫ + (−2) ∫0 x + x 3dx x +1 Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = xdx ; Với x = ⇒ t = x = ⇒ t = Khi đó: 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ 0 x2 x +1 xdx = ∫ 2 t t −1 2− tdt = ∫ (t −1) dt = − t = t 3 1 a −b c Suy a = 2; b = 1; c = ⇒ a + b + c = = Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) Từ f ( x )− x f ( x )+ x3 1 = ⇔ ∫ f ( x ) dx − ∫ x f ( x ) dx + ∫ x +1 0 x3 x +1 dx = (*) Đặt u = x ⇒ du = x 3dx ; Với x = ⇒ u = x = ⇒ u = Khi ∫ 4x f ( x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx thay vào (*), ta được: ∫ 1 f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ 0 x x +1 1 dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫ 0 x3 x +1 dx Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = xdx ; Với x = ⇒ t = x = ⇒ t = Khi đó: 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ 0 x2 x +1 xdx = ∫ 2 t3 t −1 2− tdt = ∫ (t −1) dt = − t = t 3 1 a −b c Suy a = 2; b = 1; c = ⇒ a + b + c = = Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [− ln 2;ln 2] thõa mãn f ( x ) + f (−x ) = e +1 x ln Biết ∫ f ( x ) dx = a ln + b ln , với a, b ∈ ℚ Tính giá trị P = a + b − ln A P = Với ln ∫ − ln B P = −2 C P = −1 D P = Lời giải Cách 1: Dùng công thức - Dạng f ( x ) + f (−x ) = x ta có A = 1; B = , e +1 ln suy ln dx dx f ( x ) dx = = ∫ x x ∫ + − ln e + − ln e + Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến không nhớ công thức Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng ln ln ln dx ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ f (−x ) dx = ∫ x Từ f ( x ) + f (−x ) = x (* ) e + − ln e +1 − ln − ln Đặt u = −x ⇒ du = −dx ln ln f (−x ) dx = ∫ ⇒ − ln ln 2∫ − ln ∫ ln f (u ) du = − ln ∫ f ( x ) dx thay vào (*) ta được: − ln ln ln ln dx dx f ( x ) dx = ∫ x ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫ x e + − ln 2 − ln e + − ln Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx ; Với x = − ln ⇒ t = , x = ln ⇒ t = 2 ln ⇒ ln 2 dx e x dx dt t = ∫ e x + ∫ e x (e x + 1) = ∫1 t (t + 1) = ln t + − ln − ln 2 ln ∫ Khi đó: − ln Câu = ln 2 a ,b∈ℚ 1 f ( x ) dx = ln = a ln + b ln → a = , b = ⇒ P = a + b = 2 [Chuyên Vinh- Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ℝ , f (0 ) = ∫ π π f ( x ) + f − x = sin x cos x với ∀x ∈ ℝ Giá trị tích phân xf ′ ( x ) dx π D − 4 Lời giải Cách 1: (Dùng cơng thức theo góc nhìn dạng 2) π Với f ( x ) + f − x = sin x cos x , ta có A = 1; B = π A − Suy B ∫ π C π 1 f ( x ) dx = sin x cos x dx = ∫ 1+1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nhớ công thức) π π π Từ f ( x ) + f − x = sin x cos x ⇒ ∫ f ( x ) + ∫ 0 π π f − x dx = ∫ sin x cos xdx = (*) π − x ⇒ du = −dx π π Với x = ⇒ u = ; x = ⇒ u = 2 Đặt u = Suy ∫ 2∫ π π π π π f − x dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx , thay vào (*) ta 0 π f ( x ) dx = 1 ⇔ ∫ f ( x ) dx = (1) Trang Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng u = x du = dx Đặt ⇒ dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) ⇒∫ π π π π f ( x ) dx = f − ∫ f ( x ) dx (*) π π xf ′ ( x ) dx = xf ( x ) 02 − ∫ π Từ điều kiện f ( x ) + f − x = sin x cos x suy f f π − f (0) = π ⇒ f = (2) π (0) + f = 2 