chuyên đề 5 tích phân

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   1 CHUYÊNĐỀ5.  Bảngcôngthứcnguyênhàmcơbản:  dx x C=+ ò   1 (1) 1 x xdx C a a a a + =+¹- + ò   ln ( 0) dx xCx x =+ ¹ ò   2 1dx C x x =- + ò   xx eeC=+ ò   ln x x a adx C a =+ ò   cos sinxdx x C=+ ò   sin cosxdx x C=- + ò   2 tan cos dx xC x =+ ò   2 cot sin dx xC x =- + ò   2 dx xC x =+ ò   du u C=+ ò   1 (1) 1 u udx C a a a a + =+¹- + ò   ln ( 0) du uCx u =+ ¹ ò   2 1du du C u u =- + ò   uu edu e C=+ ò   ln u u a adu C a =+ ò   cos sinudu u C=+ ò   sin cosudu u C=- + ò   2 tan cos du uC u =+ ò   2 cot sin du uC u =- + ò   2 du uC u =+ ò Nếu uaxb=+ tacó:  1 ln dx ax b C ax b a =++ + ò   1 ax b ax b edx e C a ++ =+ ò   cos( ) sin( ) ax b ax b dx C a + +=- + ò  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   2  sin( ) cos( ) ax b ax b dx C a + += + ò   2 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C a ax b =++ + ò   2 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C a ax b =- + + + ò   2dx ax b C a ax b =++ + ò  Cácphươngpháptínhtíchphânthườngdùng Phươngphápđổibiếnsốloại1. Giảsửcầntính () b a Ifxdx= ò tathựchiệncácbướcsau: Bước1.Đặt ()xut= (với ()ut làhàmcóđạohàmliêntụctrên ;ab éù êú ëû , (())fut xácđịnhtrên ;ab éù êú ëû và () ,()uaubab== ) Bước2.Thayvàotacó: ( ()). '() () ()| ( ) ( )I f u t u t dt g t dt G t G G bb b a aa ba====- òò  Mộtsốdạngthườngdùngphươngphápđổibiếnloại1:  Hàmsốdướidấutíchphânchứa 222 abx- tathườngđặt sin a xt b =   Hàmsốdướidấutíchphânchứa 22 2 bx a- tathườngđặt sin a x bt =   Hàmsốdướidấutíchphânchứa 222 abx+ tathườngđặt tan a xt b =   Hàmsốdướidấutíchphânchứa ()xa bx- tathườngđặt 2 sin a xt b =  Phươngphápđổibiếnsốloại2. Đểtínhtíchphân () b a Ifxdx= ò nếu () (). '()fx gux u x éù = êú ëû tathựchiệncácphépbiếnđổisau: Bước1.Đặt () '()tux dtuxdx== .Đổicận (), ()xa tuaxb tub== ==  Bước2.Thayvàotacó () () () () () () ub ub ua ua IgtdtGt== ò  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   3 Phươngpháptíchphântừngphần:Cho2hàmsố u và v liêntụctrên ;ab éù êú ëû vàcóđạohàm liêntụctrên ;ab éù êú ëû .Khiđótacó: b bb aa a udv uv vdu=- òò  Tathườnggặpcácdạngsau: Dạng1: ( )sinIPxxdx= ò hoặc ()cosIPxxdx= ò ,trongđó ()Px làhàmđathức. Vớidạngnàytađặt ()uPx= và sindv xdx= hoặc cosdv xdx= . Dạng2: () ax b IPxedx + = ò ,trongđó ()Px làhàmđathức. Vớidạngnàytathườngđặt () ax b uPx dv e dx + ì ï = ï ï í ï = ï ï î  Dạng3: ()ln( )IPxaxbdx=+ ò ,trongđó ()Px làhàmđathức. Vớidạngnàytathườngđặt ln( ) () uaxb dv P x dx ì ï =+ ï í ï = ï î  Dạng4: sin . x Ixedx= ò hoặc cos . x Ixedx= ò  Vớidạngnày,tađặt sin cos x x u x dv e dx ì éù ï ï êú ï = ï êú í êú ëû ï ï ï = ï