Chuyên đề Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình - Luyên thi ĐH (Có đáp án chi tiết)
Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau a) x 2 − 6x + 6 > 0. b) −4x 2 + x − 2 ≥ 0. c) x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 8x − 10 ≤ 0. d) x 4 + x 2 + 4x − 3 ≥ 0. Lời giải. a) Ta có x 2 − 6x + 6 > 0 ⇔ x > 3 + √ 3 x < 3 − √ 3 . Vậy tập nghiệm S = −∞; 3 − √ 3 ∪ 3 + √ 3; +∞ . b) Ta có ∆ = −31 < 0 ⇒ −4x 2 + x − 2 < 0, ∀x ∈ R. Vậy bất phương trình vô nghiệm. c) Bất phương trình tương đương với x 4 + 3x 2 − 10 − 4x 3 + 8x ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x 2 + 5 − 4x x 2 − 2 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x 2 − 4x + 5 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 ≤ 0 ⇔ − √ 2 ≤ x ≤ √ 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = − √ 2; √ 2 . d) Bất phương trình tương đương với x 4 + 2x 2 + 1 ≥ x 2 − 4x + 4 ⇔ x 2 + 1 2 ≥ (x −2) 2 ⇔ x 2 + x − 1 x 2 − x + 3 ≥ 0 ⇔ x 2 + x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1+ √ 5 2 x ≤ −1− √ 5 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −∞; −1− √ 5 2 ∪ −1+ √ 5 2 ; +∞ . Bài tập 2.2. Giải các bất phương trình sau a) x − 2 x 2 − 9x + 8 ≥ 0. b) x 2 − 3x − 2 x − 1 ≥ 2x + 2. c) x + 5 2x − 1 + 2x − 1 x + 5 > 2. d) 1 x 2 − 5x + 4 < 1 x 2 − 7x + 10 . Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 8 +∞ x − 2 − | − 0 + | + x 2 − 9x + 8 + 0 − | − 0 + VT − || + 0 − || + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞). b) Bất phương trình tương đương với x 2 − 3x − 2 − (x − 1) (2x + 2) x − 1 ≥ 0 ⇔ −x 2 − 3x x − 1 ≥ 0. Ta có bảng xét dấu 1 x −∞ −3 0 1 +∞ −x 2 − 3x − 0 + 0 − | − x − 1 − | − | − 0 + VT + 0 − 0 + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1). c) Bất phương trình tương đương với (x + 5) 2 + (2x − 1) 2 − 2 (x + 5) (2x − 1) (2x − 1) (x + 5) > 0 ⇔ x 2 − 12x + 36 2x 2 + 9x − 5 > 0. Ta có bảng xét dấu x −∞ −5 1 2 6 +∞ x 2 − 12x + 36 + | + | + 0 + 2x 2 + 9x − 5 + 0 − 0 + | + VT + || − || + 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪ 1 2 ; 6 ∪ (6; +∞). d) Bất phương trình tương đương với x 2 − 7x + 10 − x 2 + 5x − 4 (x 2 − 5x + 4) (x 2 − 7x + 10) < 0 ⇔ −2x + 6 (x 2 − 5x + 4) (x 2 − 7x + 10) < 0. Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 3 4 5 +∞ −2x + 6 + | + | + 0 − | − | − x 2 − 5x + 4 + 0 − | − | − 0 + | + x 2 − 7x + 10 + | + 0 − | − | − 0 + VT + || − || + 0 − || + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2) ∪ (3; 4) ∪ (5; +∞). Bài tập 2.3. Giải các phương trình sau a) x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0. b) x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0. c) x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0. d) (x − 3) 3 + (2x + 3) 3 = 18x 3 . e) x 2 + 1 3 + (1 − 3x) 3 = x 2 − 3x + 2 3 . f) (4 + x) 2 − (x − 1) 3 = (1 − x) x 2 − 2x + 17 . Lời giải. a) Ta có x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0 ⇔ (x −1) x 2 − 4x + 1 = 0 ⇔ x = 1 x = 2 ± √ 3 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ± √ 3. b) Ta có x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0 ⇔ x − √ 3 x 2 − 2 √ 3x + 1 = 0 ⇔ x = √ 3 x = √ 3 ± √ 2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = √ 3, x = √ 3 ± √ 2. c) Ta có x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0 ⇔ (x −1) x 3 − 3x 2 − 4x + 12 = 0 ⇔ x = 1 x = 3 x = ±2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2. d) Phương trình tương đương với (x − 3 + 2x + 3) 3 − 3(x − 3)(2x + 3)(x − 3 + 2x + 3) = 18x 3 ⇔ 9x 3 − 9x 2x 2 − 3x − 9 = 0 ⇔ 9x 7x 2 + 3x + 9 = 0 ⇔ x = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. e) Phương trình tương đương với x 2 + 1 + 1 − 3x 3 − 3(x 2 + 1)(1 − 3x)(x 2 + 1 + 1 − 3x) = x 2 − 3x + 2 3 ⇔ − 3(x 2 + 1)(1 − 3x)(x 2 − 3x + 2) = 0 ⇔ x = 1 3 x = 1 x = 2 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1 3 , x = 1, x = 2. f) Phương trình tương đương với (4 + x) 2 = (x − 1) 3 − (x − 1) x 2 − 2x + 17 ⇔ (4 + x) 2 = (x − 1) x 2 − 2x + 1 − x 2 + 2x − 17 = 0 ⇔ x 2 + 8x + 16 = −16x + 16 ⇔ x 2 + 24x = 0 ⇔ x = 0 x = −24 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −24. 2 Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Bài tập 2.4. Giải các phương trình sau a) x 2 − 4x + 3 2 − x 2 − 6x + 5 2 = 0. b) x 4 = (2x − 5) 2 . c) x 4 + 3x 2 + 3 = 2x. d) x 4 − 4x − 1 = 0. e) x 4 = 6x 2 − 12x + 8. f) x 4 = 2x 3 + 3x 2 − 4x + 1. Lời giải. a) Ta có x 2 − 4x + 3 2 − x 2 − 6x + 5 2 = 0 ⇔ 2x 2 − 10x + 8 (2x − 2) = 0 ⇔ x = 1 x = 4 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 4. b) Ta có x 4 = (2x − 5) 2 ⇔ x 2 + 2x − 5 x 2 − 2x + 5 = 0 ⇔ x = −1 ± √ 6. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± √ 6. c) Ta có x 4 + 3x 2 + 3 = 2x ⇔ x 2 + 2 2 = (x + 1) 2 ⇔ x 2 + x + 3 x 2 − x + 1 = 0. Vậy phương trình vô nghiệm. d) Ta có x 4 − 4x − 1 = 0 ⇔ x 2 + 1 2 = 2(x + 1) 2 ⇔ x 2 + √ 2x + 1 + √ 2 x 2 − √ 2x + 1 − √ 2 = 0. Vậy phương trình có hai nghiệm x = √ 2 ± 4 √ 2 − 2 2 . e) Ta có x 4 = 6x 2 − 12x + 8 ⇔ x 2 − 1 2 = (2x − 3) 2 ⇔ x 2 + 2x − 4 x 2 − 2x + 2 = 0 ⇔ x = −1 ± √ 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± √ 5. f) Ta có x 4 = 2x 3 + 3x 2 − 4x + 1 ⇔ x 2 − x 2 = (2x − 1) 2 ⇔ x 2 + x − 1 x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔ x = −1± √ 5 2 x = 3± √ 5 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −1 ± √ 5 2 , x = 3 ± √ 5 2 . Bài tập 2.5. Giải các phương trình sau a) (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 2. b) (x + 1) 4 + (x + 3) 4 = 16. c) (x + 3) 4 + (x − 1) 4 = 82. d) x 4 + (x − 1) 4 = 41 8 . Lời giải. a) Đặt x + 4 = t. Phương trình trở thành (t − 1) 4 + (t + 1) 4 = 2 ⇔ 2t 4 + 12t 2 = 0 ⇔ t 2 = 0 t 2 = −6 (loại) ⇔ t = 0 Với t = 0 ⇒ x = −4. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −4. b) Đặt x + 2 = t. Phương trình trở thành (t − 1) 4 + (t + 1) 4 = 16 ⇔ 2t 4 + 12t 2 − 14 = 0 ⇔ t 2 = 1 t 2 = −7 (loại) ⇔ t = ±1 Với t = 1 ⇒ x = −1; t = −1 ⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3. c) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành (t + 2) 4 + (t − 2) 4 = 16 ⇔ 2t 4 + 48t 2 − 50 = 0 ⇔ t 2 = 1 t 2 = −25 (loại) ⇔ t = ±1 Với t = 1 ⇒ x = 0; t = −1 ⇒ x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −2. d) Đặt x − 1 2 = t. Phương trình trở thành t + 1 2 4 + t − 1 2 4 = 41 8 ⇔ 2t 4 + 3t 2 − 5 = 0 ⇔ t 2 = 1 t 2 = − 5 2 (loại) ⇔ t = ±1 Với t = 1 ⇒ x = 3 2 ; t = −1 ⇒ x = − 1 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 2 , x = − 1 2 . Bài tập 2.6. Giải các phương trình sau a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b) x 2 − 1 (x + 3) (x + 5) + 16 = 0. c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x 2 . d) x 2 − 2x + 4 x 2 + 3x + 4 = 14x 2 . Lời giải. a) Phương trình tương đương với (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3 ⇔ x 2 + 5x + 4 x 2 + 5x + 6 = 3 Đặt x 2 + 5x + 4 = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔ t = 1 t = −3 . 