Thay (1), (2) vào (*), ta ∫ π xf ′ ( x ) dx = − Câu 10 [Diễn Châu- Ngệ An- lần 3- 2018] Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn x2 , ∀x ∈ ℝ tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx −1 x +1 π π π π A I = − B I = − C I = − D I = Lời giải t −1 Đặt t = + x ⇒ − x = − t x = , điều kiện trở thành f (1 + 2x ) + f (1 − 2x ) = f ( t ) + f (2 − t ) = t − 2t + x − 2x +1 (*) ⇒ f x + f − x = ( ) ( ) t − 2t + x −2x + Cách 1: (Dùng cơng thức- theo góc nhìn dạng 2) Với f ( x ) + f (2 − x ) = Suy ∫ −1 x − 2x +1 ta có A = 1; B = x − 2x + x − 2x +1 π dx ≈ 0, 429 = − ∫ + −1 x − x + Cách 2: (Dùng công thức đổi biến – nhớ công thức) f ( x ) dx = Từ (*), ta có f ( x ) + f (2 − x ) = x − 2x +1 x − 2x + x − 2x +1 dx (2*) −1 −1 −1 x − x + Đặt u = − x ⇒ du = −dx Với x = −1 ⇒ u = 3; x = ⇒ u = −1 ⇒∫ Suy f ( x ) dx + ∫ ∫ −1 f (2 − x ) dx = ∫ 3 −1 −1 f (2 − x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx , thay vào (*), ta được: x − 2x +1 x − 2x +1 π dx ⇒ = f x dx dx ≈ 0, 429 = - ( ) 2 ∫ ∫ −1 −1 x − x + −1 −1 x − x + TÓM TẮT HÀM ẨN DẠNG 3: Cách giải: Lần lượt đặt t = u ( x ) t = v ( x ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong có 2∫ f ( x ) dx = ∫ ẩn f ( x ) ) để suy hàm số f ( x ) (nếu u ( x ) = x cần đặt lần t = v ( x ) ) Các kết đặc biệt: Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Cho A f (ax + b ) + B f (−ax + c ) = g ( x ) với A ≠ B ) x − b x − c A g − B g a −a f (x ) = (*) A2 − B A g ( x )− B g (−x ) A2 − B g (x ) +)Hệ (*): A f ( x ) + B f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = với g ( x ) hàm số chẵn A+B +)Hệ (*): A f ( x ) + B f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = 1 f (x ) Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ f ( x ) + f = x Tính I = ∫ dx x x 2 A I = B I = C I = D I = −1 Lời giải 1 1 Đặt, t = ⇒ x = điều kiện trở thành f + f (t ) = ⇒ f ( x ) + t x t t 1 Hay f ( x ) + f = , kết hợp với điều kiện f ( x ) + f x x 1 f = x x = x Suy : x 2 f (x ) 2 −2 f (x ) dx = ∫ −1 dx = f ( x ) = − 3x ⇒ = −1 ⇒ I = ∫ − x = x x x x x x 1 2 Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x Tính π giá trị I = ∫ f ( x ) dx − A I = 2019 π B I = 1009 C I = 2019 D I = 1009 Lời giải Cách 1: (Dùng cơng thức – theo góc nhìn dạng 2) Với f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x ta có A = 1; B = 2018 π Suy I = ∫ f ( x ) dx = − π π Casio x sin xdx = ∫ + 2018 π 2019 − Cách 2: (Dùng cơng thức – theo góc nhìn dạng 3) g (x ) Áp dụng Hệ 2: A f ( x ) + Bf (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = với g ( x ) hàm số chẵn A+B x sin x Ta có f (−x ) + 2018 f ( x ) = x sin x ⇒ f ( x ) = 2019 π I =∫ − π π Casio = f ( x ) dx = x sin x d x ∫ 2019 π 2019 − Trang Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f (−x ) + 2018 f ( x ) = e x Tính giá trị I = ∫ f ( x ) dx −1 A I = e −1 2019e B I = e −1 2018e C I = D I = e −1 e Lời giải Cách 1: (Dùng công thức - theo góc nhìn dạng 2) Với f (−x ) + 2018 f ( x ) = e x ta có A = 1; B = 2018 1 Suy I = ∫ −1 1 x f ( x ) dx = e x dx = e ∫ + 2018 −1 2019 e −1 = 2019e −1 Cách 2: (Dùng công thức –theo góc nhìn dạng 3) Áp dụng Hệ 1: A f ( x ) + B