Chuyên đề tích phân ôn thi THPT quốc gia 2016 có đáp án chi tiết

Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết Chuyên đề tích phân ôn thi THPT Quốc Gia đầy đủ, chi tiết

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu CHƯƠNG 3. NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề 1. Tính nguyên hàm bằng cách áp dụng tính chất f '(x)dx f (x) C   . 1.1. Phương pháp: Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I g(x)dx  Sử dụng các phép biến đổi của đạo hàm để đưa g(x) f '(x) . Khi biến đổi, cần lưu ý đ ến các công thức đạo hàm:    u ' v ' u v '    u ' v v ' u (uv) '   2 u ' v v ' u u ' v v               1.2. Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 3.1.1. Tìm họ nguyên hàm: I x sin 2xdx  . Lời giải. Ta có: ' 1 1 1 x sin 2x x cos 2x x ' cos 2x cos 2x 2 2 2                              ' ' 1 1 1 1 x cos 2x (sin 2x) ' x cos 2x sin 2x 2 4 2 4                               Do đó: 1 1 I x cos 2x sin 2x C 2 4     . Ví dụ 3.1.2. Tìm họ nguyên hàm 2x I sin 3x.e dx    . Lời giải. Ta có:   ' 2x 2x 2x 2x 1 1 3 sin 3x.e sin 3x e ' e sin 3x e cos 3x 2 2 2                                    ' ' 2x 2x 2x 2x 1 3 1 1 9 sin 3x.e cos 3x e e . cos 3x ' e sin 3x 2 2 2 2 4                                                            Suy ra ' 2x 2x 2x 13 1 3 e sin 3x sin 3x.e e cos 3x 4 2 4                   Do đó: 2x 2x 4 1 3 I sin 3x.e e cos 3x C 13 2 4                   . Ví dụ 3.1.3. Tìm họ các nguyên hàm 2 I x ln xdx  . Lời giải. Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Ta có:   ' ' 3 3 2 3 3 3 x x 1 1 1 x ln x ln x (ln x) ' x ' x ln x x 3 3 9 3 9                                 Do đó: 3 3 1 1 I x ln x x C 3 9    . Ví dụ 3.1.4. Tìm họ nguyên hàm 1 x x 1 I x 1 e dx x                  . Lời giải. Ta có: 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x 2 1 1 1 x 1 e x e e x 1 e e x x x                                                  ' ' 1 1 1 x x x x x x x e x '.e xe                                           Do đó: 1 x x I xe C    . Ví dụ 3.1.5. Tìm họ nguyên hàm 2 1 1 I dx ln x ln x                . Lời giải. Ta có: ' 2 2 2 1 1 ln x 1 x ' ln x x.(ln x) ' x ln x ln x ln x ln x ln x                   Do đó: x I C ln x   . Ví dụ 3.1.6. Tìm họ các nguyên hàm x 1 sin x I e dx 1 cos x     . Lời giải. Ta có: 2 2 x x x 2 x x sin cos 2 2 1 sin x 1 1 x e e tan 1 e x 1 cos x 2 2 2 cos 2                                 ' 2 x x x x 1 x x 1 x x (1 tan )e 2e tan 2 tan e 2 e ' tan 2 2 2 2 2 2                                      ' x x e tan 2              Do đó: x x I e tan C 2   . 1.3. Bài tập. Bài 3.1.1. Tìm họ các nguyên hàm sau Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 3 1) I (2x 1) cos xdx   2) 2x I xe dx  3) 3x I cos 2x.e dx  4) I x ln(x 1)dx   5) 2 x I dx sin x   6) 2 I x ln xdx  7) 1 x cot x I dx sin x    8) 2 x 2 x x 1 I e dx (x 1)      9) 2 2 ln x 1 I xdx ln x    10) 3 3 4 dx I (1 x )    . Hướng dẫn giải Bài 3.1.1. 