î ,đểtính vdu ò tađặt sin cos x x u x dv e dx ì éù ï ï êú ï = ï êú í êú ëû ï ï ï = ï î  Mẹotínhnhanhtíchphântừngphần:Đểtíchnhanhtíchphântừngphần Iudv= ò tacó sơđồsau:  Lấyđạohàm Lấytíchphân  u  dv   du  v   du  v   0  v  Chẳnghạntacầntínhnguyênhàmsau: 2 (75)cos2Ixx xdx=-+ ò  Tacósơđồnhưsau: + -  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   4  2 75xx-+  cos 2x    27x -  1 sin 2 2 x    2  1 cos 2 4 x-    0  1 sin 2 8 x-  Vậytađược 2 111 ( 7 5)sin 2 (2 7)cos 2 sin 2 244 Ixx x x x x=-+ +- -  Nhưngmẹonàychỉápdụngđượctrongtrườnghợpmộthàmcủamìnhcóđạohàmbằng0ở mộtcấpnhấtđịnh. PHƯƠNGPHÁPSỬDỤNGBẢNG NGUYÊNHÀM Bàitập1.(D_2009).Tínhtíchphânsau 3 1 1 x dx I e = - ò  Hướngdẫn: Tacó 33 3 3 11 1 1 (1) (1) 11 1 xx x xx x dx e e d e Idxdx ee e - == = - - òò ò ò  Bàitập2.(B_2008).Tínhtíchphânsau 4 0 sin 4 sin 2 2(1 sin cos ) x Idx xxx p p æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç èø = ++ + ò  Hướngdẫn: Tacó + + -  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   5 44 00 4 2 0 sin 4 2sincos sin 2 2(1 sin cos ) 2 1 sin 2 2(sin cos ) 1 2sincos 2 (sin cos ) x xx Idx dx xxx xxx xx dx xx pp p p æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç - èø == ++ + + + + + - = + òò ò  Bàitập3.(A_2006).Tínhtíchphânsau 4 22 0 sin 2 cos 4 sin x Idx xx p = + ò  Hướngdẫn: Tacó 22 (cos 4 sin ) 3 sin 2dx x xdx+= () 4 22 22 0 1(cos 4sin) 1 10 2 33 cos 4 sin dx x Idx xx p + = = - + ò  Bàitập4.(D_2005).Tínhtíchphânsau () 2 sin 0 cos cos x Ie xxdx p =+ ò  Hướngdẫn: Tacó () 2222 sin sin 0000 11 cos cos cos cos2 1 22 4 xx I e x xdx e xdx dx xdx e pppp p =+ = ++ =-+ òòòò  Bàitập5.(B_2003).Tínhtíchphânsau 4 2 0 12sin 1sin2 x Idx x p - = + ò  Hướngdẫn: Tacó 44 2 00 12sin cos2 1 ln 2 1sin2 1sin2 2 xx Idxdx xx pp - === ++ òò  Bàitập6.(A_2010).Tínhtíchphânsau 1 22 0 2 12 xx x xe xe Idx e ++ = + ò  Hướngdẫn: Tacó () 111 22 2 000 12 21112 ln 32 3 12 12 x xx xx de xe xe e Idxxdx ee + ++ + ==+=+ ++ òòò  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   6 Bàitập7.(A_2011).Tínhtíchphânsau 4 0 sin ( 1)cos sin cos xxx x Idx xx x p ++ = + ò  Hướngdẫn: Tacó: () 444 000 sin cos sin ( 1)cos 2 ln 1 sin cos sin cos 4 2 4 dx x x xxx x Idxdx xx x xx x ppp pp æö æö + ++ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ==+=++ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ç ++ ÷ èø ç èø òòò  Bàitập8.Tínhtíchphânsau 4 3 0 sin cos sin cos xx Idx xx p + = - ò  Bàitập9.Tínhtíchphânsau 3 22 4 sin cos 1 cos x Idx xx p p = + ò  Hướngdẫn: Tacó 33 22 2 2 44 sin tan 53 cos 1 cos cos 2 tan xx Idx dx xx x x pp pp == =- ++ òò  Nhậnxétchung:Phươngphápsửdụngbảngnguyênhàmthựcchấtlàmộtphépđổibiếnsố