Chuyên đề VDC tích phân hàm ẩn

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨNXin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!. Lời giải Chọn A Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức n

Trang 1

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!

Câu 1. Cho

0

ln( 2)

x



,với , ,a b c   Tính T   a b c

A. T 13 B. T 15 C. T 17 D. T 11.

Lời giải Chọn A

Phân tích:

Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản

Ta có:

1

x

*Tính

1 1 0

ln( 2)

I x x dx

Đặt

2

dx du

v











 Khi đó :

1

0

1

0

ln 3 ( 2 4ln 3) 2ln 2 ln 3 2ln 2

x

 





*Tính

1 2

x







2

1

0

1 2ln 3 2ln 2

 

2

7 7 4 ln 2 2.7 ln 3 7 4ln 2 ln 3

Ta có a4,b2,c Vậy 7 T       a b c 4 2 7 13

Câu 2. Cho

 

3

2

x





, với a b c  , , Tính T    a b c

Trang 2

THPTQG

A T  13 B T  15 C T  10 D T  11

Lời giải Chọn C

Ta có

 

2

1

x



* Tính

 

3 1 0

I x x x

Đặt

 

2

d d

2

x u

x

v x x

v











Khi đó :

 

1

0

3 2

0

x

ln 4 3 ln 4 4ln 4

* Tính

3

0

d 1

x







Đặt ux2  1 du2 dx x

Đổi cận: x 0 u1;x 3 u10

Khi đó :

10 10

2

1 1

u

Suy ra

 

2

1

x



Ta có a5,b2,c Vậy 3 T a b c   10

Câu 3. Cho

 

1

2 0

x





, với , , a b c   Tính T abc

A T 18. B T  16 C T  18 D T 16.

- Ta có

 

1

2 0

1

x



1

2 0

1

x





Trang 3

 

2

1

x



- Đặt

 

1 1 0

ln 2 d

I x x x

và

1

0

d 1

x







+ Tính

 

1 1 0

ln 2 d

I x x x

Ta đặt

 

2

1 d

d

2

v











 , khi đó ta có:

1 1

1

0 0

1

x





1

0





1 2

0

x

ln 3 2 4 ln 3 4ln 2

2ln 2 ln 3

+ Tính

1

0

d 1

x





2 0

1 1

d x x



0

1

ln 2 2



- Khi đó 1 2

2ln 2 ln 3 ln 2

I  I I    

ln 2 ln 3

3.2.ln 2 3.2.ln 3 3

4



   

3.2.ln 2 2 3 ln 3 3

4



Ta suy ra:

3 2 3

a b c











 

 Vậy T a b c 3.2 3  18

Câu 4. Cho f x  là hàm liên tục và a  Giả sử rằng với mọi 0 x0;a

, ta có f x   0 và

f x f a x  Tính 0  

1 d 1

a

f x







.

A 3

a

Trang 4

THPTQG

Lời giải Chọn D

Ta có 0  

1 d 1

a

f x





1

d 1 1

a

x

f a x







 

0

d 1

a f a x

x

f a x







Đặt a x t  thì dxdt Với x a  t 0; x  0 t a.

Ta được

 

0

d 1

a

f t





0

d 1

a f x

x

f x







Do đó, ta có  

 

1

a

f x

Vậy 2

a

I 

Câu 5. Cho f x  là hàm liên tục trên 0;1 Giả sử rằng với mọi x0;1, ta có f x   0và

  1  4

f x f  x  Tính  

1

02

dx

f x





1

4

 

1

dx



Đặt t 1 x dtdx, đổi cận : x   ; 0 t 1 x   1 t 0

 

2

f x dx

Câu 6. Cho hàm số f x  liên tục trên  và 3f  x  2f x  tan2x Tính

 

4

d

f x x







A 1

2





B 1 2





4





2





Theo đề bài, ta có 3f  x  2f x  tan2x  1

Thay x bởi  x ta được: 3f x  2f  x tan2 x tan2x  2

Trang 5

Từ  1 và  2 suy ra: f x  tan2x.

