ĐỀ MINH HỌA TỐT NGHIỆP THPT 2020 MÔN TOÁN (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT)

Dạng toán 1. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp. + Dạng toán 2. Cấp số cộng. + Dạng toán 3. Phương trình Mũ – Logarits (phương trình mũ). + Dạng toán 4. Thể tích khối đa diện (Khối lập phương). + Dạng toán 5. Hàm số Mũ – Hàm số Logarits (hàm số Logarits). + Dạng toán 6. Nguyên hàm – Tích phân(Nguyên hàm). + Dạng toán 7. Thể tích khối đa diện (Khối chóp). + Dạng toán 8. Khối Nón – Trụ – Cầu (Công thức thể tích khối Nón). + Dạng toán 9. Khối Nón – Trụ – Cầu (Diện tích mặt cầu). + Dạng toán 10. Tính đơn điệu hàm số (Tìm khoảng đơn điệu khi biết bảng biến thiên). + Dạng toán 11. Logarits (Rút gọn biểu thức Logarits đơn giản). + Dạng toán 12. Khối Nón – Trụ – Cầu (Công thức diện tích xung quanh của trụ). + Dạng toán 13. Cực trị của hàm số (Tìm điểm cực trị khi biết bảng biến thiên). + Dạng toán 14. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Tìm hàm số khi biết đồ thị). + Dạng toán 15. Tiệm cận (Tìm tiệm cận ngang của hàm số). + Dạng toán 16. Bất phương trình Mũ – Logarits (Giải bất phương trình Logarit). + Dạng toán 17. Sự tương giao đồ thị (Đếm số nghiệm của phương trình khi biết đồ thị). + Dạng toán 18. Nguyên hàm – Tích phân (Tính tích phân dựa vào tính chất tích phân). + Dạng toán 19. Số phức (Tìm số phức liên hợp). + Dạng toán 20. Số phức (Tìm phần thực của tổng của hai số phức). + Dạng toán 21. Số phức (Tìm điểm biểu diễn của số phức). + Dạng toán 22. Hệ Oxyz (Tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng tọa độ). + Dạng toán 23. Hệ Oxyz (Tìm tọa độ tâm mặt cầu). + Dạng toán 24. Phương trình mặt phẳng (Tìm tọa đọ véc tơ pháp tuyến). + Dạng toán 25. Phương trình đường thẳng (Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng đã cho). + Dạng toán 26. Quan hệ vuông góc trong không gian (Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng). + Dạng toán 27. Cực trị của hàm số (Tìm số điểm cực trị khi biết bảng biến thiên). + Dạng toán 28. GTLN và GTNN (Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên đoạn). + Dạng toán 29. Logarits (Biểu diễn các tham số trong biểu thức Logarits đơn giản). + Dạng toán 30. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành). + Dạng toán 31. Bất phương trình Mũ – Logarits (Giải Bphương trình Mũ). + Dạng toán 32. Mặt Nón – Trụ – Cầu (Tính diện tích xung quanh hình nón ). + Dạng toán 33. Nguyên hàm – Tích phân (Nhận dạng tích phân khi đổi biến). + Dạng toán 34. Ứng dụng tích phân (Tính diện tích hình phẳng). + Dạng toán 35. Số phức (Tìm phần ảo của tích hai số phức). + Dạng toán 36. Số phức (Phương trình bậc hai với hệ số thực). + Dạng toán 37. Phương trình đường thẳng trong Oxyz (Tổng hợp liên quan đường thẳng và mặt phẳng). + Dạng toán 38. Phương trình đường thẳng trong Oxyz (Lập phương trình đồ thị qua hai điểm). + Dạng toán 39. Tổ hợp – Xác suất (Tính xác suất biến cố). + Dạng toán 40. Khoảng cách (Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau). + Dạng toán 41. Tính đơn điệu của hàm số (Tìm m để hàm số đồng biến trên R). + Dạng toán 42. Hàm số Mũ – Hàm số Logarits (Bài toán thực tế). + Dạng toán 43. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Nhận dạng các hệ số của hàm phân thức khi biết bảng biến thiên). + Dạng toán 44. Khối Nón – Trụ – Cầu (Bài toán thực tế tính thể tích của khối trụ). + Dạng toán 45. Nguyên hàm – Tích Phân (Tính tích phân hàm ẩn). + Dạng toán 46. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Tìm số nghiệm của phương trình liên quan đến sinx khi biết bảng biến thiên). + Dạng toán 47. Hàm số Mũ – Logarits (Tìm GTLN – GTNN của biểu thức hai ẩn phụ thuộc vào biểu thức mũ – logarits). + Dạng toán 48. GTLN – GTNN (Tìm GTLN – GTNN của hàm phụ thuộc tham số trên đoạn). + Dạng toán 49. Thể tích khối đa diện (Thể tích khối đa diện cắt ra từ một khối khác). + Dạng toán 50. Phương trình Mũ – Logarits (Tìm số ẩn hoặc mối liên hệ giữa các ẩn trong phương trình Logarits chứa hai ẩn).