3 Với t = 1 ⇒ x 2 + 5x + 4 = 1 ⇔ x = −5 ± √ 13 2 ; t = −3 ⇒ x 2 + 5x + 4 = −3 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = −5 ± √ 13 2 . b) Phương trình tương đương với (x − 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0 ⇔ x 2 + 4x − 5 x 2 + 4x + 3 + 16 = 0 Đặt x 2 + 4x − 5 = t. Phương trình trở thành t (t + 8) + 16 = 0 ⇔ t = −4. Với t = −4 ⇒ x 2 + 4x − 5 = −4 ⇔ x = −2 ± √ 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 ± √ 5. c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với (x − 1) (x − 6) (x − 2) (x − 3) = 3x 2 ⇔ x 2 − 7x + 6 x 2 − 5x + 6 = 3x 2 ⇔ x − 7 + 6 x x − 5 + 6 x = 3 Đặt x − 7 + 6 x = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔ t = 1 t = −3 . Với t = 1 ⇒ x −7 + 6 x = 1 ⇔ x 2 − 8x + 6 = 0 ⇔ x = 4 ± √ 10; t = −3 ⇒ x − 7 + 6 x = −3 ⇔ x 2 − 4x + 6 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4 ± √ 10. d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với x − 2 + 4 x x + 3 + 4 x = 14 Đặt x − 2 + 4 x = t. Phương trình trở thành t (t + 5) = 14 ⇔ t = 2 t = −7 . Với t = 2 ⇒ x −2 + 4 x = 2 ⇔ x 2 −4x + 4 = 0 ⇔ x = 2; t = −7 ⇒ x −2 + 4 x = −7 ⇔ x 2 + 5x + 4 ⇔ x = −1 x = −4 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 2, x = −1, x = −4. Bài tập 2.7. Giải các phương trình sau a) x 4 − 4x 3 + 6x 2 − 4x + 1 = 0. b) 2x 4 + 3x 3 − 9x 2 − 3x + 2 = 0. c) 2x 4 + 3x 3 − 27x 2 + 6x + 8 = 0. d) x 4 − 5x 3 + 8x 2 − 10x + 4 = 0. Lời giải. a) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với x 2 − 4x + 6 − 4 x + 1 x 2 = 0 ⇔ x 2 + 1 x 2 − 4 x + 1 x + 6 = 0 Đặt x + 1 x = t ⇒ x 2 + 1 x 2 = t 2 − 2. Phương trình trở thành t 2 − 2 − 4t + 6 = 0 ⇔ t = 2. Với t = 2 ⇒ x + 1 x = 2 ⇔ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với 2x 2 + 3x − 9 − 3 x + 2 x 2 = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 x 2 + 3 x − 1 x − 9 = 0 Đặt x − 1 x = t ⇒ x 2 + 1 x 2 = t 2 + 2. Phương trình trở thành 2 t 2 + 2 + 3t − 9 = 0 ⇔ t = 1 t = − 5 2 . Với t = 1 ⇒ x − 1 x = 1 ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± √ 5 2 . Với t = − 5 2 ⇒ x − 1 x = − 5 2 ⇔ 2x 2 + 5x − 2 = 0 ⇔ x = −5 ± √ 41 4 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 1 ± √ 5 2 , x = −5 ± √ 41 4 . c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với 2x 2 + 3x − 27 + 6 x + 8 x 2 = 0 ⇔ 2 x 2 + 4 x 2 + 3 x + 2 x − 27 = 0 4 Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Đặt x + 2 x = t ⇒ x 2 + 4 x 2 = t 2 − 4. Phương trình trở thành 2 t 2 − 4 + 3t − 27 = 0 ⇔ t = −5 t = 7 2 . Với t = −5 ⇒ x + 2 x = −5 ⇔ x 2 + 5x + 2 = 0 ⇔ x = −5 ± √ 17 2 . Với t = 7 2 ⇒ x + 2 x = 7 2 ⇔ 2x 2 − 7x + 4 = 0 ⇔ x = 7 ± √ 17 4 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −5 ± √ 17 2 , x = 7 ± √ 17 4 . d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với x 2 − 5x + 8 − 10 x + 4 x 2 = 0 ⇔ x 2 + 4 x 2 − 5 x + 2 x + 8 = 0 Đặt x + 2 x = t ⇒ x 2 + 4 x 2 = t 2 − 4. Phương trình trở thành t 2 − 4 − 5t + 8 = 0 ⇔ t = 4 t = 1 . Với t = 4 ⇒ x + 2 x = 4 ⇔ x 2 − 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± √ 2. Với t = 1 ⇒ x + 2 x = 1 ⇔ x 2 − x + 2 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ± √ 2. Bài tập 2.8. Giải các phương trình sau a) x 2 + 5x 2 − 2 x 2 + 5x − 24 = 0. b) x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 = 12. c) x 2 − 2x − 2 2 − 2x 2 + 3x + 2 = 0. d) (4x + 3) 2 (x + 1) (2x + 1) = 810. Lời giải. a) Đặt x 2 + 5x = t. Phương trình trở thành t 2 − 2t − 24 = 0 ⇔ t = 6 t = −4 . Với t = 6 ⇒ x 2 + 5x = 6 ⇔ x = 1 x = −6 . Với t = −4 ⇒ x 2 + 5x = −4 ⇔ x = −1 x = −4 