 

0

d tan d 2 tan d

    4  2  4

2

1

2 1 tan 1 d 2 1 d

cos

x

        

2 tan 4 2

2 0

x x

   



Câu 7. Biết

0

.ln

x

p

ò

Với , ,m n p là các số nguyên dương Tính tổng S= + + m n p

Ta có:

1

3

0

.2

x

p p

÷

1 0

e

p p

Vậy

4

1

m

p

ì = ïï

ïï = Þ + + = íï

ï =

Câu 8. Cho hàm số f x( )

liên tục và có đạo hàm cấp hai trên [ ]0;1

thỏa

( )

1 2 0

x f¢¢x dx= ò

và

2 1f - f ¢1 =- 2 Tính ( )

1

0

f x dx

ò

u x

v f x

dv f x dx

0 0

I=x f x¢ - ò x f x dx¢

dv f x dx v f x

0

2 x f x dx¢ =2 x f x - 2f x dx

Do đó

12= f¢1 - 2 1f +2òf x dxÛ òf x dx=5

Câu 9. Cho hàm số f (x) thỏa mãn 

3

x f '

( x )e f(x)dx=8 và f (3 )=ln 3 Tính 

3

e f ( x) dx

Trang 6

THPTQG

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần

Từ giả thiết đề cho, Đặt {dv=f u=x ' ( x ) e f(x)dx=¿{v=e du=dx f(x)

dx

Khi đó:

I=x e f(x)

¿03−

0

3

e f(x)dx=¿8=3 e f( 3 )

−

0

3

e f ( x) dx

Suy ra 

0

3

e f ( x) dx =9−8=1

Câu 10. Cho hàm số f x 

liên tục trên  và thỏa mãn f x2018f x  xsin x

Tính

 

2

I f x dx







A

2

1

2018.

Đặt tx dtdx x 2 t 2



;

x 2 t 2

   



Suy ra

2019.I f x dx 2018 f x dx xsinxdx 2

2 2019

I

xác định trên khoảng 0;  \ e

thỏa mãn

 

1

ln 1

f x

x x

 ,

2

1

ln 6

f

e



  và  2

3

f e 

Giá trị của biểu thức 1  3

e

 



 

A 3 ln 2 1   B 2ln 2. C 3ln 2 1 D ln 2 3

Trang 7

Ta có:

   

 

ln 1

1

ln ln 1





với x0;  \ e

 Trường hợp 1: lnx  1 0 lnx 1 x e

  ln ln 1 1

,  2

1

f e  C   f x ln ln x1 3

 3 ln ln 3 1 3 3 ln 2

 Trường hợp 2: lnx  1 0 lnx 1 0  x e

  ln 1 ln  2

1

ln 6 ln 3 ln 6 ln 6 ln 3 ln 2

e

 

 

  ln 1 ln  ln 2

ln 1 ln ln 2 2ln 2

f

2ln 2 3 ln 2 3 ln 2 1

e

 

 

Câu 12 Cho hàm số yf x  ax3bx2cx d

có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng đồ thị hàm số yf x 

tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là

Ta có f x  ax x 2

mà

 1 3 3   3 2 6     3 3 2

f    a  f x  x  x f x f x dx x   x C.

Gọi x là hoành độ tiếp điểm 0 x 0 0

suy ra

 

0

4 0

C

f x







Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4

Trang 8

THPTQG

Câu 13 Cho yf x  là hàm số chẵn, liên tục trên  Biết đồ thị hàm số yf x đi qua điểm

1

; 4 2

M 

  và  

1 2 0

3

f t dt 



Tính

 

0

6

sin 2 x f sinx dx









A I  10 B. I 2 C I 1 D I 1

Lời giải Chọn B

Đặt sin x t ; đổi cận

1

x   t x  t

1

sin 2 sin 2



f t dt dv f t v



 

0 0 1 1 2 2



 

yf x là hàm số chẵn:

   

1

2

2f t dt 2f t dt 2.3 6



Đồ thị hàm số yf x đi qua điểm

1

; 4 2

M 

  :

1 4 2

f  

 

1 2

   

 



thỏa mãn    

2

1

f x  f x dx 



và f  1  , 1 f  2  Giá trị của 1 f  2 bằng

A f  2  2 B f  2  3 C f  2  e D f  2 e2

Đặt

 

ln

dv f x dx









 

f x

v f x









 

 

2 1

f x  f x dx f x f x   f x dx

           

1 f 2 ln f 2 f 1 ln f 1 f 2 f 1

         

 

     

1 1

f



Trang 9

 

2 1

f



     f  2  e

thỏa mãn

 

2

0

f x x 



và f  2  Tính 2 4  

0

d

f x x



A I=2. B I = 3 C I = 5 D I =1.