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2020

PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 2

Môn: TOÁN

PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA

Câu 1.14 C27 là ký hiệu của

A Số các hoán vị của 7 phần tử B Số các tổ hợp chập 7 của 2 phần tử

Mỗi cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là tổ hợp chập 3 của 12

Vậy số cách phân học sinh lao động là C312

(

u1− 2d = 7 2u1+ 10d = −14

Lấy phương trình (2) chia cho phương trình (1) ta được q = 3.

Thay vào phương trình (1) ta được u1 = 2

Gọi công bội của cấp số nhân là q.

Theo giả thiết ta có

Tính tổng 15 số hạng đầu

tiên của cấp số cộng (un)

Lời giải

™.

Lời giải.

Điều kiện xác định của số y = log2x là x > 0

Vậy tập xác định của hàm đã cho là: D = (0; +∞)

Câu 6.5 Cho f (x), g(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên R, k ∈ R Trong các khẳng

định dưới đây, khẳng định nào sai?

Câu 7.2 Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng

a, đường cao SO Biết SO = a

√ 2

B

C

A S

A S

2 a

√ 3

4 a

√ 3

4 a

Lời giải

2 ,suy ra:SABC = 1

2AB · AC =

3a2

4 Dẫn tới: VS.ABC = 1

2

Lời giải

VìABC là tam giác vuông cân tại C nên AB = a √

2.Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AB, vì (SAB) ⊥ (ABC) nên

Câu 7.11 Cho khối chópS.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy

và SA = a Tính thể tích V của khối chóp đã cho

3

A S

D

Câu 7.13 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hai mặt bên (SAB) và

(SAC) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp biết SC = a √

12

A B

Câu 8.1 Cho khối nón có bán kính đáy r = √

3 và chiều cao h = 4 Tính thể tích V của khốinón đã cho

Câu 8.3 Cho khối nón (N ) có bán kính r = √

5, có chiều cao h = 5 Thể tích V của khối nón

Câu 8.7 Cho khối nón có bán kính đáy r = √

3 và chiều cao h = 4 Thể tích của khối nón đãcho bằng

√ 3πa3

3

Lời giải

Gọi r là bán kính của đáy hình nón Ta có r = √

l 2 − h 2 = a.Thể tích khối nón là

Câu 8.10 Cho khối nón và khối trụ có cùng chiều cao và cùng bán kính đường tròn đáy Gọi

V1; V2 lần lượt là thể tích của khối nón và khối trụ Biểu thức V1

V2 có giá trị bằng

Gọi bán kính đường tròn đáy của khối nón và khối trụ làR.

Chiều cao của khối nón và khối trụ là h

Câu 8.12 Cho khối nón có bán kính đáyr = √

3 và chiều cao h = 6 Thể tích của khối nón đãcho bằng

Câu 8.13 Cho khối nón và khối trụ có cùng chiều cao và cùng bán kính đường tròn đáy Gọi

V 1, V 2 lần lượt là thể tích của khối nón và khối trụ Biểu thức V1

Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của

khối nón và khối trụ lần lượt làh và R

S

A O

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra bán kính nón r = h

Vậy thể tích khối nón tương ứng là

a 2

√ 6

√ 2

5 2

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như

hình bên Hàm số đã cho nghịch biến trên

khoảng nào dưới đây?

A f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) B f (x) đồng biến trên khoảng (0; 6).

C f (x) nghịch biến trên khoảng (3; +∞) D f (x) đồng biến trên khoảng (−1; 3)

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như

hình vẽ bên Hàm số y = f (x) đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?

A (−∞; 0) B (0; 2)

C (−2; 0) D (2; +∞)

x

y0y

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là 2

B max

R

f (x) = 3 đạt tại x = 1

C Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

D Hàm số đồng biến trên các khoảng(3; +∞) và (−∞; 1)

Câu 10.11 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1)

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng

biến thiên như hình vẽ bên Khẳng định nào sau

(1) Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; −2).

(2) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 5).

(3) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2; +∞).

(4) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2).

A Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 2)

Ta có P = logab3+ loga2 b6 = 3 logab + 6

2logab = 3 logab + 3 logab = 6 logab

A 2 log2a − 3 log2b = 8 B 2 log2a + 3 log2b = 8

C 2 log2a + 3 log2b = 4 D 2 log2a − 3 log2b = 4

Lời giải

Từ giả thiết ta có log2 a2b3
= log244⇔ log2a2+ log2b3= 4 log24 ⇔ 2 log2a + 3 log2b = 8

Câu 11.10 Cho các số thực dương a, b, c và a 6= 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A logab + logac = loga(b + c) B logab + logac = loga|b − c|

C logab + logac = loga(bc) D logab + logac = loga(b − c)

Câu 12.2 Khối trụ tròn xoay có đường kính bằng 2a, chiều cao h = 2a có thể tích là

A V = 2πa2 B V = 2πa3 C V = 2πa2h D V = πa3

O N A

A0

B

B0P

Vậy độ dài đường cao của hình trụ đó là h = 2a.

Câu 12.9 Hình trụ tròn xoay có đường kính đáy là2a, chiều cao là h = 2a có thể tích là

A V = 2πa3 B V = πa3 C V = 2πa2 D V = 2πa2h

Lời giải

Bán kính đường tròn đáy của hình trụ làr = a

Thể tích V = h · πr2 = 2a · πa2 = 2πa3

h 2a

Gọi hình trụ có bán kính và chiều cao lần lượt là R, h

Theo giả thiết R = 4 và Sxq = 2π · R · h = 48π nên h = 6

O0

A

A0

Câu 12.15 Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh

a Thể tích của khối trụ đó bằng bao nhiêu?

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho có hai điểm cực trị B Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị

C Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu D Hàm số đã cho không có giá trị cực đại

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tạix = 1 và đạt cực tiểu tại x = 2

Vậy hàm số có hai điểm cực trị

Câu 13.3

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số bằng

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên

dưới đây Khẳng định nào sau đây là

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như

hình vẽ bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Phương pháp: Đánh giá dấu củaf0(x)và chỉ ra cực đại, cực tiểu của hàm số y = f (x).

• Cực tiểu là điểm mà tại đó f0(x) đổi dấu từ âm sang dương

• Cực đại là điểm mà tại đó f0(x) đổi dấu từ dương sang âm

Cách giải: Hàm số đạt cực đại tại x = 0

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 1

B Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −1

C Hàm số có đúng một cực trị

D Hàm số có giá trị cực đại bằng 2

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có, dấu của y0 đổi từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại

x = 2 và dấu của y0 đổi từ dương sang âm nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1, giá trị cực đại của hàm số bằng 0

Câu 13.11 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau

A Hàm số đạt cực đại tại x = 0 B Hàm số có hai điểm cực trị.

C Hàm số đạt cực tiểu tại x = −3 D Hàm số có giá trị cực tiểu y = −3

Câu 13.13 Cho hàm sốy = f (x)có bảng biến thiên như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Giá trị cực tiểu của hàm số là0 B Giá trị cực đại của hàm số là 5

C Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 D Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số có điểm cực tiểux = 0 B Hàm số có điểm cực đại x = 5

C Hàm số có điểm cực tiểux = −1 D Hàm số có điểm cực tiểu x = 1

Lời giải.

Đường cong trong hình vẽ có dạng đồ thị của hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d với a 6= 0

Dựa vào đồ thị, ta có lim

x→+∞ y = +∞ Suy ra a > 0.Mặt khác, giao điểm của đồ thị với trục tung tại điểm có tung độ dương nên d > 0

Chỉ có hàm số y = x3− 3x + 1 thỏa mãn các đặc điểm trên

Vậy đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số y = x3− 3x + 1

Câu 14.4

Lời giải.

Căn cứ vào đồ thị ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳngx = 1 nên loại phương

án y = −x3+ 3x + 1, y = x − 1

x + 1, y = x3− 3x2− 1.Vậy hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = x + 1

• Hàm số đạt cực đại tại x = ±1, giá trị cực đại bằng 0

• Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, gía trị cực tiểu bằng −1 Do vậy ta chọn đáp án B

Câu 14.6 Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

x y

−1

−1 2

O

Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra hàm số là hàm trùng phương y = ax4+ bx2+ c có

• “Đuôi thăng thiên” nên a > 0

• Cắt trục tung tại điểm nằm phía dưới trục hoành nên c < 0

Hình vẽ là đồ thị hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d với a < 0và hàm số có hai điểm cực trị là x = 0

và x = 2 Ta thấy chỉ có hàm số y = −x3+ 3x2− 4 thỏa mãn các điều kiện đó

−2

2

x y

O

Lời giải

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số tăng suy ra hệ số a > 0

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm là (0; 2) và (2; −2)

không thỏa hình bên.