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ±1, x = −4, x = −6. b) Đặt x 2 + x + 1 = t. Phương trình trở thành t(t + 1) = 12 ⇔ t = 3 t = −4 . Với t = 3 ⇒ x 2 + x + 1 = 3 ⇔ x = 1 x = −2 . Với t = −4 ⇒ x 2 + x + 1 = −4 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2. c) Phương trình tương đương với (x 2 − 2x − 2) 2 − (x 2 − 2x − 2) − x 2 + x = 0. Đặt x 2 − 2x − 2 = t. Phương trình trở thành t 2 − t − x 2 + x = 0 ⇔ (t − x)(t + x) − (t − x) = 0 ⇔ (t −x)(t + x − 1) = 0 ⇔ t = x t = 1 −x Với t = x ⇒ x 2 − 2x − 2 = x ⇔ x = 3 ± √ 17 2 ; t = 1 −x ⇒ x 2 − 2x − 2 = 1 − x ⇔ x = 1 ± √ 13 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 3 ± √ 17 2 , x = 1 ± √ 13 2 . d) Phương trình tương đương với 16x 2 + 24x + 9 2x 2 + 3x + 1 = 810 ⇔ 8(2x 2 + 3x + 1) + 1 2x 2 + 3x + 1 = 810 Đặt 2x 2 + 3x + 1 = t. Phương trình trở thành (8t + 1) t = 810 ⇔ t = 10 t = − 81 8 . Với t = 10 ⇒ 2x 2 + 3x + 1 = 10 ⇔ x = −3 x = 3 2 . Với t = − 81 8 ⇒ 2x 2 + 3x + 1 = − 81 8 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3, x = 3 2 . Bài tập 2.9. Giải các phương trình sau a) 1 2x 2 − x + 1 + 1 2x 2 − x + 3 = 6 2x 2 − x + 7 . b) 4x 4x 2 − 8x + 7 + 3x 4x 2 − 10x + 7 = 1. c) x 2 + 1 x + x x 2 + 1 = − 5 2 . d) x − 1 x + 2 2 + x − 3 x + 2 − 2 x − 3 x − 1 2 = 0. e) x 2 + x x + 1 2 = 3. f) 1 x 2 + x + 1 2 + 1 x 2 + x + 2 2 = 13 36 . 5 Lời giải. a) Đặt 2x 2 − x + 1 = t (t > 0). Phương trình trở thành 1 t + 1 t + 2 = 6 t + 6 ⇔ (t + 2) (t + 6) + t (t + 6) = 6t (t + 2) ⇔ 4t 2 − 2t − 12 = 0 ⇔ t = 2 t = − 3 2 (loại) Với t = 2 ⇒ 2x 2 − x + 1 = 2 ⇔ x = 1 x = − 1 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = − 1 2 . b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với 4 4x − 8 + 7 x + 3 4x − 10 + 7 x = 1 Đặt 4x − 8 + 7 x = t. Phương trình trở thành 4 t + 3 t − 2 = 1 ⇔ 4 (t −2) + 3t = t (t − 2) ⇔ t 2 − 9t + 8 = 0 ⇔ t = 1 t = 8 Với t = 1 ⇒ 4x −8 + 7 x = 1 ⇔ 4x 2 − 9x + 7 = 0 (vô nghiệm). Với t = 8 ⇒ 4x −8 + 7 x = 8 ⇔ 4x 2 − 16x + 7 = 0 ⇔ x = 1 2 x = 7 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 2 , x = 7 2 . c) Điều kiện: x = 0. Đặt x 2 + 1 x = t. Phương trình trở thành t + 1 t = − 5 2 ⇔ t = −2 t = − 1 2 . Với t = −2 ⇒ x 2 + 1 x = −2 ⇔ x 2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1. Với t = − 1 2 ⇒ x 2 + 1 x = − 1 2 ⇔ 2x 2 + x + 2 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có nghiệm x = −1. d) Điều kiện: x = 1, x = −2. Đặt x − 1 x + 2 = u, x − 3 x − 1 = v. Phương trình trở thành u 2 + uv −2v 2 = 0 ⇔ u = v u = −2v . Với u = v ⇒ x − 1 x + 2 = x − 3 x − 1 ⇔ x 2 − 2x + 1 = x 2 − x − 6 ⇔ x = 7. Với u = −2v ⇒ x − 1 x + 2 = −2. x − 3 x − 1 ⇔ x 2 − 2x + 1 = −2x 2 + 2x + 12 ⇔ 3x 2 − 4x − 11 = 0 ⇔ x = 2 ± √ 37 3 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x = 2 ± √ 37 3 . e) Điều kiện: x = −1. Phương trình tương đương với x − x x + 1 2 + 2x. x x + 1 = 3 ⇔ x 2 x + 1 2 + 2 x 2 x + 1 − 3 = 0 Đặt x 2 x + 1 = t. Phương trình trở thành t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1 t = −3 . Với t = 1 ⇒ x 2 x + 1 = 1 ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± √ 5 2 . Với t = −3 ⇒ x 2 x + 1 = −3 ⇔ x 2 + 3x + 3 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ± √ 5 2 . f) Phương trình tương đương với 1 x 2 + x + 1 − 1 x 2 + x + 2 2 + 2. 1 x 2 + x + 1 . 1 x 2 + x + 2 = 13 36 ⇔ 1 (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2) 2 + 2 (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2) − 13 36 = 0 Đặt 1 (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2) = t (t > 0). Phương trình trở thành t 2 + 2t − 13 36 = 0 ⇔ t = 1 6 t = − 13 6 (loại) . 