Xét tích phân 4  

0

d

f x x



Đặt x t  x t 2 dx2 ttd

Đổi cận: Khi x 4 t  ; Khi 2 x  thì 0 t  0

I f x xtf t t

dt=dv



2 0

I f x xtf t t  tf t  f t t

0

4f 2 2 f x dx 4.2 2.3 2

Câu 16. Cho hàm số yf x 

liên tục trên  và thỏa f 4 x f x 

Biết  

3

1

xf x x 



Tính  

3

1

d

f x x



A

5

7

9

11

2

5xf x xd xf 4 x xd

Đặt

4

1; 3 3; 1

x

ì = -ïï

ïï =-ï

= - Þ íï = =

ïï

ï = =

Do đó

             

xf  x x  t f t x  t f t x f t t tf t t

5

2

3

5 d 2

f x x 



Trang 10

THPTQG

có đạo hàm và liên tục trên 0;1

và thỏa mãn

   

1

0

x f x    xf



Giá

trị của

 

1

0

d

I f x x

bằng

Đặt d   2 d

u x









2

u x

v f x x







Khi đó

1 0

f x f x    x x f x   x   f x  x x f   I

Suy ra I  1

Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên ( ) [0;1] thỏa mãn ( ( ) ) ( )

1

0

x f x¢ - x= f

ò

Giá trị

của

( ) 1

0

d

I=òf x x

bằng

Lời giải Chọn B

4

v f x x

î

Khi đó

1 0

f x f x    x x f x   x  f x  x x f   I

Suy ra I =- 2.

Câu 19. Cho hàm số f x  liên tục trên  thỏa ( ) ( )

1

0

x+ f x x¢ =

ò

và 2 1ff -( ) ( )0 =2 Tính ( )

1

0

d

I =òf x x

A.I =- 12. B.I = 8 C.I =12. D.I =- 8

d

Trang 11

Khi đó

0

x+ f x x¢ = Û x+ f x - f x x=

Suy ra I =- 8

Câu 20. Biết rằng hàm sốyf x liên tục trên ( )  thỏa

   

2

0

2 16;  4

Tính

 

1

0

2





I xf x dx

A.I 13. B.I 12. C.I 20. D.I 7.

2











du dx

u x

dv f x dx v f x

Ta có:

1

0



với

 

1

0

2



A f x dx

.

Đặt

Vậy

1

2

liên tục trên đoạn 0;1

thỏa mãn điều kiện

  2 1  3 2 6 , 0;1

f x  f  x  x  x x 

1

2 0

1

I f  x dx

A

4 15

I 

2 15

I 

2 15

I 

Đặt t 1 x x, 0;1  t 0;1

Ta có f x 2f 1 x3x2 6x f x 2f 1 x3 1  x2 3

1  2   32 3 2   1  3 2 3

Ta có hệ phương trình

   



Khi đó f 1 x2  1 x222 1  x2 2x4 4x21

Trang 12

THPTQG

Suy ra 1  2 1 4 2 

2

15

I f  x dxx  x  dx

liên tục với mọi x 1 thỏa mãn

1

3, 1 1

x





 

1

2

e

I f x dx





.

A I 4e1 B I  e 2 C I 4e 2 D I  e 3

Đặt

1

t

f t



1

f x

x

 



1

1 2 2

2

1

e

x







.

liên tục với mọi x 0thỏa mãn f x  2f 1 3 ,x x 0

x

 

 

2 1 2

f x

x



A

3 2

I 

9 2

I 

1 2

I 

4 3

I 

  2 1 3 , 0 1 

x

 

Nên f 1 2f x  3,x 0 2 

 

 

   1 , 2 3 f x  f 1 3

     

 

  1 1  3

 

   2 , 3 f x  x 2

x

 

2

2 2

f x

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	582,36 KB