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

nào dưới đây?

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

nào dưới đây?

Câu 15.3 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới

đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Lời giải

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = −1 ⇒ loại đáp án C

Đồ thị hàm số đi qua điểm A (0; −1) ⇒ loại đáp án B và D

= −2 ⇒ y = −2 là đường tiệm cận ngang của

4

x + 1 = +∞ nên đồ thị hàm số y = 4x + 4

x 2 + 2x + 1 có

ãnhận đường thẳng y = a

c làm tiệmcận ngang và đường thẳng x = −d

Câu 15.8 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 5

x − 1 là đường thẳng có phương trình nàodưới đây?

3; +∞



Phương trình đã cho tương đương với x < 1.

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm 0 < x < 1



h

4;92



Lời giải.

2 3

4x

≤32

2−x

⇔32

−4x

≤32

2x+6

⇔ 3x < 2x + 6 ⇔ x < 6

Số nghiệm của phương trình f (x) = −1là

Dựa vào đồ thị ta thấy có 4 giao điểm Vậy phương trình có 4 nghiệm

Câu 17.1 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình sau

3 cắt đồ thị y = f (x) tại hai điểmphân biệt Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

−2

8 3

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Cho hàm sốy = f (x)có bảng biến thiên như hình vẽ

bên Số nghiệm của phương trìnhf (x) = −1là

x

y0y

Số nghiệm của phương trìnhf (x) = −1 tương ứng với số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x)

và y = −1 Dựa vào bảng biến thiên suy ra số giao điểm hai đồ thị là 2 điểm

Câu 17.6 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

1 2

5

1 2

1 2

Câu 17.7

Cho hàm số y = −x4+ 2x2+ 1 có đồ thị như hình vẽ Tìm tất cả các giá

trị thực của tham sốm để phương trình −x4+ 2x2+ 1 = mcó bốn nghiệm

Lời giải

Số nghiệm của phương trình −x 4 + 2x2+ 1 = m là số giao điểm của đồ

thị hai hàm số y = −x4+ 2x2+ 1 và đường thẳng y = m (song song hoặc

2 < 1 nên đường thẳng ∆ cắt đồ thị đã cho tại 4 điểm.

Vậy phương trình 2f (x) + 3 = 0 có 4 nghiệm

Câu 17.10

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên Phương

trình f (x) = π có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Lời giải

Số nghiệm của phương trình f (x) = π bằng số giao điểm của đường thẳng y = π và đồ thị hàm

số y = f (x)

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳngy = π cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có

4 nghiệm phân biệt

Câu 17.11

Đồ thị ở hình bên là của hàm sốy = x4−2x 2 −3 Với giá trị nào của

m thì phương trìnhx4− 2x2+ m = 0 có ba nghiệm phân biệt?

A m = −3 B m = −4 C m = 0 D m = 4

x y

PT⇔ x4− 2x2− 3 = −m − 3 Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y = x4− 2x2− 3 và đường thẳng y = −m − 3 Dựa vào đồ thị hàm số ta có phương trình có banghiệm phân biệt khi −m − 3 = −3 ⇔ m = 0

Câu 17.12

Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và

có bảng biến thiên như hình vẽ Số nghiệm của

Đồ thị ở hình bên là của hàm số y = x4− 3x 2 − 3 Với giá trị nào của

m thì phương trình x4− 3x 2 + m = 0 có ba nghiệm phân biệt?

A m = −4 B m = 0 C m = −3 D m = 4

x y



m = 0

m > 12

Câu 19.4 Tìm phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i.

A Phần thực là 1, phần ảo là −1 B Phần thực là 1, phần ảo là −i

Ta có w = 3z1− 2z2 = 3(1 + 2i) − 2(2 − 3i) = −1 + 12i.

Vậy phần ảo của số phức w là 12

Câu 20.10 Cho hai số phức z = 3 − 5i và w = −1 + 2i. Điểm biểu diễn số phức z0 = z − w · z

trong mặt phẳngOxy có tọa độ là

Câu 21.1 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

|z + 2 − 5i| = 6 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là

Trên mặt phẳng tọa độ, số phức z = 3 − 4i được biểu diễn bởi điểm

nào trong các điểmA, B, C, D?

A ĐiểmD B Điểm B C Điểm A D Điểm C

−4

3 4

O

C

D

A B

Trên mặt phẳng tọa độ, số phức z = 3 − 4i được biểu diễn bởi

điểm nào trong các điểm A, B, C, D?

