BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1) dx ln x C x. 2) 2 2 dx dx 1 1 1 1 dx dx . .dx . x a x a x a 2a x a x a 2a x a x a d x a d x a 1 1 1 x a . . ln x a ln x a .ln C 2a x a x a 2a 2a x a 3) 2 2 2 2 2 2 2 2 d x a x.dx 1 1 . .ln x a C x a 2 x a 2 4) d ax b dx 1 1 . ln ax b C ax b a ax b a 5) n 1 n n n d ax b ax b dx 1 1 . ax b .d ax b . C a a ax b ax b n 1 1. Tích phân dạng P x I .dx Q x - Trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Nếu ngược lại ta lấy P(x) chia cho CHUYÊN ĐỀ 3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ Q(x). - Trước tiên ta phân tích mẫu Q(x) thành tích những nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. - Trong nội dung chương trình phổ thơng ta chỉ tiếp xc với cc dạng sau của Q(x). ● Dạng 1. 1 2 n Q x x a x a x a - Ta phân tích : 1 2 n P x P x Q x x a x a x a 1 2 n 1 2 n A A A x a x a x a - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm 1 2 n A , A , , A . ● Dạng 2. m 1 2 n Q x x a x a x a x b - Ta phân tích : m 1 2 n P x P x Q x x a x a x a x b 1 2 n 1 2 m 2 m 1 2 n A A A B B B x a x a x a x b x b x b - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm 1 2 n 1 2 m A , A , , A , B , B , , B . ● Dạng 3. 2 2 1 2 n Q x x a x a x a x px q , p 4q 0 - Ta phân tích : 2 1 2 n P x P x Q x x a x a x a x px q 1 2 n 2 1 2 n A A A Bx C x a x a x a x px q - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm 1 2 n A , A , , A , B, C. ● Dạng 4. 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Q x x p x q x p x q , p 4q 0; p 4q 0 - Ta phân tích : 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 P x P x B x C B x C Q x x p x q x p x q x p x q x p x q - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm 1 1 2 2 B , C , B , C . 2. Tích phân dạng 2 , dx I a 0 ax bx c Trong đó 2 ax bx c 0, ; Xt 2 b 4ac ● Nếu 0 thì 2 2 b ax bx c a x 2a Khi đó : 2 2 dx 1 dx I . a b b a x x 2a 2a ===> Dạng cơ bản n dx ax b . ● Nếu 0 thì 2 1 2 ax bx c a x x x x , với 1 2 x , x là 2 nghiệm của phương trình. Khi đó : 1 2 1 dx I . a x x x x ===> Dạng cơ bản 2 2 dx x a . ● Nếu 0 thì 2 2 2 2 b Δ ax bx c a x 2a 4a Khi đó : 2 2 2 2 dx 1 dx I . ax bx c a b Δ x 2a 4a === > Dạng 2 2 dx x a . BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân : 1 2 0 dx x 2x 2 ĐS : π . 4 Bi 2. Tính tích phân : 1 2 0 dx x 2x 2 ĐS : π . 4 Bi 3. Tính tích phân : 1 2 0 dx x x 1 ĐS : π 3 . 9 Bi 4. Tính tích phân : 0 2 1 dx x 2x 4 ĐS : π 3 18 . 3. Tích phân dạng 2 , mx n I .dx a 0 ax bx c Trong đó 2 mx n x ax bx c f liên tục trên đoạn ; - Ta phân tích : 2 2 2 A. 2ax b mx n B ax bx c ax bx c ax bx c - Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được A, B. - Khi đó 2 2 2 mx n 2ax b 1 I .dx A. .dx B. .dx ax bx c ax bx c ax bx c + Tích phân 2 2 2 2 d ax bx c 2ax b .dx ln ax bx c ax bx c ax bx c + Tích phân 2 1 .dx ax bx c đ tính ở trn. BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân : 0 2 2 2x 2 dx x 4x 8 ĐS : π ln 2 . 