6 Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Với t = 1 6 ⇒ 1 (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2) = 1 6 ⇔ x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 = 6. Đặt x 2 + x + 1 = u (u > 0). Phương trình trở thành u (u + 1) = 6 ⇔ u = 2 u = −3 (loại) . Với u = 2 ⇒ x 2 + x + 1 = 2 ⇔ x = −1 ± √ 5 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± √ 5 2 . Bài tập 2.10. Giải các phương trình sau a) |x − 1| = x 2 − 3x + 1 . b) x 2 + 4x − 5 = x 2 + 5 . c) x 2 − 5x + 4 − x = 4. d) √ x 2 + 4x + 4 = 5 − x 2 . e) x 2 − 5x + 4 = x 2 + 6x + 5. f) x 2 − 5x + 5 = −2x 2 + 10x − 11. Lời giải. a) Ta có |x − 1| = x 2 − 3x + 1 ⇔ x − 1 = x 2 − 3x + 1 x − 1 = −x 2 + 3x − 1 ⇔ x = 2 ± √ 2 x = 0 x = 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 2 ± √ 2, x = 0, x = 2. b) Ta có x 2 + 4x − 5 = x 2 + 5 ⇔ x 2 + 4x − 5 = x 2 + 5 x 2 + 4x − 5 = −x 2 − 5 ⇔ x = 5 2 x = 0 x = −2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 5 2 , x = 0, x = −2. c) Với x 2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 x ≤ 1 , phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 − x = 4 ⇔ x = 0 x = 6 (thỏa mãn). Với x 2 −5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, phương trình trở thành −x 2 + 5x − 4 −x = 4 ⇔ x 2 −4x + 8 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 6. d) Phương trình tương đương với |x + 2| = 5 −x 2 . Với x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x + 2 = 5 − x 2 ⇔ x 2 + x − 3 = 0 ⇔ x = −1+ √ 13 2 x = −1− √ 13 2 (loại) Với x + 2 < 0 ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x − 2 = 5 − x 2 ⇔ x 2 − x − 7 = 0 ⇔ x = 1+ √ 29 2 (loại) x = 1− √ 29 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 + √ 13 2 , x = 1 − √ 29 2 . e) Với x 2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 x ≤ 1 , phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 = x 2 + 6x + 5 ⇔ x = − 1 11 (thỏa mãn). Với x 2 − 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, PT trở thành −x 2 + 5x − 4 = x 2 + 6x + 5 ⇔ 2x 2 + x + 9 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = − 1 11 . f) Với x 2 −5x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5+ √ 5 2 x ≤ 5− √ 5 2 , PT trở thành x 2 −5x + 5 = −2x 2 + 10x −11 ⇔ x = 15± √ 33 2 (thỏa mãn). Với x 2 − 5x + 5 < 0 ⇔ 5− √ 5 2 < x < 5+ √ 5 2 , PT trở thành −x 2 + 5x − 5 = −2x 2 + 10x − 11 ⇔ x = 2 x = 3 (TM). Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 15 ± √ 33 2 , x = 2, x = 3. Bài tập 2.11. Giải các phương trình sau a) x 2 − x 2 + x 2 − x − 6 = 0. b) 3 2x − 1 x + 1 2 − x + 1 2x − 1 − 2 = 0. c) x 2 + 3x − 10 + x 2 − 4 = 0. d) x 2 + 3x − 4 + x 2011 + 2011x − 2012 = 0. Lời giải. a) Đặt |x 2 − x| = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t 2 + t − 6 = 0 ⇔ t = 2 t = −3 (loại) . Với t = 2 ⇒ x 2 − x = 2 ⇔ x 2 − x = 2 x 2 − x = −2 (vô nghiệm) ⇔ x = 2 x = −1 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = −1. b) Điều kiện: x = −1, x = 1 2 . Đặt | x + 1 2x − 1 | = t (t > 0). Phương trình trở thành 3 t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1. Với t = 1 ⇒ x + 1 2x − 1 = 1 ⇔ |x + 1| = |2x − 1| ⇔ x + 1 = 2x − 1 x + 1 = −2x + 1 ⇔ x = 2 x = 0 . 