A Điểm D B Điểm B C Điểm A D Điểm C

B

−3

−4

3 4

Hình chiếu vuông góc của điểm G(5; −3; 7) lên trục Oy là H(0; −3; 0).

Vì G0 đối xứng với G qua trục Oy nên H là trung điểm của đoạn GG0 nên tọa độ của điểm G0

Câu 23.1 Trong không gian Oxyx, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2+ (y + 1)2+ (z − 1)2= 9 Tìm tọa

độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

A I(−2; 1; −1), R = 3 B I(−2; 1; −1), R = 9 C I(2; −1; 1), R = 3 D I(2; −1; 1), R = 9

Câu 23.10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

x2+ y2+ z2− 2x − 4y + 4z − 7 = 0 Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

đây là một vectơ pháp tuyến của (P ) ?

Thay tọa độ điểm (P ) vào phương trình đường thẳngd thấy tọa độ thỏa mãn nên đường thẳng

d đi qua điểm P (1; 2; −1)

−2 Điểm nào dưới

đây thuộc đường thẳng d?

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác

ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ∆?

Lại có, điểm C(0; 1; 2) ∈ d ⇒ C ∈ (α).

Do đó, phương trình của (α) là x + y − z + 1 = 0

Lần lượt thay tọa độ các điểm trong các phương án ta được điểm P (6; −4; 3) thỏa mãn

2a, tam giác

Lời giải

Ta có SB ∩ (ABC)

SA ⊥ (ABC)

)

⇒ AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC)

Suy ra (SB, (ABC)) = SBA‘

Do tam giác ABC vuông tại B ⇒ AB2+ BC2 = AC2 ⇔ 2AB 2 = (2a)2 ⇔ AB = a√2

GọiO0 và I lần lượt là tâm hình vuông ABCD và trung điểm CC0 Khi đó, ta có IO0 song song

AC0 Suy ra (AC0, BD) = (IO0, BD)

√ 3

=

√ 3

C

B M N A

Do BD k B0D0 nên góc giữa hai đường thẳng BA0 và B0D0 bằng

góc giữa hai đường thẳng BA0 và BD

Do ABCD.A0B0C0D0 là hình lập phương nên ∆A0BC là tam giác

Do đó 4ACB0 là tam giác đều.

Vậy ’ACB0= 60◦ hay Ÿ(AC, DA0) = 60◦

C D

0

Câu 26.10 Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân tại C Các điểm M, N,

P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC, CD Góc giữa M N và P Q bằng

Lời giải

D N

Q P

Cho tứ diệnABCD cóAB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Biết tam

giác BCD vuông tại C và AB = a

√ 6

2 , AC = a √

2, CD = a Gọi E làtrung điểm của AC (tham khảo hình vẽ bên) Góc giữa đường thẳng

4 , DH = √

HC 2 + CD 2 = 3

√ 2a

4 Khi đó tan DEH =’ DH

HE =

√

H C

D A

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với

nhau và OA = OB = OC GọiM là trung điểm củaBC (tham

khảo hình vẽ) Góc giữa hai đường thẳngOM vàAB bằng

B C

M O

A

Lời giải

Gọi N là trung điểm AC ⇒ M N = AC

2

và Ÿ(OM, AB) = (OM, M N )⁄

Do các tam giác OAC, OBC vuông tại O

N A

Xét phương trìnhf0(x) = 0, nếu x0 là nghiệm bội bậc chẵn của phương trình thìx0 không phải

là điểm cực trị của hàm số, nếu x 0 là nghiệm bội bậc lẻ của phương trình thì x 0 là điểm cực trịcủa hàm số

Trong đóx = 0, x = 2 là các nghiệm bội bậc lẻ nên hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị

(còn x = 1; x = 3 là các nghiệm bội bậc chẵn nên không phải là điểm cực trị của hàm số

Nhận thấy (x + 2)2> 0, ∀x 6= −2 Suy ra f0(x) không đổi dấu khi qua nghiệmx = −2 nênx = −2

không phải là điểm cực trị của hàm số

Ngoài ra, f0(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x (x − 1) = x2− x nên suy ra x = 0, x = 1 là haiđiểm cực trị của hàm số

Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

√ 2

2] Khi đó T = m · M bằng

1 3



= 50

27, y

1 2



= 15

8 Vậy M = max

2.Vậy max

12

Lời giải

Phương pháp: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f (x) trên [a; b] bằng cách:

+) Giải phương trình y0= 0 tìm các nghiệm x1.

+) Tính các giá trị f (a), f (b), f (xi) (xi∈ [a; b])