1) Ta có: (2x 1) cos x (2x 1)(sin x) ' (2x 1)'sin x 2 sin x          (2x 1) sin x ' 2(cos x) ' (2x 1) sin x 2cos x '      Do đó: I (2x 1) sin x 2 cos x C    . 2) Ta có:   2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 1 1 1 1 1 1 1 xe x e ' x'. e e xe ' e ' xe e ' 2 2 2 2 4 2 4                                                        Do đó 2x 2x 1 1 I xe e C 2 4    . 3) Ta có:   ' ' 3x 3x 3x 3x 1 1 3 cos 2x.e sin 2x e sin 2x e sin 2x.e 2 2 2                  ' ' ' 3x 3x 3x 3x 1 3 1 1 9 sin 2x.e cos 2x .e cos 2x. e cos 2x.e 2 2 2 2 4                                         Suy ra ' 3x 3x 3x 13 1 3 cos 2x.e sin 2x.e cos 2x.e 4 2 4               Vậy 3x 3x 1 3 I sin 2x.e cos 2x.e C 2 4    . 4) Ta có:   ' 2 ' 2 2 1 1 1 x x ln(x 1) x .ln(x 1) x ln(x 1 2 2 2 x 1                    ' 2 1 1 1 x ln(x 1) x 1 2 2 x 1                               Vậy   2 2 1 1 1 I x ln x 1 x x ln(x 1) C 2 2 2                    . 5) Ta có:         ' ' ' 2 sin x x x. cot x x ' cot x cot x x cot x sin x sin x         Suy ra I x cot x ln sin x C    . 6) Ta có:   ' 2 2 2 2 2 1 1 x ln x x ln x x ln x ' x ln x 2 2                  ' ' ' 2 2 2 2 1 1 1 1 x ln x x ln x x ln x x 2 2 2 2                                         Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 4 ' 2 2 2 2 1 1 1 x ln x x ln x x 2 2 4                Vậy 2 2 2 2 1 1 1 I x ln x x ln x x C 2 2 4     . 7) Ta có:   ' 2 2 x 'sin x x. sin x ' 1 x cot x sin x x cos x x sin x sin x sin x sin x                   Do đó x I C sin x   . 8) Ta có: 2 x x x x x x 2 2 2 x x 1 xe (x 1)(e ) ' (x 1)'e e e e (x 1) (x 1) (x 1)               ' ' x x ' x x e e e e x 1 x 1                                     Suy ra x x e I e C x 1     . 9) Ta có: ' 2 2 2 2 2 2 2 ln x 1 2x ln x x (x ) ' ln x x (ln x) ' x x ln x ln x ln x ln x                      Vậy 2 x I C ln x   . 10) Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 2 3 2 3 2 x 1 x 1 1 x x (1 x ) (1 x ) (1 x ) . (1 x ) (1 x )            ' 3 3 3 3 ' 3 3 3 2 3 x '. 1 x x. 1 x x (1 x ) 1 x                                  . Vậy 3 3 x I C 1 x    . Chuyên đề 2. Nguyên hàm P(x) I dx Q(x)   2.1. Phương pháp giải Sử dụng các phép biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản sau  du ln u C u     dx 1 ln ax b C ax b a       n n 1 dx 1 1 1 C n 1 a (ax b) (ax b)         với n 2 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 5  2 2 dx 1 x arctan C k k x k     . 2.2. Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 2 2x x 1 I dx x 1      . Lời giải. Ta có: 2 2 2x x 1 2(x 1) 3(x 1) 2       Suy ra 2 2 I 2x 2 3 dx x x 2ln x 1 C x 1                        . Chú ý: Cho f (x) là đa thức bậc n . Khi đó: (n) n 0 0 0 0 0 f (x ) f '(x ) f (x) (x x ) (x x ) f(x ) n ! 1!       