Đề minh họa kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2015 (3132015). Có đáp án và thang điểm chi tiết. Nhằm tạo thuận lợi cho thí sinh dự thi, Bộ Giáo dục giới thiệu các đề thi minh họa, kèm theo đáp án để giáo viên và học sinh tham khảo. Các đề thi minh họa sẽ không được sử dụng làm đề thi chính thức, nhưng qua đó học sinh sẽ hình dung được mức độ yêu cầu của đề thi chính thức để ôn tập. Các em download về làm để xem mức độ mình được bao nhiêu điểm để chọn ngành cho phù hợp với “sức khỏe” của mình nhe.
BỘ GIÁO DỤC ĐỀ THI MINH HỌA THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề x −1 x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) , biết tiếp điểm có hồnh độ x = Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) tan a p < x0, ∀x ∈ D Hàm số đồng biến khoảng ( - ¥ ; - 1) ( - 1; +¥ ) ￚ Giới hạn tiệm cận: lim y = xlim y = x đ- Ơ đ+Ơ 0.25 ị tiệm cận ngang: y = lim y = +¥ ; lim y =- Ơ ị x đ( - 1) tiệm cận đứng: x =- x ®( - 1) - + ￚ Bảng biến thiên: x y' y 0.25 - - ¥ + +¥ + +¥ - ¥ ♥ Đồ thị: 0.25 b.(1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) , biết tiếp điểm có hồnh độ x = 0.25 0.25 0.25 0.25 (1,0 điểm) a.(0,5 điểm) Cho góc a thỏa mãn tan a p < x
nên chia hai vế (2) cho x +1 ta được: (2) 0.25 ( 2) Û Đặt t = (3) x2 - 2x với t ³ , bất phương trình (3) trở thành x +1 t2 - t - £ Û £ t £ ♥ Với £ t £ (1,0 điểm) x2 - 2x x2 - 2x ³ - x +1 x +1 x2 - 2x £ Û x2 - 6x - £ Û 3x +1 0.25 13 £ x £ + 13 0.25 ♥ Do điều kiện x ³ + nên tập nghiệm bất phương trình S = é + 3;3 + 13 ù ê ú ë û Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= 3( x + x +1) + ( x2 + 3- ) x +3 + ( ) 2x2 + + x +3 0.25 0.25 0.25 0.25 CÁCH KHÁC ♥ Sử dụng hai bất đẳng thức SGK ĐS10 NC 1 ♦ Với a, b > ta có + ³ a b a +b (1) ♦ Với hai cặp số thực ( a, b) ( x; y ) ta có ( ax + by ) £ ( a + b )( x + y ) (2) Ta có 3( x + x +1) P= 3( x + x +1) ³ + ( ) x2 + 3- x +3 + ( ) 2x2 + + x +3 + ( ) 2x2 + 3- 0.25 ( ) x +3 + 2x + + x +3 [do (1)] Mặt khác ( 2x2 + 3- ) ( ) x + + x + + x + £ ( x + x + 6) [do (2)] Suy ra: P³ ³ 3( x + x +1) 3( x + x +1) + 0.25 ( x + x + 6) + 2.3( x + x +1) + 2 (Do ( x + x + 6) £ 2.3( x + x +1) + ) =Q [chú ý bảo đảm điểm rơi x = ] ỉ 1ư ♥ Đặt t = 3( x + x +1) = ỗx + ữ+ vi t ữ ỗ ữ ỗ ữ ố 2ứ 2 Xét hàm số: t f ( t) = + 2t + Ta có: f '( t ) = f '( t ) = Û 8t ( 2t ( 2t + 6) 0.25 ; 3 + 6) = 24t Û ( 2t + 6) = ( 24t ) Û 8( t - 3)( t +12t - 9) = é2 = t Û ê2 Û t= ê t =- ± ê ë ♥ Bảng biến thiên t f '( t ) - f ( t) + 0.25 Dựa vào BBT ta suy ra: Q ³ Do đó: P ³ +¥ t = 3 x = Vậy P = BÀI VIẾT CÓ LIÊN QUA ĐẾN CÂU BPT VƠ TỶ GIỚI THIỆU MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Đề thi thử Đại học Vinh lần năm 2015 có tốn sau Bài tốn: Giải bất phương trình ( x + 5x < + x3 + x - x ) (1) Bài giải é 1- £ x £ x3 +2x2 - 4x ³ Û ê ♥ Điều kiện: ê ê ³ - 1+ x ë Khi đó: ( 1) Û x ( x + x - 4) > x + x - Û x ( x + x - 4) > x + x + x - (2) ♥ Trường hợp 1: Với x ³ - + ( 2) Û Đặt t = x2 +2x - x2 +2x - >3+ x x x2 +2x - x ( t ³ 0) (3) (3) trở thành: t - 4t + < Û < t < Suy ra: x2 +2x - 1< ï ï Û - + 17 < x < + 65 í ï x - 7x - < 2 ï ỵ £ x £ x + x - < nên (2) thỏa é ♥ Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = ê 1ë æ + 17 + 65 ữ ỗữ 5; 0ự ỗ ẩỗ ; ữ ỳ ç ÷ û è 2 ø ÷ GIỚI THIỆU MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CĨ LIÊN QUAN a P ( x ) +b.Q ( x ) +g P ( x ) Q ( x ) = ( a ba ¹ 0) Phương trình (*) gọi phương trình đẳng cấp (*) P ( x ) Q( x) CÁCH GIẢI 1) Xét Q ( x ) = Þ P ( x ) = 2) Xét Q ( x ) ¹ Chia hai vế phương trình cho Q ( x ) ta phương trình dạng a Đặt ẩn phụ t = P ( x) Q ( x) P ( x) Q( x) +g P ( x) Q( x) +b= (1) , phương trình (2) trở thành: at +gt +b= (2) 3) Giải phương trình (2) tìm t Từ suy nghiệm phương trình (*) Chú ý: Hồn tồn bình đẳng ta chia hai vế phương trình cho P ( x ) P ( x ) Q ( x ) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Giải phương trình ( x - x + 2) = x + (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x + ³ Û x ³ - ♥ Biến đổi tương đương phương trình (1) dạng (*) (1) Û ( x - x + 2) = Ta có: ( x + 2) ( x Û ( x - x + 4) - ( x + ) = - x + 4) ( x + 2) ( x - x + 4) (2) ♥ Do x =- nghiệm (2) x + > nên chia hai vế pt (2) cho x + ta - ♥ Đặt t = x +2 x +2 =3 x - 2x +4 x - 2x +4 x +2 với t ³ , phương trình (3) trở thành x - 2x +4 é ê= t - 2t = 3t Û 2t + 3t - = Û ê ê ê =- t ë 2 (3) ♥ Với t = ta phương trình: { ♥ Vậy S = ± 13 } x +2 = Û x - x - = Û x = ± 13 [thỏa điều kiện] x - 2x +4 2 Ä HƯỚNG DẪN 2 Cách phân tích biểu thức ( x - x + 2) = ( x - x + 4) - ( x + 2) thực sau: 2 Đặt ( x - x + 2) = a ( x + 2) + b( x - x + 4) biến đổi để cân hệ số đồng bậc tìm a , b LƯU Ý Từ VD ta tạo tốn giải bất phương trình sau Bài tốn: Giải bất phương trình ( x - x + 2) > x + (1) Cách giải: (Sử dụng cách giải tương tự VD với vài thay đổi nhỏ) ♥ Điều kiện: x + ³ Û x ³ - (*) ♥ Biến đổi tương đương bất phương trình (1) dạng ( x - x + 4) - ( x + ) > ( x + 2) ( x - x + 4) (2) ♥ Với x =- (2) thỏa, suy x =- nghiệm bpt (1) ♥ Xét x >- Û x + > , chia hai vế bpt (2) cho x + ta - ♥ Đặt t = x +2 x +2 >3 x - 2x +4 x - 2x +4 (3) x +2 với t ³ , bất phương trình (3) trở thành x - 2x +4 2 - 2t > 3t Û 2t + 3t - < Û £ t < ♥ Với £ t < ta bất phương trình: x +2 < Û x2 - 6x - > Û x + 13 Ä NHẬN XÉT: Dựa vào cách giải phương trình ta áp dụng để giải bất phương trình tương ứng Bài thi thử Đại học Vinh giải theo phương pháp phương pháp giải phương trình (*) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải phương trình sau 1) x - x + = ( x + 4) ( x - x - 5) ì ± 61 ï ï 7ü ï ï ;8; Đáp số: S = ý ù 4ù ù ù ợ ỵ 2) x + x - = x - { Đáp số: S = ± } 3) x + x + = x + x { } Đáp số: S = ± 61 4) x - 3x +1 =- x + x +1 Đáp số: S = {1} 5) x2 + x - +3 x - - ì 23 ± 341 ü ï ï ï ï Đáp số: S = í ý ï ï ï ï ỵ þ x - x +19 = MỘT CÁCH GIẢI KHÁC ĐẶT HAI ẨN PHỤ CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN DẠNG TÍCH SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình ( x - x + 2) = x + (1) Cách giải ♥ Điều kiện: x + ³ Û x ³ - ♥ Biến đổi tương đương phương trình (1) dạng (*) (1) Û ( x - x + 2) = Ta có: ( x + 2) ( x Û ( x - x + 4) - ( x + ) = ♥ Đặt hai ẩn phụ x - x + = a - x + 4) ( x + 2) ( x { } é = 2b a ê ê ê =- b a ê ë (phân tích tam thức thừa số) x - x + = x + Û x - x - = Û x = ± 13 Ä ÁP DỤNG CÁCH GIẢI TRÊN CHO CÁC BÀI SAU Giải phương trình 1) x - x - + ( x +1) ( x +1) = ì ± 161 ü ï ï ï S =ï Đáp số: í ý ù ù ù ù ợ ỵ 2) x - 28 x + = 11 ( x - 2) ( x (2) (Xem vế trái tam thức bậc hai theo a ) æ bử ữ ( a - 2b) ỗa + ữ = ỗ ỗ ữ ố 2ữ ứ ♥ Vậy S = ± 13 - x + 4) x + = b với a, b ³ , phương trình (2) trở thành 2a - 2b2 = 3ab Û a - 3ba - b2 = ♥ Với a = 2b ta phương trình: - 1) ì 37 ± 1641 ü ï ï ï S =ï Đáp số: í ý ù ù ù ù ợ ỵ Hết ...ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu (2,0 điểm) Đáp án a.(1,0 điểm) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C ) hàm số y = ♥ Tập xác định: D = ¡ \ { −1} ♥ Sự biến thi? ?n: ￚ Chi? ??u biến thi? ?n: y '' = x... 0.25 b.(0,5 điểm) Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng... +¥ t = 3 x = Vậy P = BÀI VIẾT CÓ LIÊN QUA ĐẾN CÂU BPT VƠ TỶ GIỚI THI? ??U MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Đề thi thử Đại học Vinh lần năm 2015 có tốn sau Bài tốn: Giải bất