7 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 0. c) Ta có x 2 + 3x − 10 + x 2 − 4 = 0 ⇔ x 2 + 3x − 10 = 0 x 2 − 4 = 0 ⇔ x = 2 x − 5 x = ±2 ⇔ x = 2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. d) Ta có x 2 + 3x − 4 + x 2011 + 2011x − 2012 = 0 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 x 2011 + 2011x − 2012 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn) x = −4 (loại) x 2011 + 2011x − 2012 = 0 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Bài tập 2.12. Giải các bất phương trình sau a) |x − 2| < |2x + 1|. b) 2x − 3 x − 3 ≤ 1. c) x 2 − 5x + 4 ≤ x 2 + 6x + 5. d) x 2 − 2x + x 2 − 4 > 0. Lời giải. a) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2) 2 < (2x + 1) 2 ⇔ 3x 2 + 8x − 3 > 0 ⇔ x > 1 3 x < −3 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪ 1 3 ; +∞ . b) Điều kiện: x = 3. Bất phương trình tương đương với |2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x −3) 2 ≤ (x −3) 2 ⇔ 3x 2 − 6x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2]. c) Với x 2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 x ≤ 1 , bất phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 ≤ x 2 + 6x + 5 ⇔ x ≥ − 1 11 ⇒ S 1 = − 1 11 ; 1 ∪ [4; +∞) Với x 2 − 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, bất phương trình trở thành −x 2 + 5x − 4 ≤ x 2 + 6x + 5 ⇔ 2x 2 + x + 9 ≥ 0 (đúng ∀x ∈ (1; 4)) ⇒ S 2 = (1; 4) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S 1 ∪ S 2 = − 1 11 ; +∞ . d) Với x 2 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 x ≤ 0 , bất phương trình trở thành x 2 − 2x + x 2 − 4 > 0 ⇔ x > 2 x < −1 (thỏa mãn) ⇒ S 1 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) Với x 2 − 2x < 0 ⇔ 0 < x < 2, bất phương trình trở thành −x 2 + 2x + x 2 − 4 > 0 ⇔ x > 2 (loại) ⇒ S 2 = ∅ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S 1 ∪ S 2 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞). Bài tập 2.13. Giải các phương trình sau a) |9 − x| = |6 −5x|+ |4x + 3|. b) x 2 − 5x + 4 + x 2 − 5x = 4. c) |7 − 2x| = |5 −3x|+ |x + 2|. d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4. e) √ x 2 − 2x + 1 + √ x 2 + 4x + 4 = 5. f) x + 2 √ x − 1 + x − 2 √ x − 1 = 2. Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ − 3 4 6 5 9 +∞ 9 − x + | + | + 0 − 6 − 5x + | + 0 − | − 4x + 3 − 0 + | + | + Với x ∈ −∞; − 3 4 , phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x − 4x − 3 ⇔ x = − 3 4 (thỏa mãn). Với x ∈ − 3 4 ; 6 5 , phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x + 4x + 3 ⇔ 9 = 9 (đúng , ∀x ∈ − 3 4 ; 6 5 ). Với x ∈ 6 5 ; 9 , phương trình trở thành 9 − x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = 6 5 (loại). Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = − 3 4 (loại). Vậy phương trình có tập nghiệm S = − 3 4 ; 6 5 . b) Ta có bảng xét dấu 8 Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x −∞ 0 1 4 5 +∞ x 2 − 5x + 4 + | + 0 − 0 + | + x 2 − 5x + 0 − | − | − 0 + Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 + x 2 − 5x = 4 ⇔ x = 0 (thỏa mãn) x = 5 (loại) . Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 − x 2 + 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (0; 1]). Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x 2 + 5x − 4 − x 2 + 5x = 4 ⇔ x = 4 (thỏa mãn) x = 1 (loại) . Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 − x 2 + 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (4; 5]). Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 + x 2 − 5x = 4 ⇔ x = 0 (loại) x = 5 (loại) . Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] ∪ [4; 5]. c) Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 5 3 7 2 +∞ 7 − 2x + | + | + 0 − 5 − 3x + | + 0 − | − x + 2 − 0 + | + | + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành 7 − 2x = 5 −3x −x −2 ⇔ x = −2 (thỏa mãn). Với x ∈ −2; 5 3 , phương trình trở thành 7 − 2x = 5 − 3x + x + 2 ⇔ 7 = 7 (đúng , ∀x ∈ −2; 5 3 ). Với x ∈ 5 3 ; 7 2 , phương trình trở thành 7 − 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = 5 3 (loại). Với x ∈ 7 2 ; +∞ , phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = −2 (loại). Vậy phương trình có tập nghiệm S = −2; 5 3 . d) Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 3 +∞ x − 1 − 0 + | + | + x − 2 − | − 0 + | + x − 3 − | − | − 0 + Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 1 (thỏa mãn). Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x − 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (1; 2]). Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 2 (loại). Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (x − 3) = 4 ⇔ x = 5 (thỏa mãn). Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] ∪ {5}. e) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = 5. Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 1 +∞ x − 1 − | − 0 + x + 2 − 0 + | + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + 1 − x − 2 = 5 ⇔ x = 3 (loại). Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + 1 + x + 2 = 5 ⇔ 3 = 5 (vô lý). Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − 1 + x + 2 = 5 ⇔ x = 2 (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm x = 2. f) Phương trình tương đương với √ x − 1 + 1 + √ x − 1 − 1 = 2. Với √ x − 1 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, PT trở thành √ x − 1 + 1 + √ x − 1 − 1 = 2 ⇔ √ x − 1 = 1 ⇔ x = 2 (thỏa mãn). Với √ x − 1 − 1 < 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, PT trở thành √ x − 1 + 1 − √ x − 1 + 1 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng ∀x ∈ [1; 2)). Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2]. §2. Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn Bài tập 2.14. Giải các phương trình sau a) x − √ x − 1 − 7 = 0. b) √ 2x + 9 = √ 4 − x + √ 3x + 1. c) √ 3x − 3 − √ 5 − x = √ 2x − 4. d) 2x + √ 6x 2 + 1 = x + 1. e) 3 √ 2x − 1 + 3 √ x − 1 = 3 √ 3x + 1. f) 3 √ x + 1 + 3 √ x + 2 + 3 √ x + 3 = 0. 9 Lời giải. a) Phương trình tương đương với √ x − 1 = x − 7 ⇔ x ≥ 7 x − 1 = x 2 − 14x + 49 ⇔ x ≥ 7 x = 5 (loại) x = 10 ⇔ x = 10 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5. b) Điều kiện: − 1 3 ≤ x ≤ 4. Phương trình tương đương với 2x + 9 = 4 − x + 3x + 1 + 2 (4 − x) (3x + 1) ⇔ 4 = 2 −3x 2 + 11x + 4 ⇔ − 3x 2 + 11x + 4 = 4 ⇔ x = 0 x = 11 3 (thỏa mãn). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 11 3 . c) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 5. Phương trình tương đương với √ 3x − 3 = √ 5 − x + √ 2x − 4 ⇔ 3x −3 = 5 −x + 2x −4 + 2 (5 − x) (2x − 4) ⇔ 2x − 4 = 2 (5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x −4) 2 = 4 (5 − x) (2x − 4) ⇔(2x − 4) (2x − 4 − 20 + 4x) = 0 ⇔ x = 2 x = 4 (thỏa mãn). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 4. d) Phương trình tương đương với x + 1 ≥ 0 2x + √ 6x 2 + 1 = x 2 + 2x + 1 ⇔ x ≥ −1 6x 2 + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 ⇔ x ≥ −1 x = 0 x = 2 x = −2 (loại) ⇔ x = 0 x = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2. e) Phương trình tương đương với 2x − 1 + x − 1 + 3 3 (2x − 1) (x − 1) 3 √ 2x − 1 + 3 √ x − 1 = 3x + 1 ⇒ 3 (2x − 1) (x − 1) (3x + 1) = 1 ⇒ 6x 3 − 7x 2 = 0 ⇒ x = 0 x = 7 6 Thử lại ta thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7 