Trong đó (k) 0 f (x ) là đạo hàm bậc k của hàm số f tại 0 x Ví dụ 3.2.2. Tìm họ các nguyên hàm 2 4 x 3x 1 I dx (x 1)      . Lời giải. Ta có: 2 2 x 3x 1 (x 1) (x 1) 3       Suy ra 2 3 4 1 1 3 I dx (x 1) (x 1) (x 1)                  2 3 1 1 1 C x 1 2(x 1) (x 1)         . Chú ý: Để giải bài trên, ta có thể thực hiện phép đổi biến số bằng cách đặt t x 1  Suy ra x t 1 dx dt    2 2 4 4 2 3 4 (t 1) 3(t 1) 1 t t 3 1 1 3 I dt dt dt t t t t t                           2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 C C t x 1 2t t 2(x 1) (x 1)              . Ví dụ 3.2.3. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 3 2 3 x (x 1) I dx (2x 2x 1)       . Lời giải. Ta có: 3 3 3 2 2 x (x 1) 2x 3x 3x 1 (2x 1)(x x 1)          Đặt 2 t 2x 2x 1 dt (4x 2)dx 2(2x 1)dx        Suy ra 3 2 3 2 1 t 1 1 1 1 1 1 I dt dt C 4 4 4t t t t 8t                       2 2 2 1 1 C 4(2x 2x 1) 8(2x 2x 1)         . Ví dụ 3.2.4. Tìm họ các nguyên hàm Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 6 2 2 3x x 1 I dx x 5x 6       . Lời giải. Ta có: 2 16x 17 I 3 dx x 5x 6                    Ta phân tích 16x 17 a(x 2) b(x 3)     Cho x 2, x 3  ta tìm đư ợc a 31, b 15   Suy ra 31 15 I 3 dx 3x 31 ln x 3 15 ln x 2 C x 3 x 2                         . Ví dụ 3.2.5. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 3x 4 I dx x 4x     . Lời giải. Ta phân tích: 3x 4 ax(x 2) bx(x 2) c(x 2)(x 2)        Cho x 0, x 2, x 2    ta có được: 4 4c 5 1 2 8b a , b , c 1 4 4 10 8a                       Suy ra 5 1 1 1 1 5 1 I dx ln x 2 ln x 2 ln x C 4 x 2 4 x 2 x 4 4                           . Ví dụ 3.2.6. Tìm họ nguyên hàm 2 2 dx I (x 1)    . Lời giải. Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 (1 x) (1 x) 1 1 1 1 2 1 4 4 (1 x)(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) x 1                               2 2 1 1 1 1 1 4 1 x 1 x (1 x) (1 x)                   Suy ra 1 1 1 x 1 I ln C 4 x 1 1 x x 1                  . Ví dụ 3.2.7. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 2x 3 I dx x 1     . Lời giải. Ta có: 2 2x 3 (ax b)(x 1) c(x x 1)       Cho 1 3c 1 8 1 x 1, x 0, x 1 3 b c c , b , a 3 3 3 5 2a 2b c                            Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 7 Do đó: 2 2 2 1 dx 1 x 8 1 1 2x 1 5 dx I dx ln x 1 3 x 1 3 3 6 3 x x 1 x x 1 x x 1                    2 1 1 5 ln x 1 ln x x 1 J 3 6 3       Ta có: 2 dx 1 1 2x 1 2 2x 1 J 4 4. . . arctan C .arctan C 2 3 3 3 3 (2x 1) 3           . Ví dụ 3.2.8. Tìm họ các nguyên hàm sau (x 1) cos x x sin x I dx cos x x sin x      . Lời giải. Ta có:   cos x x sin x ' (x 1) cos x x sin x x cos x 1 1 cos x x sin x cos x x sin x cos x x sin x           Suy ra I x ln x sin x cos x C    . Ví dụ 3.2.9. Tìm họ nguyên hàm 4 dx I x 4    . Lời giải. Ta có: 4 2 2 2 2 2 1 1 1 x 4 (x 2) 4x (x 2x 2)(x 2x 2)          Ta phân tích: 2 2 1 (ax b)(x 2x 2) (cx d)(x 2x 2)        Đồng nhất hệ số ta có: a c 0 2a b 2c d 0 1 1 1 a , b d ,c 8 4 8 a b c d 0 2b 2d 1                                  Suy ra 4 2 2 1 1 x 2 1 x 2 8 8 x 4 x 2x 2 x 2x 2           2 2 2 2 1 x 1 1 x 1 1 1 1 1 8 8 8 8 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1 (x 1) 1                . Suy ra 2 2 1 x 2x 2 1 I ln arctan(x 1) arctan(x 1) C 8 8 x 2x 2                 . Ví dụ 3.2.10. Tìm họ nguyên hàm 6 dx I x 1    . Lời giải. Ta có: 2 2 2 6 2 4 2 4 2 6 1 x 1 x 1 x x 1 (x 1)(x x 1) x x 1 x 1             Mà: 2 3 3 6 6 x 1 d(x ) 1 dx arctan(x ) C 3 3 x 1 x 1        . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 8 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x 1 (x 1) 3x (x 3x 1)(x 3x 1)           Ta phân tích:         2 2 1 ax b x 3x 1 cx d x 3x 1        Đồng nhất hệ số ta có: a c 0 a 3 b c 3 d 0 1 1 1 a , b d , c 2 2 3 2 3 a b 3 c d 3 0 b d 1                                  . Suy ra 4 2 2 2 1 1 x 3 1 x 3 2 3 2 3 x x 1 x 3x 1 x 3x 1            2 2 2 2 1 2x 3 1 2x 3 1 1 1 4 4 3 4 3 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1                          Do đó: 2 4 2 2 dx 1 x 3x 1 1 ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C 2 4 3 x x 1 x 3x 1                    Vậy 2 3 2 1 1 x 3x 1 1 I arctan(x ) ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C 3 2 4 3 x 3x 1                  . Ví dụ 3.2.11. Tìm họ nguyên hàm 4 2 6 x x 1 I dx x 1      . Lời giải. Ta có: 4 2 4 2 2 2 6 6 6 4 2 6 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1               2 3 3 3 6 3 3 3 3 3 x 1 d(x ) 1 1 1 1 x 1 dx d(x ) ln C ' 3 6 6 x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 x 1                             2 2 2 4 2 2 2 1 1 d x 1 x x 1 1 x 1 x J dx dx arctan C " 3 x 3 x x 1 1 1 x 3 x 3 x x                                                       Vậy 3 2 3 1 x 1 1 x 1 I ln arctan C 6 3 x 3 x 1       . Ví dụ 3.2.12. Tìm họ nguyên hàm 2 2 2 x 1 I dx (x 3x 1)(3x 5x 3)        . Lời giải. Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 9 Ta có: 2 1 1 x I dx 1 1 x 3 3(x ) 5 x x                              Đặt 2 1 1 t x dx 1 dx x x                  Suy ra dt 1 3 1 1 3t 5 I dt ln C (t 3)(3t 5) 4 3t 5 t 3 4 t 3                          2 2 1 3x 5x 3 ln C 4 x 3x 1       . 2.3. Bài tập Bài 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 2 2x 3x 1 1) I dx x 2      3 x 1 2) I dx x 1     2 2 x 2x 3 3) I dx (x 2)      2 3x 4 4) I dx x 3x 2      3 2 x 3x 2 5) I dx x 5x 4       6) 5 x I dx (x 1)    7) 2 x I x 1                8) 2 3 2 3 x x I dx (2x 3x 1)      9) 3 5 (x 1) I dx (1 5x)     10) 3 dx I x 2x    11) 1 2 4 4 2 0 2x J dx x 2x 1     12) 4 2 dx I x x 1     13) 2 dx I x(1 x)(1 x x )      14) 2 3 x x 1 I dx x 3x 2       15) 3 4 2 x I dx x 2x 1     16) 3 2 4 3 x x 4x 1 I dx x x       17) 2 6 2 x dx I (x 4)    18) 4 3 2 (x 1)dx I x 4x 6x 4x 2        19) 4 2 2 x dx I (x 1)    20) 3 6 3 x 1 I dx x(x 3x 2)      21) 6 2 dx I x(x 1)    22) 3 3 4 (x 2)dx I x(x 8)(x 8x 2)       23) 2 4 3 2 x 1 I dx x 2x x 2x 1        24) 2 4 2 x 1 I dx x x 1      . Hướng dẫn giải. Bài 3.2.1. Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 10 1) Ta có: 2 1 I 2x 1 dx x x ln|x 2| C x 2                       2) Ta có: 3 2 x 1 2 2 I dx (x x 1 )dx x 1 x 1            3 2 x x x 2 ln|x 1| C 3 2       . 3) Ta có: 2 2 (x 2) 2(x 2) 3 I dx (x 2)        2 2 3 3 1 dx x 2 ln| x 2| C x 2 x 2 (x 2)                          . 4) Ta có: 3x 4 I dx (x 1)(x 2)      Ta xác định a, b sao cho: 3x 4 a(x 1) b(x 2) (a b)x a 2b         a b 3 a 10 a 2b 4 b 7                         10(x 1) 7(x 2) 10 7 I dx dx (x 1)(x 2) x 2 x 1                          10 ln| x 2| 7 ln| x 1| C     . 5) Ta có: 3 2 2 x 3x 2 18x 22 x 5 x 5x 4 x 5x 4           50 4 (x 1) (x 4) 50 1 4 1 3 3 x 5 x 5 (x 1)(x 4) 3 x 4 3 x 1               50 1 4 1 I x 5 dx 3 x 4 3 x 1                     2 x 50 4 5x ln|x 4| ln|x 1| C 2 3 3        . 6) Ta có: 5 4 5 x 1 1 1 1 I du d(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)                           4 5 3 4 1 1 (x 1) d(x 1) (x 1) d(x 1) C 4(x 1) 3 x 1                 . 7) Ta có: 2 2 x I (x 1)    [...]... , ta có: I   1 (m  1)a(ax  b)m1 dx ta phân tích Page 13 C Chuyên đề: NGUYÊN HÀM P(x)  a n (ax  b)n   a1 (ax  b)  a 0 Suy ra: I     n  ai    dx      i0 (ax  b)mi    n ai  i 0 a.(m  i  1)(ax  2 b)mi1 C Trường hợp 2: Q(x)  ax  bx  c a) Với dạng I   dx 2 ax  bx  c ta có các trường hợp sau Khả năng 1: Nếu   b2  4ac  0 , khi đó ta luôn có sự phân tích. .. ta phân tích  (n  (ax2  bx  c)k mb dx ) 2 2a (ax  bx  c) k dx Ta biểu diễn: P(x)  a n (ax2  bx  c)n   a1 (ax 2  bx  c) x   với deg P  2n Hoặc P(x)  a n (tx  l)(ax2  bx  c)n   a1 (ax 2  bx  c) x   với deg P  2n  1 Trường hợp 4: Q(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2 a) Nếu Q(x) có m nghiệm phân biệt x1 , x2 , , x m , ta có Q(x)  (x  x1 )(x  x2 ) (x  x m ) Ta phân. ..  dx với P(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2 2 ax  bx  c Với dạng này ta thực hiên phép chia đa thức mx  n P(x)  g(x)  ax2  bx  c  Trường hợp 3: Q(x)  (ax2  bx  c)k Nguyễn Tất Thu Page 14 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM a) Với dạng: I   dx (ax2  bx  c)k Khả năng 1:   0  ax2  bx  c  a(x  x1 )(x  x2 ) 1  (x  x )  (x  x ) k  1 2   (x2  x1 )k Ta phân tích: 1  k 1  k i  (1)i... b , i  1, n  i i  Chuyên đề 3 Nguyên hàm của hàm số lượng giác Nguyên hàm cơ bản 1   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C     tan xdx   ln cos x  C dx 2 sin (ax  b)  1   1 cot(ax  b)  C a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C   dx 2 cos (ax  b)  1 tan(ax  b)  C a  cot xdx  ln sin x  C Sử dụng phép đổi biến số để chuyển tích phân hàm lượng giác về tích phân hữu tỉ Ví dụ 3.3.1... 