4 Bi 2. Tính tích phân : 1 2 0 4x 11 .dx x 5x 6 ĐS : 9 ln . 2 4. Tích phân dạng (tham khảo thm) 2 n n . x I dx ax b - Sử dụng đồng nhất thức : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x .a x . ax . ax b b a a a 2 2 2 1 . ax b 2b ax b b a - Do đó : 2 2 2 2 n n n 2 n 1 n 2 2 ax b 2b ax b b x 1 1 1 2b b a a ax b ax b ax b ax b ax b - Vậy : 2 n 2 2 n n n 2 n 1 x 1 dx dx dx I .dx . 2b. b . a ax b ax b ax b ax b 2 n 2 n 1 n 2 1 . I 2b.I b .I a . BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân : 3 2 39 2 x .dx 1 x - HD: Phân tích: 2 2 x 1 x 2 1 x 1 . ĐS : Bi 2. Tính tích phân : 3 3 10 2 x .dx 1 x - HD: Phân tích: 2 3 3 x 1 3 x 1 3 x 1 x 1 . ĐS : 5. Tích phân dạng 2 2 dx I x a - Đặt : x a.tan t . ==> 2 dx a. 1 tan t .dt - Khi đó 2 2 2 2 2 2 a. 1 tan t .dt dx 1 dt 1 . .ln t C. x a a tan t a a t a BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân : 1 2 0 dx x 4 ĐS : Bi 2. Tính tích phân : 1 2 0 dx 2x 6x 9 ĐS : 6. Tích phân dạng (tham khảo thm) n n 2 2 dx I x a - Đặt: n n 1 2 2 2 2 1 2nx u du dx x a x a dv dx v x 7. Tích phân dạng (tham khảo thm) n n 2 , dx I a 0, n 2 ax bx c Trong đó 2 ax bx c 0, ; - Ta cĩ: n n n n 22 2 dx 1 dx I . a ax bx c b x 2a 4a ===> Dạng n n 2 2 dx I x a BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân : 1 3 2 0 dx x 4x 3 ĐS : Bi 2. Tính tích phân : 1 2 2 0 dx x 3x 2 ĐS : 2 4ln2 2ln3. 3 8. Tích phân dạng (tham khảo thm) k k 2 , mx n I .dx a 0, k 2 ax bx c - Phân tích : m mb mx n 2ax b n 2a 2a - Do đó : k k k 2 2 2 2ax b mx n m mb 1 . n . 2a 2a ax bx c ax bx c ax bx c - Ta sẽ thu được 2 tích phân : k 2 2ax b .dx ax bx c v k 2 1 .dx ax bx c + 2 k k k 1 2 2 2 d ax bx c 2ax b 1 1 .dx . C 1 k ax bx c ax bx c ax bx c + k 2 1 .dx ax bx c đ tính ở trn. 9. Tích phân dạng (tham khảo thm) m n dx I x a x b Trong đó m,n là các số nguyên dương, ngoài phương pháp h ệ số bất định, ta cịn cĩ thể sử dụng php đặt t x a x b để giải. Ví dụ : Tính tích phân 1 2 3 0 dx I x 2 x 3 + Đặt : x 2 5 1 1 t t 1 x 3 x 3 x 3 5 2 2 2 5 1 t 5dt dt .dx 5 .dx dx 5 x 3 1 t + 3 2 5 2 3 5 2 2 4 2 1 t dx 1 x 3 1 t 1 5dt 1 .dx . . .dt x 2 5 t 5 t x 2 x 3 x 3 1 t + Đổi cận : 2 1 x 0 t ; x 1 t 3 4 . + Khi đó : 1 1 3 4 4 4 2 4 2 2 2 3 3 1 t 1 1 1 1 I dt 3 3 t dt 5 t 5 t t . . Tính tích phân : 3 2 39 2 x .dx 1 x - HD: Phân tích: 2 2 x 1 x 2 1 x 1 . ĐS : Bi 2. Tính tích phân : 3 3 10 2 x .dx 1 x - HD: Phân tích: 2 3 3 x. 1. Tích phân dạng P x I .dx Q x - Trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Nếu ngược lại ta lấy P(x) chia cho CHUYÊN ĐỀ 3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ Q(x) a BÀI TẬP Bi 1. Tính tích phân : 1 3 2 0 dx x 4x 3 ĐS : Bi 2. Tính tích phân : 1 2 2 0 dx x 3x 2 ĐS : 2 4ln2 2ln3. 3 8. Tích phân dạng (tham khảo thm)