đơngiản.Tuynhiênnócóthuậnlợilà:khôngcầnthựchiệncácphépđổicậncũngnhưcách trìnhbàyđơngiản. PHƯƠNGPHÁPĐỔBIẾNSỐ Bàitập1.Tínhcácnguyênhàmsau: a) () 3 tan tanIxxdx=+ ò b) () 3 4 5Ixxdx éù =- êú ëû ò  Hướngdẫn: a) Tacó ()() 32 tan tan tan 1 tan tanIxxdxxxdxux=+ = + = òò  b) () () 3 3 4434 55 5Ixxdx xxdxu x éù =- =- =- êú ëû òò  Bàitập2.Tínhcáctíchphânsau: a) () 4 0 ln 1 tanIxdx p =+ ò b) 1 2 0 ln(1 ) 1 x Jdx x + = + ò  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   7 Hướngdẫn: a) Đặt 4 txdtdx p =-=- ln 2 ln 2 48 III pp = -=  b) Đặt () 2 tan 1 tanxtdx tdt==+ .Khiđótacó: () 4 0 ln 1 tan ln 2 8 Jtdt p p =+ = ò  Bàitập3.Tínhcáctíchphânsau: a. 1 2 0 1 dx I x = + ò b) 1 2 2 0 1 dx J x = - ò  Hướngdẫn: a) Đặt () 2 tan , ; 1 tan 22 xtt dx tdt pp æö ÷ ç ÷ =Î-=+ ç ÷ ç ÷ ç èø . b) Đặt 6 2 0 cos sin cos 6 1sin t x t dx tdt I dt t p p == = = - ò  Bàitập4.Tínhtíchphânsau: () 2 22 0 sin 2 0, 0, cos sin x Idxabab axbx p =>>¹ + ò  Hướngdẫn: Đặt () 22 11 cos sin sin 2 ln b a dt b ta xb x dt ba xdx I ba t ba a =+=- = = ò  Bàitập5.Tínhtíchphânsau: 6 4 0 tan cos 2 x Idx x p = ò  Hướngdẫn:Tacó: () 66 44 22 00 tan tan cos 2 1tan cos xx Idx dx x xx pp == - òò  Đặt 3 3 4 2 0 11 tan 1 t txI dt t -+ ==- - ò  ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   8 Bàitập6.(B_2004)Tínhtíchphânsau: 1 1 3 ln ln e xx Idx x + = ò  Hướngdẫn:Đặt lntx= tacó: 1 0 116 13. 135 Ittdt=+ = ò  Hoặccóthểđặt 13lntx=+  Bàitập7.(B_2005)Tínhtíchphânsau: 2 0 sin 2 cos 1cos xx Idx x p = + ò  Hướngdẫn:Đặt costx= tacó: 11 2 00 2 2 (1 ) 2(1 ) 2 11 tttt Idt dt tt +- ++ =- =- ++ òò  Bàitập8.(B_2006)Tínhtíchphânsau: ln 5 ln 3 23 xx dx I ee - = +- ò  Hướngdẫn:Tacó ln 5 ln5 2 ln 3 ln 3 23 32 x xx xx dx e Idx ee e e - == +- -+ òò  Đặt 55 2 33 (1)(2) 3 ln (1)(2) 2 32 x dt t t te I dt tt tt == = = -+ òò  Bàitập9.(A_2004)Tínhtíchphânsau: 2 1 11 xdx I x = +- ò  Hướngdẫn:Đặt 11 14ln2 3 tx I=-=-  Bàitập10.(A_2005)Tínhtíchphânsau: 2 0 sin 2 sin 13cos xx Idx x p + = + ò  Hướngdẫn:Đặt 34 13cos 27 txI=+ = Bàitập11.Tínhtíchphânsau: 1 32ln 12ln e x Idx xx - = + ò  Hướngdẫn:Đặt 10 11 12ln 2 33 txI=+ = - ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   9 Bàitập12.Tínhtíchphânsau: 3 22 0 221 x Idx xx = ++ + ò  Hướngdẫn:Tacó () 33 2 22 2 00 221 11 xxdx Idx xx x == ++ + ++ òò  Đặt () () 42 2 22 11 11231 1ln 22 26 1 1 dt u tx I du u t =+= = =- + + òò  Bàitập13.(D_2011)Tínhtíchphânsau: 4 1 41 211 x Idx x - = ++ ò  Hướngdẫn:Đặt 34 3 21 10ln 35 tx I=+=+  Bàitập14.(B_2002)Tínhtíchphânsau: 8 2 0 16Ixdx=- ò  Hướngdẫn:Đặt 4sin 2 4txIp==+  Bàitập15.Tínhcáctíchphânsau a) () 3 2 3 2 33 2 9 dx I x - = - ò b) () 3 3 2 3 3 1 dx I x - = + ò  Bàitập16.