f (−x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = A g ( x )− B g (−x ) A2 − B Ta có: f (−x ) + 2018 f ( x ) = e x ⇒ f ( x ) = ⇒∫ −1 2018e x − e −x 20182 −1 1 f ( x ) dx = (2018e x − e −x ) dx 2019.2017 ∫ −1 ≈ 1,164.10−3 ≈ e −1 (Casio) 2019e Câu 14 [Chuyên Hà Tĩnh – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ℝ , thỏa mãn f (2 x ) + f (1 − x ) = 12 x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hoành độ A y = x + B y = x − C y = x − Lời giải Áp dụng kết Dạng 3: “Cho A f (ax + b ) + B f (−ax + c ) = g ( x ) (với A ≠ B ) x − b x − c A g − B.g a a f ( x ) = ” A2 − B Ta có x x −1 g − g 2 −2 f (2 x ) + f (1 − x ) = 12 x = g ( x ) ⇔ f ( x ) = 2 −1 x − ( x −1) = = x + x −1 Trang D y = x − Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng f (1) = Suy , phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = x − f ′ (1) = Câu 15 [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho f ( x ) hàm số chẵn, liên tục ℝ thỏa f ( x )dx = 2018 g ( x ) hàm số liên tục ℝ thỏa mãn g ( x ) + g (−x ) = , ∫ mãn ∀x ∈ ℝ Tính tích phân I = ∫ f ( x )g ( x ) dx −1 A I = 2018 B I = 1009 C I = 4036 D I = 1008 Lời giải Áp dụng Hệ (của Dạng 3): A g ( x ) + B g (−x ) = h ( x ) ⇒ g ( x ) = h (x ) A+B Ta có: g ( x ) + g (−x ) = = h ( x ) ⇒ g ( x ) = với h ( x ) hàm số chẵn 1 = +1 Kết hợp với điều kiện f ( x ) hàm số chẵn, ta có: 1 I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx = −1 1 f ( x ) dx = ∫ f ( x )dx = 2018 2∫ −1 a a Chú ý: Nếu f ( x ) hàm số chẵn, liên tục [−a; a ] ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx −a Câu 16 (Sở Kiên Giang – 2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục [0;1] thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (1− x ) = x − x Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx A I = − 15 B I = 15 C I = 75 D I = Lời giải Cách 1: (Dùng cơng thức – theo góc nhìn dạng 2) Với f ( x ) + f (1− x ) = x − x ta có A = 2; B = Suy ra: ∫ Casio f ( x ) dx = x − x dx = 0,05 (3) = ∫ +3 75 Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3) Áp dụng kết Dạng 3: “Cho A f (ax + b ) + B f (−ax + c ) = g ( x ) (Với A ≠ B ) Trang 10 25 Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng x − b x − c A g − B g a −a f (x ) = ” A2 − B Ta có: f ( x ) + f (1 − x ) = x 1− x = g ( x ) ⇒ f ( x ) = = g ( x )− g (1− x ) 22 − 32 x − x − (1 − x ) x −5 1 Suy ra: I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x − x − (1 − x ) x −5 Casio dx = 0, 05 (3) = 75 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) 1 Từ f ( x ) + f (1 − x ) = x − x ⇒ ∫ f ( x ) dx + 3∫ f (1 − x ) dx = ∫ x − x dx Casio = 0,2 (6) = ∫ (∗) Đặt u = − x ⇒ du = −dx ; Với x = ⇒ u = x = ⇒ u = 15 Suy 1 f (1 − x ) dx = ∫ f (u ) du = ∫ f ( x ) dx thay vào (∗) , ta được: 0 5∫ f ( x ) dx = 4 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 15 75 x2 Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ Biết ∫ f (t )dt = x cos(π x ) Giá trị f (4) là: A f (4) = 1 C f (4) = Lời giải B f (4) = D f (4) = ′ u ( x ) Sử dụng công thức ∫ f (t )dt = u ′ f (u ) (xem lại DẠNG 4), ta có: a x2 ∫ ′ x2 f (t )dt = x cos(π x ) ⇒ ∫ f (t )dt = ( x cos(π x ))′ ⇔ xf ( x ) = cos(π x ) − π x sin(π x ) (*) Thay x = vào (*), ta được: f (4) = cos(2π )-2π.sin(2π) = ⇒ f (4) = Câu 18 [Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ x2 Biết ∫ f (t )dt = e x + x −1 với ∀x ∈ ℝ Giá trị f (4) là: A f (4) = e + B f (4) = e C f (4) = e + Lời giải Trang 11 D f (4) = Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng ′ u ( x ) Sử dụng công thức ∫ f (t )dt = u ′ f (u ) (xem lại DẠNG 4), ta có: a x2 ∫ ′ x2 ′ f (t )dt = e + x −1 ⇒ ∫ f (t )dt = e x + x −1 x2 ( ) ⇔ xf ( x ) = x e x + x Suy ra: f ( x ) = e x + x ⇒ f ( x ) = e x + x ⇒ f (4) = e + Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) > xác định, có đạo hàm đoạn [0;1] thỏa mãn x g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt g ( x ) = f ( x ) Tính A 1011 ∫ g ( x )dx B 1009 2019 Lời giải C D 505 ′ u( x ) Sử dụng công thức ∫ f (t ) dt = u ′ f (u ), ta có 0 x ( ) ( ) g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt ⇒ g ′ ( x ) = 2018 f ( x )← → g ′ ( x ) = 2018 g ( x ) ⇔ f ( x )>0 g x =f x Suy ∫ g ′(x ) g (x ) g ′ (x ) g (x ) = 2018 dx = ∫ 2018dx ⇔ g ( x ) = 2018 x + C (*) x Từ điều kiện g ( x ) = + 2018 ∫ f (t ) dt ⇒ g (0) = thay vào (*) suy C = Khi g ( x ) = 1009 x + ⇒ ∫ g ( x )dx = ∫ (1009 x + 1) dx = 1011 x2 Câu 20 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [1;2 ] Biết ∫ f (t ) dt = x + x −1 với ∀x ∈ [1;2 ] Tính x tích phân ∫ b f ( x ) dx = a + ln d Biết a, b, c , d số nguyên tố Tính c T = a + b + c + d A T = 10 B T = 11 C T = 17 Lời giải ′ u( x ) Sử dụng công thức ∫ f (t ) dt = u ′ f (u ) − v ′ f (v ), ta có v( x ) Trang 12 D T = 16 Biên soạn: Hoàng Phi Hùng x2 ∫ x Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng ′ x2 f (t ) dt = x + x −1 ⇒ ∫ f (t ) dt = (2 x + x −1)′ ⇔ x f ( x ) − f ( x ) = x + x ⇒ f (x ) = Suy x +1 , ∀x ∈ [1;2 ] x −1 2 ∫ f ( x ) dx = ∫ 1 2 x +1 3 dx = ∫ 2 + d x x ln x = + − = + ln 1 x −1 x − 1 2 a = c = ⇒ T = 10 Suy b = d = 10 Câu 21 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x + x − 2) = x −1 Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = 45 B I = C I = 135 D I = 27 Lời giải dt = (3 x + 2) dx Đặt t = x + x − ⇒ f (t ) = x −1 10 10 Ta viết lại I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt 1 Đổi cận: Với t = ⇒ = x + x − ⇔ x = t = 10 ⇒ 10 = x + x − ⇔ x = 10 1 Khi I = ∫ f (t ) dt = ∫ (3 x −1)(3 x + 2) dx = 135 Chú ý: Đây lớp câu hỏi thuộc dạng 5, ta tóm tắt hàm ẩn dạng phát biểu toán sau: Bài toán: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f (u ( x )) = v ( x ) v ( x ) hàm đơn điệu (luôn b đồng biến nghịch biến) ℝ Hãy tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx a dt = u ′ ( x ) dx Cách giải: Đặt t = u ( x ) ⇒ f (t ) = v ( x ) b b Ta viết lại I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt a a Đổi cận: Với t = a ⇒ u ( x ) = a ⇔ x = α t = b ⇒ b = u ( x ) ⇔ x = β b β Khi I = ∫ f (t ) dt = ∫ v ( x ).u ′ ( x ) dx a Câu 22 Cho hàm số α f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn I = ∫ f ( x ) dx Trang 13 f ( x + 1) = x −1, ∀x ∈ ℝ Tính Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng A I = −2 B I = C I = −4 D I = Lời giải dt = x dx Đặt