6 . f) Phương trình tương đương với 3 √ x + 1 + 3 √ x + 2 = − 3 √ x + 3 ⇔ x + 1 + x + 2 + 3 3 (x + 1) (x + 2) 3 √ x + 1 + 3 √ x + 2 = −x − 3 ⇒ 3 (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ x = −2 Thử lại ta thấy x = −2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2. Bài tập 2.15. Giải các bất phương trình sau a) √ x 2 − 4x − 12 > 2x + 3. b) √ x 2 − 4x − 12 ≤ x −4. c) 3 √ 6x − 9x 2 < 3x. d) √ x 3 + 1 ≥ x + 1. Lời giải. a) Bất phương trình tương đương với 2x + 3 < 0 x 2 − 4x − 12 ≥ 0 2x + 3 ≥ 0 x 2 − 4x − 12 > 4x 2 + 12x + 9 ⇔ x < − 3 2 x ≥ 6 x ≤ −2 x ≥ − 3 2 −3 < x < − 7 3 ⇔ x ≤ −2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2]. b) Bất phương trình tương đương với x − 4 ≥ 0 x 2 − 4x − 12 ≥ 0 x 2 − 4x − 12 ≤ x 2 − 8x + 16 ⇔ x ≥ 4 x ≥ 6 x ≤ −2 x ≤ 7 ⇔ 6 ≤ x ≤ 7 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7]. c) Bất phương trình tương đương với 6x − 9x 2 < 27x 3 ⇔ 27x 3 + 9x 2 − 6x > 0. Ta có bảng xét dấu 10 [...]... của phương trình (**) √ Xét hàm số f (x) = 4x4 − 6x2 + 2 3 − 4x − 3 trên 0; 3 4 4 4 4 Ta có f (x) = 16x3 − 12x − √3−4x = 4x 4x2 − 3 − √3−4x < 0, ∀x ∈ 0; 3 ⇒ f (x) đồng biến trên 0; 3 4 4 1 Do đó phương trình (**) có nghiệm duy nhất x = 2 ⇒ y = 2 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = 2 ; 2 28 Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §4 Phương Trình - Bất Phương Trình. .. Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Do đó phương trình đã cho vô nghiệm 1 d) Phương trình tương đương với (5x − 2) (x2 + x + 1) = 2 x2 + 6x − 1 1 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có (5x − 2) (x2 + x + 1) ≤ 2 x2 + 6x − 1 √ √ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 5x − 2 = x2 + x + 1 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x=1 x=3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 3 §3 Hệ Phương Trình Đại Số... x = 2 Thử lại ta thấy x = 2 là nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 Bài tập 2.20 Giải các bất phương trình sau √ 1 − 1 − 4x2 a) < 3 x 2x c) √ > 2x + 2 2x + 1 − 1 √ 21 − 4x + x2 ≥ 0 x+1 x2 d) √ 2 > x − 4 1+ 1+x b) 14 1− Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Lời giải 1 a) Điều kiện x ∈ − 2 ; 1 \ {0} Phương trình tương đương với 2 1 − 1 − 4x2 √ 0 e) Điều kiện: Đặt = t (t > 0) Bất phương trình trở thành x < −1 x t≥2 t ≤ −8 (loại) Đặt 1 1 2 −...Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x VT −∞ − 2 −3 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = − 2 ; 0 3 d) Bất phương trình tương đương với x+12 √− 2 > 0 x2 + 4 < x2 + 4x + 4 x2 + 4 < x + 2 x>2 ⇔ ⇔ ⇔ x−2 x − 4 và x − 3 > x √ 4 nên √ phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ √ +∞) √ √ √ √ Với x < 1, bất phương trình trở thành 1 − x 2 − x + 3 − x − 2 4 − x ≥ 0 ⇔ 2 − x+ 3 − x ≥ 2 4 − x √ √ √ √ Vì 2 − x < 4 − x và 3 − x > 4 − x nên bất phương trình vô . nghiệm x = 15 ±6 √ 5. Bài tập 2.18. Giải các bất phương trình sau a) x 4 + √ x − 4 ≥ 8 −x. b) (D -02) x 2 − 3x √ 2x 2 − 3x − 2 ≥ 0. c) (x − 2) √ x 2 + 4 < x 2 − 4. d) (x + 2) √ 9 − x 2 ≤. giải. a) Đặt √ x + 5 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành x 2 = −t + 5 (1) t 2 = x + 5 (2) . Trừ theo vế (2) và (1) ta có t 2 − x 2 = x + t ⇔ (x + t) (t − x − 1) = 0 ⇔ t = −x t = x + 1 . Với t. + √ 17 2 . b) Đặt 3 √ 3x − 2 = t. Phương trình trở thành x 3 + 2 = 3t (1) t 3 + 2 = 3x (2) . Trừ theo vế (1) và (2) ta có x 3 − t 3 = 3t − 3x ⇔ (x − t) x 2 + xt + t 2 = 3 (t − x) ⇔(x − t) x 2 +