(A_2009)Tínhtíchphânsau: () 2 32 0 cos 1 cosIxxdx p =- ò  Hướngdẫn:Tacó () 222 32 5 2 000 8 cos 1 cos cos cos 15 4 I x xdx xdx xdx ppp p =- = - =- òòò  Bàitập17.Tínhcáctíchphânsau: a) () 1 2 1 ln 1Ixxdx - =++ ò  b) 2 6 2 1 x x Idx e - = + ò  c) 2 2004 2004 2004 0 sin sin cos x Idx xx p = + ò  d) 2 3 0 cosIxxdx p = ò   ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh   10 PHƯƠNGPHÁPSỬDỤNGTÍCHPHÂNTỪNGPHẦN Bàitập1.(Dạngcơbản)Tínhcáctíchphânsau: a) 1 2 1 0 x Ixedx= ò   b) () 2 2 0 cos ln 1 cosIx xdx p =+ ò c) 2 32 1 logIxdx= ò  d) () 5 4 2 2ln 1Ixxdx=- ò  e) () 2 5 1 ln e Ixdx= ò   f) 2 6 0 cos x Iexdx p = ò  g) () 7 1 cos ln e Ixdx p = ò  h) () 3 8 0 sin ln cosIxxdx p = ò  i) () 3 2 9 ln ln e e x Idx x = ò  k) 10 0 sin cosIxxxdx p = ò  l) () 2 11 0 sin ln 1 cosIx xdx p =+ ò m) 2 2 12 0 cosIxxdx p = ò  Hướngdẫn: a) Đặt () 2 2 1 2 1 1 1 4 2 x x du dx ux Ie dv e dx ve ì ï = ì ï ï = ï ï ïï =+ íí ïï = = ïï ï î ï ï î  b) Đặt 3 sin ln(1 cos ) 1 1cos cos 2 sin x ux du dx I x dv xdx nx p ì ï ì ï ï =+ =- ï ï ï =- íí + ïï = ïï = î ï ï î  c) Đặt 2 3 1 log 1 2 ln 2 ln 2 ux du I x dv dx vx ì ï ì ï ï = = ï ï ï =- íí ïï = ïï = î ï ï î  d) Đặt () 4 2 1 ln 1 27 24 ln 4 1 2 2 1 ux du I x dv xdx vx ì ï ì ï ï =- = ï ï ïï =- íí - ïï = ïï =- ï î ï ï î  Nhậnxét:Trongcâunàytachọn 2 1 vx=- thayvìviệcchọn 2 vx= nhưthông thườngsẽgiúpchoviệctínhdễdànghơn. i) Đặt () 9 1 ln ln 3ln3 2ln2 1 ln 1 ln ux du I xx dv dx vx x ì ì ï ï = ï ï = ï ï ïï = íí ïï = ïï = ïï ï î ï î  l) Thựchiệnphépđổibiếnsố 2 11 1 1cos lntxItdt=+  = ò  m) Đặt 2 2 2 1 2 sin cos 4 ux ux I dv xdx dv xdx p ì ì ï ï = = ï ï ï +=- íí ïï = = ïï î ï î  [...]... Tớnh th tớch khi trũn xoay khi quay (D) quanh trc honh Hng dn: ộy = 5 - x ờ + Ta cú y + x - 5 = 0 ờ ờy = - 5 - x ở 2 ỡy 2 + x - 5 = 0 ù ù + Xột h ớ ùx + y - 3 = 0 ù ù ợ (x Ê 5) ộx = 4; y = -1 ờ ờx = 1; y = 2 ờở ỡy = 5 - x ù ù ù ù ùy = 3 - x + Khi ú min (D): ù ớ ùy = 0 ù ù ù1 Ê x Ê 5 ù ù ợ 5 3 1 1 + Th tớch cn tớnh l: V = p ũ (5 - x )dx - p ũ (3 - x ) dx = 2 16 p (vtt) 3 21 ... ỗ4y - y 4 ữ = ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 4 ữ 20 ữ -2 5 ố ứ ố ứ -2 2 Bi tp 4 Cho min (D) gii hn bi (P ) : y = 2x - x 2 v trc honh c) Tớnh th tớch hỡnh trũn xoay khi quay (D) quanh trc honh d) Tớnh th tớch hỡnh trũn xoay khi quay (D) quanh trc tung Hng dn: ộx = 0 a) Phng trỡnh honh giao im: 2x - x 2 = 0 ờờ ờởx = 2 2 ( ) 2 Th tớch cn tớnh l: V = p ũ 2x - x 2 dx = 0 16 p (vtt) 15 ộx = 1 + 1 - y ờ (y Ê 1) b) Ta cú:... Bi tp 5 Cho min (D) gii hn bi (C ) : x 2 + (y - 4) = 1 Tớnh th tớch hỡnh trũn xoay 2 khi quay (D) quanh trc honh: Hng dn: ộ 2 2 ờy = 4 + 1 - x (-1 