t = x + ⇒ f (t ) = x −1 1 Ta viết lại I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt 0 Đổi cận: Với t = ⇒ = x + ⇔ x = −1 t = ⇒ = x + ⇔ x = 1 Khi I = ∫ f (t ) dt = ∫ (2 x −1).3 x dx = −2 −1 Câu 23 Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x + x + 1) = x + 2, ∀x ∈ ℝ Tính I = ∫ x f ′ ( x ) dx A B 17 33 Lời giải C D −1761 du = dx u = x Đặt ⇒ ⇒ I = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) f (5) = ( x = 1) Từ f ( x + x + 1) = x + ⇒ , suy I = 23 − ∫ f ( x ) dx f (1) = ( x = ) dt = (3 x + 3) dx Đặt t = x + x + ⇒ f (t ) = x + Đổi cận: Với t = ⇒ = x + x + ⇔ x = t = ⇒ x + x + = ⇔ x = 1 Casio Khi I = 23 − ∫ f ( x ) dx = 23 − ∫ (3 x + 2)(3 x + 3) dx = Câu 24 Cho hàm số f ( x ) liên tục R thỏa mãn 33 f ( x ) + f ( x ) = x , ∀x ∈ R Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = D I = Lời giải Đặt y = f ( x ) ⇒ x = y + y ⇒ dx = (3 y + 1) dy x = → y + y = ⇔ y = Đổi cận x = → y + y = ⇔ y = 0 Chú ý: Đây lớp câu hỏi thuộc Dạng 6, ta TĨM TẮT HÀM ẨN DẠNG phát biểu toán sau: Khi I = ∫ f ( x ) dx = ∫ y (3 y + 1) dy = ∫ (3 y + y ) dy = 1 Trang 14 Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài tốn: “ Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn g f ( x ) = x g (t ) hàm đơn điệu ( b đồng biến nghịch biến) R Hãy tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx “ a Cách giải: Đặt y = f ( x ) ⇒ x = g ( y ) ⇒ dx = g ′ ( y ) dy x = a → g ( y ) = a ⇔ y = α Đổi cận x = b → g ( y ) = b ⇔ y = β b β Suy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ yg ( y )dy a α Câu 25 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x ) − f ( x ) + f ( x ) = x , ∀x ∈ ℝ Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = 12 D I = Lời giải Đặt y = f ( x ) ⇒ x = y − y + y ⇒ dx = ( y − y + 1) dy Đổi cận: với x = ⇒ y − y + y = ⇔ y = x = ⇒ y − y + y = ⇔ y = 1 Khi I = ∫ f ( x ) dx = ∫ y.6 ( y − y + 1) dy = ∫ ( y − y + y ) dy = 0 Câu 26 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn x + f ( x ) + f ( x ) = , ∀x ∈ ℝ Tính I = ∫ f ( x ) dx −2 A I = B I = C I = D I = Lời giải Đặt y = f ( x ) ⇒ x = − y − y + ⇒ dx = (−3 y − 2) dy Đổi cận: Với x = −2 ⇒ − y − y + = −2 ⇔ y = ; x = ⇒ − y − y + = ⇔ y = Khi đó: I = ∫ y (−3 y − 2) dy = Câu 27 Cho hàm số f ( x ) liên tục nhận giá trị dương [0;1] Biết f ( x ) f (1 − x ) = với ∀x ∈ [0;1] Tính giá trị I = ∫ A B dx 1+ f (x ) C Lời giải Trang 15 D Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng dt = −dx dx Đặt t = − x ⇒ x = a ⇒ t = ; x = ⇒ t = Khi I = ∫ f ( x ) = 1+ f (x ) f (t ) =∫ dt 1+ f (t ) 2I = ∫ =∫ f ( x ) dx 1+ f (x ) f ( x ) dx dx +∫ = ∫ dx = ⇒ I = 1+ f (x ) 1+ f (x ) 1 Chú ý: Đây câu hỏi thuộc Dạng 7, ta TĨM TẮC HÀM ẨN DẠNG phát biểu toán sau: b Bài toán: “ Cho f ( x ) f (a + b − x ) = k , I = ∫ a dx b −a = k + f (x ) 2k Chứng minh: dt = −dx Đặt t = a + b − x ⇒ k x = a ⇒ t − b ; x = b ⇒ t = a f ( x ) = f (t ) b b b f ( x ) dx dx dx Khi I = ∫ =∫ = ∫ k k + f x k k + f x ( ) ( ) a a k+ a f (t ) b 2I = ∫ a f ( x ) dx b −a 1 dx + ∫ = ∫ dx = (b − a ) ⇒ I = k 2k k + f (x ) k a k + f (x ) k a b b Câu 28 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ , ta có f ( x ) > f (0 ) f (2018 − x ) = Giá trị 2018 tích phân I = ∫ A I = 2018 dx + f (x ) B I = C I = 1009 Lời giải 2018 Áp dụng kết dạng (xem lại câu 27 ), ta có I = ∫ D 4016 2018 − dx = = 1009 1+ f (x ) 2.1 Câu 29 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn ∫ xf ( x ) dx = Tính tích phân ∫ f ( x ) dx Lời giải Đặt t = − x ⇒ dt = −dx x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = A f (4 − x ) = f ( x ) Biết B C 3 D 11 Khi đó: = ∫ xf ( x ) dx = ∫ (4 − t ) f (4 − t ) dt = ∫ (4 − x ) f (4 − x ) dx = ∫ (4 − x ) f ( x ) dx 1 Trang 16 Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng 3 Suy ra: 10 = ∫ xf ( x ) dx + ∫ (4 − x ) f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 1 Chú ý: Đây câu hỏi thuộc dạng 8, ta TĨM TẮT HÀM ẨN DẠNG phát biểu toán sau: f (a + b − x ) = f ( x ) b 2I b Bài toán: Cho ⇒ ∫ f ( x ) dx = xf ( x ) dx = I a +b a ∫ a dt = −dx Chứng minh: Đặt t = a + b − x ⇒ x = a ⇒ t = b Khi x = b ⇒ t = a b b I = ∫ xf ( x ) dx = ∫ (a + b − t ) f (a + b − t ) dt a a b b = ∫ (a + b − x ) f (a + b − x ) dx = ∫ (a + b − x ) f ( x ) dx a a b b b b Suy I = ∫ xf ( x ) dx + ∫ (a + b − x ) f ( x ) dx = (a + b ) ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = a a a a 2I a +b Câu 30 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x ) − f (3 − x ) = Biết 4 ∫ xf ( x ) dx = Tính ∫ −1 A f ( x ) dx −1 B Lời giải C Áp dụng kết Dạng (bài 29) ta có: ∫ f ( x ) dx = −1 { D 2I 2.2 = = a + b (−1) + } Câu 31 Tính I = ∫ x ; − x dx A I = B I = C I = D I = Lời giải Ta xét dấu f ( x ) = x − − x đoạn [ 0;2 ] Ta có x − − x = ⇔ x + x − = ⇔ ( x −1)( x + x + 2) = ⇔ x = Bảng xét dấu x Do x ; − x = − x { } x ∈ [0;1] x ∈ [1;2 ] Trang 17 Biên soạn: Hoàng Phi Hùng { Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng } Suy I = ∫ x ; − x dx = ∫ x dx + ∫ 0 1 − x dx = + = 4 Câu 32 Tính tích phân I = ∫ max { x ; x }dx A 17 15 Lời giải B C D ] Trên đoạn [ 0; ] , xét x ≥ x ⇔ x ( x −1)( x + 1) ≤ ←[ → ≤ x ≤ x ∈ 0; x ≤ x ≤ x ∈ [0; 1] ⇒ x ≥ x 3 ⇒ max x ; x = Vậy { } [ 0; ] x ∈ [1; ] ⇒ x ≤ x x ≤ x ≤ Suy I = ∫ max { x ; x 15 } dx = ∫ xdx + ∫ x 3dx = + = 17 Chú ý: Đây câu hỏi thuộc Dạng (Tích phân cho nhiều cơng thức hình thức tốn min, max) ta TĨM TẮT HÀM ẨN DẠNG phát biểu toán sau: b b a a Bài tốn: Tính tích phân I = ∫ max { f ( x ); g ( x )} dx I = ∫ { f ( x ); g ( x )} dx Cách giải: ( tham khảo qua lời giải Câu 31, 32, 33) Câu 33 Tính tích phân I = ∫ max { x ; x − x }dx A 117 B 707 275 12 Lời giải C D 119 Trên đoạn [ 0; 3] : [ ] x ∈ [0; 1] Xét x ≥ x − x ⇔ x ( x −1)( x − 3) ≥ ←→ x ∈ 0; x ∈ [0; 1] ⇒ x ≥ x − x x x ∈ [ 0; 1] Vậy ⇒ max { x ; x − x } = [ 0; 3] x ∈ [1; 3] ⇒ x ≤ x − x 4 x − x x ∈ [1; 3] 3 Khi I = ∫ max { x ;4 x − x } dx = ∫ x dx + ∫ (4 x − x ) dx = 3 Trang 18 275 12 ... C D Trang Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 3 x x [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số y f x Tính... x dx f x a Trang 11 Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn : A f ( x ) + B u... Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng a 1009 Với điều kiện a, b thỏa mãn toán, suy ra: b a 3029 b 2020 Câu 18 [Chuyên Vinh – Lần – 2017] Giả sử hàm số y