2 sin x  b2 cos x x 2 dx Ta phân tích: a1 sin x  b1 cos x  A(a 2 sin x  b2 cos x)  B(a 2 cos x  b2 sin x) Nguyễn Tất Thu Page 21 x 2dt   dx và 2 1  t2 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM a A  b B  a  2 1 Với A, B thỏa:  2  b A  a B  b  2 2 1  Khi đó: I  Ax  B ln a 2 sin x  b2 cos x  C TH 3: I   a1 sin x  b1 cos x  c1 a 2 sin x  b2 cos x  c2 dx Ta phân tích: a1 sin x  b1 cos x  c1... )dx 1 dx  2 6 8  cos (x  ) cos(x  ) 6 6  1  sin(x  ) 3 1 1 6  C   ln   8 16 cos(x  ) 1  sin(x  ) 6 6 dx 22) Ta có I    4.4 tan x  C 2 4 3 cos x tan x 1 21) Ta có: I   4 Nguyễn Tất Thu sin xdx 3   8 cos2 (x  ) 6 Page 27 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Chuyên đề 4 Nguyên hàm của hàm mũ và logarit 4.1 Phương pháp 4.1.1 Nguyên hàm của hàm mũ u  P(x)   I   P(x)eax  bdx Đặt   dv... cos x) ta đặt t  sin x  Nếu R( sin x, cos x)  R(sin x,  cos x)  R(sin x, cos x) ta có thể sử dụng công thức hạ bậc hoặc đặt t  tan x ( hoặc t  cot x ) Bài toán 2: Tìm họ nguyên hàm I   f (tan x)dx (hoặc I   f (cot x)dx ) Để tìm nguyên hàm dạng này ta có thể đặt t  tan x ( t  cot x ) và chuyển về bài toán tìm nguyên hàm: I  f (t)dt  1  t2 3.3 Bài tập Bài 3.3.1 Tìm họ các nguyên hàm sau... (x  x m ) Ta phân tích: P(x)  m  a i (x  x1 ) (x  xi1 )(x  x i1 ) (x  xn ) i1 Thay lần lượt x bằng các giá trị x i vào đẳng thức trên ta tìm được P(x i ) ai  , i  1, m m  (x  x j ) j1 j i Nguyễn Tất Thu Page 15 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Khi đó: I   m a   m  i  dx      ai ln x  xi  C   i1 x  x i    i1 b) Trong trường hợp tổng quát ta phân tích Q(x)  u k v t...  1 Lời giải Ta phân tích: 5 sin x  10 cos x  4  a(2 cos x  sin x  1)  b(2sinx  cos x)  c  (a  2b) sin x  (2a  b) cos x  a  c a  2b  5     2a  b  10  a  3, b  4, c  1   a  c  4    I    1  dx 3  4 2 sin x  cos x      2 cos x  sin x  1 2 cos x  sin x  1     3x  4 ln 2 cos x  sin x  1  J Nguyễn Tất Thu Page 20 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Tìm... (8 sin 4 x  2 cos 5x sin 3x)dx Lời giải 2 Ta có: 8 sin4 x  2 1  cos 2x  2  4 cos 2x  2 cos2 2x  3  4 cos 2x  cos 4x và 2 cos 5x sin 3x  sin 8x  sin 2x Suy ra: I  3x  2 sin 2x  1 1 1 sin 4x  cos 8x  cos 2x  C 4 8 2 Ví dụ 3.3.2 Tìm họ các nguyên hàm I  8 cos 3 Lời giải Nguyễn Tất Thu  2x  sin5 x dx Page 16 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ta có: 8 cos3 2x  2 cos 6x  3 cos 2x   8 cos3 . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu CHƯƠNG 3. NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề 1. Tính nguyên hàm bằng cách áp dụng tính chất f. các nguyên hàm Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 6 2 2 3x x 1 I dx x 5x 6       . Lời giải. Ta có: 2 16x 17 I 3 dx x 5x 6                    Ta phân tích 16x 17. arctan(x ) C 3 3 x 1 x 1        . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 8 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x 1 (x 1) 3x (x 3x 1)(x 3x 1)           Ta phân tích:         2 2 1 ax b x