Ê x Ê 1) + Ta cú x 2 + (y - 4) = 1 ờ 1 ờy = 4 - 1 - x 2 ờở 2 + Th tớch cn tớnh l: 1 ( ) 1 V = p ũ y - y dx = p ũ (y1 + y2 )(y1 - y2 )dx 2 1 2 2 -1 -1 1 = 16p ũ 1 - x 2 dx = 8p 2 (vtt) -1 Bi tp 6 Cho min (D) gii hn bi (P ) : y 2 + x - 5 = 0 v... Lờ Ngc Sn_THPT Phan Chu Trinh } Bi tp 6 Tớnh din tớch hỡnh phng S : y = x 2 - 4x + 3 , y = x + 3 Hng dn: +Phng trỡnh honh giao im: ỡ 2 ù ùx - 4x + 3 = (x + 3) ớ ù ùx + 3 0 ù ợ ộx = 0 ờ ờx = 5 ờở + Din tớch cn tớnh l 5 S= ũ (x + 3 - x 2 ) - 4x + 3 dx = 0 109 (vdt) 6 { } Bi tp 7 Tớnh din tớch hỡnh phng S : (C ) : y 2 - 2y + x = 0,(D ) : x + y = 0 Hng dn: ộy = 0; x = 0 + (C ) ầ (D ) : -y 2 + 2y + y = 0... Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th Hng dn: + Tip tuyn ti M : y = 4x - 3 + Tip tuyn ti N : y = -2x + 6 + PT honh giao im gia T1 v T2 l x = 3 2 + Din tớch cn tớnh l: 3 2 S= ũ 3 x 2dx + ũ (x - 3) dx = 0 3 2 2 9 (vdt) 4 Bi tp 5 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi (C ) : x 2 + y 2 = 8 v (P ) : y 2 = 2x (Phn bờn trong (P ) ) Hng dn: ỡx 2 + y 2 = 8 ù ù + Xột h ớ 2 ùy = 2x ù ù ợ ộx = -4 (loaùi) ờ ờx = 2 ờở + Vi x = 2 y = 2 +... ờở ỳỷ ỳỷ ũ ờở c Chỳ ý: phỏ du tr tuyt i ta cú hai cỏch chớnh l: + Da vo th hm s Dựng nhiu trong cỏc thi + Da vo nh ngha giỏ tr tuyt i Phi ghi ch vdt vo kt qu cui cựng sau khi tớnh din tớch 15 Chuyờn luyn thi i hc Lờ Ngc Sn_THPT Phan Chu Trinh Bi tp 1 Tớnh din tớch hỡnh phng S : y = x 2 - 3x + 2, y = 0, x = 0, x = 3 { } Hng dn: Din tớch cn tớnh l: 1 S= ũ( ) 2 ( 3 ) ( ) x 2 - 3x + 2... Tớnh th tớch hỡnh trũn xoay khi quay quanh trc Ox hỡnh phng gii hn bi y = x 2 v y = 2x Hng dn: + PT honh giao im x 2 = 2x x = 0; x = 2 2 ( ) + Th tớch cn tớnh l: V = p ũ 4x 2 - x 4 dx = 0 64p (vtt) 15 19 Chuyờn luyn thi i hc Lờ Ngc Sn_THPT Phan Chu Trinh Bi tp 3 Cho min (D) gii hn bi (P ) : y 2 = 2x v d : x = 2 a) Tớnh th tớch hỡnh trũn xoay khi quay (D) quanh trc honh b) Tớnh th tớch hỡnh trũn xoay khi quay (D) quanh trc tung . dx ì éù ï ï êú ï = ï êú í êú ëû ï ï ï = ï î  Mẹotínhnhanh tích phân từngphần:Để tích nhanh tích phân từngphần Iudv= ò tacó sơđồsau:  Lấyđạohàm Lấy tích phân  u  dv   du  v   du  v   0  v  Chẳnghạntacầntínhnguyênhàmsau: 2 ( 75) cos2Ixx. =- ++ òò  Bàitập8.(B_2006)Tính tích phân sau: ln 5 ln 3 23 xx dx I ee - = +- ò  Hướngdẫn:Tacó ln 5 ln5 2 ln 3 ln 3 23 32 x xx xx dx e Idx ee e e - == +- -+ òò  Đặt 55 2 33 (1)(2) 3 ln (1)(2). G bb b a aa ba====- òò  Mộtsốdạngthườngdùngphươngphápđổibiếnloại1:  Hàmsốdướidấu tích phân chứa 222 abx- tathườngđặt sin a xt b =   Hàmsốdướidấu tích phân chứa 22 2 bx a- tathườngđặt sin a x bt =   Hàmsốdướidấu tích phân chứa 222 abx+ tathườngđặt